Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

I. Identitas Nama Sekolah : SMK N 1 Bonjol Mata Pelajara : Matematika Kelas / Semester : x /2 Standar Kompetensi : 4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan

konsep matriks Kompetensi Dasar : 4.1 Mendeskripsikan macam-macam matriks Indikator

4.1.1 Menjelaskan pengertian dan notasi matriks4.1.2 Mengenal bentuk-bentuk matriks4.1.3 Operasi matriks

Alokasi Waktu : 2 x 45’ II. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat:o Memberikan difinisi matriks beserta notasinya.o Mengenal bentuk-bentuk matriks.o Melakukan operasi matriks (tambah, kurang, kali)

III. Materi AjarA. Definisi dan notasi matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan (unsur) yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen-komponen matriks.Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital.Banyak baris x banyak kolom dari suatu matriks disebut ordo matriks atau ukuran matriks.Perhatikan contoh matriks berikut:

A=[1 3 04 3 12 6 7 ]⋯→baris2

Kolom 1 kolom 3

Kolom 2

Matriks A terdiri dari 3 baris dan 3 kolom. Matriks A berordo 3 x 3 atau ditulis A(3x3)Secara umum matriks dapat ditulis

A=[a11 a12 ⋯ a1ka21 a22 a2k⋮⋮ab1

⋮⋮ab2

⋮⋮abk

]=A(bxk)

Dan dalam hal ini abk disebut elemen matriks pada baris ke-b kolom ke-k.B. Bentuk-bentuk matriks

1) MATRIKS NOL (0)Yaitu matriks yang semua elemennya bernilai nolContoh 1:

O=[0 00 0]

2) MATRIKS BUJUR SANGKARYaitu matriks yang banyak baris dan banyak kolomnyaa sama

Contoh

A=[1 23 7 ]B=[1 2 5

3 4 22 5 7 ]

Diagonal utama3) MATRIKS DIAGONAL

Yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen pada daigonal utamanya bernilai nol

Contoh

C=[1 00 7]D=[1 0 0

0 4 00 0 7]

4) MATRIKS SKALARYaitu matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai samaContoh 4:

E=[2 00 2]F=[4 0 0

0 4 00 0 4 ]

5) MATRIKS IDENTITAS (I)Yaitu matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu

Contoh

G=[1 00 1]H=[1 0 0

0 1 00 0 1]

6) MATRIKS SEGITIGA ATASYaitu matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diaogonal utamanya bernilai nol

Contoh

H=[1 20 7 ]I=[1 2 5

0 4 20 0 7]

7) MATIRKS SEGITIGA BAWAHYaitu matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol

Contoh

J=[1 03 7 ]K=[1 0 0

3 4 05 2 7 ]

C. Operasi Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks1) Operasi Penjumlahan

Matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B, yaitu dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.Contoh 8:

Diketahui matriks

A=[9 42 3 ]danB=[3 1

4 2]maka A+B=[9+3 4+12+4 3+2]=[12 5

6 5 ]2) Operasi Pengurangan

Matriks A dan matriks B dapat dikurangkan jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B, yaitu dengan cara mengurangkan elemen yang seletak.Contoh 9:

Diketahui

A=[9 42 3 ]danB=[3 1

4 2]maka A−B=[9−3 4−12−4 3−2]=[ 6 3

−2 1]3) Operasi Perkalian

Matriks A dan matriks B dapat dikalikan jika kolom matriks A sama dengan baris matriks BMisal A(p x q) dan B(r x s), maka A x B = C(p x s)Contoh 10:

Diketahui A=[1 23 4 ]danB=[5 6 9

7 8 0]A(2 x 2) x B(2 x 3) = C(2 x 3)

Maka A x B = [1 x5+2 x7 1 x6+2x 8 1x 9+2 x03x 5+4 x7 3x 6+4 x8 3 x9+4 x 0]=[19 22 9

43 50 27 ]IV. Metode Pembelajaran

Diskusi , penugasan

V. Langkah-langkah Pembelajaran

Kegiatan Waktu Pelaksanaan PembelajaranPendahuluan 10’ Guru menyiapkan mental dan fisik peserta didik (cek

kebersihan, kerapian, salam, doa dan cek kehadiran)Guru mengadakan pertanyaan-pertanyaan apersepsi:Pernahkah siswa membayangkan bahwa dalam persoalan sehari-hari salah satu contohnya dalam hal berbelanja ternyata dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks?Melalui media(papan tulis), guru menjelaskan dengan singkat tujuan pembelajaran/indikator yang akan dicapai

Inti 70’ Eksplorasi:Siswa mempelajari dirumah tentang operasi pada bilangan realElaborasi:Guru dan siswa mendiskusikan pengertian dan notasi matriksGuru dan siswa mendiskusikan bentuk-bentuk matriks.Guru dan siswa mendiskusikan operasi matriksSiswa diminta membuat sendiri contoh matriks dengan berpedoman kepada contoh yang diberikan guruKonfirmasi:Guru mencek contoh yang dibuat siswa

Penutup 10’ Guru bersama siswa membuat rangkuman/kesimpulan pelajaran:

Matriks adalah kumpulan bilangan (unsur) yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen - komponen matriks.Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital.Banyak baris x banyak kolom dari suatu matriks disebut ordo matriks atau ukuran matriks.Bentuk matriks dapat berupa matriks nol (matriks yang semua elemennya bernilai nol), matriks bujur sangkar(matriks yang banyak baris dan banyak kolomnya sama), matriks diagonal(matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen pada daigonal utamanya bernilai nol), matriks skalar(matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama), matriks identitas (matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu), matriks segitiga atas matriks bujur sangkar yang elemen - elemen di

bawah diagonal utamanya bernilai nol), matriks segitiga bawah (matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diaogonal utamanya bernilai nol).Operasi matriks terdiri atas 3 yaitu operasi tambah, kurang, dan kali. Syarat dua matriks atau lebih dapat ditambahkan adalah memiliki ordo matriks yang sama. Sedangkan syarat dua matriks dapat dikalikan adalah kolom matriks pertama harus sama dengan baris matriks kedua.

Guru menutup pertemuan dengan salamVI. Sumber/ Alat / Bahan

Buku teks : 1 Matematika Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) / Madrasah Aliyah

Kejuruan (MAK). Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian. Pengarang: SMK

2 Matematika Sekolah Menengah Kejuruan (SMK). Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian. Pengarang: Armico. Drs. MK. Alamsyah

3 Matematika program keahlian Teknologi, kesehatan, dan pertanian untuk SMK dan MAK kelas X. Pengarang : Kasmina, dkk. Erlangga

VII. PenilaianJenis : tesBentuk instrumen : tes lisan dan tulisan

Soal Kunci Jawaban Skor Sederhanakanlah

4 3 2 3 2 1 - 1 2 0 + 4 - 1 5

4 7 + 3 0 =

8 6 -3 - 2 =

3x - 2x 2y - - 2y =

( 4+3 3+2 2+1−1+4 2−1 0−1)

= (7 5 33 1 −1)

(4+3 7+0 )=(77)

( 8−6−3−2)=( 2−5)

(3 x−(−2 y )2 y−(−2 y))

(5 y4 y )

2

2

2

2

Tentukan hasil kali matriks berikut ini!

a. (3 1 )(1311 )

b.

(0 1 2 )( 4−13 )

a. ( (3 x13 )+ (1 x11 ) )=(39+11 )=(50) b. ((0x4)+(1x(-1))+(2x3)) = (0-1+6) = (5)

3

3

Bonjol, Maret 2010Kepala _____________ Guru Bidang Studi

__________________ ________________Nip. Nip.

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

II. IdentitasNama Sekolah : SMK N 1 BonjolMata Pelajaran : MatematikaKelas / Semester : x /2Standar Kompetensi : 4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan konsep matriksKompetensi Dasar : 4.3 Menentukan determinan dan invers matriksIndikator

4.3.1 Matriks ditentukan determinannya4.3.2 Matriks ditentukan inversnya4.3.3 Menyelesaikan persamaan linier dengan matriks

Alokasi Waktu : 2 x 45’III. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat:o Menentukan determinan suatu matriks ordo 2x2 dan ordo 2x3.o Menentukan invers suatu matriks ordo 2x2 dan ordo 2x3.o Penyelesaian persamaan linier dengan matriks

IV. Materi AjarA. Determinan dan invers matriks ordo 2x2

Determinan matriks ordo 2x2Matriks yang memiliki nilai diskriminan hanyalah matriks persegi. Nilai determinan suatu matriks ordo 2x2 adalah hasil kali elemen – elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen pada diagonal kedua.Misal:

Misalkan matriks A berordo 2x2, A = [a bc d ], maka determinan A adalah:

det A=¿|a bc d|=ad−bc¿

Determinan A dapat ditulis det A atau IAI.Contoh:

1. Tentukan determinan matriks A = [−6 −25 3 ]

Jawab: IAI = |−6 −25 3 |=(−6 ) .3— (−2).5=−18+10=−8

2. Jika diketahui |x 6−xx 3 |=10, tentukanlah nilai x yang memenuhi

persamaan tersebut.Jawab:

|x 6−xx 3 |=10

3 x−x (6−x )=10

3 x−6 x+x2=10x2−3 x−10=0( x−5 )(x+2)=0x=5atau x=−2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 5 atau -2Invers matriks ordo 2x2Perhatikan perkalian dua matriks berikut

Misalkan A = [3 51 2] dan B [ 2 −5

−1 3 ], maka

AB = [3 51 2] [ 2 −5

−1 3 ]=[3.2+5.(−1) 3. (−5 )+5.31.2+2.(−1) 1. (−5 )+2.3]=[1 0

0 1]=IDan sebaliknya,

BA = [ 2 −5−1 3 ] [3 5

1 2]=[2.3+ (−5 ) .1 2.5+(−5 ) .2(−1 ) .3+3.1 (−1 ) .5+3.2]=[1 0

0 1]=IPerkalian kedua matriks dengan urutan yang berbeda di atas

menghasilkan matriks identitas, yaitu AB = BA = I . Sehingga, dikatakan A dan B saling invers atau A disebut invers dari B atau B adalah invers dari A. Invers dari

A dilambangkan dengan A-1 dan dirumuskan sebagai berikut. Jika A[a ba d ]= ,

maka A-1 = 1

ad−bc [ d −b−c a ] dengan IAI = ad – bc ≠ 0.

Contoh:

1. Tentukan invers dari matriks A = [−2 5−7 17 ]

Jawab:

A−1= 1|A|[ d −b

−c a ]= 1(−2 ) .17−(−7 ) .5 [17 −5

7 −2]=[17 −57 −2]

2. Diketahui matriks P = [1 −42 −7] dan Q = [ 3 −8

−4 11 ]. Tentukan (PQ)-1:

PQ =

[1 −42 −7] [ 3 −8

−4 11 ]=[1.3+(−4 ) .(−4) 1. (−8 )+ (−4 ) .112.3+(−7 ) .(−4) 2. (−8 )+(−7 ) .11 ]=[19 −52

34 −93]→(PQ)−1= 119. (−93 )−34.(−52) [−93 52

−34 19]=[−93 52−34 19]

B. Determinan Matriks ordo 3x3Determinan matriks persegi berordo 3x3 dapat dicari dengan metode sarrus.

Misalkan A = [a b cd e fg h i ]. Dengan aturan Sarrus,determinan A adalah sebagai

berikut.

|A|=|a b cd e fg h i|

a bd eg h

_ _ _ + + += aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi= (aei + bfg+cdh) - (ceg+afh+bdi)

Contoh:Tentukan determinan dari matriks:

A=[ 5 2 −1−3 −2 41 0 3 ]’

|A|=| 5 2 −1−3 −2 41 0 3 | 5 2

−3 −21 0

= {5.(-2).3 + 2.4.1+(-1).(-3).0} - {(-1).(-2).1 + 5.4.0 + 2.(-3).3= -30 + 8 + 0 – 2 – 0 + 18= -6

V. Langkah-langkah PembelajaranKegiatan Waktu Pelaksanaan PembelajaranPendahuluan 10’ Guru menyiapkan mental dan fisik peserta didik (cek

kebersihan, kerapian, salam, doa dan cek kehadiran)Guru mengadakan pertanyaan-pertanyaan apersepsi:Apakah siswa masih ingat cara menentukan ordo matriks?Melalui media(papan tulis), guru menjelaskan dengan singkat tujuan pembelajaran/indikator yang akan dicapai

Inti 70’ Eksplorasi:Siswa mendalami penulisan ordo matriks dan operasi bilangan real

Elaborasi:Guru dan siswa mendiskusikan cara menentukan determian dan invers dari matriks ordo (2x2) dan matriks ordo (3x3)Siswa mengerjakan soal latihan tentang determian dan invers dari matriks ordo (2x2) dan matriks ordo (3x3) dari buku sumber serta penggunaan matriks dalam kehidupan sehari-hari.Guru dan siswa mendiskusikan tentang cara menyelesaikan sistem persamaan linier dengan mengunakan matriks. Siswa diminta mencari contoh dalam ke hidupan sehari-hari kemudian mengubah contoh masalah tersebut ke dalam bentuk matriks kemudian diselesaikan dengan aturan operasi matriks yang telah dipelajari.Konfirmasi:Guru mencek jawaban siswa

Penutup 10’ Guru bersama siswa membuat rangkuman/kesimpulan pelajaran:

Misalkan matriks A berordo 2x2, A = [a bc d ], maka

determinan A adalah:

det A=¿|a bc d|=ad−bc¿

Jika A[a ba d ]= , maka A-1 =

1ad−bc [ d −b

−c a ] dengan IAI = ad – bc ≠ 0.

Misalkan A = [a b cd e fg h i ]. Dengan aturan

Sarrus,determinan A adalah sebagai berikut.

|A|=|a b cd e fg h i|

a bd eg h

_ _ _ + + += aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi= (aei + bfg+cdh) - (ceg+afh+bdi)

Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks sama artinya dengan mengambil koefisien variabel yang diketahuinya dan membentuknya ke dalam bentuk kolom dan baris.

Guru menutup pertemuan dengan salam

VI. Sumber/ Alat / BahanBuku teks :

1. Matematika Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) / Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK). Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian. Pengarang: SMK

2. Matematika Sekolah Menengah Kejuruan (SMK). Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian. Pengarang: Armico. Drs. MK. Alamsyah

3. Matematika program keahlian Teknologi, kesehatan, dan pertanian untuk SMK dan MAK kelas X. Pengarang : Kasmina, dkk. Erlangga

4. Lingkungan

VII. PenilaianJenis : tesBentuk instrumen : tes uraian

Soal Kunci Jawaban Skor Carilah invers matrik berikut jika ada !

4 2A = 2 2

A-1 = 1

4.2−2.2 [2 22 4]

¿ 14 [2 22 4 ]=[ 1 /2 −1/2

−1/2 1 ]3

Carilah determinan dari matriks di bawah ini !

5 - 2 - 1B = 1 9 4

3 2 - 2

Det B = |5 −2 −11 9 43 2 −2|

5 −21 93 2

¿|5.9 . (−2 )+(−2 ) .4 .3+(−1 ) .1.2—1 ) .9 .3−5.4 .2— 2.1. (−2 ) = 133

Perhatikanlah !Daftar belanja siswa

Nama Alat TulisBuku Pulpen

AhmadBaduNani

436

313

Jika ahmad membayar seharga Rp. 11.000Badu membayar seharga Rp. 7.000

Dari data dapat dibuatkan matriks 3x2 sebagai berikut:

[4 33 16 3] [ xy ]=[11.0007.000

15.000 ]Diperoleh hasil perkalian matriks4 x+3 y=11.000 ...(1)3 x+ y=7.000 ...(2)6 x+3 y=15.000 ...(3)Dengan menggunakan eliminasi hilangkan

17

Nani membayar seharga Rp. 15.000Tetnukan harga satu buku dan satu pulpen

variabel yEliminasi (1) dan (2) untuk menghilangkan variabel y4 x+3 y=11.000 dikali 13 x+ y=7.000 dikali 3 4 x+3 y=11.000 9 x+3 y=21.000 -

−5 x=−10.000x=2.000 Subsitusikan nilai x=2.000 ke persamaan (1) atau (2) untuk menghitung nilai yMisal ke persamaan (2)

3 (2.000 )+ y=7.0006.000+ y=7.000=7.000−6.000

¿1.000Jadi harga satu buku adalah Rp. 2.000 dan harga satu pulpen Rp. 2.000

Bonjol, Maret 2010Kepala _____________ Guru Bidang Studi

__________________ ________________Nip. Nip.