DESCRIPTIVE STATISTICS. Sumedi Sudarsono 23 Feb 2015

Perhitungan-perhitungan Statistik Deskriptif

untuk menggambarkan (mendeskripsikan),

menjelaskan, menerangkan tentang

karakteristik suatu kumpulan data.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Descriptive Statistics

1. Values of Central tendency = Nilai tengah.

2. Values of Variability = Sebaran = Variabilitas.

3. Skewness = Kemiringan = Kecondongan.

4. Kurtosis = Peakness = Kerampingan.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

(1). CENTRAL TENDENCY

( NILAI TENGAH / NILAI PEMUSATAN )

1. Mean = Rerata = Rata-rata hitung = Purata.

2. Median = Rata-rata median.

3. Mode = Modus = Rata-rata mode.

Yang kurang penting :

1. Geometric Mean.

2. Harmonic Mean.

3. Quadratic Mean.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

1. M E A N

1. Suatu nilai yg paling dikenal,

umum digunakan, mudah dihitung,

mudah difahami.

2. Semua kumpulan data, ada nilai mean.

3. Semua angka digunakan utk menghitung besar nilai mean.

4. Dapat dihitung secara aljabar.

5. Sangat dipengaruhi angka (nilai) ekstrim.

6. (x - Mean) = 0

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Semua angka digunakan utk menghitung besar mean.

x

Mean = ----------

n

x1 + x2 + x3 + .. + xn

Mean = ---------------------------------------

n

Contoh : Sampel lima mhs, ( n = 5 ) ditanya berapa

jumlah saudara kandungnya.

A = 5 B = 4 C = 2 D = 6 E = 3

x 5+4+2+6+3

Mean = ------------- = ---------------- = 4

n 5

Mean dapat dihitung secara Aljabar.

Kel A Kel B

Data : 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6, 5, 5, 4.

Mean(A) = (2+3+4+5+6) / 5 = 4

Mean(B) = (5+6+5+5+4) / 5 = 5

Mean gabungan = (4 + 5) / 2 = 4.5

Sangat dipengaruhi oleh nilai Ekstrim.

Data : 2, 3, 2, 1, 2, 2 (n = 6).

Mean(1) = (2+3+2+1+2+2) / 6 = 2

Data : 2, 3, 2, 1, 2, 2, 14 (nilai ekstrim) (n = 7).

Mean(2) = (2+3+2+1+2+2+14) / 7 = 4

(x Mean) = 0

x (x- Mean)

----------------------------------

2 ..

3 ..

4 ..

5 ..

6 ..

-----------------------------------------------

Mean = 4 0 = (x- Mean)

x (x- Mean)

-----------------------------------

2 - 2

3 - 1

4 .

5 .

6 .

-----------------------------------

Mean = 4 (x- Mean)

(x Mean) = 0

x (x- Mean)

-----------------------------------

2 - 2

3 - 1

4 0

5 1

6 2

-----------------------------------

Mean = 4 0 = (x- Mean)

Contoh Soal :

Lama rawat inap, tujuh pasien (hari) sbb :

6, 5, 8, 4, 6, 9, 4

Hitunglah :

(1). Rata-rata hitung = Mean

(2). Minimum

(3). Maksimum

(4). Range

(5). Buatlah Array

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-..-

Jawab contoh Soal :

Lama rawat inap tujuh pasien (hari) sbb :

6, 5, 8, 4, 6, 9, 4

42

(1). Rata-rata hitung = Mean = ----------- = 6 hari.

7

(2). Minimum : 4 hari

(3). Maksimum : 9 hari

(4). Range = 9 4 = 5 hari.

(4). Array : 4, 4, 5, 6, 6, 8, 9

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Tinggi Badan (TB) 10 mahasiswa dlm Cm sbb :

165.25 155.10

163.15 145.25

155.35 170.15

160.10 169.11

173.13 167.15 (n = 10).

Hitunglah mean TB mhs tsb

Akan sulit menghitungnya tanpa kalkulator.

Gunakan Scientific Calculator.

(1). Karce KC-109

(2). Precicalc PR-7810

(3). Citizen CT-109

Wajib mempunyai :

(1). Scientific Calculator

(2). Tabel Statistik,

Keuntungan Nilai Mean :

1. Nilai yang paling dikenal.

2. Nilai yg umum digunakan.

3. Nilai yg mudah difahami.

4. Nilai yg mudah dihitung.

5. Seluruh data digunakan.

6. Dapat dilakukan secara aljabar.

7. Semua kumpulan data dpt dihitung nilainya.

Kerugian : Sangat dipengaruhi nilai ekstrim.

Berapa besar mean gabungan ?

Kel (A) Kel (B)

Data : 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6, 5, 5, 4.

n1 = 5 n2 = 5

Berapa besar mean gabungan ?

Kel (A) Kel (B)

Data : 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6, 5, 5, 4.

n1 = 5 n2 = 5

Mean(A) = (2+3+4+5+6) / 5 = 4

Mean(B) = (5+6+5+5+4) / 5 = 5

Mean gabungan = (4 + 5) / 2 = 4.5

Berapa besar Mean gabungan ?

Kel A, sampel = 20, Mean A = 160 Cm

Kal B, sampel = 60, Mean B = 170 Cm

---------------- (+)

330 Cm

Berapa besar Mean gabungan :

Kel A, sampel = 20, Mean A = 160 Cm

Kal B, sampel = 60, Mean B = 170 Cm

---------------- (+)

330 Cm

160 + 170 330

--------------- = -------- = 165 Cm ( Apa betul ? )

2 2

Kel A, sampel = 20, Mean A = 160 Cm

Kal B, sampel = 60, Mean B = 170 Cm

Mean gabungan = 165 Cm (salah)

Mean gabungan Weighted Mean.

(20)(160) + (60)(170)

------------------------------ = 167.5 Cm ( betul )

20 + 60

1). Geometric Mean

n

G Mean = {x1. x2. x3. xn}

Data : 3, 1, 9.

3

G Mean = {3. 1. 9.} = 3

Geometric Mean

Data : 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12 ( n = 7 ).

7

G = {(3)(5)(6)(6)(7)(10)(12)}

Log G = 1/7(Log 453600)

= 1/7 (5.6567) = 0.8081

G = 6.428

Masukkan angka 0.8081 tekan 2nd fuction

lalu tekan log 6.428

Keuntungan Geometric Mean :

1. Dapat diperlakukan secara aljabar.

2. Tidak dipengaruhi nilai ekstrim.

Kerugian nilai Geometric Mean.

1. Menghitungnya susah.

2. Tidak dikenal secara luas.

3. Tidak dpt dihitung bila ada nilai nol atau

negatif.

2). Harmonic Mean

1 1/x 1

---------- = -------- = ------ 1/x

H mean n n

Harmonic Mean

Data : 2, 3, 4, 5, 6

1 +1/3+1/4+1/5+1/6

------- = ------------------------- = 0.29

H mean 5

Harmonic Mean = 3.448

Harmonic Mean

Data : 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12 ( n = 7 )

1 1/x 1

---------- = -------- = ------ 1/x

H mean n n

1 1

----- = ----- (1/3+1/5+1/6+1/6+1/7+1/10+1/12)

H 7

= 1/7(1.1928) = 0.170

H = 5.88

3). Quadratic mean

Data : 2, 3. 4, 5, 6.

x 2

Q mean = { -------- }

n

90

Q mean = { -------- } = 4.243

5

Quadratic Mean

Data : 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12 ( n = 7 )

x 2

Q mean = { -------- }

n

(3)2+(5)2+(6)2 +(6)2+(7)2+(10)2+(12)2

Qm = {----------------------------------------------}

7

Qm = {399/7} = 7.549

Dipakai pd uji Statistik Analisis Varians (ANOVA).

========o0o========

Next : Median

2. M E D I A N

1. Suatu nilai rata-rata posisi.

2. Nilai paling di tengah dari suatu array.

3. Rumus posisi Median = (n+1)/2.

4. Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim.

5. Dipengaruhi oleh banyaknya n.

Contoh : Kumpulan data : 2, 3, 4, 5, 6.

Posisi median = (5+1)/2 = 3.

Nilai Median = 4.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Data : 2, 3, 4, 5, 6.

Posisi Median = (5+1) / 2 = ke-3

Nilai Median = 4

Data : 2, 3, 4, 5, 14 Median = 4 (n = 5)

Data : 2, 3, 4, 5, 6, 9 Median = 4.5 (n = 6)

( Nilai Median dipengaruhi jumlah n ).

Kerugian nilai Median :

1. Tidak sepopuler nilai Mean.

2. Menghitungnya harus dibuat array dahulu.

3. Tidak dapat diperlakukan secara aljabar.

Next : Mode

3. M O D U S = M O D E

The value which occurs most frequently.

Mode ialah nilai yg paling sering muncul

dalam suatu agregate (kumpulan data).

1,2,2,2,3,5 Mode = 2

3,3,7,8,12,16

3,3,4,5,6,7,7,

4,6,8,10,13,15,17

Mode ialah nilai yg paling sering muncul

dalam suatu agregate (kumpulan data).

1,2,2,2,3,5 Mode = 2

3,3,7,8,12,16 Mode = 3

3,3,4,5,6,7,7,

4,6,8,10,13,15,17

1,2,2,2,3,5 Mode = 2

3,3,7,8,12,16 Mode = 3

3,3,4,5,6,7,7. Mode = 3 dan 7

4,6,8,10,13,15,17

1,2,2,2,3,5 Mode = 2

3,3,7,8,12,16 Mode = 3

3,3,4,5,6,7,7, Mode = 3 dan 7

4,6,8,10,13,15,17 Mode = Tidak ada.

Hitunglah :

Mean,

Median,

Mode

Data : 6, 4, 5, 5, 4, 4, 2, 3, 2, 3.

x 6+4+5+5+4+4+2+3+2+3.

Mean = -------- = ----------------------------------

n 10

Mean = 3.8

Median Posisi = (n+1) /2 = 11/2 = 5.5

Array : 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6

Median = 4

Mode = 4

=====o0o=====

Next : Variabilitas

(2). V A R I A B I L I T A S

1. Range = Rentangan.

2. Mean Deviation = MD.

3. Variance = Varians.

4. Standard Deviation = SD = Simpang baku = s.

5. Standard Error = SE.

6. Coefficient of Variation = COV.

7. Quartiles, Quintiles, Deciles, Percentiles.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Nilai Variabilitas

nilai Penyebaran

nilai Pancaran

nilai Taburan

nilai Dispersi

1. R A N G E

Merupakan nilai Variabilitas yang paling

sederhana. Range ialah selisih antara

nilai yang ( Terbesar - Terkecil. )

Range sering menyesatkan, karena untuk

dua kumpulan data atau lebih dapat

mempunyai nilai Range yg SAMA.

1, 3, 2, 4, 7, 16 --- Range = 16 1 = 15

23,25,28,37,38 --- Range = 38 23 = 15

Range

1. Variabilitas paling sederhana.

2. Menghitungnya mudah.

3. Tidak mengambarkan penyebaran sebenarnya ( Sering menyesatkan).

Mid Range.

Data : 1, 2, 3, 6, 8, 10, 13.

1 + 13

Mid Range = ------------ = 7

2

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

2. MEAN DEVIATION

Berapa besar nilai-nilai data menyimpang

thd nilai Mean

x (x-Mean)

--------------------------------

2 - 2

3 - 1

4 0

5 1

6 2

----------------------------

Mean = 4 0 = (x-Mean)

2. MEAN DEVIATION

Merupakan deviasi (penyimpangan) dg mean : sbb

x | x-mean |

-------------------------------- Dipakai harga mutlak.

2 2-4 = 2 Mengabaikan tanda (-).

3 3-4 = 1

4 4-4 = 0

5 5-4 = 1

6 6-4 = 2

------------- ------------

Mean = 4 6 M.D. = 6 / 5 = 1.2

n = 5

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-..-.-.-.-.-.-.-

x (x-Mean) (x mean)2

------------------------------------------------

2 - 2 4

3 - 1 1

4 0 0

5 1 1

6 2 4

----------------------------------------------

Mean = 4 0 10

n = 5

(x mean)2 10

Varians = ------------------- = ------- = 2.5

n 1 4

3. V A R I A N C E

Kuadrat penyimpangan x dg mean :

(x Mean) 2

Varians = ------------------- = 2.5

n - 1

Variance

1. Utk menghitungnya diperlukan semua

angka-angka dalam kumpulan data.

2. Besar Variance nilainya setingkat lebih tinggi

dari nilai sebenarnya, sebab

saat menghitungnya dikuadratkan.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

4. STANDARD DEVIATION

(SIMPANG BAKU)

1. Merupakan ukuran Variabilitas yg terbaik.

2. Nilainya setaraf dg nilai sebenarnya.

3. Besar simpang baku = akar dari Variance.

(x mean) 2

s = { ---------------- } = 2.5 = 1.581

n 1

n-1 = 1.581

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.--.-.-.-.-.-

Standard Deviation

1. Merupakan nilai variabilitas yg terbaik.

2. Utk menghitungnya dipakai semua angka.

3. Memenuhi hukum matematika.

4. Nilainya setingkat dg nilai sebenarnya.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

5. STANDARD ERROR

SE ialah = SD dibagi akar n.

SD 1.581

SE = ---------- = ----------- = 0.707

n 5

6. COEFFICIENT OF VARIATION

COV ialah = (SD dibagi Mean) x 100%.

s 1.581

COV = --------- (100%) = ---------- = 39.5 %

Mean 4

1. Suatu ukuran Variabilitas Relatif.

2. Membandingkan dua agregate dg unit yg berbeda.

3. Utk menetapkan apakah data Normal.

bila cov < 30% simpulan data normal. .

COEFFICIENT OF VARIATION

Variabel TB Mean = 160 Cm, s = 8 Cm.

Variabel BB Mean = 55 Kg, s = 11 Kg.

Yg mana lebih bervariasi ? TB atau BB ?.

COV TB = (8/160)x100% = 5 %.

COV BB = (11/55)x100% = 20 %

Simpulan BB lebih bervariasi dp TB.

COV = < 30% distribusi data NORMAL.

Data : 6, 4, 5, 5, 4, 4, 2, 3, 2, 3.

Hitunglah : (1). Range.

(2). Mean Deviation.

(3). Variance.

(4). Standard Deviation.

(5). Standard Error.

(6). Coefficient of Variation.

Data : 6, 4, 5, 5, 4, 4, 2, 3, 2, 3.

Array : 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6

(1). Range = 6 2 = 4.

(2). Mean Deviation : ( Mean = 3.8 ).

x Ix MeanI ------------------- Mean = 3.8

2 1.8 n = 10

2 1.8

3 0.8

3 0.8 10.4

4 0.2 (2). Mean Deviation = ------- = 1.04

4 0.2 10

4 0.2

5 1.2

5 1.2

6 2.2

-----------------

10.4

x Ix MeanI (x Mean) 2

----------------------------------------------

2 1.8 3.24

2 1.8 3.24

3 0.8 0.64

3 0.8 0.64 15.60

4 0.2 0.04 (3). Variance = -----------

4 0.2 0.04 10 - 1

4 0.2 0.04

5 1.2 1.44 = 1.733

5 1.2 1.44

6 2.2 4.84

----------------- ----------

10.4 15.60

(4). Standard Deviation

s = variance = 1.733 = 1.316

s 1.316

(5). Standard Error = --------- = ---------- = 0.416

n 10

s

(6). Cov = --------- (100%) = 34.63 %

Mean

==========o0o==========

Variabilitas

1. Range = Rentangan.

2. Mean Deviation = MD.

3. Variance = Varians.

4. Standard Deviation = SD = Simpang baku = s.

5. Standard Error = SE.

6. Coefficient of Variation = COV.

7. Quartiles, Quintiles, Deciles, Percentiles.

7.(1). QUARTILES

Ialah NILAI-NILAI yg membagi suatu array menjadi EMPAT bagian SAMA BESAR.

(n+1) 2(n+1) n+1

Posisi Q1 = -------- Q2 = --------- = ----------

4 4 2

3(n+1)

Q3 = ----------- |--------|--------|--------|--------|

4 Q1 Q2 Q3

Quartiles Deviation =

Semi Inter Quartiles Range.

Suatu ukuran derajat Penyebaran.

Q3 Q1

QD = ----------------

2

7. (2) QUINTILES

Ialah NILAI-NILAI yg membagi sebuah array

menjadi LIMA bagian SAMA BESAR.

Ada Quintile(1), Quintile(2), Quintile(3), Quintile(4).

(n+1) 2(n+1)

Posisi Quintile(1) = -------- Quin(2) = --------

5 5

7.(3). DECILES

Ialah NILAI-NILAI yg membagi senuah array

menjadi SEPULUH bagian SAMA BESAR.

(n+1) 2(n+1)

Posisi D1 = ---------- D2 = ------------

10 10

5(n+1) n+1

Posisi D5 = ----------- = ----------- Ini Posisi ?

10 2

7. (4). PERCENTILES

Ialah NILAI-NILAI yg membagi sebuah array

menjadi SERATUS bagian SAMA BESAR.

n+1 2(n+1)

Posisi P1 = ---------- P2 = ------------

100 100

50(n+1) n+1

P50 = -------------- = --------- Ini Posisi ?

100 2

Soal :

Hitunglah : Quartiles, Quintiles, Deciles,

dan Percentiles data di bawah .

Data : 6, 4, 5, 5, 4, 4, 2, 3, 2, 3.

Array : 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6

(1). Quartiles pertama.

n + 1

Posisi Q1 = ---------- = 11 / 4 = 2.75

4

Array : 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6

x : 1 = 0.75 : 1

x = 0.75 Q1 = 2.75

(2). Quartiles ke tiga.

3(n + 1)

Posisi Q3 = ---------- = 33 / 4 = 8.25

4

Array : 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6

Q1 = 2.75

Q2 = 4

Q3 = 5

=====o0o=====

(3). SKEWNESS = KEMIRINGAN

Nilai-nilai Skewness tidak perlu dihitung.

Cukup dinyatakan :

1. Tidak miring = Normal = Simetris.

2. Skewed to the right.

3. Skewed to the left.

1. NORMAL = SIMETRIS

1. Kurvanya berbentuk lonceng, simetris.

2. Sebagian besar nilai-nilai berkumpul di tengah.

3. Nilai-nilai ekstrim kecil & besar sama banyak.

4. Coefficient of skewness = 0.

5. Nilai Mean = Median = Mode.

6. Luas wilayah ki & ka Mean = 50%.

7. COV = < 30 %.

2. SKEWED TO THE RIGHT

1. Nilai-nilai ekstrim besar lebih banyak.

2. Nilai Mean > Median > Mode.

3. Coefficient of skewness = Positif.

3(Mean Median)

4.Coef of skewness = -----------------------

SD

3. SKEWED TO THE LEFT

1. Nilai-nilai ekstrim kecil lebih banyak.

2. Nilai Mean < Median < Mode.

3. Coefficient of skewness = Negatif.

3(Mean Median)

Coeff of Skewness = -------------------------

SD

(4). KURTOSIS = PEAKNESS =

KERAMPINGAN

1. Nilai-nilai Kurtosis tidak perlu dihitung.

2.Cukup dinyatakan dengan :

1. Mesokurtic = Normal = Simetris.

2. Leptokurtic = Ramping.

3. Platykurtic = Gemuk.

Lihat gambar. !!!

Next : Soal

Exercise :

3.7 6.3 7.7 8.4 9.3 9.9 11.0 11.8

4.4 6.5 7.7 8.4 9.3 9.9 11.2 12.2

4.6 6.5 7.7 8.5 9.5 10.0 11.2 12.4

4.9 6.8 7.7 8.5 9.6 10.2 11.2 12.5

5.2 6.9 8.0 8.5 9.6 10.2 11.4 12.6

5.9 7.0 8.1 8.7 9.7 10.3 11.4 12.9

6.0 7.2 8.1 8.7 9.7 10.4 11.4 12.9

6.1 7.5 8.3 9.1 9.7 10.7 11.5 13.1

6.1 7.6 8.4 9.1 9.7 10.8 11.5 13.3

6.1 7.6 8.4 9.3 9.8 10.9 11.7 13.6

13.7 14.1 14.6 14.8 15.3 15.5 15.9 17.5

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

1). Berapa besar n = ?

2). Mean = ?

3). Median = ?

4). Mode = ?

5). s = ?

6). Varians = ?

7). SE = ?

8). Cov = ?

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-..-

Jawab :

1). Berapa besar n = 88

2). Mean = 9.7

3). Median = 9.6

4). Mode = 7.7, 9.7, dan 8.4

5). s = 2.8

6). varians = 7.84

7). SE = 0.298

8). Cov = 28.8%

=======o0o======= berikut :

Latihan menggunakan Scientific Calculator .

Latihan menggunakan Scientific Calculator

Data : 2, 3, 4, 5, 6.

Hitunglah menggunakan Scientific Calculator.

1. x = ?

2. x2 = ?

3. Mean = ?

4. Simpang baku = ?

5. Varians = ?

Gunakan Scientific Calculator.

Data : 2, 3, 4, 5, 6.

Jawab :

1. x = 20

2. x2 = 90

3. Mean = 4

4. Simpang baku = 1.581

5. Variance = 2.50

Menggunakan Scientific Calculator.

=====o0o===== selesai.