Uji Hipotesis

MA2081 STATISTIKA DASARMA2081 STATISTIKA DASARUtriweni Mukhaiyar

28 Maret 201228 Maret 2012

PengertianPengertian Hipotesis adalah suatu anggapan yang

mungkin benar atau tidak mengenai satupopulasi atau lebih yang perlu diujikebenarann akebenarannya

Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satumungkin benar atau tidak mengenai satupopulasi atau lebih yang perlu diujikebenarannyay

1. Hipotesis nol (H0) ; pernyataan yang mengandungtanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥)

2

( )2. Hipotesis tandingan (H1) ; tandingan hipotesis H0,

mengandung tanda , >, atau <.

Galat (error)Galat (error)

H0 benar H0 salah

d l k P(menolak H0 | H0 benar)H0 ditolak P(menolak H0 | H0 benar)= galat tipe I = α keputusan benar

( d k l k |H0 tidak ditolak keputusan benar

P(tidak menolak H0 | H0salah)

= galat tipe II = β

yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini

3

bahasan ini

Sk U Uji Hi t iSkema Umum Uji Hipotesis

H

•Hipotesis yang ingin diuji•Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥)•Dapat berupa

Hipotesis Statistik

H0p p

- hasil penelitian sebelumnya- informasi dari buku atau- hasil percobaan orang lain

•Hipotesis yang ingin dibuktikanH1

Hipotesis yang ingin dibuktikan•Disebut juga hipotesis alternatif•Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)???

mungkin terjadiKeputusanKeputusan

H0 ditolakH0 ditolak H0 tidak ditolakH0 tidak ditolak

Kesalahan

Tipe IITipe II

g j

H0 ditolakH0 ditolak H0 tidak ditolakH0 tidak ditolak

KesimpulanKesimpulan KesimpulanKesimpulan

Menolak H0 padahal H0 benar

P(tipe I) = α= tingkat signifikansi

Menolak H0 padahal H0 benar

P(tipe I) = α= tingkat signifikansi

Tipe IITipe II

4

H1 benarH1 benar Tidak cukupbukti untukmenolak H0

Tidak cukupbukti untukmenolak H0

g gg g

Statistik Uji dan Titik Kritis

Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistikyang telah dirumuskan Notasinya berpadanan denganyang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan denganjenis distribusi yang digunakan.

Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaanH Di l h d i t b l t ti tik b k tH0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan.

H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.

daerah daerah penerimaan H daerah daerahdaerah

1 -

kritis = /2

titik

penerimaan H0

titik 0

titik

1 -

daerah penerimaan H0

daerahkritiskritis = /2

5

titik kritis

titik kritis

titik kritis

diperoleh dari tabel statistik

Uji Rataan Satu PopulasiUji Rataan Satu Populasi

1. H0 : = 0 vs H1 : 0

uji dua arahuji dua arah

0 0 0 2. H0 : = 0 vs H1 : > 0 3 H H <3. H0 : = 0 vs H1 : < 0

uji satu arahuji satu arah

0 adalah suatu konstanta yang diketahui

6

Statistik Uji untuk RataanSatu Populasi

1. Kasus σ2 diketahui

0XZ N(0 1)0

/Z

n

~ N(0,1) Tabel Z (normal baku)Tabel Z (normal baku)

X2. Kasus σ2 tidak diketahui

0

/

XTs n

~ t(n-1) Tabel tTabel t

7

/s n

Daerah Kritis Uji RataanSatu Populasi

σ2 diketahui σ2 tidak diketahuiStatistikStatistik ujiuji :: ZZ TTStatistikStatistik ujiuji :: ZZ TT

H0 : = 0 vs H1 : 0 Z < - Z1-α/2 atau Z > Z1-α/2 T < - Tα/2 atau T > Tα/2

H0 : = 0 vs H1 : > 0 Z > Z1-α T > Tα

H0 : = 0 vs H1 : < 0 Z < - Z1-α T < - Tα

titik kritis denganderajat kebebasan n - 1titik kritis dengan

derajat kebebasan n - 1

8

Uji Rataan Dua PopulasiUji Rataan Dua Populasiuji dua arah

1. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0

2 H H >

j

2. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0

3. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0

uji satu arah

0 adalah suatu konstanta yang diketahui

9

Statistik Uji untuk RataanDua Populasi

1. Kasus σ12 dan σ22 diketahui

1 2 0X X μ 1 2 0H 2 2

1 2

1 2

μZ =

σ σn n

2. Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 ≠ σ22

1 2 0H 2 2

X X μT =

H 2 2

1 2

1 2

S Sn n

3 Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 = σ223. Kasus σ1 dan σ2 tidak diketahui dan σ1 = σ2

1 2 0H

X X μT =

1 1S

dengan

2 22 1 1 2 2p

1 2

(n 1)S (n 1)SS =n n 2

10

p1 2

1 1Sn n

1 2

Daerah Kritis Uji RataanDua Populasi

σ12, σ2

2

diketahuiσ1

2, σ22 tidak diketahui

Statistik uji : Z T

σ12 = σ2

2 σ12 ≠ σ2

2

Derajat Kebebasan n1 + n2 - 2

22 21 2

1 22 22 2

S Sn n

v =S S1 1

j 1 2

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0

Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2

T < -Tα/2 atau T > Tα/2

T < -Tα/2 atauT > Tα/2

2 21 2

1 1 2 2

S S1 1(n 1) n (n 1) n

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0

Z > Zα T > Tα T > Tα

H0 : 1 - 2 = 0 vs Z < Z T < T T < T

11

H1 : 1 - 2 < 0Z < - Zα T < -Tα T < -Tα

Uji untuk Rataan Berpasangan

1. H0 : d = 0 vs H1 : d 0

2 H : = vs H : > 2. H0 : d = 0 vs H1 : d > 0

3. H0 : d = 0 vs H1 : d < 0

Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satupopulasi dengan variansi tidak diketahui.

0 ;/

D μT =S n

12

/dS n

Contoh 1Contoh 1Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan p j j ( glama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata i k h h j d l h d l h 71 8 tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm

dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata rata tingkat curah literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut lebih dari 70 mm.a Nyatakan dugaan tersebut dalam a. Nyatakan dugaan tersebut dalam

pernyataan hipotesis statistikb. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah

13

b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah pernyataan literatur tersebut?

SolusiSolusi

DiketahuiDiketahuiDitanya:a Hipotesis statistik

X 71.8, s 8.9,0 70, 0,05

a. Hipotesis statistikb. Kesimpulan uji hipotesisJawab:Jawab:Parameter yang akan diuji : μa Rumusan hipotesis: a. Rumusan hipotesis: H0: μ = 70H : μ > 70

14

H1: μ > 70

b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t0.05,(99) = 1.645

0 71,8 70 2,028,9100

xt s

Karena t > t0.05,(99) , maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H0 ditolak

100n

penolakan sehingga keputusannya H0 ditolak.

Jadi pernyataan literatur tersebut benar bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah “SH” rata-rata tingkat curah hujan di daerah SH lebih dari 70 mm.

15

Contoh 2Contoh 2Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang di kib k l h k d i d b h dil i i D b ldiakibatkan oleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belaspotong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalammesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang g g g y gsama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan.

Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) seban ak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4 sedangkansebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkansampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengansimpangan baku sampel 5.

Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari duasatuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan

16

satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal denganvariansi yang sama.

Solusi Solusi Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2 populasi bahan 1 dan populasi bahan 2. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah:H : μ μ = 2H0 : μ1 - μ2 = 2H1 : μ1 - μ2 > 2

17

Tingkat keberartian, α = 0.05

Kit k t ti tik ji t k i i k d l i t k

1 1 1

2 2 2

85, 4, 1281, 5, 10

x s nx s n

Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi takdiketahui tapi dianggap sama, yaitu

dengan dengan 1 2 0

1 1H

p

x x μt =

sn n

2 21 1 2 2

1 2

1 1 (11)(16) (9)(25) 4.4782 12 10 2p

(n )s (n )ss =n n

Maka diperoleh :

1 2n n

1 2 0 (85 81) 2 1.041 1 4.478 (1/12) (1/10)H

x x μt =

181 2

1 1 4.478 (1/12) (1/10)ps n n

Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan+ 2 12 +10 2 20 hi i ik k i i d l h n1+n2-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik kritisnya adalah t0.05,20 =

1.725.

Karena t < 1 725 maka H tidak ditolak Tidak dapat disimpulkan Karena t < 1.725, maka H0 tidak ditolak. Tidak dapat disimpulkanbahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausanbahan 2 lebih dari 2 satuan.

19

Contoh 3 (data berpasangan)Contoh 3 (data berpasangan) Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh

obat succinylcholine terhadap kadar peredaranhormon androgen dalam darah. Sampel darah darirusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadirusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadileher segera setelah succinylcholine disuntikkan padaotot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusatersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktuditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalamditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalamnanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut

20

p p

No. Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik

Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah disuntik

Selisih (di)

1 2.76 7.02 4.261

2

3

2.76

5.18

2.68

7.02

3.10

5.44

4.26

-2.08

2.76

4

5

6

3.05

4.10

7 05

3.99

5.21

10 26

0.94

1.11

3 216

7

8

7.05

6.60

4.79

10.26

13.91

18.53

3.21

7.31

13.74

9

10

11

7.39

7.30

11 78

7.91

4.85

11 10

0.52

-2.45

0 6811

12

13

11.78

3.90

26.00

11.10

3.74

94.03

-0.68

-0.16

68.03

14

15

67.48

17.04

94.03

41.70

26.55

24.6621

Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkatkeberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah, p gsetelah ditunggu 30 menit.

22

SolusiSolusiIni adalah data berpasangan karena masing-masing unit

b ( ) l h d k l kpercobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran

Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata Misalkan μ1 dan μ2 masing masing menyatakan rata rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menitkemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah

H0 : μ1 = μ2 atau μD = μ1 - μ2 = 0H1 : μ1 ≠ μ2 atau μD = μ1 - μ2 ≠ 01 1 2 D 1 2

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05

23

Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih ( di ) adalah,

d9.848 dan s 18.474d Statistik uji yang digunakan adalah,

0d d

Dalam hal ini,

0

/d

d dt =s n

9.848 0 2.0618.474 / 15

t =

24

Statistik uji t berdistribusi t-student dengand k b b d kderajat kebebasan n – 1 = 15 – 1 = 14. Pada tingkatkeberartian 0.05, H0 ditolak jika

t < - t0.025,14 = -2.145 atau t > t0.025,14 = 2.145.

Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak beradapada daerah penolakan. Dengan demikian, H0tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati nilai t0 02 = 2 145 Jadi perbedaanmendekati nilai t0.025,14 2.145. Jadi perbedaanrata-rata kadar peredaran androgen bisadiabaikan.

25

Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu P l iPopulasi Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus

variansi satu populasi adalah

2 2 2 21 H H 2 2 2 20 0 1 01. H : = vs H :

2 2 2 20 0 1 02. H : vs H :

2 2 2 20 0 1 03. H : vs H :

Dengan 02 menyatakan suatu konstanta mengenai

variansi yang diketahui.

26

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis did l hatas adalah :

22 ( 1)n s

Jika H benar maka statistik uji tersebut berdistribusi khi-

20

Jika H0 benar, maka statistik uji tersebut berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n-1.

27

Untuk hipotesis , l k d k k b k

2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :

tolak H0 pada tingkat keberartian α jika : 2 2 2 2

1 ( 1) ( 1) atau

n n

Untuk hipotesis , tolak H pada tingkat keberartian α jika

1 ,( 1) ,( 1)2 2n n

2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :

tolak H0 pada tingkat keberartian α jika2 2

1 ,( 1)n nilai dari tabel

distribusi chi-square dengan derajatk b b 1

Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :

kebebasan n - 1

28

tolak H0 pada tingkat keberartian α jika2 2

,( 1)n

Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua P l iPopulasi Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji

h d l d l hhipotesis mengenai variansi dua populasi adalah,

2 2 2 21 H : vs H : 0 1 2 1 1 21. H : vs H : 2 2 2 2

0 1 2 1 1 22. H : vs H :

Dengan σ 2 dan σ 2 masing masing adalah

2 2 2 20 1 2 1 1 23. H : vs H :

Dengan σ12 dan σ2

2 masing-masing adalahvariansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2

29

Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesisdi atas adalah,

21sF

Jik H b t ti tik ji t b t b di t ib i Fi h

122

Fs

Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher dengan derajat kebebasan,

v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 2 v1 n1 1 dan v2 n2 2

30

Untuk hipotesis tolak H02 2 2 2

0 1 2 1 1 2H : vs H : Untuk hipotesis , tolak H0pada tingkat keberartian α jika :

0 1 2 1 1 2

1 2 1 21 ,( , ) ,( , ) atau

v v v vF f F f

Untuk hipotesis , tolak H0pada tingkat keberartian α jika :

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2v v v v

2 2 2 20 1 2 1 1 2H : vs H :

p g j

U t k hi t i t l k H

1 21 ,( , )v vF f

2 2 2 2H : vs H : Untuk hipotesis , tolak H0pada tingkat keberartian α jika :

0 1 2 1 1 2H : vs H :

1 2( )v vF f 1 2,( , )v vf

1 2 1 2 1 2 1 2,( , ) 1 ,( , ) / 2,( , ) 1 / 2,( , ), , , dan v v v v v v v vf f f f adalah nilai-nilaidari tabel distribusi Fisher dengan derajatg jkebebasan v1 dan v2

31

Contoh 4Contoh 4 Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan

b h b b d b hbahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!

32

SolusiSolusiH0 : σ2 = 0.81H1 : σ2 > 0.811α = 0.05

Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2kStatistik uji

22

20

( 1) (9)(1.44) 160.81

n s

Titik kritis adalah2 2

, 1 0.05,9 16.919 n 2 2

Karena , maka H0 tidak ditolak. Simpulkanbahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi0.9

2 20.05,9

33

Contoh 5Contoh 5 Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, p g j ,

dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0 100.10.

34

Solusi Solusi Misalkan σ1

2 dan σ22 adalah variansi populasi dari masing-1 2 p p g

masing keausan bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesisyang akan diuji adalah

H0: σ12 = σ2

2

H1: σ12 ≠ σ2

2

α = 0.10

35

Statistik uji f = s12/ s2

2 = 16 / 25 = 0.64

H0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

atau

v v v v

f f f f

α = 0.10, v1 = n1 – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v2 = n2 – 1 = 10 – 1 = 9.

Maka

1 20.95,(11.9)1 ,( , )

2

0.34

v v

f fdan

1 20.05,(11.9),( , )

2

3.11 v v

f f

f f fKarena , maka jangan tolak H0.

Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwai i b b d

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

v v v vf f f

36

variansinya berbeda.

ReferensiReferensi Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and p

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

Wild C J d S b G A F Ch E t A fi t Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.y

Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB 1995Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice

37

, g , J yHall, 2007.