Ungkapan Kuadratik

Ungkapan kuadratik (quadratic expressions) adalah ungkapan yang memenuhi ciri-ciri berikut:

1. Mempunyai hanya satu pemboleh ubah.2. Mempunyai 2 sebagai kuasa tertinggi pemboleh-ubah. 

Contoh: 

3x2 + 2x + 3 adalah ungkapan kuadratik, di mana 

(i) pemboleh-ubahnya adalah x, 

(ii) kuasa tertinggi x ialah 2.

Ungkapan kuadratik dengan tiga sebutan (three terms) adalah ungkapan berbentuk ax2 + bx + c, dimana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0, contohnya 2x2 + 3x + 5.

Berikut adalah juga ungkapan kuadratik:

dengan dua sebutan, contohnya 2x2 + 4x, c = 0 dengan satu sebutan, contohnya 5p2, b = c = 0

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk dengan mendarab dua ungkapan linear, contohnya (x - 1) (2x + 3) = 2x2 + x - 3.

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk untuk mewakili situasi dengan mewakilkan pembolehubah dalam masalah tersebut dengan simbol. Simbol biasanya adalah huruf, contohnya x. Dalam kes-kes tertentu, simbol yang digunakan adalah dinyatakan dalam permasalahan tersebut.

Contoh 1:Nyatakan samada setiap yang berikut adalah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh-ubah. Beri alasan-alasan bagi jawapan.

5x2 - 2x + 1

Jwb:Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, x, dan kuasa tertinggi x ialah 2.

-3g2 

Jwb:

Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, g, dan kuasa tertinggi g ialah 2.

3b - 4

Jwb:Tidak. Walaupun terdapat hanya satu pemboleh ubah, b, tetapi kuasa tertinggi b ialah 1. 

a2 - b2 

Jwb:Tidak. Ia mempunyai dua pemboleh ubah, a dan b.

p2 + 1

Jwb:Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, p, dan kuasa tertinggi p ialah 2.

x(x3 + x - 2)

Jwb:Tidak. Ia tidak boleh ditulis dalam bentuk ax2 + bx + c.

Contoh 2:Darabkan ungkapan linear berikut.

(2x - 3)(x + 1)Jwb:= 2x(x + 1) - 3(x + 1)= 2x2 + 2x - 3x -3= 2x2 - x - 3

-y(y - 5)Jwb:= -y x y + (-y) x (-5)= -y2 + 5y

Contoh 3:Tulis ungkapan bagi luas segi empat tepat yang ditunjukkan dalam gambar rajah.

Jwb:Luas = Panjang x Lebar= (x + 1)(x + 3)= x(x + 3) + 1(x + 3)= x2 + 3x + x + 3= x2 + 4x + 3

ngka Bererti

Angka bererti (significant figures, s.f.) merujuk kepada angka yang berkaitan integer atau perpuluhan, yang telah digenapkan kepada ketepatan darjah yang ditentukan (specified degree of accuracy).

Contoh 1

Nyatakan bilangan angka bererti (a.b.) dalam setiap nombor berikut;

5 279Jwb: 4 angka bererti

52 009Jwb: 5 angka bererti

0.001 25Jwb: 3 angka bererti

0.010 41Jwb: 4 angka bererti

Contoh 2

Ungkapkan setiap nombor yang berikut tepat kepada 1 angka bererti (1 a.b.), 2 angka bererti (2 a.b.) dan 3 angka bererti (a.b.).

87 310 9 875 1 009 0.045 62 0.002 31

Jwb:

Nombor 1 angka bererti

2 angka bererti

3 angka bererti

87 310 90 000 87 000 87 3009 875 10 000 9 900 9 8801 009 1 000 1 000 1 010

0.045 62 0.05 0.046 0.045 60.002 31 0.002 0.002 3 0.002 31

PENGENALAN1.1 PendahuluanMatematik merupakan satu cabang ilmu yang sangat luas penggunaan dankeperluannya. Kepentingannya kepada manusia telah disedari sejak dahulu lagimalahan orang yang hidup beribu-ribu tahun sebelum ini telah menggunakan konsepMatematik untuk memenuhi keperluan hidup mereka. Kini, Matematik semakinmaju dengan aplikasinya dalam kehidupan harian masyarakat yang kian bertambahdan penemuan-penemuan psikologi mengenai pembelajaran Matematik yangmendesak perubahan ke atas ilmu tersebut.Bagi memenuhi tuntutan tersebut, kurikulum Matematik digubal oleh pihakKementerian Pendidikan Malaysia (KPM) bagi memastikan rakyat Malaysia dapatmenerima pendidikan dalam bidang ini sejak awal lagi. Kurikulum yang telahdigubal menggariskan beberapa matlamat tertentu yang antara lain adalah untukmemastikan bahawa para pelajar mampu menggunakan konsep asas dalamMatematik bagi menyelesaikan masalah yang berkaitan dalam kehidupan seharianmereka. Lebih daripada itu, pendekatan dan strategi pengajaran dan pembelajaranyang dirasakan sesuai turut dicadangkan untuk menjadikan proses pengajaran danpembelajaran yang berkesan dapat dicapai.Kurikulum dan Sukatan Pelajaran yang telah digubal adalah selari denganFalsafah Pendidikan Kebangsaan (FPK) yang memberi tumpuan kepada2perkembangan potensi diri individu secara menyeluruh dan bersepadu untukmelahirkan insan yang seimbang dari segi jasmani, emosi, rohani serta intelekberdasarkan kepada kepercayaan dan kepatuhan kepada Tuhan (Pusat PerkembanganKurikulum, 2001). Dengan mengambil kira faktor keperluan dan kepentingannyadalam kehiduapan seharian, adalah amat penting bagi setiap individu pelajar untukmenguasai konsep dan pengetahuan dalam bidang Matematik ini. Malangnya, masihwujud dalam kalangan pelajar di negara ini tidak sedar akan kepentingan tersebut.Kebanyakan daripada mereka merasakan Matematik adalah sangat sukar dan inimenjadikan halangan yang sangat besar bagi mereka untuk menguasai pengetahuantersebut.Walau bagaimanapun masih ramai lagi yang meminati bidang ini tetapikurang menonjol disebabkan halangan lain seperti kesilapan dalam penyelesaianmasalah.“Dalam konteks pembelajaran dalam bilik darjah, guru-guru selalu beranggapanbahawa para pelajar dapat mengikuti pengajaran dengan baik setelah merekamenerangkan tentang topik yang diajar. Namun, apabila guru-guru memberikansatu set latihan kepada para pelajar untuk menguji kefahaman mereka ternyata

hasilnya tidak seperti yang mereka harap dan jangkakan.”(Suwattana, 2004)Berdasarkan kepada kenyataan di atas, dapat disimpulkan tidak semua pelajardapat mengikuti proses pengajaran dan pembelajaran dengan baik. Walaupunpelbagai teknik dan pendekatan pengajaran cuba dilaksanakan oleh guru untukmencapai pengajaran berkesan, namun ia tidak menjanjikan bahawa kesalahan tidakakan wujud. Sebaliknya, terdapat berbagai-bagai kesalahan yang dilakukan pelajardalam menyelesaikan masalah yang diberikan. Kesalahan-kesalahan tersebut pulahanya dapat dikesan melalui latihan-latihan yang diberikan selepas sesi pengajaran.Pelbagai kemungkinan dijangkakan boleh berlaku termasuklah pelajar tidak dapatmemahami kehendak soalan, salah faham tentang konsep, kecuaian dalam membuatjalan penyelesaian dan sebagainya.3Bagi meningkatkan penguasaan pelajar terhadap sesuatu tajuk Matematikkesalahan-kesalahan yang kerap dilakukan tersebut perlu dikenal pasti danseterusnya diatasi. Menurut Normunirah (2006), pelajar perlu mempunyai kebolehandalam menguasai Matematik dengan cemerlang disebabkan terdapat pelbagaikemahiran berkaitan yang perlu dikuasai oleh pelajar. Antaranya adalah sepertikecerdasan mental, kebolehan menguasai sesuatu kemahiran, minat dan motivasiserta gaya pembelajaran yang berkesan. Menurutnya lagi, guru perlu mengambil kiraperbezaan individu di kalangan pelajar khususnya kesalahan lazim yang pelbagai. Iadapat mengelakkan sesetengah pelajar menghadapi kesukaran untuk mengikuti sesipengajaran dan pembelajaran.1.2 Latar belakang Masalah.Kebanyakan pelajar sering beranggapan bahawa Matematik adalah matapelajaran yang sangat sukar. Tanggapan negatif ini kemudiannya menyebabkankebanyakan mereka tidak mampu menguasai konsep Matematik walaupun padaperingkat yang asas. Tanggapan bahawa Matematik adalah satu mata pelajaran yangrumit dan membosankan menjadi kekangan besar kepada pelajar untuk menguasaikonsep Matematik.Dalam menangani masalah seperti ini, peranan guru dalam memupuk minatpara pelajar terhadap Matematik sememangnya tidak dapat dinafikan. Kaedah, teknikserta pendekatan yang digunakan dalam pengajaran menentukan reaksi, sikap danminat pelajar terhadap mata pelajaran Matematik. Menurut Mohd Salahuddin (2006),guru berperanan memupuk semangat belajar dalam kalangan pelajar sertamenghapuskan perasaan takut yang ada dalam diri pelajar terhadap Matematik.Pendekatan pengajaran yang menarik dan berkesan mampu menarik minat pelajarsekaligus mengubah tanggapan mereka terhadap Matematik.Walau bagaimanapun, cara bagaimana mereka dapat mengatasi masalah inimenjadi cabaran utama kepada guru-guru Matematik. Menurut Shahrina (2006),walaupun pendekatan guru Matematik hari ini semakin berubah; tidak lagi4digambarkan berwatak garang dan suka merotan, minat para pelajar tetap sukaruntuk dipupuk.Dalam situasi yang lain pula, walaupun Matematik dianggap sebagai suatubidang ilmu yang mudah dan menarik untuk dipelajari, namun kesalahan-kesalahan

yang dilakukan dalam penyelesaian masalah menyebabkan tahap penguasaan sesuatutajuk dalam Matematik berada pada tahap yang lemah. Kesalahan-kesalahan iniberpunca daripada berbagai-bagai faktor. Menurut Hansen (2005), kesalahankesalahantersebut mungkin disebabkan kecuaian, kesilapan menginterpretasi simboldan pernyataan, kurangnya pengetahuan dan kefahaman berkaitan tajuk Matematiktertentu, kesalahfahaman dan tidak mempunyai inisiatif menyemak semula jawapan.Menurut Koshy (dalam Hansen, 2005), pelajar akan merasa sangat marahpada diri, tertekan dan kecewa apabila menyedari mereka melakukan kesalahandalam penyelesaian masalah yang dilakukan. Kenyataan ini jelas menunjukkanbahawa para pelajar sendiri mempunyai kecenderungan untuk melakukan yangterbaik dalam penyelesaian masalah yang diberikan kepada mereka. Walaupun dariperspektif pencapaian dan kecemerlangan, kesalahan yang dilakukan oleh parapelajar dapat menjejaskan prestasi mereka menguasai sesuatu tajuk, namun masihterdapat nilai positif daripada kesalahan tersebut. Ini bertepatan dengan kenyataanyang dibuat oleh Cockburn dan Koshy (dalam Hansen, 2005), bahawa kesalahandalam Matematik dapat memberi gambaran yang berguna kepada guru-guru tentangpemikiran dan pemahaman pelajar, membantu dalam proses pentaksiran serta pelajarjuga dapat belajar daripada kesilapan mereka yang lalu.Kelemahan dalam Matematik bagi sesetengah pelajar telah menjadi titik tolakkepada banyak kajian seperti kajian yang dibuat oleh Kaliski (1967), dan Normanserta Zigmond (1980) (dalam Panel Penyelidik Projek Sekolah Angkat MPSK1996/1997). Dalam penyelesaian masalah Matematik, setiap pelajar menghadapairisiko melakukan kesalahan dalam kerja-kerja pengiraan mereka. Di Malaysia, kajianberkaitan dengan diagnosis kesalahan lazim dalam Matematik semakin banyakdijalankan. Antaranya kajian oleh Shahrina (2006), Normunirah (2006), dan Afidah(2007) di mana masing-masing mendiagnos kesalahan lazim dalam tajuk-tajukMatematik yang berbeza-beza.5Secara umumnya, kesalahan lazim dapat difahami sebagai kesalahankesalahanyang kerap dilakukan dalam menyelesaikan masalah. Kesalahan lazim inidapat memberi kesan negatif kepada pencapaian dan penguasaan pelajar dalamsesuatu tajuk. Kekerapan kesalahan dilakukan dapat dikesan dan ini memberi ruangkepada guru-guru dan pelajar untuk mengatasi kelemahan mereka melalui penekananterhadap kesalahan lazim.Setakat ini, tidak banyak kajian yang dijalankan untuk mendiagnos kesalahanlazim pelajar dalam tajuk Ungkapan dan Persamaan Kuadratik sedangkan tajuk inidilihat sangat penting dalam kehidupan seharian. Tajuk ini dikategorikan di bawahcabang perkaitan. Dalam kehidupan seharian, manusia perlu bijak melihat danmembuat perkaitan (Pusat Perkembangan Kurikulum, 2001). Di samping itu, tajukini juga sangat penting kerana konsep persamaan dan ungkapan berkaitan diperlukanuntuk menyelesaikan masalah-masalah tertentu dalam tajuk-tajuk lain. Ia jugamenjadi asas kepada cabang ilmu Matematik yang lain.Beberapa kajian yang dijalankan berkaitan dengan tajuk Ungkapan danPersamaan Kuadratik menunjukkan bahawa tahap penguasaan pelajar dalam tajuk iniadalah lemah. Menurut Wong (1987), pelajar-pelajar tingkatan empat dan lima masihlemah dalam kemahiran asas untuk menyelesaikan permasalahan Matematik dengan

baik terutamanya dalam tajuk Ungkapan dan Persamaan Kuadratik. Dalam kajianyang dijalankan oleh Mohd Salahuddin (2006), mendapati pelajar masih lemahdalam pengiraan untuk menyelesaikan masalah persamaan algebra dan pelajar tidakmemahami konsep asas persamaan kuadratik itu sendiri.Justeru, satu kajian yang berkaitan untuk mengkaji jenis-jenis kesalahan yangkerap dilakukan oleh pelajar dalam tajuk Ungkapan dan Persamaan Kuadratik perludilakukan bagi mengenal pasti tahap penguasaan pelajar dalam tajuk tersebut danmengenal pasti jenis-jenis kesalahan lazim yang dilakukan oleh pelajar dalampenyelesaian masalah berkaitan. Langkah ini penting bagi meningkatkan penguasaanpelajar dalam Matematik dan seterusnya memberi peluang kepada mereka untukmengembangkan potensi diri masing-masing khususnya dalam bidang Matematik.61.3 Pernyataan masalahKelemahan pelajar dalam tajuk Ungkapan dan Persamaan Kuadratik dapatdiatasi dengan mengukuhkan kefahaman mereka dalam konsep asas tajuk tersebutserta mengenal pasti kesalahan-kesalahan lazim yang dilakukan.Menyedari bahawa kesalahan-kesalahan lazim sama ada yang disebabkankecuaian, salah konsep dan sebagainya dapat menjejaskan penguasaan pelajar dalamtajuk pembelajaran tertentu, maka kajian ini perlu dilakukan untuk mengenal pastikesalahan-kesalahan lazim yang dilakukan pelajar dalam tajuk Ungkapan danPersamaan Kuadratik dan dalam konteks kajian ini melibatkan pelajar tingkatanempat Sekolah Menengah Kebangsaan Bandar Mas. Selain itu, kajian ini jugabertujuan untuk menentukan tahap penguasaan pelajar dalam tajuk Ungkapan danPersamaan Kuadratik tingkatan empat.Dengan adanya maklumat tentang jenis-jenis kesalahan lazim yang dilakukanoleh pelajar dalam Ungkapan dan Persamaan Kuadratik, usaha-usaha bolehdilakukan bagi mengatasi kelemahan tersebut. Strategi pengajaran dan pembelajaranyang lebih teratur dan sistematik dapat dilaksanakan bagi meningkatkan penguasaanpelajar dalam tajuk tersebut. Menurut Nik Azis (1999), strategi pengajaran danpembelajaran ini perlu melibatkan pengalaman aktif, reflektif dan pengabstrakan.1.4 Objektif Kajian.Terdapat dua objektif dalam kajian ini iaitu:1. Menentukan tahap penguasaan pelajar tingkatan empat Sekolah MenengahKebangsaan Bandar Mas dalam tajuk Ungkapan dan Persamaan Kuadratik.2. Mengenal pasti kesalahan-kesalahan lazim yang dilakukan pelajar tingkatanempat dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan Ungkapan danPersamaan Kuadratik1.5 Persoalan Kajian.Terdapat dua persoalan bagi kajian ini iaitu:1. Apakah tahap penguasaan pelajar tingkatan empat Sekolah MenengahKebangsaan Bandar Mas dalam tajuk Ungkapan dan Persamaan Kuadratik?2. Apakah kesalahan-kesalahan lazim yang kerap dilakukan oleh pelajar-pelajardalam penyelesaian masalah Ungkapan dan Persamaan Kuadratik?