1

Perkara Muka surat

1. Soalan Tugasan ms. 2

2. i) Jawapan (a)

ii) Jawapan (b)

iii) Jawapan (c)

iv) Jawapan (d)

ms. 3-5

ms. 6-8

ms. 9-11

ms. 12-13

3. Rumusan Tugasan ms. 14

4. Rujukan ms. 15

5. Lampiran

2

SOALAN TUGASAN

Anda merupakan seorang guru mata pelajaran Bahasa Inggeris untuk sebuah kelas yang

mempunyai seramai 20 orang pelajar. Dalam satu peperiksaan akhir tahun, anda hendak

mengenalpasti tahap pencapaian pelajar anda. Berikut merupakan markah yang diperolehi

oleh pelajar-pelajar di dalam kelas tersebut :

91 78 85 92 68

62 98 51 78 80

82 61 94 72 42

78 81 67 78 88

Berdasarkan jadual di atas, jawab soalan-soalan berikut:

a) Kira varians dan sisihan piawai bagi data di atas.

b) Katakanlah gred sekolah tersebut pada lekukan loceng (Bell Curve) adalah A, B, C, D

dan F. Jelaskan bagaimana anda hendak memberikan gred pada kelas tersebut dengan

pengiraan yang relevan.

c) Lukis satu graf lekukan loceng (Bell Curve) untuk menunjukkan taburan skor piawai.

Terangkan dapatan daripada graf lekukan loceng tersebut.

d) Daripada keputusan didapati, buat satu kesimpulan terhadap pencapaian pelajar-

pelajar anda di dalam peperiksaan akhir tahun tersebut.

3

i) Jawapan (a):

1. Sebelum mengira varians, kita hendaklah mengira min bagi data tersebut.

Min ialah purata data/skor yang mewakili data/skor kelompok pelajar yang diuji.

Formula min ialah

�x = ∑i=1

n

x ᵢ/n

Di mana :

?x = Min

∑ = Jumlah data/skor

xᵢ = data/skor

n = Bilangan murid

Skor xᵢ = 91,78,78,85,92,68,62,98,51,78,80,82,61,94,72,42,78,81,67,78,88

Maka Min xᵢ =

91+78+78+85+92+68+62+98+51+78+80+82+61+94+72+42+78+81+67+78+8820

Min xᵢ = 1526 20

Min xᵢ = 76.3

4

2. Setelah mendapat nilai min, maka kita boleh mencari nilai varians. Varians ialah

ukuran serakan dengan mengambil kira data yang ada.

Formula varians ialah :

s2 = ∑i=1

n

❑[( xᵢ - ?x)2]/(n-1)

Beberapa pengiraan perlu bagi mendapatkan varians adalah seperti yang ditunjukkan

dalam jadual di bawah.

Markah xᵢ

Perbezaan( xᵢ - ?x)

Kuasa dua( xᵢ - ?x)

42 (42-76.3) -34.3 1176.49

51 (51-76.3) -25.3 640.09

61 (61-76.3) -15.3 234.09

62 (62-76.3) -14.3 204.49

67 (67-76.3) -9.3 86.49

68 (68-76.3) -8.3 68.89

72 (72-76.3) -4.3 18.49

78 (78-76.3) 1.7 2.89

78 (78-76.3) 1.7 2.89

78 (78-76.3) 1.7 2.89

78 (78-76.3) 1.7 2.89

80 (80-76.3) 3.7 13.69

81 (81-76.3) 4.7 22.09

82 (82-76.3) 5.7 32.49

85 (85-76.3) 8.7 75.69

88 (88-76.3) 11.7 136.89

91 (91-76.3) 14.7 216.09

92 (92-76.3) 15.7 246.49

94 (94-76.3) 17.7 313.29

98 (98-76.3) 21.7 470.89

Min = 76.3 0 3968.2

5

Maka s2 = ∑i=1

n

❑[( xᵢ - ?x)2]/(n-1)

= 3968.2 / 19

= 208.85

Maka varians bagi data di atas: s2 = 208.85

3. Setelah mendapat nilai varians bagi ta diatas maka kita boleh meneruskan

pengiraan sisihan piawai. Sisihan piawai ialah punca kuasa dua bagi varians. Ia

digunakan untuk mengukur perubahan atau serakan data/skor di keliling min.

Nilai minima

6

Formula pengiraan sisihan piawai ialah :

√ s2 atau √ ∑i=1

n

❑[( xᵢ - ?x)2]/(n-1)

√ s2 = √ 208.85 = √ 14.45

Oleh itu sisihan piawai bagi data ini ialah: s = 14.45

Sisihan Piawai digunakan untuk mengukur serakan markah yang menentukan sama

ada sebaran markah bagi data yang diambil menghasilkan ukuran serakan bertaburan

normal atau sebaliknya.

ii) Jawapan (b):

Untuk mendapatkan graf bagi gred sekolah itu, beberapa pengiraan

statistik perlu dilaksanakan terlebih dahulu.

1. Markah mentah disusun mengikut urutan menaik atau menurun

seperti di sebelah.

2. Cari nilai maksima dan minima bagi taburan data di atas. Nilai

Maksima ialah nilai skor yang tertinggi dalam sesuatu taburan

data manakala Nilai Minima ialah nilai skor terendah dalam

Markah

xᵢ

42

51

61

62

67

68

72

78

78

78

78

80

81

82

85

88

91

92

94

98

Nilai maksima

7

taburan data tersebut. Kirakan bezanya. 98 – 42 = 56 (Beza nilai maksima dan

minima ini disebut sebagai julat)

3. Saiz sela/jeda kelas perlu dibentuk menggunakan julat yang diperoleh. Sela kelas

digunakan bagi mengumpulkan skor-skor. Formula pengiraannya ialah:

Saiz sela kelas = Nilai Maksima – Nilai Minima

Bilangan kelas

Saiz sela kelas = 56 = 11.2 nilai ini dibundarkan

5

menjadi 12.

Kumpulkan data sela kelas seperti di bawah:

4. Setelah kita mendapatkan sela kelas yang diingini, kita mencari kekerapan bagi sela

kelas yang diperoleh. Kekerapan bermaksud seberapa kerap sesuatu skor itu ada

dalam taburan data. Bilangan skor-skor yang terkumpul digundalkan bagi

mendapatkan taburan kekerapan.

Bil.

Kelas1 2 3 4 5

Sela

Kelas40-51 52-63 64-75 76-87 88-99

Skor sela kelas Gundalan Kekerapan 40-51 // 252-63 // 264-75 //// 376-87 //// /// 888-99 //// 5

Jumlah 20

8

5. Kirakan taburan kekerapan, kekerapan terkumpul dan peratusan kekerapan terkumpul

bagi setiap kelas kemudian binakan jadual yang menunjukkan taburan kekerapan,

kekerapan terkumpul dan peratus kekerapan terkumpul, seperti jadual di bawah.

Skor sela kelas

Sempadan kelas

Sempadan kelas atas

Kekerapan Pengiraan Kekerapan Terkumpul

Kekerapan Terkumpul

Peratus Kekerapan Terkumpul

%40-51 39.5-51.5 51.5 2 2 2 1052-63 51.5-63.5 63.5 2 2+2=4 4 2064-75 63.5-75.5 73.5 3 4+3=7 7 3576-87 75.5-87.5 87.5 8 7+8=15 15 7588-99 87.5-99.5 99.5 5 15+5=20 20 100

Jumlah 20

6. Untuk menunjukkan gred sekolah, kita boleh menggunakan peratusan kekerapan

terkumpul bagi menentukan gred A, B, C, D dan F dengan membina graf ogif di

mana paksi x mewakili skor sela kelas dan paksi y mewakili peratus kekerapan

terkumpul . Penentuan gred akan lebih jelas lagi jika min dibezakan dengan tambah

atau tolak sisihan piawai.

Daripada ogif yang dibina, dapatlah ditentukan gred pencapaian pelajar dengan

mengambil min sebagai panduan juga sempadan antara gred B dan C serta sebaran gred

lain apabila min ditambah atau ditolak dengan sisihan piawai.

Contoh berdasarkan graf ogif itu, pelajar yang mendapat 91 markah mengatasi 85%

pelajar lain dengan melebihi beza tambah satu sisihan piawai daripada min (76.3 +

1(14.45) = 90.75 ), wajar diletakkan dalam kumpulan gred A sementara pelajar yang

9

mendapat markah 42 merupakan 5% berbanding pelajar lain iaitu berada di bawah 2

sisihan piawai daripada min (76.3 – 2(14.45) = 47.4), wajar diberi gred F. Penggredan

markah adalah seperti jadual di bawah :

Markah Gred

91 – 100 A

76 – 90 B

61 – 75 C

48 – 60 D

< 47 F

Maka daripada gred yang diperoleh, terdapat 4 orang pelajar mendapat gred A, 9

orang pelajar mendapat gred B, 5 orang pelajar gred C, seorang gred D dan seorang sahaja

pelajar mendapat gred F. Ini dapat ditunjukkan dalam jadual di bawah :

Markah Gred Kekerapan

91 – 100 A 4

76 – 90 B 9

61 – 75 C 5

48 – 60 D 1

< 47 F 1

iii) Jawapan (c):

1. Untuk melakarkan graf lekukan loceng, kita haruslah terlebih dahulu mengira skor Z

bagi setiap markah. Skor Z mewakili nombor nilai sisihan piawai di atas atau di bawah

min bagi set nombor apabila data adalah bertaburan normal. Jika skor Z negatif, maka

nilai kasar markah adalah di bawah min dan jika skor Z positif maka nilai kasar

markah adalah di atas min. Formula pengiraan skor Z adalah seperti berikut :

Skor Z = skormenta h−minsisi han piawai

,

10

Contoh, skor Z bagi skor mentah 98 ialah, ¿98−76.3

14.45 = 1.5

Pengiraan Skor Z bagi data, ditunjukkan dalam jadual di bawah:

Markah Pengiraan

Skor ZSkor Z

4242−76.3

14.45-2.37

5151−76.3

14.45 -1.75

6161−76.3

14.45 -1.06

6262−76.3

14.45 -0.99

6767−76.3

14.45 -0.64

6868−76.3

14.45 -0.57

7272−76.3

14.45 -0.30

7878−76.3

14.45 0.12

7878−76.3

14.45 0.12

7878−76.3

14.45 0.12

7878−76.3

14.45 0.12

8080−76.3

14.45 0.26

8181−76.3

14.45 0.33

8282−76.3

14.45 0.39

8585−76.3

14.45 0.60

11

8888−76.3

14.45 0.81

9191−76.3

14.45 1.02

9292−76.3

14.45 1.09

9494−76.3

14.45 1.22

9898−76.3

14.451.50

2. Setelah itu, kumpulkan skor Z mengikut sela kelas bagi mencari kekerapannya dengan

menggunakan sempadan atas sela kelas, seperti jadual di bawah:

Sempadan atas sela kelas

Pengiraan Skor Z Skor Z Sela kelas Z Kekerapan Z

51.5¿ 51.5−76.3

14.45 -1.71 -2.37 – (-1.71) 2

63.5¿ 63.5−76.3

14.45 -0.88 -1.70 – (-0.88) 2

75.5¿ 75.5−76.3

14.45 -0.05 -0.87 – (-0.05) 3

87.5¿ 87.5−76.3

14.45 0.77 -0.04 – (0.77) 8

99.5¿ 99.5−76.3

14.45 1.60 0.78 – 1.60 5

3. Seterusnya bagi melukis graf lekukan loceng, cari nilai skor Z bagi penanda sempadan

sebaran markah tambah atau tolak sisihan piawai daripada min. Pengiraan ditunjukkan

seperti dalam jadual di bawah:

12

4. Dengan berpandukan jadual di atas, bell curve dapat dilukiskan dengan paksi x

mewakili skor z dan paksi y mewakili kekerapan skor z, manakala skor z bagi min = 0.

iv) Jawapan (d):

Penanda sempadan Pengiraan Skor Z Skor Z

105.2 ¿ 105.2−76.314.45

2

90.75 ¿ 90.75−76.314.45

1

76.3 ¿ 76.3−76.314.45

0

61.85 ¿ 61.85−76.314.45

-1

47.4 ¿ 47.4−76.314.45

-2

32.95 ¿ 32.95−76.314.45

-3

13

Kesimpulan yang dapat dibuat tentang pencapaian pelajar di dalam

peperiksaan akhir tahun tersebut ialah taburan markah bagi data markah itu mempunyai

ukuran serakan yang luas. Dalam data ini sisihan piawai adalah ukuran yang paling sesuai

digunakan untuk mengukur serakan data. Sisihan piawai yang diperolehi memberikan

nilai bagi kedudukan data yang bertabur sekitar min. Nilai sisihan piawai yang tinggi

memberikan gambaran bahawa data itu tertabur jauh daripada min (kurang padat). Ini

dapat diperhatikan dengan jelas apabila data mempunyai nilai varians dan sisihan piawai

yang besar iaitu 208.85 (varians) dan 14.45 (sisihan piawai) sedangkan varians yang ideal

mempunyai nilai kurang daripada 10. Ini bermakna semakin besar nilai sisihan piawai,

semakin luas perbezaannya dengan min serta memberi kesan pada serakan data (markah).

Melalui serakan markah ini juga kita boleh menentukan sama ada kumpulan pelajar

tersebut homogen (seragam) atau tidak homogen. Bagi data di atas, kumpulan pelajar ini

merupakan kumpulan yang tidak homogen kerana nilai sisihan piawai yang melebihi 10.

Penggunaan graf ogif dalam data ini menunjukkan bahawa penggredan dapat

ditentukan dengan menggunakan min sebagai persempadanan gred B dan C, manakala

gred A, D dan F ditentukan dengan membezakan min dengan sisihan piawai iaitu

menambah satu sisihan piawai dengan min, atau menolak satu sisihan piawai daripada

min. Selain itu, graf ogif juga dapat memberitahu perbezaan markah pelajar dengan pelajar

lain secara peratusan. Cara penentuan gred ini berbeza dengan apa yang diaplikasikan di

sekolah, yang mana penggredannya diselaraskan tanpa mengira pencapaian sebenar

pelajar.

Akhir sekali, graf lekukan loceng atau bell curve dapat menentukan taburan

skor dalam sesuatu data sama ada ia mempunyai lengkung taburan normal, taburan

pencong negatif atau positif. Graf lekukan loceng bagi data peperiksaan akhir tahun

tersebut merupakan graf lekukan taburan pencong negatif yang dapat dibuktikan dengan

perbezaan yang besar antara min dengan sisihan piawai. Ini bermakna markah pelajar

tersebar luas. Selain itu, terdapat beberapa faktor yang mempengaruhi taburan pencong

negatif ini seperti ujian yang diberikan terlalu mudah kerana ramai pelajar mendapat

markah yang tinggi, kumpulan pelajar tidak homogen kerana sebaran luas markah pelajar

daripada min dan soalan atau item yang disediakan dalam ujian atau peperiksaan itu

14

kurang baik seperti jika soalan atau item kurang keobjektifannya maka kebolehpercayaan

soalan atau item itu kurang menyebabkan ia menjadi kurang baik.

15

Rumusan Tugasan :

Pengiraan statistik dalam Pengukuran dan Penilaian ini dapat membantu guru

menganalisis serta merumus data yang menjadi panduan kepadanya untuk menilai pencapaian

pelajar dalam suatu mata pelajaran. Sungguhpun angka atau nombor bukanlah pengukur

sebenar pencapaian pelajar tetapi ia dapat memberi gambaran tentang nilai alat ukuran iaitu

ujian yang diberi dari segi keobjektifan, ketekalan dan kebolehpercayaan, keseragaman

sesuatu kumpulan pelajar, membuat pengelasan dan pemilihan pelajar berpandukan gred

yang diperoleh untuk tujuan penempatan serta keberkesanan strategi pengajaran yang

disampaikan oleh guru.

Dengan menggunakan rumusan data guru boleh mendapatkan maklum balas bagi

mengesan tahap penguasaan pelajar untuk tujuan tindakan susulan bagi melaksanakan aktiviti

pemulihan, peneguhan atau pengayaan, memilih dan mengelaskan pelajar mengikut tahap

pencapaian mereka di akhir pengajian agar dapat diberikan pengiktirafan dan sijil kepada

pelajar, memberi bimbingan kepada pelajar yang lemah dan memotivasikan pelajar yang

cemerlang pencapaiannya, memilih dan menempatkan mengikut tahap penguasaan

pengetahuan dan kemahiran pelajar seperti penempatan pelajar ke sekolah berasrama penuh

atau aliran sains.

Selain itu, rumusan data juga berguna untuk menentukan kesediaan pelajar untuk

mempelajari sesuatu kemahiran yang baru, memberikan maklumat kepada guru tentang

keberkesanan pengajarannya tentang kriteria-kriteria yang diajar dan diuji, memberikan

maklum balas kepada ibu bapa tentang kemajuan dan pencapaian dalam mata pelajaran dan

aspek sahsiah anak-anak mereka dan sebagai maklum balas kepada penggubal dasar tentang

kurikulum sesuatu mata pelajaran di sekolah yang akan memberi kesan kepada

pengubahsuaian sukatan pelajaran serta pendekatan pengajaran dan pembelajaran.

Rujukan:

16

Abdul Rahim M. Ali (2001), Ilmu pendidikan untuk kpli : Penilaian dalam pendidikan.

Kuala Lumpur: Utusan Publication Sdn.Bhd.

Azizi Ahmad & Mohd Isha Awang (2008), HBEF3203 Pengukuran dan penilaian dalam

pendidikan : Statistik asas (Cetakan ke-4). Kuala Lumpur: Unitem Sdn.Bhd.

Ee Ah Meng & Tan Hui Leng (1996), Asas pendidikan tiga: Penilaian dalam pendidikan.

Shah Alam: Fajar Bakti Sdn.Bhd.

Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (tiada tarikh) [Atas Talian] Diperoleh:

http://www.fsas.upm.edu.my/~nakma/nota/kuliah3.pdf. . [2008, Ogos 6]

Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (tiada tarikh) [Atas Talian]

Diperoleh:http://www.fsas.upm.edu.my/~nakma/nota/kuliah4.pdf. [2008, Ogos 6]

Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (tiada tarikh) [Atas Talian]

Diperoleh:http://pkukmweb.ukm.my/~tangang/stab2003/Bab2/chapter2.htm. [2008, Ogos

6]

17