TINJAUAN DASAR MATEMATIS

1

Eksponen dan logaritma

Eksponen

Dalam persamaan N = b x

X adalah eksponen dan bx menyatakan b pangkat x

Contoh 1000 = 103

2

Hukum eksponen

Hukum eksponen contoh

Ax . ay = ax+y 102 . 103 = 105

(ax)y = axy (102)3 = 105

ax = ax-y

ay 102 = 10-2

104

1 = a-x

ax 1 =10-2

102 y a = a 1/y 3 a = a 1/3

3

Logaritma

Jika N = b x maka log bN = x

Contoh : 100 = 102 log 100 =2 , bilangan 100 adalah antilog dari 2

Logaritma natural (ln) menggunakan dasar e Nilai e = 2,718282 Persamaan Untuk menghubungkan ln dengan log

2,303 log N = ln N

4

5

Untuk kepentingan ttt digunakan hubungan : ln e-x = -x Persamaan tsb dpt dibandingkan dg contoh : log 10-2 =-2

6

Contoh soal

Hitung log 35

Pemecahan :

bentuk eksponensial log 35 : log(3,5 x 10) = log 3,5 + log 10

Dari tabel logaritma

log 35 = 5441, log 3,5 = 0,5441 Log 10 = 1 maka log 35 = 1,5441

dengan menggunakan kalkulator : log 35 = 1,5441

7

Contoh 2

Hitung antilog 2,3820 Jawab : dari tabel log cari mantissa o,3820, diperoleh

bilangan yg berkaitan adalh 2,41 , karaktersiiknya =2

maka antilog 2,3820 : 2,41 x 10 2 = 241

Dengan menggunakan kalkulator: tekan shift log 2,3820

= 240,99 = 241

8

Contoh fungsi eksponensial Hitung e -1,3 Dari tabel eksponensial bilangan yang berkaitan

dengan 1,3 dalam lajur bertanda e-x adalah 0,2725

maka e -1,3 = 0,2725

Dengan kalkulator : tekan shif ln -1,3 = 0,2725

9

Contoh Hitunglah harga K dalam persamaan berikut : 25 = 50 e -4K

Pemecahan : e-4K = 25/50 e-4K =0,5 Dari tabel harga lajur e-x yang berkaitan dengan 0,5,

yang terdekat adalah e-0,70 , maka:

e-4K = e-0,70 -4K = -0,70 k = 0,70/4 = 0,175

Dengan menggunakan kalkulator : tekan ln 0,5 = -0,696 , maka K = o,693 : 4 = 0,173

10

Dalam perhitungan farmakokinetik : Cp = Cp0 e-Kt

Contoh : dapatkan harga Cp dalam persamaam berikut bila t=2

Cp = 35 e -0,15t

Cp = 35 e -0.15 (2)

= 35 e-0,3

Dengan menggunakan kalkulator : tekan shift ln -0,3 diperoleh angka 0,7408

Maka nilai Cp = 35 x 0,7408 = 25,93 11

Kalkulus Kalkulus difrensial

Menyangkut laju perubahan suatu variabel kuantitas Contoh : sejumlah obat x diletakkan dalam gelas piala

yg berisi air sehingga melarut. Laju melarut obat dinyatakan dengan hukum Ficks

Laju Pelarutan = dX/dt = PA (C1-C2)

l

d= menunjukkan suatu perubahan yg sangat kecil;

x = obat x ; t = waktu ; P = tetapan permeabilitas

A = luas permukaan obat ; l = panjang lapisan difusi

C1 = konsentrasi obat dlm lapisan difusi

C2= konsentrasi obat dalam pelarut

12

Kalkulus

Turunan dX/dt dpt ditafsirkan sbg perubahan x dg perubahan t

Dalam farmakokinetik, jumlah obat mrpkn variabel kuanitas , dan wkt mrpkn variabel bebas

13

contoh

Konsentrasi Obat dalam plasma C (g/ml)

Waktu (Jam)

12 0

10 1

8 2

6 3

4 4

2 5

14

Konsentrasi obat dlm plasma tiap jam menurun 2 g/ml Oleh karena itu laju perubahan kosentrasi obat sehubungan dg waktu dc/dt = 2 g/ml jam Di sini f(t) mrpkn suatu persamaan matematika yg menggambarkan perubahan C , dinyatakan dg = C= 12-2t

Kalkulus Integrasi Integrasi mrpkn kebalikan dr difrensiasi Dianggap sbg penjumlahan dari f(x).dx Tanda mrpkn penjumlahan Contoh , fungsi y-ax integrasinya : ax dx Proses integrasi merupakan Penjumlahan dr msng2 bag

kecil dari grafik

15

16

Kalkulus integral dlm farmakokinetik digunakan untuk menghitung area di bwh kurva obat dlm plasma vs waktu (AUC)

Contoh kadar obat dlm plasma vs waktu yg berkaitan :

AUC dapat dihitung dg menggunakan rumus :

Waktu (Jam) Kadar Obat dlm Plasma (g/ml)

0,5 38,9

1.0 30,3

2.0 18,4

3.0 11.1

4.0 6,77

5.0 4,10

AUC : Area di bwh kurva ; tn : wkt pengamatan dari konsentrasi obat Cn; dan tn-1 : wkt pengamatan sblmnya yg berhub dg konsent obat Cn-1

17

Untuk mendapatkan AUC dari 1 sampai 4 jam dalam gambar , maka setiap bagian area harus dijumlah AUC antara 1 dan 2 jam didapat dg substitusi scr tepat ke dlm

persamaan AUC antara 2 -3 jam : 14,75 g jam/ml dan AUC antara 3-4

jam : 8,94 g jam/ml Keseluruhan AUC antara 1 4 jam

18

Total area di bwh kurva kadar obat dlm plasma vs waktu diperoleh dg penjumlahan tiap area antara 2 jarak wkt yg berurutan dg menggunakan rumus trapesium

Harga pada sumbu y pada waktu nol diperkirakan melalui cara ekstrapolasi dari data dg menggunakan st gambar log linier ( log y vs x)

Pada suatu waktu area di bwh kurva kadar plasma waktu diekstrapolasikan sampai t=,

area tersisa (AUC)t dihitung :

tn

(AUC)t dihitung : Cpn tn k

Cpn : konsentrasi dlm plasma terakhir pada tn

K : slope yg diperoleh dr bagian akhir kuva

Grafik

Menggambarkan data menggunakan grafik : faktor ptg utk menunjukkan hub antara variabel-variabel

Dalam farmakokinetik digunakan 2 macam kertas grafik , yaitu kertas grafik Cartesian atau kertas grafik koordinat rektangular dan kertas grafik semilog

19

20

Pencocokan kurva Persamaan umum dari suatu garis lurus y=mx +b m = slope dan b = intersep Contoh y= -15x+7 ; slope =15, intersep (y)=+7 Besarnya m menunjukkan arah kurva

21

Penentuan slope Dari suatu garis lurus pada grafik koordinat rektangular Harga slope ditentukan dari setiap 2 titik yang ada pada kurva Slope kurva dengan x/ y =

22

Slope dari grafik : intersep : 3,5, maka persamaan garis = -1/2x +3,5

Penentuan slope

Slope dari suau garis lurus pada suatu grafik semilog

Jika menggunakankertas semilog:

harga-harga y digambar ada skala logaritmik tanpa mengubah ke dalam logaritmanya

Harga-harga x yg berkaitan di gambar pada skala linier Untuk menentukan slope dr suatu garis lurus pada grafik

semilog , perlu merubah harga y ke logaritma, sprt persamaan : slop= log y2 log y1

x2 - x1

23

Metoda Least Square Suatu persamaan empirik dihitung untuk

menunjukkan hubungan antara 2 variabel

Data yg diperoleh dari suatu percobaan menunjukkan hubungan antara 2 variabel

Garis lurus yang mempnyai sifat hubungan antara2 variabel disebut garis regresi

Metoda Least square cara yg berguna utk mendapatkan grafik yg paling sesuai

24

contoh

X (jam) Y (mg)

1 3.1

2 6.0

3 8.7

4 12.9

5 15.3

6 17.9

7 22.0

8 23,0

25

Perhitungan secara LR menggunakan kalkulator scientific Menggunakan rumus y= a+ bx Diperoleh nilai a = 0,257 ; b = 2,97 dan r =0,996 Maka persamaan garis : y= 0,257 +2,97 x

Satuan Dalam Farmakokinetik

26