5 razred 6 - stefanovski - matematika
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Jovo Stefanovski, Naum Celakoski - Matematika - sesti razred (devetogodisnjeg osnovnog obrazovanje), Skoplje 2011TRANSCRIPT
-
Skopqe, 2011Skopqe, 2011
JJOVO STEFANOVSKIOVO STEFANOVSKINAUM CELAKOSKINAUM CELAKOSKI
-
e!
. : , , .
, . . , - .
. -, .
, , , , :
. . - a .
(-) .
, . , . .
, . .
- , .
. , .
. .
, , .
.
Podseti se!
Problemi
Zadaci
Treba da zna{
1.
2.
3. ...
...,A B
Proveri se?
-
31. . 4
2. . 7
3. . . 9
4. , 12
5. . 15
6. 177. 208.
239.
2610. 2711. 2912.
31
13. 3414. 37
15. 40
16. . 4317. 4718. .
4819.
2 5 5120.
3 9 5321. 4 5522. .
57
23. . 60
24. . 63
25. . 66
26. . 68
TEMA 1.
-
. 4
Podseti se!
- .
A V
.
?
a
bv
g
, .
.
.
?
D .
D?
D?
D!
! -.
1
543
7 26 S
(a), , o , . = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
1
2
3
1
. , . , .
: 10, 6, 2, 4 8.4
A
B
-
56
7
8
5
, .
.
, .
x , :
A={x | x e }.
.
S .
; .
S={x | x e 2638} :
. ?
a) {x | x >19}.b) {x | x }.v) {x | x }.
.
1115
1917
13 R
! { , , , } { , , }. .
: , , . .
9 . .
ka
pu
lM
,, , , ,, , , ,, , e ,
k M
a M
e M
: :
V
-
10
11
6
: , , C, N, L, K .
, , , , , , .
a, . p R, P, S L :R p; P p; S p i L p;
S
A
a
L
S
V
K
N
; , . i .
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: 1, 3, 5, 7 9:
, ? ili .
; ;
.
Zadaci
e
pb
A V
.1.
ka
u
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, , ( ).
, .
: , , , .
a.
M, N, C, D S, :M a, N a, C a, D a i S a.
2.
, :1 A, 2 A, 2 B, 3 A, 4 A, 4 B,5 A, 6 A, 6 B, 7 B, 8 A, 8 Bi 9 B.
3
Proveri se!
-
Podseti se!
7 .
-.
? . ?
, .
21
? , B C ?
a cd
b
A
! 3 -, 7 99 .
A.
!
!
-? ? ?
.
.
2
. 2 764 .
, 3 000 ?
3
4A = {, , }
C = {x | x }.
, .
Maj
V
A
B
A = {a, b, c};B = {x | x };C = {x | x 100}.
-
58 .
. .
M = {x | x . 3000 } = .
= 0.
.
;
- - .
:
, S = 3;
S, Y = 0.
;
;
;
e 1?
Zadaci
:
L = {2, 4, 6, 8, 10}
S = {x | x 5m}K =
1.
2.
A = {2, 3, 4, ..., 99} i B = {x | x 8 x < 25}.
3.
- .
Problem
:
Treba da zna{ Proveri se!
1A V2 5
7436
-
Podseti se!
9
-:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
C = {10, 20, 30, 40, 50}.
?
. .
Y
T
S ?
T Y?
A = {x | x } B = {x | x } .
A i V, .
A, V.
- .
31
2
, A ~ V.
3
.
: A = V.
, .
4
Uo~i!
A
?
.
B
:B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {} i G = {M, A, T, E, I, K}.
~
G.
-
10 .
: =
A = {1, 3, 5, 7} i B = {1, 2, 5, 7}?
: A = {x | x > 5 i x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?
! , - .
?
, -: .
5
ali: {l, a, s, t, a} = {a, s, t, a,l}
6
7S
V M
, . : S M.
, . S M.
S . S? ! S ? ! ?P S; S S i S S?
13
4
2
6
Y
R
K 5
7
8
. A A.
Primer: {a, b, c} {a, b, c}, .
. A.
Uo~i!
-
11
, ;
;
;
.
P = {5, 10, 15, 20}.
.
L P.
.
Treba da zna{ Proveri se!
Zadaci
D N.1. U , , - , .
U, P, K y.
2.
3.
7 9 5 1
N
D
3 28 6
4 10
D .
N .
D N ? ?
: D N N D? ?
y K i K R, y R. ? ?
4. A = {a, b, c}.
I ovo je matemaika!
, : ?, . , . ?, . , . , , . , , . ?
-
B12
, D.
, D .
3 A VD
1 3
5 7
9
2 6
4 10
8
, .
: C = A V : .x A V, : x A x V.
Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 7} i C = {1, 4, 5}.
: A B, A C i B A.
A B i B A ? ?
, .
1
2
-.
A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6}.
.
.
A
, 4Podseti se
- , , .
?
A S V
.C = {3, 4, 5}.
1
2
63
4
5
A BC
.
D .
-
13 D . D : D = A V : D x A V, : x A x V.
A, V C.
C B, C A B A.
A , B C, B A A C.
, . , .
4A
CV
1 2
9
3
12 13
11 14
V A V V A.
A V V A ?
A V V A.
?
A = {1, 2, 3, 4, 5} V = {2, 4, 6, 8}.5
A B, (A B) C.
B C, A (B C).
(A B) C = A (B C)?
: (A B) C = A (B C).
, , 4 , - .
.
A = {3, 6, 9}, B = {2, 4, 6, 8} C = {1, 3, 5, 9}.7
6
: A V = V A i A B = B A
Uo~i!
.
.
- .
A, V S (A V) S = A (V S).
x A B, x B?
Problem
G
A V.
, .
. .
8 A B1
2
7
3
8
95
6
- .
-
14
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} C = {3, 5, 7, 9, 11}.9
: A \ B, B \ A, B \ C A \ (B \ C).
A \ B = B \ A?
: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C?
M = {x | x x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} P = {x | x }. :
10
M Y. Y R. P \ M. M (R \ Y).
, .
Treba da zna{!
;
;
;
, , .
A = {a, b, f, g}, B = {b, c, e, f, 1, 2} C = {b, c, e, 1}.
:
A B. B \ C. A B C.
Zadaci
, .
1.
?
a) b) v)
A = {m, n, p, k} M = {s, p, t, k, r}
2.
A M. A M, M A M \ A.: (A M), (A M) (M \ A).
, - .
3.
:) ; ) ; ) ; ) ? , , .
?
, , . : S = A \ V .
x A \ B : x A x B.
= {1, 2, 5, 6} , S = A \ V.
Proveri se!
-
Podseti se!
15 . 51
{2, 3} i {3, 2}. , - .
, - : -, .
{2, 3} = {3, 2}? Za{to?
. .
. (2), (3). ( 2, 3) .
.
(a, b) , , . y (a, b), a -, b .
2 A = {s, p, q}, B = {1, 2}.
, .
Da upamtim! (a, b) (c, d) a = c b = d - (a, b) = (c, d).
, .
(2, 3) (3, 2) ?
(s, 1) (1, s)?
A = {1, 2} B = {a, b, c}. , .
3
, , . A h V. .
A h V = {(x, y) | x A i y B}.
S = {1, 2, 3} S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}.4 .
A
B
-
16
A h A . , . .
A = {a, b}. A x A.5
M = {5, p}.6
Uo~i i zapamti!
Treba da zna{!
- ;
;
;
;
.
A = {a, b}, B = {5, 55} C = {m, n}.
- , - .
.
.
Zadaci
A = {2, 5}, = {a, b, }.
1.
:a) (5, ) = (5, 2);b) (, 6) = (8, 6);v) (, 3) = (7, )?
2.
Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}.
4.
.
.
.
:A = {, , }. : = {, , }. A .
3. . : .
Proveri se!
-
Podseti se!
17
B
6
?
?
: 23, 1005, 207, 987000. 813265? - ? ?
.
:
;
;
.
1
: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 99, 100, 101, 9 999, 10 000, ... , .
N; N = {1, 2, 3, 4, ...}.
0 . 0 N. 0 N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
- .
? ?
2
: 1, 3, 5, 7, ... , a 2, 4, 6, 8,10 ... .
: 36, 13, 1 111, 100 000, 99 , ?3
A
Prirodni brojevi!
1 2 3 4 5 ...
V ?
.
a. a . 0, - 1.
4
0 1
O A
20 1
SO A
a
a
a
-
18
5 6, 7 6.
, 100?
, ?
6
.
1 . ?
. .
. .
7
?8
, 1, 1.
2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ...
1 .
, , OA = 1. , , . 2.
3?
.
1, {1, 11, 21, 31, ...}.
. .
Uo~i i upamti!
.
: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ...
.
.
N .
0 1 2 3 4 6
:5 1 6? 1 6?
-
19
: 7, 4 0.
.
.
.
.
Zadaci
.
1. ?
2.
0 20.
3.
= { | }, .
4.
.
?
?
?
.
? .
0 10 20 30 40 50 60 100 120 140 160
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Treba da zna{!
, ;
- ;
;
.
.9
!
!
Proveri se!
-
Podseti se!
20 ()
100?
a 3 865?
128 563?
.
.
7
1
SI DI JI S D J
00 11 22 33 44 5566 77 88 99
S.
e : 0, 1,2, ....9. (-) .
.
2?
4 7 143 528 -. 3, 8?
7. ?
., .
!7 1 000 000 = 7 000 000.
7 143 528. ( ). , , - .
2
A
KLASAMILIONA
KLASAHILJADA
KLASAJEDINICA
SM DM JM SH DH JH S D J
7 1 4 3 5 2 8
-
Cifra Klasa
3 DH 30 000
4 JH 4 000
5 S 500
0 D 0
9 J 9
21
1, 10, 100, 1000 . (-
2 628 .
10 000 000.
, ?
5, 8 2 50 800 200?
34 509.3
! 3 ?4
34 509
20
JH S D J
3 3 3 310100
1 000
2
1, : ) 3 ; ) 6 ; ) 9 ; ) 12 ; ) 18 .
5
. 6
B
, :
1 000 000 000, ;
1 000 000 000 000 ;
1 000 000 000 000 000 .
Upamti!
.
?
-
22
!
-.
- ? JM SH DH JH S D J
Proveri se!
Zadaci
5 203 478. - 5, 2, 7, 0 :
) ;
) ;
) .
1.
?
4.
5, 5?5.
?
6.
7 405906.
2.
-
3.
Treba da zna{!
;
;
.
Problem
7. , . ?
-
23
Podseti se!
: 16; 23; 45; 125;50; 200.
: a) 157; b) 216; v) 350.
- ?
81A
2 000 -.
3
:
200 000; 20 300 000; 70 112 500; 9 326 540 217.
2
32, 35 37 .
4
B
.
) ;
) ;
) .
?
?
.
?
.
- ( ).
15 - ;
700
50 000 - .
: , ,,... , . ( ).
302 413 - .
5 020 340 -
, () - .
300 200 - .8 302 100 -
.
.
30 32 35 37 40
-
24 Sagledaj odgovore
30 , 40 .
32 - 30 = 2; 40 - 32 = 8. 32 30.
37 - 30 = 7; 40 - 37 = 3. 37 40.
35 - 30 = 5; 40 - 35 = 5. 35 30 40.
32 30. 32 30.
Ka`emo da
37 40. 37 40.
35 30 40. 35 40.
.
: 148, 243, 2 671, 3 585 74 598. 5
: 3 435 3 468 .6
: 1 372, 2 145, 1 653 4 898.7
:)21 363; 47 612; 43 577. )4 803; 13 501; 177 982.
8
3 400 3 435 3 4683 500
.
, 1?
?
.
3 435 3 400, 3 468 - 3 500.
: 3 435 3 400; 3 468 3 500.
5, 1 5 5.
-
25Sagledaj re{ewe a)
21 363 21 000; 47 612 48 000; 43 577 44 000.
( , ,....) :
: 0, 1, 2, 3 4, : 5, 6, 7, 8 9.
35 738 :) , ) ; ) ; ) .
9
.
Treba da zna{!
, ;
:, .
: 5 200; 45 678 350.
, : ) 34 752; ) 224 750.
Proveri se!
Zadaci
: 2 345; 250; 6 400310.
1.
.
2.
?
3.
24 375
) 24 700 24 600;
) 24 000 25 000?
4.
25 375 : ; -; .
5.
15 409 632 .6.
7.
12 245 12 250; 12 245 12 240;
12 245 12 200; 12 245 12 300.
?
?
.
1 216 358 den.
Poku{aj da re{i{!
-, .
.
-
26
Partizan(gimnastika)
Spartak(karate)
Delikates(ko{arka)Akvaten(tenis)
Dru{tvo (aktivnost)
. a B R A DS A P O D A C I M A
-. . - , .
1
. - .
2
. : -; -; -; -.
3
Broj
Partizan(gimnastika)
Spartak(karate)
Delikates(ko{arka)Akvaten(tenis)
Dru{tvo (aktivnost) Broj
9
13
15
3
. .
- ?
( )
.
?
?@uta
Crna
Crvena
Zelena
Boja Broj
. : -, , , .
- .
P P L Z Z J P L J Z Z P L J Z Z P P LL L J Z P J J Z Z P P P L J P P Z L J
9 : , , , , .
() : , , - .
-
Podseti se!
27
B
A
.
a + b = b + a
.
52 + 34 = 86 ili 34 + 52 = 86
sabirci zbir sabirci zbir
- .
a + (b + c) = (a + b) + c :
a + b + c.
a + 0 = 0 + a = a
:
14+ 35
353+ 168
47+ 803
68 + 37 + 3 + 916 =
98 796+ 14 534
. , .
1
52 34.2
Struga
90 km
190 km
Bitoq
Ko~ani
? ?
N0.
. .
(71 + 114) + 16 = ili 71 + (114 + 16) =
185 + 16 = 201 71 + 130 = 201
, .
583 + 0 = 583 ili 0 + 583 = 583
10
!
17 + 36 + 13 + 44 =
3
12 + 81 + 9 + 38 + 27 =
161 + 234 + 439 =
Primer
!
27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89
-
VI - .
VI .
VI VI , .
28
VIa 17 14
VIb 14 17
VIv 9 22
Zadaci
:1.
: - 1 300 . 726 -.
2.
171
:3.
64 + 33 + 36 + 48 + 57 =
7 328 6435, : , ,. - ?
4.
?
+ 16
27+ 72
39+ 93 + 39
44 + 27 + 51 + 33 + 19 =
1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =
V
:4
45 + (45 + 56) =
: 74, 33, 26, 48 57.
: 140, 310, 750, 360 290.
124 139 261, 55 276.
372, 126 319 -.
( 1 207 + 101) + 269 =
5
.a) 2 738 i 2 465; b) 4 562 i 5 378.
?
6
Problem!
2 .
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
?
;
- ;
- .
Treba da zna{!Proveri se!
-
Podseti se!
29
:
?
475- 232
1 852- 800
2 685- 518
9 840- 189
47 - = 19
28 + = 47
+ 19 = 47
11
A 2000. . 4 830 , 3 892 .
?
1
4 830 - 3 892 =
B
Olimpijada 1992
Ekipa Poeni
Italija 15 760
Amerika 15 649
Poqska 16 018
- ? ?
a - b a i b N0 a > b ili a = b.
.2
?
.
5 000 -. - .
3 Dn . Ponedeqak 1 260
Utorak 4 205
Sreda 4 728
^etvrtak 3 916
Petak 4 010
Subota 4 857
Nedeqa 1 376
-
30
489. 120, 70 . 42 , 98. ?
Zadaci
836 299 173. 1 216.
1.
2. 1 350 . 3 120. . . .
4.
2 725 . 210 . 385 - .
? ?
3.
(26 + 128) - 37 = ; 432 - (26 + 15) = ;
(439 - 195) + (270 - 36) = .
:
2 376 1 289 - .
457 165 -. .
4
;
- ;
-.
Treba da zna{!Proveri se!
Poku{aj!
, ?
-
31
12
Podseti se!
320 + 150 = 470 250 - 120 = 130.
?(320 + 30) + 150 = 470 + ;(320 - 30) + 150 = 470 - ;(320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ?
A , 2600 3 100.
) - ?
) 400 - . ?
1
a + b = 200. 300. a + (b + 300).
2
340 + 620 = 960, :) 60;) 60, 60?
3
.a) 2 600 + 3 100 = 5 700; 5 700 .b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. 400.
a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 == 900 = 960 - 60;
b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; .
a) .
Uo~i da
Uo~i uop{teno o zbiru a + b = c
, , . (a + m) + b = c + m
, , . (a - m) + b = c - m
, - , . (a - m) + (b + m) = c
-
32 B 4.) 750 - 430 = 320. - :) 50; ) 50.
4
2 480 - 560 = 1 920. :) 30; ) 30?
5
6 354 - 2 314. :
) 120; ) 120?
6
, 10, 10?7
:a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 == 370 = 320 + 50.
: ) 30; ) 30.
) 50
50, . -.
.
Uo~i uop{te o razlici a - b = d
(, ) , , (,
) .
(a + m) - b = d + m(a - m) - b = d - m
, , .
, , .
a - (b + m) = d - ma - (b - m) = d + m
- .
(a + m) - (b + m) = d(a - m) - (b - m) = d
, :
Treba da zna{!
;
;
, ?
, :
, ; ;
, , .
-
33
3 540. 140?
270. : ) 27? ) 27?
460 120. x : (460 + x) - (120 + 58) = 340.
Proveri se!
Zadaci
234?
1.
25, - ?
4.
Ako a - b = 100, izra~unaj:a) (a - 20) - (b - 20);b) (a + 30) - (b + 30);v) (a - 10) - (b + 10);g) (a + 5) - (b - 5);
5.
. 100 . , 200 - 700 . ?
6.
1 230+670 = 1 900, (1 230- 350) + 670?
2.
6 543 - 2 732 = 3 811.
x 6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.
3.
Problem
. ?
-
Podseti se!
34
.
a b = b a
-.
4 6 = 24 ili 6 4 = 24
-.
(a b) c = a (b c) :
a b c.
1
a 1 = a
. .
(2 5) 3 ili 2 (5 3)
10 3 = 2 15
30 = 30
1, - .
468 1 = 468
0
0 a = 0
, .
0 235 = 0
A 7 100 -.
35 5 = 480 3 =
1 260 38 = 4 004 20 =
145 23 = (3 5) 200 = 400 ?
1
5 9 . 6 8 .
2
?
N0.
13
-
35
Primer
, !
2 (50 9) =
3
4
(7 25) 4 = 7 (25 4) = 7 100 = 700
(500 7) 2 =
50 (4 8) =
40 + (130 10) =
(280 + 32) 8 =
96 2 (30 18) =
5
40 (25 + 5) = i (40 25) + (40 5) =
?
?
(68 - 10) 5 = 68 5 - 10 5
-?
, !
: a (b + c) = a b + a c; (a + b) c = (a c) + (b c);a (b c) = (a b) - (a c); (a b) c = a c - b c.
324 48, . - ?
6
320 50 = 16 000; 324 48 = 15 552; 448 .
:
;
.
B ?
4 , 4 , 4 . 7
Sagledaj!
4 4 4 4, : . 4 4 3.
-
36
4 4 4 43 643 3 3 3 3 3
6 6
8 8 8 8
?
?
108 .
14.
: 51 = 5; a1 = a.
43
STEPEN
OSNOVASTEPENOVPOKAZATEQDa upamtim: -
.
.
;
;
;
.
Treba da zna{!
8 , 8 8 -.
-? ? ?
.
!1.
245 48 . .
2.
6 370 -. 60 . .
3.
127 268 ) ; ) . .
4.
186 35 =
(427 5) 24 =
(1 376 - 376) 100 =
50 (60 + 80) =
496 12 - 96 12 =
73 =
42 + 4 + 34 - 25 =
Proveri se!
Zadaci
*,
439 7
373
+ 756
2633
5.
-
Podseti se!
A
37
14 : 7 =
20 : 10 =
22 : 2 =
88 : 22 =
396 : 3 =
1 200 : 60 =
! 1 300 . - 325 .
1
84 . 6 .
2
?
12 , ?
1 300 : 325 =
1a : 1 = a
1, .
23 765 : 1 = 23 765
.a : a = 1, a 0
0.0 : a = 0, a 0
, 1.
762 : 762 = 1
0, 0.
0 : 16 = 0
2 : 0 ! 0 .
!
14
:
(28 + 32) : 1 = 432 : 3 + 168 =
(40 + 7) 12 - 225 : 5 =
108 : 18 + 3 485 : 85 =
3
, 72, 102. 18712 1?
76 - 12 3 + 53 - 100 =
an
N0.
-
B18
54
: 3 : 6
108
Treba da zna{!
.
, .
: 1 584 : 9 = 17 472 : 84 =
1 510 : 125 = , .
38
? ?
Ako a = 77 i b = 5, a : b r. a a = b q + r.
16 : 3; 50 : 15; 125 : 11.
71 = 23 3 + 2.
, . 71 .
4
q r a : b a = b q + r.6
5
71:3, 23 , 2 .
a : b, q -, r , :
a = q b + r
Razmisli i odgovori!
8, : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
8?
Zadaci
, .
1.42
84
: 7 : 2
98
Proveri se!
-
10 000 . 40 - . ?
39 ?2.
-.
85 4 15. 210 30 700.
120 6 ?
3.
-:
a) 3 020 = 125 24 + ;
b) 2 100 = 261 + 12.
4.
12 4 . 1?
5.
72 63 9
9 600 50
4 169 13
: 9 :
:
:
: 19
: 19
: : 5
5
4 10
:
2= 10 : 2
*, ?
6.
: 16, 19. 22 9. ?
7.
660. , . ?
8.
155 : 5 = 3 - 13
-
0
-
40
15Podseti se!
:
a) 10 4 = 4 10;b) (10 4) 5 = 10 (4 5)?
805 = 400. , .a) (80 3) 5 = ; b) 80 (3 5) = ;
v) 80 (5 3) = ; g) (80 5) 3 = .
96 : 24 = 4
a : b b 0.
A 156. :) 2 ; ) 3 ; ) 7 . ?
1
a b = 50. : a) (a 3) b; b) a (b 10).2
40 9. , : ) 2 ; ) 4 ; ) 5
. ?
3
Ako a b = 120, : a) (a : 3) b; b) a (b : 5).4
1516=240. : (15 2) (16 : 2); (15 : 5) (16 5),
.
5
.15 6 = 90;
a) (15 2) 6 = 30 6 = 180 = 90 2.
) 3 ; ) 7 .
.40 9 = 360;
a) (40 : 2) 9 = 20 9 = 180 = 360 : 2.
: ) 4 ; ) 5 .
2 , 5 , 2 , 5 . .
2 .
2 - 2 .
-
41
B 72 : 12=6. :a) (72 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = ; b) 72 : (12 3) = ; 72 : (12 : 3) = ;
v) (72 : 4) : (12 : 4) = ; (72 4) : (72 4) = .
6
a : b = 30.a) (a 2) : b; b) a : (b : 3); v) (a : 5) : (b : 5).
7
, 2 - 2 , 2 .
Op{te o proizvodu a b = p
, - , . (a m) b = p m
, , .
(a : m) b = p : m
, . (a : m) (b m) = p
Op{te o koli~niku a : b = q
( ) , , (-
) .
(a m) : b = q m(a : m) : b = q : m
( ) , , (- ) .
a : (b m) = q : ma : (b : m) = q m
( ) .
(a m) : (b m) = q(a : m) : (b : m) = q
, : : ) ); ).
, . ?
:a) (72 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 2;(72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.
) () 3 , () 3 . ) .
-
42 Treba da zna{!
- .
- , -.
p i m, ako:a) 50 23 = p, (50 m) 23 = p 9;b) 30 12 = p, 30 (12 : m) = p : 6.
600:30=20. :a) (600 7) : 30; b) 600 : (30 4);v) 600 : (30 : 5); g) (600 : 10) : (30 : 10).
Proveri se!
Zadaci
a b = 60. :a) (a 3) b; b) a (b 7);v) (a : 4) b; g) (a : 6) (b 6).
1. , - 100 g . 1 680, 3 . - ?
4.
7 680 : 240, , - .
5.
a : b = 90. :a) (a 5) : b; b) a : (b : 6);v) (a 7) : (b 7) g) (a : 12) : (b : 12).
2.
a (b 5) = 80. :a) a b; b) a (b : 4); v) (a 8) (b : 8).
3.
Zanimqiv problem!
. - , , . - , . ?
-
43 . .16Podseti se!
!
a) 26 - 4 5 - 3;
b) 14 + 6 (9 - 24 : 3) - 23.
200, 120. ?
-.
?
120 + 300 : 2 - 4 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 == 270 - 190 = 80.
.
.
. 128, 64. ?
A 120 . 300 . 4 35 50 . ?
1
:
a) 85 + 15 -30; b) 5 12 : 3 2; v) 24 - (16 + 4 3) : 7.2
x
: 64
12864x
+ x
120
200120x
120 + x = 200x = 200 - 120x = 80
64 x = 128x = 128 : 64x = 2
Uporedi svoje re{ewesa zadatim
: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 8; 5 + 18 : 6 - (4 25 + 25).
: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( 8).
, .
Uo~i i zapamti
, -; .
-
44
.
, . , .
:
a) 45 - 5 3 - 24 : 6; b) 5 12 : 3 2; v) 96 + 4 (18 - 8 : 2) - (27 - 4 6) : 3.3
:
a) (x + 1) + 300 = 702; b) 1 432 + x = 3 200 + 17.5
B , , 1 234. ?
4
, , x.
x , 999; x+999.
Zna~i, x = 1 234 - 999; x = 235.
, x+999 1 234, x+999= 1 234.
?
x 1 234 - 999.
+ 999 = 1 234
x + 999= 1 234 x .
x .
.
x
-
45 : a) x - 1 270 = 2 380; b) 8 226 - x = 1 149.6
: a) x - (1 300 + 78) = 2 630; b) 5 273 - x = 3 700 - 37.7
1 392 , 16 . ?
8
.
a) x, 1 270 2 380? ?
b) K x 8 226 1 149?
, .
k , 16 , 16 k = 1 392.
1 392 16 k. k?
x 2 380 - 1 270.
8 226 1 149.
k 1 392 16.
, , .
x + b = c; x = c - b(b i c )
, , .
x - b = d; x = d + b(b i d c )
, , .
a - x = d; x = a - d(a i d c )
k = 1 392 : 16; k = 87. 87 .
: a) 17 y = 595; b) (10 + 3) z = 178 + 4.9
-
46
x = 47 25. ? .
x : 25 = 47,
. 25 47, x?
10
1 120 : x = 35 x = 1 120 : 35.11
a) x : 7 = 63; b) (z + 4) : 10 = 8; v) 1 080 : x = 24; g) 50 : (x + 2) = 10.12
, .
, , . a x = p; x = p : a
(a i p )
, , .
x : b = q; x = q b(b i q )
, , - .
a : x = q; x = a : q(a i q )
Treba da zna{!
-;
- ;
.
:17 + 3 (56 - 4 13) - (62 - 18 : 3).
:a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63;v) x : 15 = 10; g) 645 : x = 15;d) (x + 2) 35 = 105.
Proveri se!
Zadaci
:a) 190 - (5 30 - 128 : 16);b) 325 - (144 : 16 + 7 13).
1.
1 360 , 420 ,635 , . ?
3.
11 . 3 4 . ?
4.
. 140 , 2 , 5 . ?
5.
:a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120;v) 17 x = 289; g) x : 30 = 40;d) 483 : x = 23; |) 50 : (x + 2) = 10.
2.
-
47
12
R A B R A DS A P O D A C I M A
. .
1
9
15
6
23
? ? ?
- , - .
12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65
65 : 5 = 13
Uo~i!
-
13 .
13 12, 9, 15, 6 23.
. ?
:2
: 1 89, 2 91 , 3 100 4 80.
3
24, 36, 42; 657, 890, 1 240, 121, 3 522.
17
: .
-
48
3 3 6
3
9
1 18
2 9 2 9
1 18 1 18
Broj Broj u~enika Ukupan brojredova u svakom redu u~enika
Podseti se!A
:
- 0?
24 : 6 =
139 : 2 =
265 : 5 =
2 785 : 8 =
VI . .
1
-? .
: 18 1, 2, 3, 6, 9 18. 18. : D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
18 ? 18 - 0 ( )?
: 18 1, 2, 3, 6, 9 18 .
:2
4 8 (4 2=8 8 : 4 = 2 0). 4
6 24;
31 5;
42 6.
5 4.
D14 14.3
, 14, 1, 2, 3, 7.
-
!
.
18
-
49
B
b a, a b, a b 0.
10 : 5 = 2 10 = 5 2
b a, a = b k k.: b | a. : b a.
a b, b a.35 5, 5|35.
1 .10 : 1 = 10 i 10 : 10 = 1a : 1 = a i a : a = 1
10
7: 28, 42 i 28 + 42; 14, 18 i 14 + 18.
3: 9, 24 i 24 - 9; 15, 22 i 22 - 15.
4: 12, 15 i 12 15; 10, 15 i 15 10.
4 S4;S4 = {4, 8, 12, 16, ...}.
5
m | a i m | b
m | (a + b)
m | a i m | b
m | (a - b)
m | a ili m | b
m | (a b)
a m b m, (a + b) m.
5 | 15 i 5 | 35 5 | (15 + 35)
a m b m, (a - b) m.
3 | 21 i 3 | 9 3 | (21 - 9)
m a b, m (a b).
2 | 8 i 2 | 15 2 | (8 15)
Uo~io sam u zadatku!
7 7. 3 3.
4 4.
4 4.
: 5| 10. 5 10.
Op{te
-
50 : 15, 18, 25 28 , : 5; 3;
7, 5.
, 5, - 5.
6
12+8, 24-9, 5.7
- ;
- ;
, .
Treba da zna{!
: 5, 8, 30 56.
6?
30.
5.
5 58?
:
4 | (8 + 36); 5 | (56 - 30);
5 | (30 - 5); 5 | (30 6).
Zadaci
1, 2, 3, 5 7 - 70? 64.
4|12; 3|36; 10|1 000.
7 3. 3?
1.
:
4 ;
2 ;
3 .
2.
, , 5.
a) 40 + 25; b) 27 + 20;
v) 50 - 15; g) 35 - 29.
3.
, 3, 7.
a) 9 5; b) 4 14 2;
v) 5 12; g) 8 21 5.
4.
={6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}. ={ | 4 | }.
5.
Proveri se!
-
51
Uo~i postupak
132 : 2 = (130 + 2) : 2; 2 | 132, 2 | 130 i 2 | 2.
254 : 2 = (250 + 4) : 2; 2 | 250, 2 | 250 i 2 | 4.
365 : 2 = (260 + 5) : 2; 2 | 365, 2 | 360 i 2 | 5.
Upamti!
2, 0, 2,4, 6 8.
: 132,254 365 2?
2
: 530, 738, 1 336, 1 112 2 243 2?3
! 2 , .
A
: 10, 70 270 2.
, . . - .
1
Uo~i postupak
10 = 2 5; 2 | (2 5), t.e. 2 | 10.
70 = 7 10; 2 | (7 10), t.e. 2 | 70.
290 = 29 10; 2 | (29 10), t.e. 2 | 290.
Mogu da uo~im!
, 10. 2.
0, 2.
2 519Podseti se!
0.
: 37, 64 310 2.
: 65, 800 237 5?
2.
-
52
Mogu da uo~im! , 5, 5.
B Uo~i postupak
10 : 5 = (2 5) : 5; 5 | 10 5 | 2 i 5 | 5.
70 : 5 = (10 7) : 5; 5 | 70 5 | 10 i 5 | 7.
360 : 5 = (10 36) : 5; 5 | 360 5 | 10 i 5 | 36.
Mogu da uo~im!
0 - 10.
5.
0, 5.
: 10,70 360 5.
4
Uo~i postupak
65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, 5 | 60 i 5 | 5.
105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, 5 | 100 i 5 | 5.
263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, 5 | 260 i 5 | 3.
: 65, 105 263 5?
5
5.
Upamti!
5, 0 5.
: 180, 243, 525, 420 i 1 275 5?6
2, 5, . 2, 5, .
Treba da zna{!
: 13, 24, 15, 57, 155, 850 1 000
2; 5;
2 5?
Proveri se!
Zadaci
2, : 28, 70, 96, 797, 2 001 25 000.
1.
5.2.
: 102, 275, 400, 876 995 5?
3.
60, 70 -. 5 .
?
4.
-
53
B . 9.
! j 3, 3.
! 9, 9.
Upamti!
3, 3.
Upamti!
9, 9.
111, 292, 1112 1 236 3?3
78, 117, 348, 486 1 567 9?4
3; 9; 3 i 9.
: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 7 235 :5
3.
2
- 3.
3 920Podseti se!
9, 66, 171 231 3.
18, 999, 1062 11 000 9?
A 72, 84, 297 373 3?
1
. 3.
3 3. ?
3.
9.
-
54 ! 459, 774 6 327 3 9.
Upamti!
9, 3.
!
!
9 9? : 486 = 400 + 80 + 6 = 100 4 + 10 8 + 6 = =(99 + 1) 4 + (9 + 1) 8 + 6 = (99 4) + 1 4 + 9 8 + 1 8 + 6 = (99 4 + 9 8) + (4 + 8 + 6);
99 4 + 9 8 9 . 4 + 8 + 6 486 9.
4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, 9 | 18. 123 3.
. 60 . 220 . . . , ?
3;
9;
9, 3.
Treba da zna{!
: 75, 94, 258 347 3? * 56*3, 9? 3 9.
Zadaci
348, 512, 1 245 6 123 3?
1.
4 279, 9 126 540 - 9?
2.
*, 3?
1 37; 6 53; 3 25; 24 62.
3.
* , 9:
38; 6 74; 1 83; 3512.
4.
* 27 55*, 2 3?
5.
Proveri se!
-
55
Podseti se!
! 4 , - .
Upamti!
4, 4.
A
: 96, 300, 2 718 3008 4?
: 100, 500 1300 4.
1
100 = 25 4; 4 | 100, 4 | (25 4).
500 = 100 5; 4 | 500, 4 | (100 5).
1 300 = 100 13; 4 | 1 300, 4 | (100 13).
132 : 4 = (100 + 32) : 4; 4 | 132, 4 | 100 i 4 | 32.916 : 4 = (900 + 16) : 4; 4 | 916, 4 | 900 i 4 | 16.283 : 4 = (200 + 83) : 4; 4 | 283, 4 | 200 i 4 | 83.
! , - 100.
4.
0, 4.
4.
132, 916 283 4?
2
421
-
56 : 48, 108, 135 1 240, 7 732 9 006 4.3
4, .
Treba da zna{!
9 996 , 4. 4.
Zadaci
1, 2, 3 4, -, 4.
1.
*, 4?
362; 4 71; 5 42; 520.
2.
- 4 5.
3.
2, 3 4.
4.
Proveri se!
!
50 . , . e .
?
.
, 20 .
1 4 1 5 .
, , , . 10 , 20 .
-
57
B
5 1, 5
6 1, 2, 3, 6
3 1, 3
4 1, 2, 4
2 1, 2
1 1
.2
Broj Delilac broja ?
?
?
Upamti!
2 , . 3 - .
1 , .
2, 3 5 . 4 6 .
:A = {x | x N i x < 20}; B = {x | x A i x e prost broj}; C = {x | x A i x e slo`en broj}.
3
: 2, 3 i 7; 2, 3 i 5; 2, 2, 3 i 3.4
4 71 !
? !
A .
.
1
.
A
22
Podseti se!
1.
.
: 3, 17 53.
: 6, 12 15.
-
58
.
: 42, 50 75.5
o! .42 = 21 2 = 7 3 2
50 = 25 2 = 5 5 2 = 2 52
75 = 15 5 = 3 5 5 = 3 52
Upamti!
, . .
36 .6
120 .
.
7
12060301551
22235
120. - , .
, ( , 2).
1.
1 164582291971
22397
97 3, 5.
7.
112 > 97.
, 97 .
: 36, 140, 600 10 000.
120 = 2 2 2 3 5 = 23 3 5
1164 = 22 3 97
1 164.
-
59Treba da zna{!
, .
.
91 97 ?! 152 .
Zadaci
:15, 42, 38, 75 11 115.
1.
30, 20 . ?
2.
, , . 10. ?
3.
4. 2 .
:8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 48 = 37 + 11.
:14, 52.
Proveri se!
Istra`i sam!
100 . 1 100. , , . . , ., . - , , . , . ?
. 10 , 20, 30 100 .
-
60
Podseti se!
.
A
: D28 28, D42 42*, D28 D42 28 42.
23
18. - D18. 24.
- D24. 18 24, . D18 D24.
28 -, 42.
1
30 45. (30, 45).2
? ?
!
28 D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
42 D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
28 42 D28 D42 = {1, 2, 7, 14}
Uo~i da:
: 1, 2, 7 14 . 14 . 14 28 42.
Upamti!
! , n m m n. : NZD(m, n).
-
61
B
:a) 24 i 30; b) 9 i 14.
3
Uo~i!
9 14 1, , . (9,14)=1
Upamti!
(a, b) =1, a b .
.
168 180 -.
168 180 .
(168, 180).4 16884422171
22237
120, 15060, 7520, 254, 5
235
42, 63, 8414, 21, 282, 3, 4
37
18090451551
22335
168 = 2 2 2 3 7
180 = 2 2 3 3 5
Uo~i!
168 180 -, . (168, 180) = 2 2 3 = 12.
.
.
.
.
, .
NZD(120, 150) = 2 3 5 = 30 i NZD(42, 63, 84) = 3 7 = 21.
(120,150) (42,63,84).5
Odredi a) NZD(72, 90); b) NZD (150, 180, 240)6
-
62
36 60 , .
8 m 12 m. ?
Zadaci
30 36.
1.
. 96 m, 180 m. ?
5.
:
a) NZD(12, 18); v) NZD(60, 90, 120);
b) NZD(48, 72); g) NZD(240, 300, 600).
2.
:
a) NZD (16, 25); b) NZD(36, 72).3.
49 72 - , ?
4.
!
48 , 72 120 , ?
6.
, - : )36 54; ) 28, 42 98.
7.
.
;
- , .
Treba da zna{! Proveri se!
:(36, 54) (28, 42, 98).
1 3
2
36
54NZ
D
1
723
4228 98
NZ
D
-
63
A . - , . ?
1
.
24Podseti se!
3, - S3.
4 - S4.
3 4, . S3 S4.
B
!
4. S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}
6. S6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}
S4 S6 = { 12, 24, 36, ...} 28 42.
Uo~i!
12 , 24, 36 . 12 .
12 4 6.
Upamti!
n a b . (a, b) = n.
3 5. (3, 5).2
. 12 45 .
(12, 45).3 12631
223
451551
335
-
64
. , .
NZS(60, 72, 90) = 23 32 5 = 8 9 5 = 360.
60, 72, 9030, 36, 4515, 18, 4515, 9, 455, 3, 155, 1, 51, 1, 1
222335
: a) 14 i 15; b) 20 i 40; v) 60, 90 i 120.6
Uo~i!
, , .NZS(14, 15) = 14 15 = 210;
, , . (20, 40)=40
9 12 , -. :
10 ;
15 ;
20 .
?
Treba da zna{!
- ;
- .
(m, n), : m = 22 33 5; n = 23 32 7.4
(60, 72, 90).5
. , , .
12 22 3. 45 32 5. 12 45 2, 3 5. : 2, 3 5.
,. NZS(12, 45) = 22 32 5 = 180.
Proveri se!
-
65Zadaci
: 10 15, (10, 15).
1.
:
a) NZS(8, 10); v) NZS(80, 120);
b) NZS(6, 12, 18); g) NZS(120, 180, 240).
2.
. 50 , 60 , 75 . - - ?
3.
-. - 20 , 24 . ?
4.
30 . 3 , . 4, , 5, . ?
5.
. 5, 4, 6 . ?
6.
Istra`i sam!
, 12 16?
Poku{aj da izra~una{!
12 24. ?
Zanimqiv problem!
. 20 , . . ?
-
66
. 25
.
?
?
?
Sedmica 1
Sedmica 2
Sedmica 3
Sedmica 4
Sedmica 5
Sedmica 6
Znak predstavqa 10 majica,
a 5 majica.
- .
6 . . .
1
Broj 30 50 20 25 15 40
VI .2
-.
3
().
10 .
?
?
50 . .
.
350
400
150
100 50
R A B R A DS A P O D A C I M A
-
67 9 . (). 1992 .
4
Zemja 1
Mars 2
Jupiter 16
Saturn 18
Uran 15
Neptun 8
Pluton 1
- ? .
. 5 10 ?
;
. , .
.
.
M
0
2468
1012141618
Z M J S U N P
0
5
10
15
20
0
10
20
:
-
A = {a, b, c = {1, 5}.
.
A = {x | x },
= {x | x } C ={x | x N 15 < x 19}) , . ) - . ) , , , \ .
68 .
261.
2.
,
9, 6. 15 ?
7.
: 14, 18.
23 2. ?
8.
:427, 586, 386 485.
10.
105, 372, 801, 930 254 :
a) 2; b) 5; v) 3; g) 9 ?
11.
*
4: ) 573*; )74*2.
12.
315 .13.
D68, . 68.
14.
18 24.15.
12 20 , ?
16.
30 m.
50m. ?
17.
9.
9, 1 0. )
. ) , . ) .
3.
: -
. 3 ? - 3?
4.
6 485 2 539 - .
?
5.
35 648 18 719 300,
?
6.
.
9kg, 19 kg. , 13kg. ?
-
69
1. . 70
2. a 733. 75 4. . .
77 5. 806. 837. 878. 899.
. 92
10. 94
11. 9712. .
10013. ,
103
14. . 105
15. 108
16. . 11017.
11318. .
11619. .
11820.
12021. 12222. 12523. 12724.
. 130
TEMA 2.
-
Podseti se!
A
70
a :: , D F a.: , , G a. a .
.
p p ; - p.
N , . p, N p. N p.
b . b.
?
.1A
D
BG a
CH
F
M
p
N
! .
m. , , , N : A m, B m, C m, M m i N m.
2
d : A d, B d, C d, D d, E d, F d i G d.
d? ? d? ?
3
AD
G
Cd
B
EF
- , .
.
Uo~i!
: A m i B m.
.
1
-
B71
p q . p q p q .
A
B a
bE
C
D
A
B
p
q
.
4
-:
a) A, R i V; g) M, Y i B;
b) M, Y i N; d) A i V;
v) A, R i N; |) N, P, S, M.
5
.
: A V .
6
. , ; , .
, D , .
Uo~i i upamti!
, , , . .
.
Uo~i i upamti!
A
M Sm
nN
P
B
N .
.
Uo~i i upamti! N - p. - - N?
7
p . p. ? .
8
M
pN
! . : N p .
-
); ).
3.
p , N . p?
4.
D
A b
aC
B
E
72 , .
N.
? ? N?
9
Ma
bc
N
.
, , - .
Uo~i i upamti!
A
10 . a, b c, .
Treba da zna{!
;
.
.
, , , D, F N a. , .
a, b, c d . , ?
Zadaci
a b .
1.
, , D - . ? .
5.
, a, b c, , b c . a a c?
2.
Proveri se!
-
Podseti se!
B
A
73
a i b - . ? ?
a
bP
. . . a b - . a b = {P}
. a b . a || b.
b
ac
:
a) a i b .b) a c i d L.v) a m i n .
1 .a) a b = {A}. v) b c = {B}.b) a c = {B}. g) a c = {C}.
2
. a b .
: -, .
3
A
C
B
ab
2
b
a
c a, b i c - :
a i b , ., a || b.a i c e , t.e. a || c.b i c e , t.e. b || c.
4
-
74
Treba da zna{!
; -;
, , .
a R a. b a. a, b i c , , . - .
a, b i c a || b i b c = {M}.
Zadaci
- .
1.
, D ? ? .
2.
, . ? .
3.
a, b, a || b.
4.
m. n ip n || m i p || m. n i p?
5.
, , . . a || a.
a i b .
.
;
Uo~i i zapamti!
ab
Proveri se!
-
Podseti se!
75
B
A
BC = 0 cm, -.
- , - , . - (cm), (m), (km) .
, . >0.
- -.
, 5 m, 55km .
D .
A
a
- AB, BC i CD.
: , - , .. = .
1 d
AB
CD
!
B
C
D
:
MN NM, . .
2
D= 28 cm, D?3
, . , . :
AB so AC + CB;
BC so BA + AC;
AC so AB + BC;
4
A B D
C
M N
o~i!
A
C
B
?
AB < AC + CB;
BC < BA + AC i AC < AB + BC.
3
AB = 4 cm; AB > 0; BD = 3 cm; BD > 0;
-
, N . MP, MN, NP MP MN + NP.
76
, , . - , AC = 7 cm BC = 42 mm
, , =35mm =48mm. ?
5
A, , :6
M N P
?
MP = MN + NP.
, N MP = MN + NP, . N .
: 1) > 0; 2) = ; 3) : AC < + .
AC = 8 cm; AB = 5 cm; BC = 4 cm;
Treba da zna{!
, ;
, = ;
A, , AC < AB + BC.
, AC = 56 mm, AB = 3 cm BC = 26 mm ??
M, N ,
MN = 3 cm NP = 5 cm. MP
95 mm?
Zadaci
4.1.
p . =12. .
5.
, , , . AC < + .
K, L M KL = 3 cm, LM = 52 mm KM = 82 mm?
2.
m ,N, , N N .
3.
Proveri se!
AC = 8 cm; AB = 25 mm; BC = 55 mm.
-
Podseti se!
B
A
77
a . a ?
? a, .
. , , : - .
a
p
O
a O C DBA
AO
V
p , . - . , . -.
, !
OM
a . ? .
1
N , - m .
2
N. , N .
3
? ?
4
m O
N
M N
m O BA
C
Uo~i!
N . -.
. .
, , 4
-
78
.
8
D D . ?
Uo~i i zapamti!
N N N.
N=5cm.
M NA B
D.
9
A D B
Uo~i i zapamti!
AD = DB. D - . .
.10
! . . N m m = 5cm.
. 5
) ).7
p ,N .
6
aC
O
A D
B
p P NM
? p N?
Uo~i i zapamti!
N . N MN.
M N
M X N
Aa)
b)
V
S
m
) N MN.
-
79
? ?
Treba da zna{!
; ;
;
;
- .
?
, D .
Zadaci
1.
, , . - .
2.
p N. p N L .
3.
5.
?4.
, . ? .
6.
, F G. ? .
7.
D . D,
AB = 4 cm?
8.
Uo~i i zapamti!
, :
AB = EF i CD = GH
.
11
D .
12
A B
G H
A B
E
F
C
D
A C F
E
D
B G
, D, F GH . ?
Proveri se!
-
Podseti se! A
80
- . .
- ?
.
2A B
O M S
O
.
( ). , , . ( ).
().
.
Re{ewe:
A M
. - , OA = 1 cm i OB = 3 cm.
1
n ,
n . . OA = n.
a1, ,
OA1 = 1 cm?
-.
.
a)
b)
O Y
A Vv)
O MY -
.
.
5
-
B81 MN . MN .3
m ( . L) n (. N) ( ) OP = KL PS = MN.
?
4
, a i b .
5
6
K
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a ib, a + b ( ).
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b , ( ).
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a)T
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O P Sv)
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a + b
O Sg)
T
L N . L N . . ?
7 m = KL i n = MN.
K L
M N
m
O S P Tn
m
n
.
L = m = n. N = n , . , = n.
KL MN, . OS = m n.
-
82
= 48mm . .
= a + 2b ON = 2a b, a = 3 cm b = 2 cm.
n , -
n , . = n;
;
, ;
a = 62 mm b = 3 cm, = 3 cm, a + b ia - b.
8
Treba da zna{!
: 2a + b a + 2b, a = 25 mm b = 22 mm.
, = 4 cm
= 2 cm.
Zadaci
1.
?2.
: = 2a ON = a, a = 3 cm.
3.
4.
: a - b a - 2b, a = 72 mm b = 2 cm.
5.
: a + b - c, a = 5 cm,b = 3 cm c = 4 cm.
6.
Proveri se!
. .
? ? ?
a) b) v)
1.
2.
3.
-
83
A .
M N
) ) , , CD DE, .
MN NP . .
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6Podseti se!
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-
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3
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84 . , CD - , -.
A V
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. , , D.
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-
85Uo~i!
.
Upamti!
, . . .
D - .
A
D
B
C
V 4 .
AB
C
D
E
32 mm
2 cm
45 mm
4 cm
- L.
Uo~i i zapamti!
:
L = 32 + 40 + 45 + 20, t.e.
L = AB + BC + CD + DE
L = 137 mm.
5 KLMNP, KL = 8 cm, LM = 6 cm,
MN = 5 cm, NP = 7 cm PK = 6 cm.
; , . ; .
Treba da zna{!
D.
ABCDE,
AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm,
DE = 4 cm i EA = 7 cm.
Proveri se!
-
86
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3.
4.
- .
6.
A B
C
D
E
4 cm
25 mm
28 mm35 mm
3 cm
D L = 21m.
,
BC = 5 m, CD = 720 cm, DA = 630 cm.
5.
, , D, .
, , D.
Zadaci
1.
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2.
A B
C
D
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, , .
a) b) v)
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1.
2.
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87
Upamti!
, , , , .
1 :
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) ,
, .
A
7Podseti se!
, : , , ,, . .
? , . ?. . ) . .
Uo~i!
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88
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Zadaci
1.
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3.
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Upamti!
: , , .
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, , : , , , , .
3 .
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Treba da zna{!
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Proveri se!
-
89
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8Podseti se!
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OA, OB ?
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A
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B
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k r k (O; r).
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k (O; r) , , D.6
5 k (O; 2 cm).
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Uo~i i zapamti!
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-
919 k (;25cm). .
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, , D .
11 k (; r), CD.
Upamti!
. , . . . . .
Treba da zna{!
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d = 32 mm?
Proveri se!
Zadaci
k (; 2 cm). ?
1.
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k d = 4 cm = 3 cm.
3.
k(,25mm) , = 3 cm.
4.
- r = 28mm.
5.
- d = 5 cm.
6.
-
Podseti se!
92
A
B
A, , , D , 35 mm), AO = 3 cm,
BO = 35 mm, CO = 4 cm, DO = 3 cm 5 mm, EO = 2 cm 8 mm?
k - , .
- k? - k? - k? k a?
AO
D
B
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B
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:
a) OA = r i OD = r;b) OB = r i OE = r;v) OC = r i OF = r.
1
D . - r.
k. . - r. , F G k. . - r.
Uo~i!
2
K, L, M, N P e , a k (O, 3 cm), OK = 30 mm, OL = 28 mm, OM = 3 cm 2 mm, ON = 38 mm, OP = 2 cm 6 mm?
3
. k? k? k?
k a, b i c.4
A
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k
b
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9
-
93Uo~i i zapamti!
a k . a k. b k . b k. c k.
5 k R. t R.
O
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c
Treba da zna{!
-, ;
;
-.
k (, r), OA = r?
m k (, r), m ?
Zadaci
, , D k (O; 3 cm), OA = 25 mm, OB = 30 mm,
OC = 4 cm i OD = 2 cm?
1.
k (; 8 mm) a .
3.
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7.
Proveri se!
-
Podseti se!
94
A
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- k1. k k1?
12 1 2, k1 k2 -, c; c = 12.
k1 k2 . .
k1 k2 .
Razgledaj go crte`ot i odgovorina pra{aweto.Dali kru`nicite k1 i k2 imaatza edni~ki to~ki?
k1 k2 ? k1 k2?
Uo~i!
Upamti!
1
2
k1(O1; r1) k2(O1; r2). .
k1 k2? k1 k2 ?
3
k1(O1; r1) i k2(O2; r2).
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Uo~i!
r2
10
-
95 k1 k2 . .
Uo~i i zapamti!
V
B
k1 k2 r1= 3 cm r2= 2 cm.
k1 k2?
k1(O1; r1) k2(O2; r2) :
7
4
6
k1 k2 . k1 k2 .
Uo~i i zapamti!
k1 k2 . k1 k2 .
Uo~i i zapamti!
k1(O1; 2 cm) k2(O2; 3 cm) .
k1(O1; r1) k2(O2; r2).
:
k1 k2?
5
8
12= 4 cm. k1(O1; 25 mm) k2(O2; 22 mm). k1 k2 A B. r1= O1A r2= O2A.
.
O1
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O1 O2
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A
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-
96
Treba da zna{!
;
;
;
,
.
?
r1 r2 . ?
Zadaci
k1 (O1; 18 mm) k2 (O2; 22 mm) . ?
1.
k1 (O1; r1) k2 (O2; r2) .
2.
- k1 (O1; 3 cm) k2 (O2; 2 mm), O1 O2 ?
3.
k1 (O1; 2 cm) k2 (O2; 15 mm).4.
k1 (O1; 25 mm) k2 (O2; 15 mm), .
5.
k1 (O1; 3 cm) k2 (O2; 18 mm) . .
6.
k1 k2 , .
Uo~i i zapamti!
9 k1 k2 .
Proveri se!
-
97. 11Podseti se! A p, ?
p? p EF?
D p, D .
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1 p , , , F .
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99
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Proveri se!
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105
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Upamti!
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106
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- () .
Va`i op{to!
: .
Uo~i da
k1 k2, . :AB = 2 cm, CD = 24 mm, KL = 24 mm i
MN = 2 cm. Koi od ozna~enite agli se
ednakvi me|u sebe? Zo{to?
7
B
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108 15A
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Proveri se!
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180- .
, 180 , 1.
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, N = 105.
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N 105.
N. , , N = 105.
-
112
25 , 38 42 , : =25 28'42''.
a) 5o = 5 60 = 300.
: ) 48; ) 115.8
: ) 5; ) 1245'; ) 4515'. 9
: )4; )1015'; )2020'20''.10
(- 1') ( 1''). - , .
1o = 60; 1 = 60; 1o = 60 60 = 3 600.
V
Treba da zna{!
; () -; ;
1;
1'.
Proveri se!
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124?
3517'.
152'13''.
Zadaci
:, D, D, N ?
1.
: .2.
: ) 47; ) 126.3.
: ) 25; ) 3015'.
4.
, , : = 7135'; = 6258'30''; = 9645'; =8435'40''.
5.
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113
A
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1 = 8536'25'' = 3212'20''.
1. : 25" + 20" = 45"
2. : 36' + 12' = 48'
3. : 85 + 32 = 117
85o
32o
117o
36
12
48
25
20
45
+ + = 117o 48 45.
17Podseti se!
.
.
1 = 60'; 1 '= 60'', 1 = 3 600''.
:
) 120'; )180'. : )86'; ) 145'
2 = 4832'15'' = 608'18''.
3 = 78 38' 42" = 26 15' 18".
4 = 108 52' 36" = 42 24' 15".
5 = 84 36' 30" = 35 42' 50".
1. : 42" - 18" = 24"
2. : 38' - 15' = 23'
3. : 78 - 26 = 52
78o
26o
52o
38
15
23
42
18
24
- - = 52o 23 24.
1. 30 + 50 = 80 = 1 + 20
2. 36 + 42 + 1 = 79 = 1o + 19
3. 84o + 35o + 1o = 120o
84o
35o
120o
36
42
19
30
50
20
+ + = 120o 19 20.
6 = 68 35' 26" = 46 42' 52".
-
114
90o
28o
61o
25
36
48
18
35
43
- - = 61o 48 43.
7 = 90 25' 18" = 28 36' 35".
1. 18''
-
1153 : 6, =76 32' 42".
4 4 = 75 34' 20"?
.
76o 32 42 : 6 = 12o 45 27
- 72o
- 270
2 42 = 162
- 1620
4o 32 = 272 4o 32 = 4 60 + 32 = 272
2 42 = 2 60 + 42 = 162
Treba da zna{!
, , , ;
, 60;
, , , ;
- .
+ , = 68 45' 22" = 30 25' 48".
Proveri se!
Zadaci
+ -, = 88 26'32" = 25 10'20".
1.
+ -, = 76 32' 42" = 42 42' 42".
2.
90, :)= 36 40'; ) = 42 42' 42"
3.
180, :) = 78 30'; ) = 65 35' 25".
4.
Poku{aj!
19.
, , 1?
19o
-
116
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1 m i n. .
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! , p.
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p . p p. p , p.
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a 3cm .66
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, . .
, , .
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2.
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p 2 cm p.
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p . q, p.
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! . = 68, = 34, = 34. -
.
Upamti!
-
119, : , .
5
56 - .
6
Treba da zna{!
: .
: - .
F = 48 mm , .
= 100 .
: ; ?
O A
M
N
PB
E
F
.
Proveri se!
Zadaci
s = 5 cm . .
1.
s , = 35mm. N.
2.
= 5 cm, .
3.
. .
4
N = 84. ?
=76 .
7.
5.
. , =35.
6.
-
Podseti se!
120
A
. ? ? , ?
?
?
?
90?) = 35 = 55) = 26 = 46) = 48 = 52
- = 40 = 50
1
, :
) = 25 = 65;
) = 23 = 77;
) = 44 = 46?
2
= 32, ?3
.4
! 180, . .
= 40o
= 50o 90 .
Upamti!
OA V
S
B
KOMPLEMENTNI I SUPLEMENTNI AGLI20
-
121
Treba da zna{!
-? -?
= 62. = 38; = 118; g = 28 :
;
?
Zadaci
-, :
a) = 48o i = 52o;
b) = 32o i = 58o;
v) = 66o i = 24o.
1.
=39.2.
, - .
3.
,:
a) = 105o i = 65o;
b) = 128o i = 52o;
v) = 46o i = 134o.
, - .
6.
4.
= 76.5.
180 .
Upamti!
= 65o i = 115o; = 108o i = 72o; = 125o i = 65o?
:5
= 75, ?6
Proveri se!
-
Podseti se!
122
A .
KLMNP KL? KL ? ABCDE ?
1 LNP DE. .
, ABCDE .
DEFGH.2
D ?
, .
D . .
.
a)
A
b) v)
B
C
K
D
E
N
L
M
P
A B
C
D
E
21
B ABCDEF.
? - .
3
.
B A
F
ED
C
-
123
?4
Upamti!
- .
ABCDE.5
: , , D .
. D?
?
: , , D, D ABCDE. ABCDE ?
. .
A B
C
D
E
KLMNP - N?
6
KLMNP L?
7
K L
M
N
P
a) b) v)
L? , KLMNP, - ?
KLMNP.8
-
124
Treba da zna{!
; ; , ;
, ;
, .
? ABCDE D?
Uo~i i upamti!
: KLM, LMN, MNP, NPK PKL .
D , , i .9
Zadaci
- ?
1.
?
2.
D.
- LN - N?
5.
3.
- ABCDE - D?
4.
A
D
B
CE
a)
a) b) v)
b)
A B
C
D
E
K L
M
N
P
Proveri se!
!
12 6 , 4 . ?
-
Podseti se!
125
A - ?
D, E G D.
FG, XY?
: OR, ST UV ( )?
D? D?
Uo~i!
1 .
?
2
.3
( ) , . .
( ) , . .
A B
F G
C
MD
H
E
.
O T
R
S
V
UX
YH
G T
F
a)b)
v)g)
a) b)
22
Potseti se!
ABCDE .
: A, ,, D , , , CD, DE .: ABC, BCD, CDE, DEA EAB c -. A B
C
D
E
-
126 B
?5
. ?
6
.
7
Treba da zna{!
;
-;
(, )?
D -? - 8 ?
A
.
4
, ? ?
A B E
F
GC
H
LK
M
N
P
Upamti!
( ) - :
- ( );
- ( );
- ( ).
, .
a) b)
v)
B
C
D
, , -.
Proveri se!
Zadaci
?
1. DE.2.
? ?
-
DE, : = 4 cm, = 25 mm,
CD = 3 cm, DE = 35 mm EA = 3 cm.
127 D?
3. , , , D , ABCDE .
4.
A M B
H
C
ED
N
FG
A B
C
E
D
23Potseti se!
.
(=5cm).
C
VA
A
B
ABCD.
L.
1 ABCD . - .
D
C
BA 4 cm
4 cm
2 cm
3 cm
DE : L=AB + BC + CD + DA; L=4 + 3 + 4 + 2=13 cm, . L = 13 cm.
Uo~i!
2
3 , : a = 28 mm,b = 32 mm i c = 40 mm.
S
VA c
b a
-
Podseti se!
128
a) L = a + b + c; 22 = a + 9 + 6; 22 = a + 15,a = 22 - 15; a = 7 cm. b).
Prati re{ewe:
L = AB + BC + CA, t.e. L = a + b + c.Upamti!
4 a , :a) L = 22 cm, b = 9 cm i c = 6 cm; b) L = 30 cm, b = 12 cm i c = 8 cm;
- ?
5 AB = a = 4 cm AC = BC = b = 3 cm.
L = AB + BC + AC, L = a + b + c; L = a + b + b, t.j. L = a + 2 b; L = 4 + 2 3 = 4 + 6 = 10 cm, t.j. L = 10 cm.
Uo~i postupak:
L = a + b + b, L = a + 2 b 23 = a + 2 7; 23 = a + 14; a = 23 - 14; a = 9 cm;
Sledi re{ewe pod a)!
AVS.
A B
C
c
b a
6 a = 8 cm b = 6 cm.
7 a , :a) L = 23 cm b = 7 cm;b) L = 30 cm b = 9 cm.
8 a = 5 cm.
D E
F
a
aa
Upamti!
-
129
a = 8 cm.
L = AB + BC + CA, L = a + a + a, L = 3 a L = 3 5; L = 15 cm.
Sledi re{ewe:
L = 3 a; 18 = 3 a; a = 18 : 3; a = 6 cm.
Sledi re{ewe:9 : ) L = 18 cm; ) L = 36 cm.
Treba da zna{!
;
;
;
,
.
a = 4 cm b = 5 cm.
a AVS, ako L = 24cm, b = 7 cm i c = 9 cm.
Proveri se!
Zadaci
ABCD, ako: AB = 3 cm,
BC = 34 mm, CD = 46 mm i DA = 5 cm.
1.
, : a = 8 cm, b = 12 cm i c = 9 cm.
2.
a = 8 cm b = 11 cm.
4.
, : L = 42cm; b = 12 cm i c = 15 cm.
3.
34cm. a b= 12 cm.
5.
a =12cm L=32cm. .
6.
a = 18 cm.
7.
L = 27 cm. .
8.
: 32 mm, 25 mm, 28 mm 35 mm, L = 150mm. .
9.
-
, , = 4cm, = 76mm = 36mm?
130
p q, , p
, D q. -, p, q.
.
241.
k(; 27mm) , -
= 35 mm. - ?
6.
.
.
5.
k1(; 30mm), k2(O2; r2)
k1 , - 10mm?
7.
, a i b, .
4.
?3.
) ?) ?
8.
. ?
9.
=, .
.
10.
, .
11.
. + - .
12.
9035 ? : 90o 35'.
13.
= 45 3545 90.
14.
p 3cm p.
15.
?16.
= 10545 = 7515 .
17.
64m, : 24 m, 13 m
14 m. ?
18.
2.
a b
:a) a + b; b) a - b.
1 2 3 4 5
-
131
1. . 132
2. 135
3. . 140
4. 143
5. 146
6. . 149
7. 153
8. . 155
9. . 157
10. 160
11. 163
12. 166
13. 170
14. 175
15. 178
16. . 180
17. . . 182
TEMA 3. .
-
Podseti se!
?
? ?
132
- .
?
.
.
. -?
?
?
. ?
, .
1 : 4.
1
2
3
1:4 , 4 1.
, .
, tj . 1 : 4 = .1__4
1__4
? .4
Uo~i!
A
. 1
.
-
B 1 : 5 5: 6 .
m : n , n m.
m : n .
, , .
m__n
133
2 : 3 = ; : 2 3.
, , .
2__3
2__3 2__
3
1 : 2; 4 : 5 11 : 15 .5
7
6 ?a) 6 : 3; b) 1 : 3; v) 5 : 6; g) 8 : 4.
?
.
?
?
.
?
Uo~i!
Op{te
Uo~i i zapamti!
m i n. : m n.m__n
.
: m - n - . . .
m__n
n . m , .
-
134 8 , , ?5__6
9 15- ?
Treba da zna{!
;
;
, .
Zadaci
, :
; ; .
-.
.
7 : 9; 12 : 23; 4 : 121.
1.
, a, b {7, 9, 28, 105}.
2.
a) 1 dm od 1 m b) 1 cl od 1 lv) 1 g od 1 kg g) 1 dm2 od 1 m2
4.
3.
5.
36 21 . .
7.
8 5g. g ?
8.
a__b
5__8
12__19
38__125
4__9
a) 3 cm dm ; b) 28 cm m;v) 9 dl l; g)15 g kg.
6. :
a) m cm; b) m dm;
v) l dl; g) kg g.
1__42__5
3__58__25
.
,
?
1cm 1m? 7 dl l.
5__8
5__8
Proveri se!
-
Podseti se!
135
?
?
,
?
:
.;;
1
Uo~i!
= 1, = 1, = 1.
, , , n :
= n : n = 1, t.j. = 1.
2__2
3__3
7__7
n__n
n__n
n__n
1 : 8; 12.2
: 2 : 1; 9 : 1 n :1 (n ) .
3
:
n - n 1.
= 2 : 1 = 2; = 9 : 1= 9; = n : 1 = n.2__1
9__1
n__1
8 8. 15 1.
4
5 .
Sagledaj: 2 = 1 + 1 = + = . - 2.
. :
6__3
3__3
3__3
6__3
A
2
5 - 4? 5 ?
5 4 5 , .
5 = = .
Jednako
4 5____4
20__4
-
B136
, ?
. -. ?
Upamti!
b a.
.
a__b
7 :
; ; ; ; ; ; ; ; ?1__2
4__2
6__6
3__4
5__1
14__7
25__4
22__2
31__8
0.
.
, .
8
.
1__4
I
II
a) b) v)
g) d) ) e)
?
?
?
: ; ; ; ; ; ; ?3__5
4__2
15__3
18__9
3__6
5__10
21__7
6 8 12 .
m n.
m = m n____n
-
137 . - . ?
, . 1.
: a) , b) i v) .
; , , , , . .
Uo~i!
1__4
2__4
3__4
2__5
7__9
9__11
28__31
, . 1.
: ) , ) , ) ) .
: , , , . .
5__4
6__4
7__4
9__4
9__4
11__3
25__13
38__19
9 M = { , , , , , }.
A = {x | x M i x < 1} i B = {x | x M i x > 1}.
1 , 1 - .
1__2
5__3
5__8
7__7
5__11
14__9
10 ?
.
.
3__2
3__23__2
:
(a, b N), a < b, < 1.a__ba__b
:
(a, b N), a > b, > 1.a__ba__b
-
V138
11 1 ?
.32__5
Prati re{ewe:
Prati re{ewe:
, . ?
1, .
32 : 5 = 6-30
2