3 stabilitas benda terapung 2

4/18/2010

1

KESEIMBANGAN BENDATERAPUNG

Mempelajari masalah :

Prinsip hukum Archimedes Prinsip keseimbangan dan kestabilan Menghitung besar gaya apung dan letak

pusat apung

Mengevaluasi kestabilan benda terendamatau terapung

4/18/2010

2

4/18/2010

3

4/18/2010

4

4/18/2010

5

4/18/2010

6

4/18/2010

7

Kesimpulan Benda yang terrendam di dalam air mengalami gaya berat

sendiri benda (FG) yang bekerja vertikal ke bawah dan gaya apung (FB) yang bekerja vertikal ke atas. Besar gaya apung sama dengan berat zat cair yang dipindahkan benda. Gaya berat bekerja pada pusat berat benda (G); dan gaya apung bekerja pada pusat apung (B), yang sama dengan pusat berat zat cair yang dipindahkan benda. FG > FB Benda tenggelam FG = FB Benda melayang (terendam) FG < FB Benda mengapung

Benda terendam akan stabil jika pusat berat G berada di bawah pusat apung B.

Benda terapung dalam kesetimbangan stabil apabila pusat beratnya G berada di bawah pusat apung (B).

Benda terapung dengan kondisi tertentu dapat pula dalam kesetimbangan stabil meskipun pusat beratnya berada di atas pusat apung. Kondisi stabilitas benda dapat diketahui berdasarkan tinggi metasentrum.

4/18/2010

8

Menghitung tinggi metasentrum

BGBMGM

V

IBM 0

OBOGBG

Dimana dengan :GM = tinggi metasentrumIo = momen inersia tampang benda yang terpotong permukaan zat cairV = volume zat cair yang dipindahkan bendaBG = jarak antara pusat berat dan pusat apungOG = jarak antara pusat berat dan dasarOB = jarak antara pusat apung dan dasar

Apabila :

StabilTidakBendaM

NetralBendaM

StabilBendaM

0

0

0

Soal :Stabilitas Benda Terapung

1. Batu di udara mempunyai berat 500 N, sedang beratnya di dalam air adalah 300 N. Hitung volume dan rapat relatif batu itu.

2. Balok segi empat dengan ukuran 75 cm x 50 cm x 50 cm mengapung di air dengan sisi panjangnya sejajar muka air. Apabila bagian dari balok yang berada di atas permukaan air adalah 10 cm, hitung berat balok.

3. Kubus kayu dengan panajang sisi-sisinya 0,5 m mempunyai rapat relatif 0,6 mengapung di air. Hitung bagian kubus yang terendam dalam air.

4. Balok kayu dengan panjang 1,0 m lebar 0,4 m dan tingginya 0,3 m mengapung secara horizontal di air dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif kayu S=0,7. Hitung volume air yang dipindahkan dan letak pusat apung.

5. Kubus kayu sisi 0,5 m mengapung di dalam air. Berapakah berat beban yang harus diletakan di atas balok supaya balok terendam seluruhnya. Rapat relatif kayu S=0,7.

TUGAS 3

4/18/2010

9

7. Kubus dengan sisi 25 cm dan rapat relatif 0,9 mengapung di air dengan salah satu sisinya sejajar muka air. Berapakah beban harus diletakkan di atas kubus supaya kubus tersebut tenggelam di dalam air.

6. Suatu balok ponton dengan lebar B=6,0 m, panjang L=12 m dan sarat d=1,5 m mengapung di air tawar ( =

1000 kg/m3). Hitung:a. Berat balok pontonb. Sarat apabila berada di

air laut ( 2 = 1025

kg/m3)c. Beban yang dapat

didukung oleh ponton di air tawar apabila sarat maksimum yang diijinkan adalah 2,0 m.

8. Balok kayu mengapung di air tawar dengan bagian yang berada di ataspermukaan air adalah 10 cm. Apabila balok tersebut diapungkan di dalamminyak dengan rapat relatif 0,8; bagian balok yang berada di ataspermukaan minyak adalah 7,5 cm. berapakah rapat reatif balok.

9. Tangki berbentuk kotak dengan panjang 1 mdan lebar 0,5 m diisi air tawar dan air raksasampai kali tingginya. Berat tangki adalah175 N. volume air adalah 49 kali volume airraksa. Tangki tersebut diletakan di air lautsehingga mengapung dengan bagian yangberada di atas air adalah setinggi 0,2 m.Apabila rapat relatif air raksa adalah 13,6tentukan tinggi maksimum tangki. Rapatmassa air laut dan air tawar adalah 1020kg/m3 dan 1000 kg/m3.

4/18/2010

10

10.Pelampung silinder dengan diameter 3 m dan tinggi 3 m mengapung dengan sumbunya vertikal. Berat pelampung adalah 3 ton. Selidiki stabilitas pelampung.

11.Silinder berdiameter 3 meter dan tingginya 3 meter terbuat dari bahan dengan rapat relatif 0,8. Benda tersebut mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal. Hitunglah tinggi metasentrum dan selidiki stabilitas benda.

12.Balok berpenampang bujur sangkar dengan panjang sisinya 0,5 m dan tinggi H mengapung di dalam air. Rapat relatif balok 0,8. Berapakah tinggi H supaya balok dapat terapung stabil dengan sisi tingginya vertikal.

13.Balok terbuat dari bahan dengan rapat relatif 0,8. mempunyai panjang L=1,0 m dan tampang lintang bujur sangkar dengan sisi 0,8 m diapungkan di dalam air dengan sumbu panjangnya vertikal. Hitung tinggi metasentrum dan selidiki stabilitas benda.

14.Silinder berdiameter 45 cm dan rapat relatif 0,9. Apabila silinder mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal, tentukan panjangmaksimum silinder.

4/18/2010

11

15.Silinder dengan diameter 0,5 m dan panjang 1 m mengapung secara vertikal di laut. Rapat massa air laut adalah 1020 kg/m3. Tentukan rapat massa bahan silinder apabila benda dalam kondisi tidak stabil.

16.Silinder kayu dengan rapat relatif 0,7 mengapung di air tawar dengan sisi panjangnya vertikal. Apabila panjang dan diameter silinder adalah L dan D, berapakahperbandingan antara D dan L sedemikian sehingga silinder dapat mengapung stabil.

17.Balok dengan panjang L=1,0 m, lebar B=0,8 m dan tinggiH=0,6 m diapungkan di dalam air dengan sisi tingginyavertikal. Rapat relatif balok adalah S=0,8. Selidiki stabilitasbenda. Apabila di atas balok tersebut diletakan plat besidengan panjang dan lebar yang sama dengan balok dantebalnya T=0,01 m, selidiki stabilitas benda gabungan. Rapatrelatif besi S=7,85.

18.Ponton segiempat dengan panjang 13 m, lebar 10 m dan tinggi 3 m mempunyai berat 1000 kN. Di bagian atas ponton diletakan silinder dengan diameter 7 m dan berat 600 kN. Pusat berat silinder dan ponton dianggap terletak pada garis vertikal yang sama dan melalui pusat berat ponton. Hitung tinggi metasentrum. Rapat relatif air laut 1,02.

4/18/2010

12

19.Suatu balok dengan panjang 1 m mempunyai tampang lintang bujur sangkar dengan sisi 20 cm mempunyai rapat relatif 0,5. Bagian bawah balok tersebut setebal 2,5 cm mempunyai rapat relatif 8. Balok diapungkan dengan posisi berdiri (lihat gambar). Selidiki stabilitas benda Apabila benda tidak stabil, berapakah

panjang bagian balok yang mempunyai rapat relatif 0,5 supaya benda bisa mengapung stabil.

20.Silinder terbuat dari dua bahan berdiameter 0,25 m mengapung di dalam air. Bagian atas sepanjang 1,0 m terbuat dari kayu dengan rapat relatif 0,8; sedangkan bagian bawah mempunyai rapat relatif 5. Hitung panjangbagian bawah agar silinder dapat mengapung dengan sisi panjang vertikal.

21.Silinder dengan panjang L, diameter D dan rapat relatif S mengapung

dalam zat cair dengan rapat relatif 2S. Tunjukan bahwa silinder akan mengapung stabil dgn,Sumbunya vertikal apabila L D/ 2Sumbunya horisontal apabila L D

4/18/2010

13

22.Ponton dibuat dengan menghubungkan dua buah balok sepanjang

10 m, lebar 0,3 m dan tinggi 0,25 m yang mengapung di dalam air tawar. Rapat relatif balok kayu S=0,6. Selidiki stabilitas balok tunggal dan Selidiki stabilitas ponton.

Apabila di atas ponton terdapat beban seberat 750 kg dengan pusat berat pada jarak 0,5 m dari sisi atas balok. Beban tersebut berada pada tengah-tengah ponton.

23.Pelampung silinder berdiameter 3 m dan

panjang 4 m mempunyai berat 40 kNdiapungkan diair laut (S=1,02) dengansumbu memanjangnya vertikal.

Selidiki stabilitas benda. Apabila pelampung tidak stabil,

berapakah gaya tarik yang harusdiberikan pada rantai yang dipasangpada pusat dasar silinder supayasilinder dalam kondisi stabil(mengapung stabil).

24.Kerucut padat mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal sedemikian sehingga puncaknya berada di bawah. Apabila sudut puncak kerucut adalah 40o, tentukanrapat relatif benda sedemikian sehingga benda dalam kesetimbangan stabil.

4/18/2010

14

25.Kerucut terbuat dari bahan dengan rapat relatif S1=0,7mengapung di atas zat cair dengan rapat relatif S2=0,90.Hitung sudut puncak kerucut minimum sedemikian sehinggakerucut dapat mengapung dengan puncaknya dibawah.

26.Pelampung silinder berdiameterD=1,0 m dan tinggi H=0,75 mmempunyai berat 3500 Nmengapung di air laut (S=1,025)dengan sumbu vertical. Di pusatsisi atas silinder diberi beban.Letak pusat berat beban adalah0,5 m dari sisi atas silinder.Berapakah berat bebanmaksimum supaya pelampungtetap dalam kondisi stabil.

27.Kapal dengan panjang 60 m lebar 8,4 m dan berat 15 MN. Muatandiatas kapal seberat 150 kN bergerak pada arah lebar sejauh 4 msehingga menyebabkan kapal miring 3o. Momen Inersia tampangkapal pada elevasi muka air adalah 72% dari momen inersia segiempat yang mengelilinginya. Pusat apung terletak pada 1,5 m dibawah muka air. Tentukan tinggi metasentrum dan posisi pusatberat kapal. Rapat massa air laut =1025 kg/m3.

28.Ponton bujur sangkar dengan sisi 6 m dan tinggi 1,2 m mengapung di atas air. Apabila diatas ponton diberi beban seberat 4 ton, bagian dari ponton yang terendam air adalah 0,6 m. Beban berada pada tengah-tengah ponton. Pusat berat ponton adalah 0,6 m diatas dasar dan pusat berat beban 1,2 m diatas sisi ponton. Selidiki stabilitas ponton. Berapa beban maksimum sehingga ponton tidak stabil.

4/18/2010

15

Jawaban Tugas No 3.01

N200300500diairdiudaraB WWF

VxVxVgVFB 981081,91000...

Gaya apung (FB) adalah sama dengan perbedaan antara berat batu di udara dan di dalam air:

Menurut hukum Archimedes, gaya apung (FB) adalah sama dengan berat air yang dipindahkan batu. Berat air yang dipindahkan batu (FB) adalah sama dengan perkalian antara volume air yang dipindahkan (V) dan berat jenis air.

Dari kedua nilai FB di atas,30204,0.9810200 mVV

Volume air adalah sama dengan volume batu, sehingga volume batu adalah V=0,0204m3. Berat batu di udara adalah sama dengan berat jenis batu dikalikan volume batu,

5,21000

2500/2500

0204,081,9500

...

3

air

diudara

Smkg

xx

VgVWPusat apung(B) adalah titik pd mana gaya apung bekerja. Pusat apung ini merupakan pusat berat dari volume zat cair yang dipindahkan


315,075,05,04,0 mxxV

mcmd 4,0401050

kgfxVair 15015,01000.

Tinggi balok yang terendam di dalam air:

Berat balok = berat zat cair yang dipindahkan

Volume bagian balok yang terendam diair:

4/18/2010

16


NxVW benda 0,755,0600.3

30,60010006,0. mkgf

xSS airbendaair

benda

Misal W : berat kubus, FB : gaya apungd : kedalaman bagian kubus yang terendam air

Rapat relatif :

Berat benda :

Gaya apung :

mddFW B 3,00,2500,75Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

dxdxx

VF ndipindahkaygairairB

0,250)5,05,0(1000

. __

Jadi kedalaman kubus yang terendam air=0,3 m.


NxxxW 04,82412,081,910007,0

mxA

V

airmukapdbaloktampang

ndipindahkaygairVolumed

21,04,00,1

084,0

____

___

VSVgW airBalok ....

Volume balok : V=1.0x0,4x0,3=0,12 m3

Berat Balok :

Volume air yang dipindahkan :

Kedalaman bagian balok yg terendam air :

md

OB 105,02

21,0

2

Letak pusat apung :

Jadi letak pusat apung adalah 0,105 m dari dasar balok.

3084,081,91000

04,824

__

_m

xairjenisberat

balokBeratV

4/18/2010

17

Jawaban Tugas No 3.05#1

kgfxxW 5,87125,010007,01

mxA

Vd 35,0

5,05,0

0875,0

VSVW airBalok ...1

Volume balok : V1=0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125 m3

Berat Balok :


Kedalaman bagian balok yg terendam air :

311 0875,0

1000

5,87m

WV

air

A


221 5,87 WWWWtotal

kgfxVF AairB 0,125125,01000. 2

Jika diatas Balok diberi beban dengan berat W2,maka berat total balok+beban adalah:

Apabila balok terendam seluruhnya, berarti kedalaman balok yg terendam air adalah d2=0,5m. Volume air yang dipindahkan benda :

Gaya apung :

kgfWWFW Btotal 5,370,1255,87 22

Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :

Jadi berat beban di atas balok adalah W2=37,5 kgf

3

22 125,05,05,05,0. mxxdAVA

4/18/2010

18


3/1025 mkg

kNN

xxxx

dLBgFF BG

48,059.1480.059.1

5,10,120,681,91000

....1a. Dalam keadaam terapung, berat

benda adalah sama dengan berat air yang dipindahkan benda (FB) :

Jadi berat benda adalah (FG):1059,48 kNb. Mencari sarat (draft) di air laut :

Rapat massa air laut :

NxxxxdLBgFBmak 14126400,20,120,681,91000.... max

Pada kondisi mengapung, berat benda adalah samadengan gaya apung:

Jadi beban yg dpt didukung adalah:1.412,64-1.059,48=353,16kN

mxxxLBg

Fd

dLBgFF

G

BG

463,10,120,681,91025

480.059.1

...

....

2

2

c. Mencari sarat maksimum (draft max) dmaks = 2,0 m, gaya apung total


gBgVF bbG ....3

gdBgB ab .....23

3/90010009,0 mkgxbSisi kubus : B=25 cm

Rapat relatif : S=0,9

Misalkan tinggi kubus yang terendam air adalah d Gaya apung :

Dalam Keadaan mengapung :FG=FB

gdBgdAF aaB ......2

Berat benda :

mxSBBda

b 225,025,09,0

4/18/2010

19


22

3

221

953,13781,990025,0 WWxx

WFWWW Gtotal

NxxgVF airB 281,15381,9100025,0..3

Jika diatas kubus diberi beban dengan berat W2,maka berat total kubus dan beban adalah:

Apabila kubus terendam seluruhnya, berarti kedalaman kubus yang terendam air adalah d=0,25m. Gaya apung pada keadaan tersebut :

NW

WFW Btotal

328,15

281,153953,137

2

2

Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :


gHAF airB .)1,0(1

gHAF mnyakB .)075,0(2

Misal h adalah tinggi balok yang berada di atas permukaan zat cair.

Di dalam air tawar Sa=1 h = 10 cm

Berat balok :

Gaya apung di minyak:

gHAgHA

FFFdanFFF

ab

BGBGBG

.)1,0(...

121Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

Di dalam minyak : Sm = 0,8 h = 7,5 cm

Misalkan tinggi balok H dan luas dasar balok A cm2.

Gaya apung di air tawar:

gHAgVF bbG .....

4/18/2010

20

60800075,0

)075,0(

10010001,0.

2

HHH

gHAgAHFF

HHH

mmb

mbBG

aab

Dengan menyamakan persamaan di atas:

mHHH 20,0608001001000

Substitusi nilai tersebut ke dalam persamaan awal :

3/50010020,01000.20,0 mkgx bb

5,0/1000

/5003

3

mkg

mkgS

air

balokBalok


3

21 _375,075,05,0 mHHxVV

Luas tampang tangki : A=L x B = 1 x 0,5 = 0,5 m2

Atau :

Selain itu, V1=49V2 sehingga 49V2+V2=0,375H

NH

Hxxx

Hxx

WWWW t

_795,4605175

0075,081,910006,13

3675,081,91000175

21

Berat tangki, air dan air raksa adalah :

Misalkan tinggi tangki adalah H, sedang V1 dan V2 adalah volume air dan air raksa.

Volume air dan air raksa :

3

12 _3675,00075,0490075,050

375,0mHHxVH

HV

4/18/2010

21

1,5003

795,46051751,50034605175

HddH

Bagian tangki yang berada di atas permukaan air adalah 0,2m, berarti bagian yang terendam adalah:

mHd 20,0

Dengan menyamakan kedua bentuk nilai d di atas didapat :

mHdidapat

HH

HH

959,2:

795,460517562,10001,5003

1,5003

795,46051752,0

Gaya apung : FB=A.dair laut.g= 0,5dx1020x9,81=5003,1d NDalam keadaan mengapung W=FB, sehingga:


md

OB 2122,02

ddFdDF BairB 58,70681000..34

..4

22

Berat pelampung : FG = 3 ton

Jarak pusat berat terhadap dasar silinder :

Jarak pusat apung terhadap dasar silinder :

mOBOGBG 2878,12122,05,1

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

Misalkan bagian dari pelampung yang terendam air adalah d. Gaya apung:

Dalam keadaan mengapung : FG = FB 3000=7068,58 d, maka d= 0,4244 m

mOG 5,12

0,3

4/18/2010

22

444

0 9708,336464

mxxDI

Volume air yang dipindahkan:

322 0,34244,0344

mxxdDV

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

mV

IBM 3254,1

0,3

97608,30

Moment inersia tampang pelampung yang terpotong muka air:

Tinggi metasentrum: mBGBMGM 0376,02878,13254,1

Karena GM >0, berarti pelampung dalam kondisi stabil


BendaG HDF ..4

2

mOB 2,12

4,2

3/80010008,08,0 mkgfxS bendaair

Benda

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar silinder :

Jarak pusat apung terhadap dasar silinder :

mOBOGBG 3,02,15,1


Dalam keadaan mengapung : FG = FB, sehingga :

mxxHddDHDAir

BendaAirBenda 4,238,0..

4..

4

22

mOG 5,12

0,3

4/18/2010

23

444

0 9708,336464

mxxDI


322 9649,164,2344

mxxdDV


mV

IBM 234,0

9646,19

9761,30



Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil


gHF BendaG ,..5,02

Hd

OB 4,02


Benda

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar :

Jarak pusat apung terhadap dasar :

HOBOGBG 1,0



HHSxHdgdgHAir

BendaAirBenda 8,0....5,0...5,0

22

HH

OG 5,02

Gaya Apung : gdF airB ...5,02

4/18/2010

24

4343

0 102083,55,012

1..

12

1mxxBBI


HHxdBV 2,08,05,0 22


HH

x

V

IBM

0260415,0

2,0

102083,5 30


Benda akan stabil jika BM >BG : mHHH

51,01,00260415,0

Jadi benda akan stabil apabila tinggi balok maksimum 1,02m


kgfxxLAF BendaG 5128000,164,0..

md

OB 4,02

8,0

2


Benda

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar Balok :

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok :

mOBOGBG 1,04,05,0

Jadi Jarak antara pusat berat dan pusat apung:


mdd 8,0.640512

mL

OG 5,02

0,1

2

Luas Tampang lintang balok:264,08,08,0. mxHBA

Berat air yang dipindahkan: kgfdxdxdAF AirB _64064,01000..

4/18/2010

25

433

0 03413,08,08,012

1..

12

1mxxHBI


3512,08,064,0. mxdAV


mV

IBM 06667,0

512,0

03413,00

Moment inersia tampang bujursangkar yang terpotong muka air:




kgfHxHx

HDF BendaG

_1388,14390045,04

..4

2

2

Hd

OB 45,02

9,0

2

3/90010009,09,0 mkgxS bendaair

Benda

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar :

Jarak pusat apung terhadap dasar :

HHHOBOGBG 05,045,05,0


Dalam keadaan mengapung :

HddHFF BG 9,00431,1591388,143

HOG 5,02

0,1

Gaya Apung :

kgfdxdxx

dDF AirB

_0431,159100045,04

..4

2

2

4/18/2010

26

4344

0 1001289,2)45,0(6464

mxxxDI


322 _143139,09,0)45,0(44

mHHxxdDV

HH

x

V

IBM

0140625,0

143139,0

1001289,2 30


Tinggi metasentrum:

mHHH

53,005,00140625,0

Jadi tinggi silinder maksimum adalah 0,53 m.

Benda akan stabil apabila BM>BG


gghDgVgW .25,0114

..4

.... 22

2

2

22

1

2222 25,0

1020

.

4.

4xDdDV

2040102022

22

x

dOB

Misal W adalah berat benda dan 1dan 2 adalah rapat massa air laut dan bahan silinder.


Gaya apung :

Pada kondisi mengapung, berat benda (W) adalah sama dengan gaya apung (FB), sehingga:

Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung

gdDFB ...4

1

2

10201

1020....

4.25,0 22

2

11

2

2 dxhdgdDg

Jarak pusat apung benda dari dasar silinder

Jarak pusat berat benda dari dasar silinder mxhOG 5,012

1

2

1

20405,0 2OBOGBG

4/18/2010

27

444

064

)1(6464

mxxDI

22

0 75,63

1020

25,064

V

IBM

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

2

050.103014)1020(1020

0050.1301020

13005010202040

75,635,0

20405,0

75,63

2

2

2

2

2

2

222

2

2

2

xxab

Silinder dalam kondisi stabil apabila tinggi metasentrum BM>BG

Didapat:3

2

3

2 /375,149/624,870 mkgmkg ba

Apabila kedua hasil tersebut disubstitusikan kedalam persamaan1020

2d

Didapat:

3

2 /624,8708536,0 mkguntukmd a

dan

3

2 /375,1491464,0 mkguntukmd b

4/18/2010

28


airb

air

balok 7,07,0

LSd

OB b5,02

Rapat relatif silinder kayu : Sb =0,7.

Gaya apung :

Pada kondisi mengapung, berat benda (FG) adalah sama dengan gaya apung (FB), sehingga:

Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung

gdDF aB ...4

2

LSLdgdDgLD ba

bab ....

4.

4

22

Jarak pusat apung benda dari dasar silinder

Jarak pusat berat benda dari dasar silinder LL

OG 5,02

bb SLLSLOBOGBG 15,05,05,0

Berat benda : gLDF bG ...4

2

4

064

xDI

LS

D

LSD

D

V

IBM

bb

16

4

642

2

4

0

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

296,1

7,017,0818

1815,016

2

2

2

2

2

22

L

D

xxSSL

D

SSL

DSL

S

D

bb

bbb

b

Silinder akan stabil apabila BM>BG


xLxSDdDV b22

4.

4

4/18/2010

29


kNNxxxx

HBLggVF BendaBendaG

76704,304,767.38000,16,08,081,9

.....

md

OB 24,02

48,0

2

3/80010008,08,0 mkgxS bendaair

Benda

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar Balok :


mOBOGBG 06,024,03,0


Dalam keadaan mengapung :

mdd 48,0848,776704,3

mH

OG 3,02

6,0

2

Berat air yang dipindahkan:

kNdxdxxxdBLgF AirB _848,78,00,181,91000....

RAPAT MASSA AIR: a

RAPAT MASSA BENDA : b

433 042667,08,00,112

1..

12

1mxxBLI x

Volume air yang dipindahkan:3384,048,08,00,1.. mxxdBLV


mV

IBM 1111,0

384,0

042667,00

Moment inersia tampang segi empat :


Karena GM > 0, berarti benda dalam kondisi stabil

433 06667,00,18,012

1..

12

1mxxLBI y

Dari kedua hasil nilai tersebut ambil yang terkecil, yaitu Ix=0,042667m4

4/18/2010

30

Apabila diatas balok ditempatkan plat setebal T=0,01 m

Berat plat :

kNN

xxxxx

gTBLF PlatGt

616068,0068,616

01,08,00,181,9100085,7

....

Berat total benda :

kNFFW GtG 3831,4616068,076704,3

Berat air yang dipindahkan:

kNdxdxxxdBLgF AirB _848,78,00,181,91000....

Dalam keadaan mengapung : mddFW B 5585,0848,73831,4


md

OB 27925,02

5585,0

2Jarak pusat berat gabungan terhadap dasar Balok dihitung berdasarkan momen statis terhadap dasar balok:

mOG

xxxxxOG

THxFHxFWxOG GtG

34287,0

01,05,06,0616068,06,05,076704,33831,4

5,05,0

mOBOGBG 06362,027925,034287,0

Volume air yang dipindahkan: 34468,05585,08,00,1.. mxxdBLV

mV

IBM 0955,0

4468,0

042667,00

Tinggi metasentrum:

mBGBMGM 0319,006362,00955,0

Karena tinggi metasentrum bertanda positif, berarti benda dalam kondisi stabil

4/18/2010

31


kNWWW 16006000100021

md

OB 615,02

23,1

2

Berat total kedua benda :

Jarak pusat berat gabungan dan dasar ponton dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok :

Jarak antara pusat apung dan dasar ponton :

Dalam keadaan mengapung W=FB, sehingga :

mdd 23,18,13001600

mxx

WW

xOGWxOGWOG 375,3

1600

5,336005,11000

21

2211

Gaya apung: NddNxxxdxxFB _8,1300130080681,910201013

Berat Ponton: W1=1000 kNBerat Silinder : W2=600 kN

Dalam gambar, G1 dan G2 adalah pusat berat ponton dan silinder, sedang G adalah pusat berat benda gabungan

433

0 3333,1083101312

1..

12

1mxxBLI

Volume air yang dipindahkan:39,15923,11013 mxxV

mV

IBM 775,6

9,159

3333,10830

Moment inersia tampang ponton muka air :

Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

mOBOGBG 76,2615,0375,3

Karena GM > 0, berarti benda dalam kondisi stabil

mBGBMGM 015,476,2775,6

Tinggi metasentrum:


4/18/2010

32


mdd 6875,04,392775,269

NWWW 775,26948,78295,19121

mOB 34375,02

6872,0

Berat total kedua benda :

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :


Gaya apung: dxxdxgdAF airB 4,39281,9100004,0...

S1= 0,5S2= 8,0

a. Stabilitas Benda Terapung3

1 /50010005,0 mkgx3

2 /800010000,8 mkgx

Panjang benda dg 1: L1=100-2,5=97,5 cm Panjang benda dg 2: L2=2,5 cm

Luas tampang lintang benda dg A =0,2x0,2=0,04 m2

Berat benda 1 NxxxLAgW 295,191975,004,081,9500... 111

NxxxLAgW 48,78025,004,081,98000... 222Berat benda 2

m

xx

WW

xOGWxOGWOG

36705,048,78295,191

2

025,048,78

2

975,0025,0295,191

21

2211

Jarak pusat berat ke dasar O :


mOBOGBG 0233,034375,036705,0

Moment inersia tampang lintang benda :

433

0 00013333,02,02,012

1.

12

1mxxbhI

Volume air yang dipindahkan: 30275,06875,004,0. mxdAV

4/18/2010

33

mV

IBM 00484848,00


mBGBMGM 01845,00233,000484848,0Tinggi metasentrum:


b. Panjang L1 supaya Benda Terapung stabil

Misalkan L1 Panjang benda dg 1 akan dihitung jarak antara pusat berat benda gabungan G dan dasar O.

Berat benda 1 NLxLxxLAgW _11111 2,19604,081,9500...

Berat benda 2 NxxxLAgW 48,78025,004,081,98000... 222

Berat total kedua benda : 48,782,196 121 LWWW

8,02

01,005,0

48,782,196

0125,048,782

025,02,196

1

1

2

1

1

11

21

2211

L

LL

L

xL

xL

WW

xOGWxOGWOG

1,05,04,392

48,782,196

4,39248,782,196

11

1

LL

d

dL

1,025,08,02

01,005,01

1

1

2

1 LL

LLOBOGBG

1,025,02,05,05,0 11 LLxOBJarak pusat apung dari dasar :


Gaya apung: dFB 4,392



2,05,0

00333333,0

04,02,05,0

00013333,0

11

0

LLV

IBM

4/18/2010

34

1,025,08,02

01,005,001333,0

1,025,08,012

01,005,0

04,02,05,0

00333333,0

1

1

1

2

1

11

2

1

1

LL

LL

LL

LL

L


Bentuk diatas dapat disederhanakan menjadi

mL

LL

8877,0

016666,07,0

1

1

2

1

Benda akan terapung stabil apabila panjang benda denganrapat massa 1 lebih kecil atau sama dengan 0,8877 m


1 /80010008,08,0 mkgxS bendaair

Benda

kgfxxFG 27,398000,125,04

2

1

Berat benda 1:

Misalkan h adalah panjang benda bagian bawah :

Benda bagian atas

3

2 /000.510000,50,5 mkgxS bendaair

Benda

Benda bagian bawah

kgfhxhxFG _437,245500025,04

2

2

Berat benda 2:

hFFF GGG 43,24527,3921

Berat benda total:

4/18/2010

35

Pusat berat benda gabungan terhadap dasar dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok :

27,39437,245

635,1927,39719,122

437,24527,39

5,0437,2455,027,39

2

2211

2211

h

hhO

h

hhxhxO

F

xOFxOFO

xOFxOFxOF

G

G

G

GGGGG

GGGGGG

Gaya apung :

kgfdxdxxFB _087,49100025,04

2

Dalam keadaan mengapung FG=FB sehingga:

8,05087,49

27,39437,245

087,49437,24527,39

hh

d

dh


4,025,02

hd

OB

Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

8,00,5

08,02,310

27,39437,245

927,308,1578735,490

27,39437,245

708,1535,1965926,613635,1927,39719,122

27,39437,245

27,39437,2454,05,2635,1927,39719,122

4,05,227,39437,245

635,1927,39719,122

2

2

22

2

2

h

hh

h

hh

h

hhhh

h

hhhh

hh

hhOBOGBG

4/18/2010

36

4

0 ..64

1DI

Volume air yang dipindahkan: dDV .4

4


8,05

1090625,3

1090625,3

25,0

25,0

3

3

2

64

4

64

2

64

4

640

h

x

d

x

ddD

D

V

IBM

Moment inersia tampang Silinder yang terpotong air :

Benda akan stabil bila BM > GM :

Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan: h=0,02223m=2,22cm.Jadi supaya benda stabil maka panjang benda bagian bawah minimum adalah 2,22 cm.

007609375,02,310

01090625,308,02,310

8,00,5

08,02,310

8,05

1090625,3

2

32

23

hh

xhh

h

hh

h

x

4/18/2010

37


LLS

SdSdxDSLxD 5,0

22000

41000

4

22

Ld

OB 25,02

3/_1000 mkgfSb


Dalam keadaan mengapung FG=FB, sehingga :

Sb= SSa= 2S

a. Silinder mengapung dengan sumbunya vertikal

3/_2000 mkgfSa

Berat benda FG SLxDFG 10004

2Gaya Apung FB SdxDFB 2000

4

2

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar : LL

OG 5,02


425,025,05,0

LLLLOBOGBG

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :4

064

DI


dDV .4

2

4/18/2010

38

L

D

d

D

dD

D

V

IBM

816

22

2

64

4

640

terbuktiD

LD

LL

L

D

2248

22

2

Benda akan stabil apabila: BM>BG, sehingga:


b. Silinder ,mengapung dengan sumbunya horisontal

Karena berat jenis silinder (S) adalah setengah berat jenis zat cair (2S), berarti silinder terendam setengah bagiannya (muka air melalui pusat lingkaran).

Dd 5,0Pusat apung adalah sama dengan pusat berat setengah lingkaran

3

2

3

4 DrPB

Jarak Pusat apung dari dasar: 3

2

2

DDOB

Jarak Pusat Berat dari dasar:2

DOG

D

L

LD

DL

V

IBM

2

2

8

3

121

0

3

2

3

2

3

2

22

DDDDOBOGBG



Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :3

012

1DLI


LDLDxV .8

.42

1 22

Benda akan stabil apabila : BM>BG

DLDLD

D

L 222

3

2

3

2

4/18/2010

39


mH

OG 125,02

md

OB 075,02

kgfdxdxxLBdF aB _300010003,010.


Bagian balok yang terendam air adalah d.

p= berat jenis ponton

a= berat jenis air3/60010006,06,0 mkgfxS p

a

p

Berat benda FG kgfxxxLBHF pG 0,45060025,03,010.

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :


mOBOGBG 05,0075,0125,0

a. Balok tunggal:

Berat air yang dipindahkan :Karena mengapung, maka FB=FG, sehingga didapat kedalaman:

md 15,03000

450

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :

433

0 0225,03,01012

1

12

1mxxLBI

Jadi benda dalam keseimbangan netral (akan mengguling)

mxxV

IBM 05,0

15,03,010

0225,00

005,005,0BGBMGM

Tinggi metasentrum :


4/18/2010

40

b. PONTON

Berat papan di atas balok diabaikan. Momen inersia total terhadap sumbu ponton,

42

22

26,145,03,0100225,02

3,05,06,05,022

mx

xxLxBxIAXII t

Bagian balok ponton yang terendam air adalah d=0,15 m, (karena berat papan diabaikan).

Volume air yang dipindahkan:39,015,03,0102..2 mxxxdAV

mV

IBM t 40,1

9,0

26,1Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :Jarak pusat apung ponton dan pusat berat ponton terhadap dasar balok ponton adalah sama dengan kondisi a, sehingga:

mOBOGBG 05,0075,0125,0

stabilmBGBMGM 35,105,040,1


c. Apabila di atas PONTON terdapat beban seberat Wb=750 kgf.

Berat ponton :Wp=2FG=900 kgf

Berat ponton :dan beban :Wpb= 900 + 750=1.650 kgf

Setelah ada beban, bagian balokponton yang terendam airAdalah d1.

mOGxxxOG

xOGWxOGWxOGW bppb

4091,05,025,075025,05,0900650,1

21

md

OB 1375,02

275,0

2

kgfdxxdxxFB _600010003,0102 11


Jarak antara pusat Berat dihitung dengan momen statis terhadap titik 0 :

Berat air yang dipindahkan :

Kedalaman balok ponton yang terendam air : md 275,06000

16501

4/18/2010

41

Jarak pusat apung dan pusat berat :

mOBOGBG 2716,01375,04091,0

mV

IBM 7732,0

6296,1

26,10


Karena balok ponton tidak tenggelam maka momen inersia sebelum dan sesudah ada beban adalah sama:

Volume air yang dipindahkan: 36296,12716,03,0102..2 mxxxdAV

Tinggi metasentrum:

mBGBMGM 5016,02716,07732,0

426,1 mI t

PONTON TETAP STABIL


mL

OG 0,22

md

OB 2828,02

5655,0

2Jarak antara pusat apung terhadap dasar :

Gaya apung :

Berat Silinder : kNFG 40

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :


mOBOGBG 7172,12828,00,2

a. Menyelidiki stabilitas benda :

Karena mengapung, maka FB=FG, sehingga didapat kedalaman:

mddFBFG 5655,073,7040

kNddN

xxdx

gdDFB

_730,70730.70

81,9020,134

4

2

2

4/18/2010

42

Moment inersia tampang lintang benda yang terpotong air :

444

0 97608,336464

mxDI

Tinggi metasentrum adalah negatif, jadi benda dalam kondisi tidak stabil. Berarti benda tidak bisa mengapung dengan sumbu panjangnya vertikal.

mV

IBM 9947,0

9973,3

97608,30

mBGBMGM 7225,07172,19947,0




32 9973,35655,034

. mxxdAV

730.70

000.40730.70000.40

PddP

mPd

OB460.141

000.40

2Jarak antara pusat apung dari dasar :

Gaya apung :

Misalkan P adalah gaya tarik yang bekerja pada rantai di pusat dasar pelampung. Berat benda dan gaya tarik P adalah:

NPPFG 000.40

b. Pusat dasar benda diberi gaya tarik:

Dalam keadaan mengapung, maka FB=FG+P :

kNddN

xxdxgdDFB

_730,70730.70

81,9020,1344

22

Dalam keadaan gaya tarik di 0, letak pusat berat berubah. Letak pusat Berat dihitung berdasarkan momen terhadap titik 0.

POGxxOGP

PxFGxOGxOGPFG

40000

80000024000040000

01

4/18/2010

43

Jarak pusat berat benda dan gaya tarik P terhadap dasar adalah:

141460

40000

40000

80000 P

POBOGBG


PxP

xdAV 40000109938,970730

400003

4. 52

PPxV

IBM

40000

47,785.39

40000109938,9

97608,35

0

Moment inersia tampang lintang benda setelah adanya gaya tarik P adalah sama dengan sebelum adanya gaya tarik, yaitu =3,97608m4


460.141

40000

40000

000.80

40000

47,785.39 P

PP

Jadi gaya tarik minimum yang harus diberikan adalah P = 35,4238 kN

kNNPP 4238,358,423.358,423.7540000

P

P

40000

53,214.40

460.141

40000

53,214.40460.141400002

xP

4/18/2010

44


htgDh

D

h

Dtg 2

2

2/ ***

htgDh

D

h

Dtg 2

2

2/

ghxxDFG 12

3

1

4

h : tinggi kerucutD: diameter dasar kerucut: setengah sudut puncak kerucut

d: bagian kerucut yang terendam air1: rapat massa kerucut2: rapat massa air

Misalkan:

Berat Kerucut :

gxtghgxhxxtgh 123

1

2

3

1

3

1.2

4

gtgdFB 223..

3

1

Berat air uyang dipindahkan dihitung dengan cara yang sama seperti di atasUntuk kedalaman air yang dipindahkan benda sebesar d.

Supaya benda mengapung FB=FG:

gtghgtgd 123

2

23 ..3

1..

3

1

2

13

2

13 31

. denganSShdhd

31

4

3

4

3hSdOBJarak pusat apung dari puncak kerucut O :

Jarak pusat berat dari puncak kerucut: hOG4

3

31

14

3ShOBOGBGJarak antara pusat berat dan pusat apung:

Diameter lingkaran pada permukaan air : D=2d.tg.

4/18/2010

45

Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

4444*

0 .4

.26464

tgdtgdxDI

2

23

3

44

40

4

3dtg

tgd

tgd

V

IBM

Oleh karena tg =D/2h dan d=h.S1/3, maka



23

2 3tgd

g

FV B

h

SD

h

DShBM

16

3

4.

4

3 31

31

2

2

2

Untuk kesetimbangan stabil, BM BG :

31

31

31

31

14

11

4

3

16

3 222

S

SDhSh

h

SD

2

2

41 3

131

h

DSS

22 111 31

31

31

tgStgSS

8830,036397,01

1

201

1

1

12022

31

tgtgS

6885,0SJadi supaya kerucut stabil maka rapat relatif kerucut adalah S 0,6885

4/18/2010

46


htgDh

D

h

Dtg 2

2

2/

h : tinggi kerucutD: diameter dasar kerucutD: diameter tampang kerucutd: kedalaman kerucut yang terendam air2 : sudut puncak kerucut

Misalkan:

3

22

22

3

11

11

/90010009,0

9,0

/70010007,0

mkgxxS

S

mkgx

xS

S

air

air

air

air

Berat Kerucut :

gtgxhghhtggxhxDW ..3

1..

3

12

4

1..

3

1

41

23

1

2

1

2

gtgxdFB ..3

12

23

Berat zat cair yang dipindahkan :

Oleh karena benda mengapung, maka FB=FG, sehingga:

1

3

2

3

1

23

2

23 ..3

1..

3

1hdgtghgtgd

31

2

1hd

4/18/2010

47

31

2

1

4

3

4

3hdOBJarak pusat apung dari puncak kerucut O :

Jarak pusat berat dari puncak kerucut: hOG4

3

31

31

2

1

2

1 14

3

4

3

4

3hhhOBOGBG


Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

4444*

0 .4

.26464

tgdtgdxDI


23

2

2

23

2 3

3tgd

g

gtgd

g

FV B

2

23

3

44

40 .4

3tgd

tgd

tgd

V

IBM


Agar benda dalam kesetimbangan stabil, titik metasentrum M harus di atas atau berimpit dengan G : BM BG .

31

2

12 14

3.

4

3htgd

31

31

2

12

2

1 14

3

4

3htgh

4/18/2010

48

Jadi sudut puncak kerucut adalah 2 =32,940= 32 0 56

31

31

31

31

2

1

2

1

2

2

12

2

1

1

1 tgtg

02 47,1608738,0

900

700

900

7001

31

31

tg


mWd

OB75,15794

3500

2Jarak antara pusat apung terhadap dasar :

Gaya apung :

Berat Pelampung :

NFG 3500

Pada kondisi mengapung, maka FB=FG+W, sehingga:

375,7897

35003500375,7897

WdWd

d

xxxdx

gdAFB

375,7897

81,91000025,114

...

2Berat Beban = W.

Berat Pelampung dan Beban = (W+3500).

4/18/2010

49

Jarak antara pusat Berat dan beban terhadap dasar dihitung berdasarkan momen statis terhadap titik 0,:

75,794.15

3500

3500

25,15,1312

3500

25,15,1312

5,075,075,05,035003500

5,02

W

W

WOBOGBG

W

WOG

WxxxOGW

HWFGxOGxOGFGW

Moment inersia tampang Silinder yang terpotong muka air :

444

0 0490874,016464

mxDI

3500

5861,493

25,055.10

3500

049087,00

WWV

IBM



25,055.10

3500

375,7897

35001

4.

2 WWxxdAV


75,794.15

3500

3500

25,15,1312

3500

5861,493 W

W

W

W

75,794.15

3500

3500

25,1914,818 W

W

W

4/18/2010

50

09,541.6844,743.122 WW

235004,743.199,541.934.12 WW

Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan :

NW 796.121

NW 5,532

Jadi berat beban minimum sedemikian sehingga benda dalam kondisi stabil adalah W = 12.796 N

Jawaban Tugas No 3.27Berat muatan : Wm=150kN=150x103 N

Berat Kapal : W = 15 MN = 15 x 106 N

Lebar Kapal : B = 8,4 m.

Panjang Kapal : L= 60 m

Jarak bergesernya muatan : l = 4 m

Kemiringan sudut : = 300

kNmxM 60041500

Momen yang menyebabkan goyangan:

4/18/2010

51

Momen tersebut menyebabkan bergesernya titik tangkap W dan G ke G. Karena berat muatan jauh lebih kecil dari berat kapal maka berat tersebut diabaikan terhadap kapal.

7643,03sin1015

600

3sin1015600

3sin1015sin

03

03

10

03

1

xGMxGM

xGMxMM

mkNxGMxWxGMM

Bergesernya titik tangkap menyebabkan Moment :

3

0012

172,0%72 LBxsegiempatxII

Jadi tinggi metasentrum adalah 0,7643 m

Karena tinggi metasentrum GM positif berarti kapal dalam kondisi stabil

Untuk mencari posisi pusat berat dihitung jarak BM:V

IBM 0

Mencari momen inersia tampang kapal pada muka air:

43

0 73,21334,86012

172,0 mxxI

mBM 4303,176,1491

73,2133



36

76,149181,91025

1015

.m

x

x

g

WV

Oleh karena pusat apung terletak pada 1,5 m (BP) di bawah muka air maka titik metasentrum:

mBMBPPM 07,043,15,1

Jadi titik metasentrum M berada pada 0,07 m di bawah muka air :

mGMPMPG 8343,07643,007,0Jadi Pusat berat berada pada 0,8343 m di bawah muka air :

4/18/2010

52


tonFG

FG

6,1746,21

6,214

1

1

Gaya apung :

Berat Ponton : FG1

41GB FF

a. MENYELIDIKI STABILITAS BENDA :

Dalam keadaan mengapung, maka FB=FG, sehingga :

tonkgf

xxxFB

6,21600.21

10006,066

Berat beban : 4 tonBerat Total :

Jarak pusat apung dari dasar :

mxOB 3,06,05,0Pusat berat benda dan beban terhadap dasar dihitung dengan momen statis terhadap dasar :

mxx

O

F

xOFxOFOxOFxOFxOF

G

G

GGGGGGGGGGG

9333,06,21

2,12,10,46,06,17

22112211


mOBOGBG 6333,03,09333,0

Moment inersia tampang balok yang terpotong muka air :

443

0 108612

1

12

1mxBBI

mV

IBM 0,5

6,21

1080

mBGBMGM 3667,463333,00,5



Volume air yang dipindahkan:36,216,066 mxxV

Karena GM > 0 berarti benda dalam kondisi stabil

4/18/2010

53

72

6,17

2

2WdOBJarak antara pusat apung dari dasar :

Gaya apung :

Beban maksimum adalah:W2 Berat Beban + ponton : FG=17,6 + W2

b. MENGHITUNG BEBAN MAKSIMUM:

tondkgfdxdxxFB _36_000.3610000,60,6

36

6,176,1736 22

WdWdFBFG

Jarak pusat berat dari dasar: 6,17

56,104,2

6,17

4,26,06,17

2

2

2

2

W

W

W

xWxOG


72

6,17

6,17

56,104,2 2

2

2 W

W

WOBOGBG

Moment inersia tampang balok yang terpotong muka air :4

0 108mI


6,1736

6,173636 2

2 WW

xxdV

6,17

108

2

0

WV

IBM



72

6,17

6,17

56,104,2

6,17

108 2

2

2

2

W

W

W

W

Dari persamaan tersebut tidak memberikan nilai W2 yang berarti tidakAda beban maksimum yang memenuhi persamaan tersebut.Beban maksimum lebih ditentukan oleh tenggelamnya ponton daripadaTergulingnya. Beban maksimum yang dapat didukung adalah bebanYang menyebabkan ponton tenggelam, yang besarnya adalah :

72

6,17

6,17

56,104,2108 2

2

2 W

W

W

76,3092,358,17268,7015 22

22 WWW

044,73256,137 22

2 WW

4/18/2010

54

tonWxxxW _6,2510002,1666,17 22Untuk mengetahui kebenaran dari pernyataan tersebut, maka bebanW2 = 25,6 ton digunakan untuk menghitung kondisi stabilitas ponton.Dengan beban tersebut kondisi ponton adalah sebagai berikut ini.

mW

OB 6,072

6,176,25

72

6,172Jarak antara pusat apung dari dasar :

Jarak pusat berat dari dasar :

mxW

OG 667,16,176,25

56,104,26,25 2


mOBOGBG 067,16,0667,1

mWV

IBM 5,2

6,17

108

2

0


mBGBMGM 433,1067,15,2


Jadi ponton dalam kondisi stabil, tetapi hampir tenggelam.

3 stabilitas benda terapung 2

Documents