ANALISIS REGRESI MODEL KUADRATIK

MAKALAH

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Analisis Regresi

yang dibina oleh Ir. Hendro Permadi, M.Si

Oleh

Miftahur Rohmah ( 408312408015 )

Nindy Sagita ( 408312409123 )

Dyah Ayu Puspitasri ( 408312409601 )

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

September 2010

PENDAHULUAN

Latar belakang

Analisis regresi merupakan salah satu uji statistika yang memiliki dua jenis pilihan

model yaitu linear dan non linear dalam parameternya. Keliniearan analisis regresi dapat diuji

melalui suatu pengujian hipotesis, dimana jika hipotesis nol itu diterima maka disimpulkan

bahwa pendekatan regresi linear sederhana yang dilakukan sudah mendekati pola data yang

dibentuk pasangan data x dan y, atau dikatakan model yang diperoleh sudah mendekati pola

data asli. Akan tetapi jika hipotesis nol ditolak maka pendekatan analisis regresi linear

sederhana tidak dapat dilakukan untuk menarik kesimpulan dari pasangan data x dan y, dan

sebagai gantinya digunakanlah analisis regresi non-linear yang parameternya bersifat

kuadratik dan kubik dengan kurva yang dihasillkan membentuk garis lengkung .

Rumusan Masalah

1. Apakah yang dimaksud dengan regresi non linear model kuadratik?

2. Bagaimanakah aplikasi dari regresi non linear model kuadratik ke dalam soal?

3. Bagaimana anova yang diperoleh dari data yang diolah?

Tujuan

1. Untuk mengetahui pengertian dari regresi non linear model kuadratik.

2. Untuk mengetahui aplikasi dari regresi non linear model kuadratik dalam soal.

3. Mengetahui anova yang diperoleh dari data yang diolah.

PEMBAHASAN

Regresi non linear model kuadratik merupakan hubungan antara dua peubah yang

terdiri dari variabel dependen ( Y ) dan variabel independen ( X ) sehingga akan diperoleh

suatu kurva yang membentuk garis lengkung menaik (β2>0) atau menurun (β2<0). Bentuk

persamaan matematis model kuadratik secara umum menurut Steel dan Torrie (1980) adalah :

(a). Polynomial : E(Y) = β0 + β1X + β2X2

(b). Exponensial : E(Y) = β0β1x

(c). Logaritma : Log E(Y) = β’0β’1X

Untuk mengaplikasikan analisis regresi non linear dalam makalah ini yaitu dengan

membahas model polynomial kuadratik dengan rumus matematis adalah sebagai berikut :

y = a0 + a1x + a2 x2

Untuk menduga koefisien , dan dapat menggunakan metode kuadrat terkecil

yang dibantu dengan bentuk catatan matrik. Langkah awal menggunakan metode kuadrat

terkecil dengan meminimumkan:

yaitu dengan mengenolkan turunan sebagian dari persamaan di atas yang diturunkan terhadap

, dan , diperoleh:

Sehingga diperoleh system persamaan linear dalam , dan , sebagai berikut:

Dari persamaan diatas dapat diperoleh persamaan normal matriknya :

=

A b = g

( X’X ) b = ( X’Y )

Contoh soal:

1. Seorang dosen olahraga ingin melakukan penelitian terhadap hasil loncat jauh

mahasiswanya (y) yang dikaitkan dengan lamanya melakukan pemanasan (x). Dari hasil

pengumpulan data yang berkaitan dengan lama pemanasan dan hasil loncatan atas sampel

10 mahasiswa yang diambil secara random, sebagai berikut:

Lama pemanasan

(menit)

(X)

Hasil loncat jauh

(meter)

(Y)

5,0 3,00

7,5 3,15

10,0 3,50

12,5 3,70

15,0 3,90

17,5 3,85

20,0 3,80

20,5 3,75

21,0 3,65

22,0 3,60

Mengerjakan menggunakan minitab

x y COEF1 FITS1 RESI1 SRES1

5,0 3,00 3,02991 3,21537 -0,215371 -1,35571

7,5 3,15 0,03709 3,30810 -0,158101 -0,89994

10,0 3,50 3,40083 0,099169 0,53084

12,5 3,70 3,49356 0,206439 1,06822

15,0 3,90 3,58629 0,313709 1,60496

17,5 3,85 3,67902 0,170979 0,88323

20,0 3,80 3,77175 0,028249 0,15067

20,5 3,75 3,79030 -0,040296 -0,21695

21,0 3,65 3,80884 -0,158842 -0,86423

22,0 3,60 3,84593 -0,245934 -1,37153

Worksheet size: 100000 cells

Regression Analysis

The regression equation is

y = 3,03 + 0,0371 x

Predictor Coef StDev T P

Constant 3,0299 0,1823 16,62 0,000

x 0,03709 0,01128 3,29 0,011

S = 0,2060 R-Sq = 57,5% R-Sq(adj) = 52,2%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 1 0,45938 0,45938 10,82 0,011

Residual Error 8 0,33962 0,04245

Total 9 0,79900

-0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3

-1

0

1

Norm

al S

core

Residual

Normal Probability Plot of the Residuals

(response is y)

Gambar di atas menunjukkan hubungan antara x (variable terikat ) dan y (variable bebas)

5 10 15 20

3,0

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

x

y

Y = 3,02991 + 3,71E-02X

R-Sq = 57,5 %

uji linier

Untuk mengetahui bahwa data yang kita olah merupakan model kuadratik, terlebih

dahulu kita uji dengan uji linear. Dari gambar di atas kita mengetahui bahwa R-Sq=57,5%,

sedangkan apabila data tersebut merupakan model liniear seharusnya R-Sq mendekati 95%.

Jadi dari uji linear ini kita mengetahui bahwa data yang kita peroleh tidak cocok

menggunakan model liniear. Sehingga kita mencoba menguji data yang kita peroleh

menggunakan uji kuadratik dan kita peroleh gambar seperti di bawah ini.

5 10 15 20

3,0

3,5

4,0

x

y

Y = 1,93469 + 0,229174X - 6,91E-03X**2

R-Sq = 95,4 %

uji kudratik

Dari gambar diatas kita dapat melihat bahwa data yang kita peroleh lebih cocok untuk

model kuadratik karena R-Sq=95,4% yaitu memenuhi R-Sq=95%.

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

0

1

2

Residual

Fre

qu

en

cy

Histogram of Residuals

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2

-1

0

1

2

Observation Number

Re

sid

ua

l

I Chart of Residuals

X=-0,04704

3,0SL=1,707

-3,0SL=-1,802

3,0 3,2 3,4 3,6 3,8

-1

0

1

2

FitR

esid

ua

l

Residuals vs. Fits

-1 0 1

-1

0

1

2

Normal Plot of Residuals

Normal Score

Re

sid

ua

l

model kuadratik

Polynomial Regression

Y = 1,93469 + 0,229174X - 6,91E-03X**2

R-Sq = 95,4 %

Analysis of Variance

SOURCE DF SS MS F P

Regression 2 0,762375 0,381188 72,8555 2,06E-05

Error 7 0,036625 0,005232

Total 9 0,799000

SOURCE DF Seq SS F P

Linear 1 0,459384 10,8212 1,10E-02

Quadratic 1 0,302992 57,9101 1,25E-04

5 10 15 20

3,0

3,5

4,0

x

y

Y = 1,93469 + 0,229174X - 6,91E-03X**2

R-Sq = 95,4 %

Regression

95% CI

95% PI

Model Kuadratik

Memeriksa mean square

R-Sq atau koefisien determinasi menyatakan seberapa besar keragaman variable X

mempengaruhi Y. Berdasarkan perhitungan minitab diperoleh R-Sq sebesar 95,4 . R-Sq

berkisar antara 0 sampai 1, dengan catatan semakin kecil nilai R-Sq, semakin lemah hubungan

antara kedua variabel(begitu juga sebaliknya).

Pengujian koefisien regresi

Hipotesis :

artinya tidak ada pengaruh waktu pemanasan terhadap jauhnya loncatan.

0: 11 bH artinya ada pengaruh waktu pemanasan terhadap jauhnya loncatan.

Menggunakan uji T:

Ttabel dengan 05.0 diperoleh hasil 2,1098.

Thitung dari hasil minitab sebesar 29,48.

Karena Thit>Ttabel sehingga menolak H0.

Hal ini berarti ada pengaruh waktu pemanasan terhadap jauhnya loncatan.

Pengujian model regresi

Hipotesis:

H0: model yang diperoleh tidak berarti.

H1: model yang diperoleh berarti.

Menggunakan uji F:

Ftabel dengan derajat bebas (2) dengan 05.0 sebesar 1. sedangkan F hitung dari

minitab 72,8555. Karena Fhit>Ftabel maka menolak H0 dengan kata lain model yang

diperoleh berarti.

Pengujian asumsi

1. Uji Kebebasan

1,0 1,5 2,0

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Auto

corr

ela

tion

1

2

-0,09

-0,09

-0,29

-0,28

0,11

0,23

Lag Corr T LBQ

Uji Kebebasan

Dari gambar di atas grafik tidak membentuk garis corong atau membentuk garis

horizontal dan plot autokorelasi dari nilai sisaannya tidak membentuk pola acak yang

berarti bahwa dapat dikatakan tidak ada autokorelasi antarsisaan atau saling bebas.

2. Uji Normalitas

Average: -0,0000000

StDev: 0,0637920

N: 10

Anderson-Darling Normality Test

A-Squared: 0,205

P-Value: 0,821

-0,1 0,0 0,1

,001

,01

,05

,20

,50

,80

,95

,99

,999

Pro

bability

RESI2

Uji Normalitas

Tampak titik-titik plot tidak jauh dari garis merah dan karena P-value (0.821) >

α(0,05) maka memenuhi asumsi kenormalan sisaan. Selain itu, dari gambar di atas

dapat kita lihat bahwa plot yang terbentuk membentuk suatu garis lurus, maka dapat

dikatakan sisaan mengikuti sebaran normal.

3. Uji kehomogenitasan

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

Observation Number

Ind

ivid

ua

l V

alu

e

I Chart for RESI1

X=-1,3E-16

3,0SL=0,3217

-3,0SL=-0,3217

Dari grafik diatas dapat kita simpulkan bahwa antara variable terikat dengan variable

bebas mempunyai keragaman yang homogen, dengan melihat titik-titik plotnya saling

menyebar dan tidak ada titik plot yang melewati 2 garis merah itu berarti tidak ada

data pencilan.

Mengerjakan menggunakan SPSS

MODEL: MOD_1.

Dependent variable.. X Method.. LINEAR

Listwise Deletion of Missing Data

Multiple R ,75825

R Square ,57495

Adjusted R Square ,52182

Standard Error 42,11958

Analysis of Variance:

DF Sum of Squares Mean Square

Regression 1 19197,525 19197,525

Residuals 8 14192,475 1774,059

F = 10,82124 Signif F = ,0110

-------------------- Variables in the Equation --------------------

Variable B SE B Beta T Sig T

Y 1,550063 ,471206 ,758253 3,290 ,0110

(Constant) -405,472466 169,686459 -2,390 ,0439

Dependent variable.. X Method.. QUADRATIC

Listwise Deletion of Missing Data

Multiple R ,79868

R Square ,63789

Adjusted R Square ,53443

Standard Error 41,56033

Analysis of Variance:

DF Sum of Squares Mean Square

Regression 2 21299,171 10649,586

Residuals 7 12090,829 1727,261

F = 6,16559 Signif F = ,0286

-------------------- Variables in the Equation --------------------

Variable B SE B Beta T Sig T

Y 16,316618 13,394922 7,981699 1,218 ,2626

Y**2 -,021421 ,019420 -7,227801 -1,103 ,3065

(Constant) -2928,738899 2293,625818 -1,277 ,2424

X

Y

400380360340320300280

300

200

100

0

Observed

Linear

Quadratic

1. Uji F

Dari table ANOVA diatas diperoleh sebesar 6,16559 dengan tingkat signifikansi

sebesar 0,0286. Oleh karena probabilitas (0,0286) < 0,05(dalam kasus ini menggunakan

taraf signifikansi atau =5%), maka model regresi nonlinier quadratik ini dapat digunakan

untuk memprediksi jauhnya loncatan. Biasanya output ini digunakan untuk menguji

hipotesis. Hipotesisnya yaitu :

H0 : tidak ada hubungan antara waktu pemanasan terhadap jauhnya loncatan.

H1 : ada hubungan antara waktu pemanasan terhadap jauhnya loncatan.

Ftabel = 1

Karena statistik hitung (Fhitung) = 6,16559 > statistik tabel(Ftabel) = 1, maka menolak H0,

dan probabilitas (0,0286) jauh lebih kecil dari 0.05 maka model regresi dapat dipakai

untuk memprediksi jauhnya loncatan.

2. Uji T

Uji t digunakan untuk menguji signifikansi konstanta dan variabel independen

(pengamatan).

Menguji signifikan konstanta pada model.

Hipotesis:

H0 : koefisien regresi a tidak signifikan.

H1 : koefisien regresi a signifikan.

Dalam tabel koefisien diperoleh nilai signifikan sebesar 0,0286 dibandingkan dengan taraf

signifikan (=5%) 0,05 maka :

Sig = 0,0286 < = 0,05, maka disimpulkan bahwa menolak H0, yang berarti koefisien

regresi a signifikan.

3. Kesimpulan dari jawaban mengenai analisis data diatas kita memperoleh :

Pada kasus ini, seluruh responden mempunyai kemampuan yang hampir sama,

sehingga perbedaan jauh loncatan memang dipengaruhi oleh lamanya melakukan pemanasan.

Secara teoritis dosen tersebut telah menemukan bahwa semakin lama melakukan pemanasan

akan menurunkan kemampuan loncatan. Dengan demikian dosen tersebut mempunyai

praduga bahwa hubungan antara lama melakukan pemanasan dan jauh loncatan tidak

berbentuk garis linear tapi berbentuk parabola.

KESIMPULAN

Analisis regresi memiliki dua sifat analisis yaitu bersifat linear dan non linear. Pada

sifat linear, maka kurva akan membentuk arah menaik atau menurun dengan garis lurus

tergantung pada hubungan antara variabel dependen dan variabel independen baik sederhana

maupun berganda. Sedangkan non linear memiliki dua model yaitu model kuadratik dan

kubik dengan kurva membentuk garis lengkung.

Dalam analisis regresi non linear pada program statistik SPSS, maka pokok utama

adalah terlebih dahulu ditentukannya "nilai" pada parms untuk masing-masing parameter,

kemudian menentukan model analisis, dan derivative (DER.) pada setiap parameter.

Persamaan regresi non linear model polynomial kuadratik pada analisis data hubungan antara

lamanya pemanasan terhadap jauhnya loncatan adalah Y = 1,93469 + 0,229174X - 6,91E-

03X**2.

Dengan demikian pendekatan analisis regresi non linear model polynomial kuadratik

dapat diaplikasikan pada hubungan antara lamanya pemanasan terhadap jauhnya loncatan.