statistik ekonomi ii

STATISTIK II

Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti

1

Materi 1 Teori Probabilitas


2

Tujuan Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa mampu menjelaskan dasar dari teori probabilitas Mampu menjelaskan macam-macam pendekatan dalam teori probabilitas Mampu menghitung probabilitas dari peristiwa yang terjadi


3

PROBABILITAS DAN PERCOBAAN Probabilitas berhubungan erat dengan masalah kesempatan (chance). Suatu tindakan yang dilakukan untuk menemukan apa yang akan terjadi mengenai suatu peristiwa yang mengandung unsur kesempatan disebut percobaan (trial). Percobaan ini dapat dilakukan sekali saja, yang disebut percobaan tunggal, atau diulangi berulang kali dalam kondisi yang sama. Proses dari pelaksanaan percobaan ini seringkali dianggap sebagai perbuatan random, stokastik atau proses kesempatan.


4

Probabilitas biasanya diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum 1. simbol untuk kemungkinan tidak terjadi biasanya dinyatakan dengan Q yaitu : 1 P Kalau P=0 Peristiwa itu tidak mungkin terjadi, mustahil. Ex: munculnya matahari di malam hari = 0 Kalau P =1 Peristiwa itu pasti terjadi, tidak mungkin tidak terjadi Ex: probabilitas darah mengalir dalam badan orang yang masih hidup = 1


5

TITIK SAMPEL DAN RUANG SAMPEL Suatu hasil dari percobaan disebut titik sampel atau kejadian dasar. Ruang sampel adalah hasil yang dibentuk oleh himpunan hasil percobaan yang mewakili semua kemungkinan hasil dari percobaan tersebut.


6

Jika kita melempar uang logam ke atas misalnya, kemungkinan hasilnya ialah gambar kepala raja H atau ekornya T Jika terdapat 2 titik sampel, kedua titik sampel tadi membentuk ruang sampel. Misalkan kita tentukan bahwa S merupakan ruang sampel, atau himpunan dari titik sampel, maka : S=(H,T) Jika dua macam uang logam misalnya Rp. 100,- dan Rp. 50,- dilemparkan ke atas secara bersamaan, maka kemungkinan dari hasil lemparan dapat kita peroleh ruang sampel (hasil himpunan percobaan) terdiri dari 4 macam titik sampel yaitu : S = ( HH, HT, TH, TT )Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 7

PENDEKATAN TEORI PROBABILITAS1. PENDEKATAN KLASIK Probabilitas adalah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa diantara keseluruhan peristiwa yang bisa terjadi. Ex : a. Probabilitas munculnya permukaan A dan B pada coin adalah atau 0,50 (PA= 0,5 dan PB = 0,5), b. Dadu yang mempunyai 6 permukaan yang sama dilempar satu kali. Kemungkinan salah satu permukaan tampak di atas adalah 1/6. c. Kantong yang berisi 4 kelereng merah dan 6 kelereng putih. Probabilitas untuk mendapat kelereng merah 4/10 atau 0,4 dan untuk mendapat kelereng putih 6/10 atau 0,6Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 8

2. PENDEKATAN EMPIRIS Berdasarkan observasi, pengalaman atau peristiwa yang telah terjadi.Ex : Seseorang dari jarak 5 meter melempar sebuah benda 100 kali hanya kena 65 kali maka berdasar (pengalaman) pendekatan ini probabilitasnya adalah 65/100 atau 0,65

3. PENDEKATAN SUBYEKTIF Berdasarkan perasaan atau kira-kira dari peneliti


9

MENGHITUNG PROBABILITAS1. MUTUALLY EXCLUSIVE Dua kejadian disebut eksklusif secara bersama, bila dengan terjadinya A, maka B tidak terjadi dan terjadinya B, maka A tidak terjadi. Contoh : Bila sekeping uang dilempar akan ada 2 kemungkinan yaitu: A = Kejadian muncul M B = Kejadian muncul B Teorema : Jika A dan B mutually exclusive maka : P ( A atau B ) = P (A) + P (B)Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 10

2. KEJADIAN YANG INDEPENDENTDua kejadian A dan B disebut independent, bila terjadinya A tidak mempengaruhi terjadinya B dan terjadinya B tidak mempengaruhi terjadinya A. Contoh : Kejadian turunnya hujan di Jember dan Peristiwa pengeboman 9 september di Jakarta Teorema : P ( A dan B ) = P (A) . P (B) Contoh Soal : Bila probabilitas harga beras di Indonesia akan naik, P (A)=0,7 dan probabilitas seorang mahasiswa FE UNEJ memperoleh nilai C untuk statistik P(C)=0,2, maka P(A dan C)=0,7.0,2=0,14


11

3. CONDITIONAL PROBABILITY Probabilitas akan terjadinya A, jika diketahui B telah terjadi, ialah : P(A/B) = P(A n B) P (B) atau, P(A/B) = P(A n B) P (A) Contoh : Probabilitas calon mahasiswa diterima di FE UNEJ sebesar 0,40 dan kalau sudah menjadi mahasiswa, kemungkinan untuk lulus sarjana =0,80. Berapa kemungkinan calon itu akan lulus sarjana ? P(B) = PA . P(B/A) = 0,40 . 0,80 = 0,32Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 12

TUGAS1. Dari setumpuk kartu bridge diambil 2 kartu berturut-turut tanpa pengembalian (kartu kedua diambil sebelum kartu pertama dikembalikan). Berapakah probabilitas pengambilan pertama As dan kedua King ? Dalam sebuah kotak tercampur 10 bola dengan jenis dan ukuran yang sama, terdiri dari 3 bola merah, 2 bola putih, 5 bola biru. Kemudian diambil sembarang sebuah bola. Berapakah probabilitas yang akan terambil bila : a. bola merah atau putih b. bola merah atau putih atau biru c. bola hijauSri Wahyu Lelly Hana Setyanti 13

2.

Materi 2 Distribusi Binomial


14

Disamping percobaan tunggal, suatu percobaan mungkin dilakukan secara berkali-kali. Tiap ulangan dalam percobaan dilakukan secara terpisah yakni peristiwa dalam suatu percobaan tidak akan mempengaruhi percobaan berikutnya. Apabila masing-masing percobaan hanya mempunyai dua kemungkinan peritiwa, misalnya seperti sukses dan gagal, ya dan tidak, diterima atau ditolak, dan probabilitas peristiwa tetap sama selama percobaan, percobaan yang diulang tersebut adalah Proses BernoulliSri Wahyu Lelly Hana Setyanti 15

Contohnya hasil pertandingan sepak bola tidak selalu menang dan kalah, tetapi mungkin seri. Tiaptiap percobaan harus memiliki probabilitas sukses yang identik. Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak sekali, probabilitas timbulnya mata dadu 6 ialah 1/6. bila dadu di atas dilempar sebanyak n kali (n percobaan) maka pada tiap pelemparan, probabilita timbulnya mata dadu 6 harus tetap 1/6. hal itu berarti p harus konstan. Bila ,sekeping uang logam dilempar 100 kali, maka pelemparan tersebut merupakan 100 percobaan Bernoulli dimana setiap percobaan selalu menghasilkan sukses (misalnya sisi 0) atau gagal (misalnya sisi 1) dan probabilitas bagi sisi 0 adalah sama untuk tiap-tiap pelemparan dalam 100 lemparan. Bila uang logam di atas setimbang, maka p=1/2 dan 1-p=q=1/2. Tetapi bila uang logam di atas tidak setimbang, maka p tidak perlu harus sama dengan .Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 16

Distribusi Binomial dinyatakan dalam rumus :

p( x , n ) = ( n ) p x (1 p ) n x )x


17

Disebut Binomial coefficient, menunjukkan x kali sukses dari n kali kejadian. Koefisien tersebut dapat dihitung dengan menggunakan segitiga pascal dengan rumus(n x

) =

n ( n 1 )( n 2 )...( n x + 1 ) x ( x 1 )( x 2 )... 2 . 1 = n! X !(n X )!

Jadi

P ( x ,n ) =

n! X ! ( n X )!18


Contoh Soal : Bila sekeping uang logam yang setimbang dilempar sebanyak 6 kali, (a) berapakah probabilitas memperoleh 5 sisi 0 dan (b) berapakah probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi 0. Jawab : n = 6, x = 5, p = 6 (5, 6) =( 5 )(1 / 25 )(1 / 2)1 =0, 09375

p


19

n = 6, x = 6, p =

p( 6 , 6 ) = ( 6 )(1 / 2 6 )(1 / 2 ) 0 = 0 , 0156256

Probabilitas memperoleh 5 sisi 0 menjadi : p (5/6, ) + (6/6, ) = 0,109375


20

Rata-Rata (Mean) Distribusi Binomial Jika nilai parameter n dan p telah diketahui maka dari distribusi binomial tersebut kita juga dapat menghitung rata-ratanya. Di dalam distribusi binomial, Xi menunjukkan jumlah sukses 0,1,2,3,....dan n, dan P(xi) adalah probabilitas untuk mendapatkan Xi sukses dari n percobaan. Dengan demikian secara sederhana mean dari distribusi binomial dihitung dengan rumus : = n.p


21

Contoh Soal : Dari distribusi timbulnya permukaan A dari 300 lemparan coin, kita akan memperoleh :Jawab :

= 300.1/2 = 150 = 300 . 1 / 2 . 1= 8,66 /2


22

Varians dan Deviasi Standar Distribusi Binomial = np (1 p ) =n . p .q


23

Contoh Soal :

Hitunglah varians dan deviasi standar jika diketahui n = 4, p = 1/6 dan q = 5/6 Jawab : Variansnya = 4 (1/6) (5/6) = 4 (5/36) = 20/36 = 5/9 Deviasi standarnya menjadi : =

n. p.q= 5/9Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 24

TUGAS1. Setelah dilakukan penelitian terhadap hasil produksi mesin X, maka diketahui bahwa setiap produksi sebanyak 1450 unit akan terjadi kerusakan sebanyak 145 unit. Dalam memproduksi 5 unit produk, berapakah probabilitas untuk menemukan 0, 1, ....5 unit kerusakan produk?


25

2. Bila peluang untuk melahirkan anak laki-laki dan anak perempuan adalah sama, berapakah probabilitas suatu keluarga dengan 6 anak akan terdiri dari 0, 1, ....., 6 anak laki-laki ? 3. 5/100 dari barang X yang diproduksi dengan menggunakan mesin A ternyata rusak sedangkan 95/100 ternyata dapat memenuhi kualitas standar. Berapa banyak barang X yang harus diproduksi agar probabilitas barang X yang rusak sebanyak 1 ialah (50 persen). Bila produksi di atas merupakan sebuah proses Bernoulli di mana tiap-tiap percobaan selalu menghasilkan sukses (rusak) atau gagal (baik), dan bila probabilitas p bagi sukses dinyatakan sebagai p = 0,05, maka kita harus mencari bilangan untuk n yang terkecil sedemikian rupa agar p (X 1) Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 26

Distribusi Poisson Distribusi Poisson dapat digunakan untuk menentukan probabilitas dari sejumlah sukses yang ditentukan, jika kejadiankejadian terjadi dalam kurun waktu atau ruang kontinyu tertentu. Proses Poisson seperti proses Bernoulli, hanya berbeda pada sifat kontinyuitasnya saja. Distribusi ini dianggap sebagai pendekatan pada distribusi Binomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan P (probabilitas sukses sangat kecil).Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 27

Rumus distribusi Poisson adalah :

p ( x ) =

x!

x

e

u

=

n . p


28

Contoh Soal : Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai 100.000 orang pembaca. Jika kemungkinan seseorang akan membalas iklan tersebut 0,00002 ditanyakan : a. berapa orang diharapkan akan membalas iklan tersebut ? b. berapa kemungkinan bahwa yang membalas iklan tersebut hanya seorang ? c. berapa kemungkinan tidak ada yang membalas ?Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 29

Jawab : n = 100.000 p= 0,00002 = n. p = 100.000 . 0,00002 =2 Rata rata ada 2 orang yang membalas iklan tersebut X=1Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 30

Makap (1 ) = 2 1! =a.X = 01

e )

2

2 ( 0 ,13534 1

= 0 , 27068

p (0 ) =

20e 1! 1 ( 0 ,13534 = 1 )

2

= 0 ,1353431


Materi 3 Distribusi Normal


32

Distribusi NormalDistribusi normal adalah distribusi yang kontinyu. Angka pada distribusi ini besarnya tak terhingga. Probabilitas atau frekuensi relatif pada kejadian tertentu diukur menurut ukuran luas pada daerah yang menggambarkan kejadian di bawah kurva normal. Ada berbagai macam bentuk kurva normal. Meskipun demikian, semua bentuk dapat diubah menjadi kurva normal standar.Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 33

Untuk membuat kurva normal kita harus mengetahui besarnya (mean) dan (deviasi standar) :Y= 1

2

.e

1/ 2

(

x

)2

Y = ordinat kurva normal untuk setiap nilai x = mean = deviasi standar = konstante = 3,14159 e = konstante = 2,71828Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 34

Syarat Distribusi Normal Bell Shaped Symmetrical Mean, Median and Mode are Equal Interquartile Range Equals 1.33 s Random Variable Has Infinite Rangef(X)

Mean Median Mode

X


35

Probability adalah area di bawah kurvaf(X)

X

c

d


36

Macam Distribusi Normal


37

Z =f(Z) f(X)

X

Z =1X

Z = 0Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti

Z

38

Which Table to Use?

Infinitely Many Normal Distributions Means Infinitely Many Tables to Look Up!Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti 39

Solution: The Cumulative Standardized Normal DistributionCumulative Standardized Normal Distribution Table (Portion)

Z = 0

Z =1.0478

Z

.00

.01

.02

0.0 .0000 .0040 .0080

0.1 .0398 .0438 .04780.2 .0793 . 0832 .0871 0.3 .1179 .1217 .1255Probabilities

0Z = 0.1240

Sri Wahyu Lelly Hana Only One Table Setyanti is Needed

Standardizing ExampleZ= X

6.2 5 = = 0.12 10Standardized Normal Distribution

Normal Distribution

= 10

Z =1

6.2 =5

XSri Wahyu Lelly Hana Setyanti

Z = 0

0.12

Z41

Example: P ( 2.9 X 7.1) = .1664Z= X

2.9 5 = = .21 10

Z=

X

7.1 5 = = .21 10

Normal Distribution

= 10

Standardized Normal Distribution

.0832

Z =1.0832

7.1 =5

2.9


0.21 0.21 Z = 0

Z42

Example: P ( 2.9 X 7.1) = .1664(continued)Cumulative Standardized Normal Distribution Table (Portion)

Z = 0

Z =1.0832

Z

.00

.01

.02

0.0 .0000 .0040 .00800.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871 0.3 .1179 .1217 .1255Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti

0Z = 0.2143

Example: P ( 2.9 X 7.1) = .1664(continued)Cumulative Standardized Normal Distribution Table (Portion)

Z = 0.4168

Z =1

Z

.00

.01

.02

-0.3 .3821 .3783 .3745-0.2 .4207 .4168 .4129

-0.1 .4602 .4562 .4522 0.0 .5000 .4960 .4920

0Z = -0.2144


Example: P ( X 8 ) = .3821Z=Normal Distribution

X

85 = = .30 10Standardized Normal Distribution

= 10

Z =1.38218

=5


Z = 0

0.30

Z45

Example: P ( X 8 ) = .3821Cumulative Standardized Normal Distribution Table (Portion)

(continued)

Z = 0

Z =1.1179

Z

.00

.01

.02

0.0 .0000 .0040 .00800.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871 0.3 .1179 . 1217 .1255Sri Wahyu Lelly Hana Setyanti

0Z = 0.3046

Finding Z Values for Known ProbabilitiesWhat is Z Given Probability = 0.6217 ? Cumulative Standardized Normal Distribution Table (Portion)

Z = 0.1217

Z =1

Z

.00

.01

0.2

0.0 .0000 .0040 .0080 0.1 .0398 .0438 .0478 0.2 .0793 .0832 .0871

0

Z = .31

0.3 .1179 .1217 .125547


Recovering X Values for Known ProbabilitiesNormal Distribution

= 10

Standardized Normal Distribution

.1179

Z =1.3821

=5

?

X

Z = 0

0.30

Z

X = +SriZ = 5Hana (.30 )(10 ) = 8 Wahyu Lelly + Setyanti

48

More Examples of Normal Distribution Using PHStatA set of final exam grades was found to be normally distributed with a mean of 73 and a standard deviation of 8. What is the probability of getting a grade no higher than 91 on this exam?

X

N ( 73,8

2

)

P ( X 91) = ?73 8

=8

Mean Standard Deviation

Probability for X

statistik ekonomi ii

Documents