statika konstrukcija-skripta

8/13/2019 STATIKA KONSTRUKCIJA-SKRIPTA

1/163


2/163

PREDGOVOR

Skripta Proraun konstrukcija sadre gradivo koje se obrauje na vjebama iz predmetaProraun konstrukcija na strunom studiju graditeljstva Tehnikog veleuilita u Zagrebu.

Nastala su sa eljom za postizanjem to boljih rezultata, ali i za to veim usvojenim znanjem.Zahvaljujem demonstratorima Vedranu Katiu i Dariju Vukoviu koji su prepisali i precrtalinajvei dio materijala koje sam koristila na vjebama iz Prorauna konstrukcija.

Skripta se sastoje iz 2 dijela. Postupno se obrauju primjeri i zadaci potrebni za usvajanjeosnovnih znanja, a na kraju svakog dijela nalaze se zadaci s rjeenjima za samostalni rad.

Prvi dio sadri gradivo prvog i drugog kolokvija. Obrauju se statiki odreeni sustavi, tj.proraunski modeli konstrukcija, postupak utvrivanja geometrijske nepromjenjivosti statikihsustava, osnovni konstruktivni sustavi nosai (Gerberovi, reetkasti i trozglobni) te ojaanegrede.

Drugi dio sadri gradivo za trei kolokvij, tj. statiki neodreene sustave. Zapoinje sodreivanjem pomaka pojedinih karakteristinih presjeka, objanjava se formula za odreivanjestupnja statike neodreenosti te objanjavaju metoda sila i iterativna Crossova metoda, kaoneke od metoda kojima se izraunavaju statiki neodreeni sustavi.

Studenti e biti spremni za izlazak na kolokvij iz pojedinog gradiva u onom trenutku kadasamostalno rijee zadatke, ali u odreenom vremenu. Za svladavanje gradiva i rjeavanjezadataka iz Prorauna konstrukcija, osim znanja, potrebno je stei i kondiciju jer do tonogrjeenja treba doi u vremenu od 90 minuta, koliko i traje pisanje pojedinog kolokvija.

Osim primjera i zadataka u ovim skriptama, studenti mogu koristiti i rijeene zadatke s ispitnihrokova koje mogu nai na www.ljerka.com/dokumenti.html .


3/163

1

SADRAJ PREDGOVOR ...............................................................................................................................................................0

1. DIO PRIMJERI I ZADACI ZA 1. I 2. KOLOKVIJ...................................................................................................4

PRORAUNSKI MODELI (SHEME) KONSTRUKCIJE...............................................................................................5

STATIKI SUSTAVI ................................................................................................................................................................ 5 Vanjske veze vanjski spojevi .........................................................................................................................................6 Unutarnje veze unutarnji spojevi ................................................................................................................................... 6

OSNOVNE VEZE TOKE I TIJELA S PODLOGOM I MEUSOBNO ............................................................................. 8

UTVRIVANJE GEOMETRIJSKE NEPROMJENJIVOSTI ZADANIH SUSTAVA......................................................9

P RIMJERI ODREIVANJA STATIKE NEODREENOSTI ! .............................................................................................................12

NOSIVI KONSTRUKTIVNI SUSTAVI NOSAI.......................................................................................................13

Z ADATAK1: .............................................................................................................................................................................. 14 Z ADATAK2: .............................................................................................................................................................................. 15

Z ADATAK3: .............................................................................................................................................................................. 15 Z ADATAK4: .............................................................................................................................................................................. 17 " ZRNCA MUDROSTI " .........................................................................................................................................................19

GERBEROVI NOSAI .............................................................................................................. ..................................22

ODREIVANJE LEAJNIH VEZA REAKCIJA..............................................................................................................................22 Primjer 1.:........................................................................................................................................................................... 22 Primjer 2.:........................................................................................................................................................................... 23 Primjer 3.:........................................................................................................................................................................... 24 Primjer 4.:........................................................................................................................................................................... 24 Primjer 5.:........................................................................................................................................................................... 25 Primjer 6.:........................................................................................................................................................................... 25 Primjer 7.:........................................................................................................................................................................... 25

Z ADATAK5:.............................................................................................................................................................................. 26

Z ADATAK6: .............................................................................................................................................................................. 31 DJELOVANJE PARA MOMENATA NAGERBEROV NOSA ........................................................................................................... 34

REETKASTI NOSAI...............................................................................................................................................35

Z ADATAK7: .............................................................................................................................................................................. 37 Z ADATAK8: .............................................................................................................................................................................. 40 Z ADATAK9: R ITTEROVA IC ULMANNOVA METODA................................................................................................................... 43 CULMANNOVA METODA........................................................................................................................................................... 44

TROZGLOBNI NOSAI..............................................................................................................................................45

Z ADATAK10: ............................................................................................................................................................................ 46 GRAFIKO ODREIVANJE UNUTARNJIH SILA U ZADANIM PRESJECIMA R-R , S-S I T-T ............................................................. 51 TROZGLOBNI OKVIR SA ZATEGOM ................................................................................................................................ 52 Z ADATAK11: ............................................................................................................................................................................ 52 Z ADATAK12: ............................................................................................................................................................................ 55 Z ADATAK13: ............................................................................................................................................................................ 56 Z ADATAK14: ............................................................................................................................................................................ 57 Z ADATAK15: ............................................................................................................................................................................ 59 Z ADATAK16: ............................................................................................................................................................................ 61 Z ADATAK17: ............................................................................................................................................................................ 63 DJELOVANJE PARA SILA I PARA MOMENATA NA TROZGLOBNI OKVIR....................................................................................... 64

OJAANA GREDA -LANGEROVA GREDA ............................................................................................................65

Z ADATAK18: ............................................................................................................................................................................ 65 OJAANA GREDA- L ANGEROVA GREDA -" KOSI " TAP KOD OJAANJA- ...............................................................................68 OJAANA GREDA OPTEREENJE U VORU !!!!!..................................................................................................................... 68


4/163

2

OJAANA GREDA- L ANGEROVA GREDA- GRAFOANALITIKI POSTUPAK- ..............................................................................69 GRAFIKO ODREIVANJE UNUTARNJIH SILA U ZADANOM PRESJEKU...................................................................................... 70 DJELOVANJE PARA MOMENATA I PARA SILA NA OJAANU GREDU!!!....................................................................................... 70

Primjer 1.:...........................................................................................................................................................................70 Primjer 2.:...........................................................................................................................................................................71 Primjer 3.:...........................................................................................................................................................................71

ZADACI ZA VJEBU:.................................................................................................................................................72 GERBEROVI NOSAI: ................................................................................................................................................................72 REETKASTI NOSAI................................................................................................................................................................75 TROZGLOBNI NOSAI ............................................................................................................................................................... 77 OJAANE GREDE......................................................................................................................................................................81 TROZGLOBI OKVIR SA ZATEGOM.............................................................................................................................................. 84

2. DIO PRIMJERI I ZADACI ZA 2. KOLOKVIJ.......................................................................................................85 POMACI I KUTEVI ZAOKRETA POPRENOG PRESJEKA....................................................................................86

ODREIVANJE POMAKA POPRENOG PRESJEKA U TOKI A.................................................................................................... 86

PRIMJER1: ( OPENITO )........................................................................................................................................................... 87 Z ADATAK19: ............................................................................................................................................................................ 90 POMAK POD NEKIM ZADANIM KUTEM........................................................................................................................................94 Z ADATAK20: ............................................................................................................................................................................ 94 Z ADATAK21: ............................................................................................................................................................................ 95 Z ADATAK22: ............................................................................................................................................................................ 97 Z ADATAK23: ............................................................................................................................................................................ 98 R EKAPITULACIJA! ....................................................................................................................................................................99

ZADACI ZA VJEBU:...............................................................................................................................................100 Primjer 1:.......................................................................................................................................................................... 100 Primjer 2:.......................................................................................................................................................................... 101 Primjer 3:.......................................................................................................................................................................... 102 Primjer 4:.......................................................................................................................................................................... 103

Primjer 5:.......................................................................................................................................................................... 104 PRIPREMA ZA METODU SILA.........................................................................................................................................105 FORMULA ZA ODREIVANJE STUPNJA STATIKE NEODREENOSTI:...................................................................................... 105

STATIKI NEODREENI SUSTAVI ........................................................................................................................106 ODREIVANJE STUPNJA NEODREENOSTI .............................................................................................................106 DIJAGRAMI MOMENATA OD DJELOVANJA PARA MOMENATA.............................................................................108

METODA SILA..........................................................................................................................................................109 Z ADATAK24: .......................................................................................................................................................................... 109 ODREIVANJE POPRENIH SILA IZ MOMENTNOG DIJAGRAMA POMOU FORMULE ..................................114 Z ADATAK25: .......................................................................................................................................................................... 116 Z ADATAK26: .......................................................................................................................................................................... 118 Z ADATAK26: .......................................................................................................................................................................... 119 Z ADATAK27: .......................................................................................................................................................................... 121 Z ADATAK28: .......................................................................................................................................................................... 125 Z ADATAK29: .......................................................................................................................................................................... 127 Z ADATAK30: .......................................................................................................................................................................... 129 Z ADACI ZA VJEBU : ................................................................................................................................................................132 Z ADATAK31: .......................................................................................................................................................................... 132 Z ADATAK32: .......................................................................................................................................................................... 133 Z ADATAK33: .......................................................................................................................................................................... 134

2X NEODREENI SUSTAVI.....................................................................................................................................135 Z ADATAK34: .......................................................................................................................................................................... 135

CROSSOVA METODA.............................................................................................................................................138


5/163

3

Z ADATAK 35: .......................................................................................................................................................................... 138

ik M

TABLICA MOMENATA UPETOSTI .................................................................................................................. 140 Z ADATAK 36: .......................................................................................................................................................................... 145 Z ADATAK 37: .......................................................................................................................................................................... 148

Z ADATAK 38: .......................................................................................................................................................................... 150

ISPITNI ZADATAK (ROK 5. 7. 2005.) ......................................................................................................................151

LITERATURA: ..........................................................................................................................................................161

.


6/163

1. DIO. 4

1. DIO primjeri i zadaci za 1. i 2. kolokvij


7/163

GEOMETRIJSKA NEPROMJENJIVOST

1. DIO. 5

PRORAUNSKI MODELI (SHEME) KONSTRUKCIJESTATIKI SUSTAVI

I. podjela s geometrijskog stanovita- linijski tapni sustavi- povrinski (ploni) sustavi- masivna tijela

II. podjela s kinematskog stanovita- geometrijski nepromjenjivi sustavi

statiki odreeni (najmanji mogui broj ispravno rasporeenih veza) statiki neodreeni (sustavi s veim brojem veza od najmanje potrebnog)

- geometrijski promjenjivi sustavi

Za rjeavanje statiki odreenih sustava koriste se jednadbe ravnotee

x = 0; y =0; M=0Za rjeavanje statiki neodreenih sustava koriste se jednadbe ravnotee + jednadbekompatibilnosti.

PONAVLJANJE:- Materijalna toka u ravnini (tijelo bez dimenzija)

2 jednadbe ravnotee: x = 0; y =0

- Tijelo u ravnini3 jednadbe ravnotee: x = 0; y=0; M=0ili 3 Ritterove toke ;M1=0; M2=0; M3=0

(u Tehnikoj mehanici nauili smo to je tijelo, djelovanje uravnoteenih sila na tijelo,odreivali smo unutarnje sile M, T i N).

U Proraunu konstrukcija nauit emo kakve su to stvarno sile A, B i C (kao smo ih zvali uMehanici) tj. nauit emo veze tijela s podlogom. Isto tako nauit emo da kako se jednostavna tijela pomou unutarnjih veza mogu spajati u nova sloena tijela.

Kad bismo imali toku ili tijelo (disk) pod optereenjem, oni bi mogli " putovati " po ravnini iliprostoru.


8/163


1. DIO. 6

Meutim, kad mi toku ili tijelo "veemo" s podlogom oni miruju i dovodimo ih u stanjeravnotee. Pri tome trebamo:

- minimalnodvije veze toke s podlogom (2 jednadbe ravnotee x = 0; y=0)- minimalnotri veze tijela s podlogom (3 jednadbe ravnotee x = 0; y=0; M=0)

Vanjske veze vanjski spojevi

Klizni leaj oduzima 1 stupanj slobode, tj.preuzima na sebe 1 vanjsku silu okomitu naplohu klizanja.

Nepomini leaj ( zglobni leaj ) - oduzima 2 stupnja slobode (moe samo rotirati) tj.preuzima 2 vanjske sile.

Kruta veze, kruti spoj, kruti leaj, upeti leaj-oduzima 3 stupnja slobode, ne dozvoljavanikakav pomak, tj. preuzima na sebe 3 vanjske sile.

Unutarnje veze unutarnji spojevi(vrlo esto postoji potreba za meusobnim povezivanjem toaka, toaka i tijela, dva ili vietijela )

tap (tapna veza) sprjeava translatornipomak dva tijela u smjeru tapa, a doputarotaciju i translaciju u drugom smjeru.Oduzima 1 stupanj slobode, tj. preuzima nasebe 1 unutarnju silu.

Zglob (nepomini) izmeu 2 tijela dozvoljava samorotaciju, ali ne i translaciju 2 tijela. Oduzima2 stupnjaslobode, tj. preuzima na sebe 2 unutarnjesile jednostruka zglobna veza

Dvostruka zglobna veza jednostruki zglob izmeu tijela I. i tijelaII.+ jednostruki zglob izmeu tijela III. i (I. + II.) oduzima 4stupnja slobode, tj. preuzima na sebe 4 unutarnje sile.


9/163


1. DIO. 7

Trostruka zglobna veza preuzima na sebe 6 stupnjevaslobode, tj. 6 unutarnjih sila

"strukost" zglobne veze - n= i-1 gdje je i broj tijela ilidiskova koji se nalaze u nekom zglobu.

Kruti spoj oduzima 3 stupnja slobode odnosnopreuzima na sebe 3 unutarnjesile.

Vrlo esto imamo na nekom tijelu kombinaciju i unutarnjih i vanjskih veza.


10/163


1. DIO. 8

OSNOVNE VEZE TOKE I TIJELA S PODLOGOM I MEUSOBNO

Toka u ravnini ima2 stupnja slobode treba 2 vanjske veze s podlogom x = 0 iy=0

za vezu toke i tijela trebamo 2 unutarnje veze i dobit emo novo tijelo novi statikisustav.vezali smo toku T s dvije unutarnje veze s tijelom i dobili smo NOVO TIJELO.

!!!! treba paziti na raspored veza; one ne smiju biti na istom pravcu jeremo dobiti mehanizam, tj. geometrijski promjenjiv sustav.

Tijelo u ravnini ima3 stupnja slobode- treba 3 vanjske veze s podlogom

!!!! Treba paziti na raspored veza;

- ne smiju biti meusobno paralelne i

- ne smiju se sjei u istoj toki

Ako elimo povezati dva ili vie tijela u novo tijelo ili statiki sustav potrebno je imati3 unutarnje veze koje takoer trebaju biti pravilno rasporeene.

Ne smijemo imati tri paralelne veze ili tri veze koje se sijeku u jednoj toki!!!


11/163


1. DIO. 9

UTVRIVANJE GEOMETRIJSKE NEPROMJENJIVOSTI ZADANIHSUSTAVA

1 tijelo--- 1 disk---3 stupnja slobodeimamo 3 veze s podlogom

(2) (1)

1 tijelo--- 1 disk---3 stupnja slobodeimamo 3 veze s podlogom

(3)

toka vezali smo toku s 2 veze za disk i dobili novotijelo koje ima 3 stupnja slobodezato imamo 3 veze s podlogom

2 tijela (diska) vezali smo s 1 tapom (1 unutarnjaveza) i 1 jednostrukim zglobom (2 unutarnje veze) idobili novo tijelo nosa koji ima 3 stupnjaslobodedodali smo 3 veze s podlogom

dva diska 2 x 3 stupnja slobode = 6 stupnjeva slobodeza stabilizaciju imamo1 jednostruki zglob (2 unutarnje veze) i2 zglobna leaja (2+2 vanjske veze) to je sveukupno 6 veza

2 diska = 6 stupnjeva slobode2 unutarnje veze + 4 vanjske veze = 6 veza

imamo 1 disk (tijelo)3 stupnja slobodeimamo 5 veza s podlogom

pojavile su se 2 veze vika STATIKI NEODREENI(KINEMATSKI PREODREENI)sustav.

presijecanjem 2 vanjske veze dobili smo statiki odreeni sustav


12/163


1. DIO. 10

Kod veza (unutarnjih i vanjskih) treba uvijek paziti na njihov raspored da ne bi dolo domehanizma.

Ovdje imamo primjer kako smo povezali

2 tijela pomou 6 veza (4 vanjske i 2unutarnje) ali smo dobili mehanizam.(za povezivanje 2 tijela u novo tijelotrebamo imati 3 unutarnje veze, a miovdje imamo samo 2 (1 jednostrukizglob))

Provjeru geometrijske nepromjenjivosti osim prepoznavanjem (vidi ranije primjere), moemoprovesti i formulom

S= 3 D + 2 3 Z0 2 Z1 4 Z2 6 Z3 - ... 2n Zn - L

D = broj diskova = broj vorova (samo izmeu tapova)Z0 = broj krutih veza (uzatvorenom tijelu mora se pojaviti1 Z0)Z1 = broj jednostrukih zglobnih vezaZ2 = broj dvostrukih zglobnih vezaZ3 = broj trostrukih zglobnih veza..Zn = brojn-strukih zglobnih veza = broj tapova ( )L = broj leajnih veza

S= 0 -- samo nuan, ali ne i dovoljan uvjet da je sustav statiki odreen i geometrijskinepromjenjiv (treba provjeriti raspored veza)

S< 0 -- imamo viak veza -- statiki neodreeni sustavi

S > 0 -- imamo manjak veza -- mehanizam

D=2; = 2; Z1=1; =5; L=3S= 3D + 2 3 Z0 2 Z1 4 Z2 6 Z3 - ... 2n Zn - LS=3 2 + 2 2 - 2 1 5 3 = 0


13/163


1. DIO. 11

D=1; Z0= 1; L=3

S= 3 1 3 3 3 = -3x !!!!!!!!Zatvoreni disk je 3x preodreen, tj. ima 1 Z 0.

Prekinuli smo tri unutarnje veze (u paru) i dobili statiki odreeni sustav

Kod ovog presijecanja veza dobili smo lokalni mehanizamnije dobro (imamo tri zgloba na jednom pravcu)

=8; =13; L=3 S = 0, ali ako napiemo y = 0 za vor 3 dobit emo silu u tapu 3-7 da je jednaka nuli . Ako pak napiemo y = 0 za vor 7 dobit emo silu utapu 3-7 da je jednaka intenzitetu sile P .

ZAKLJUAK: Ako u nekom statikom sustavu s minimalnim brojem veza nije mogue odrediti vanjske i/ili unutarnje sile pomou jednadbi ravnotee sustav je geometrijski promjenjiv.


14/163


1. DIO. 12

Primjeri odreivanja statike neodreenosti!Statiki neodreeni sustav 1. osnovni sustav 2. osnovni sustav

D= 1=1L=5

S= 3*1-1-5=-3x

D=1Z1=1=1L=4

S=3*1-2*1-1-4=-4x

D=1Z1=1L=5

S=3*1-2*1-5=-4x

D=1=1L=5

S=3*1-1-5=-3x

D=1; =1;Z1=1;=3;L=3S=3*1+2*1-2*1-3-3=-3x

D=1Z1=1L=5S=3*1-2*1-5=-4x


15/163

NOSIVI KONSTRUKTIVNI SUSTAVI - NOSAI

1. DIO. 13

NOSIVI KONSTRUKTIVNI SUSTAVI NOSAI

- oni su geometrijski nepromjenjivi- prema strukturi elemenata mogu biti:

punostjeni sastoje se od vrstih tijela, greda, diskova reetkasti sastoje se samo od tapova kombinirani grede (diskovi) + tapovi

- prema statikom sustavu, odnosno karakteru leajnih veza, meusobnom spoju vietijela, diskova i toaka mogu biti:

prosta greda

prosta greda s prepustom

konzola

Gerberov nosa

trozglobni okvir trozglobni okvir sa zategom

Sve gore nacrtane punostjene sustave moemo imati i u reetkastoj izvedbi.

ojaana ili Langerovagreda

U Proraunu konstrukcija nas e interesirati veze u spojevima i to leajne i unutarnje veze.Pomou njih postii emo da nam sustav bude u ravnotei i moi emo odrediti dijagrameunutarnjih sila M, T, N.


16/163


1. DIO. 14

Zadatak 1: Odredite veze u spojevima (leajne reakcije) i dijagrame unutarnjih sila M, T i N.

P=100kN Py= P sin = 70,71 kN; Px= P cos = 70,71 kNPostupak: x =0 B + Px = 0 B = - Px = - 70.71 kN

M(2)= 0

A8 - Py 4 = 0 A =8

4Y P = 35,35 kN

M(1)= 0

C8 - Py 4 = 0 C =8

4Y P = 35,35 kN

Kontrola: y = 0 A + C Py = 035,35 + 35,35 70,71= 0

Unutarnje sile u karakteristinim tokamaPresjek 1: x = 0 N1- 70,71 = 0 N1=70,71 kN y = 0 35,35 T1= 0 T1=35,35 kN M = 0 M1= 0

Presjek 2: x = 0 N2 = 0 y = 0 35,35 + T2= 0 T2=-35,35 kN M = 0 M2 = 0

Presjek 3: x = 0 N3 -70.71 = 0 N3= 70.71 kN y = 0 35,35 + T3= 0 T3 = 35,35 kNM(3)=0 35,354 M3 = 0

M3 = 141,4 kNm

Presjek 4: x = 0 N4= 0 y = 0 35,35 + T4= 0 T4 = -35,35 kNM(4)=0 35,354 M4 = 0

M4 = 141,4 kNm

35.35

4.141

A


17/163


1. DIO. 15

Zadatak 2:Odredite veze u spojevima (leajne reakcije) i dijagrame unutarnjih sila.

Postupak:Q = ql = 100 kN x = 0 B = 0 y = 0 A - q10 = 0

A = 100 kN M = 0 C - q105 = 0 C 10105 = 500 kNm

Kontrola : M(1) = 0 moment na slobodnom kraju = 0

C - A10 + q105 = 0500 - 10010 + 500 = 0

125810010

8

2

=

=

= l qmo

Zadatak 3: Odredite veze u spojevima (leajne reakcije) i dijagrame unutarnjih sila.

Postupak:1.) Reakcije :

x = 0 C 100 = 0 C = 100 kN M(A) = 0B6 - P3 - q84 M = 0B = 155,0 kN

M(B) = 0 A6 +M- P3 - q82 = 0 A = 85 kN

Kontrola : y = 0 A+B P - q8 = 085 + 155 80 -208 = 0

Presjek 1: x = 0 N1= 100 kN y = 0 T1= 0 M= 0 M1+M = 0 M1=50 kNm

5.228320

8

22

=

=

= l q

mo


18/163


1. DIO. 16

Presjek 2: x = 0 100 N2= 0 N2 = 100 kN y = 0 T2= 0 M = 0 M2 50 = 0 M2 = 50 kNm

Presjek 3 : x = 0 N3+100-100 = 0 N3=0 y = 0 85-T3 = 0 T3 = 85 kNM(3)=0 M3-50= 0 M3= 50 kNm

Presjek 4: x = 0 100-100 + N4 = 0 N4 = 0 y = 0 85 - q3 T4 = 0

T4 = 85 - 203 = 25 kNM(4)=0 M4 50 - 853 + 2031,5 = 0

M4 =50+853-2031,5 = 215 kNm

Presjek 8: x = 0 N8= 0 y = 0 T8= 0 M = 0 M8= 0

Presjek 7 : x = 0 N7 = 0 y = 0 T7 - q2 = 0 T7 = 40 kN M = 0 M7 + q21= 0 M7 = -40 kNm

Presjek 6: x = 0 N6 = 0 y = 0 T6 + 155 - 202 = 0 T6= -115 kNM(6)=0 M6 + q21 = 0 M6 = -40 kNm

Presjek 5 : x = 0 N5 = 0 y = 0 T5 +155 - q52,5 = 0

T5 = -155 + 100 = - 55 kNM(5)=0 M5 1553 + q52,5 = 0

M5 = 215 kNm

Dijagrame poprenih sila moemo dobiti i iz diferencijalnih odnosa ako nam je to jednostavnije.

Diferencijalni odnosi:

X X T dxdM = )( X X qdxdT =


19/163


1. DIO. 17

Zadatak 4:Na zadanom nosau, na kojem je poznat dijagram momenata, koristei diferencijalne odnose,potrebno je odrediti dijagram poprenih sila te optereenje.

M - zadano

X X T

dxdM

= )( X X qdxdT

=

Za predznak poprene sile vaan nam je tok funkcije dijagrama momenata, a ne da li jedijagram s gornje ili donje strane nosaa. (gledamo nagib tangente)


20/163


1. DIO. 18

1.) Dijagram T

t1 = horizontalno 0=dx

dM X tg t1 = 0 T1 = 0

funkcija dijagrama momenata ima lom jer su t2 i t 3 razliite to znai da dijagrampoprenih sila ima skok

* 40140

2 ==

=

dxdM

T X kN ( - zbog nagiba tangente t 2 )

* 1305,1

4050,225,1323

=++=T kN

t4 i t5 lom u M dijagramu sok u T dijagramu :

705,1

)5,225,132(2604

=+=T kN

305,1

)5,225,192(2605

=+=T kN ( - zbog nagiba tangente t 5 )

tangente t 6 , t7 i t8 meusobno paralelne nema loma u M , nema skoka u T

905,1

8050,225,1926


900,322515

7 =+=T kN ( - zbog nagiba tangente t 7 )

900,3

152558


tangente t 8 i t9 imamo lom u M, skok u T

1305,1

602559

==T kN

t10 ima nagib

405,1

6010

==T kN

2.)Iz dobivenog T dijagrama moe se izraunati optereenje na mjestima gdje imamo

linearni dio T dijagrama

=

dxT T

q 122,1

20240

2,1 =

=q kN/m 20

313070

4,3 ==q kN/m

203

)30(906,5

==q kN/m 30313040

10,9 ==q kN/m

iz skokova u T dijagramu izraunamo koncentrirane sile (u apsolutnom iznosu , a smjeroitamo iz T dijagrama)P2,3 = 40 +130 = 140 kNP4,5 = 70+30 = 100 kN

P8,9 = 90+130 = 220 kNP10 = 40 kNM6,7 = 80 -15 = 65 kNm ( oitamo iz M dijagrama )

+


21/163


1. DIO. 19

" ZRNCA MUDROSTI "

- to je dobro znati

Predznak poprene sile ovisi o nagibu tangenata + i -

22

28

22

28

2

2

2

1

l ql

l q

T

l ql

l q

T

=

=

=

=

21 22

4 T P l

l P

T ==

=2

2

443

P l

l P

T T =

==

2 x


22/163


1. DIO. 20

T2 = 0 ( t2 je horizontalna ) T2 = 0

P l

l P T T === 21 P l l P T T === 21

l ql

l q

T =

=

2

2

2

1 l ql

l q

T =

=

2

2

2

1


23/163


1. DIO. 21


24/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 22

GERBEROVI NOSAIStatiki odreeni sustavi horizontalno poloeniiznad dva ili vie otvora.- Mogu biti : punostjeni

reetkasti

kombiniraniOdreivanje leajnih veza reakcijaPrimjer 1.:

Ukupno 5 nepoznanica

0

0

0

===

M y x

+0

0

=

= L E

L D

M M

ili0

0

=

= D E

D D

M M

Moramo rijeiti sustav od 5 jednadbi s 5 nepoznanicaJednostavnije "rastavljanje" Gerberovog nosaa

I. nivo

II. nivo

* prvo odredimo "reakcije" za I. nivo ( VD i VE ) budui da tu u stvarnosti ne postojileaj te "reakcije" prenosimo s obrnutim predznakom na II. nivo i naemo konanostvarne reakcije


25/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 23

Primjer 2.:

- imamo 6 nepoznanica : V1, V3, V4 ,V7 , H7, M7- 3 jednadbe ravnotee

0

0

0

===

M y x

+ dopunske jednadbe0

0

0

6

5

2

=

=

=

L

L

L

M M M

ili0

0

0

6

5

2

=

=

=

D

D

D

M M M

6 nepoznanica 6 linearnih jednadbi ; treba rijeiti sustav od 6 jednadbi sa 6nepoznanica

! Jednostavnije ako sustav rastavimo na nain kako je on nastajao

1.) Rijeimo 1. nivo (1) i (2) i s dobivenim reakcijama opteretimo 2. nivo2.) Rijeimo 2. nivo , zatim 3. nivo3.) Kad bi imali na bilo kojem nivou neku kosu silu, horizontalnu komponentu te sile

morali bi "seliti" do leaja 7, pa zato na nekim mjestimamoemo pretpostaviti nepominileaj.


26/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 24

Primjer 3.: optereenje kosom silom

svaka kosa sila moe se projicirati na komponentei radimo superpoziciju

za Py kao u prethodnom sluaju

I. nivo

II. nivo

odredimo reakcije V A, M A, VB i VC te M i T dijagrame

za Px optereenje

odredimo reakciju H A i N dijagram od djelovanja sile P1x ( N dijagram postoji od tokedjelovanja P1X do nepominog leaja A )

Jo neki primjeri "rastavljanja" Gerberovog nosaa

Primjer 4.:


27/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 25

Primjer 5.:

Primjer 6.:

Primjer 7.:

S = 3 D + 2 + 3 Z0 2 Z1 4 Z2 LS = 34 + 0 + - 23 0 6 = 12 6 6 = 0 ali nepravilan raspored zglobova, odnosno

unutarnjih veza


28/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 26

Zadatak 5:Za zadani Gerberov nosa treba odrediti M ,T i N dijagrame analitikim postupkom.

Postupak:

* u I. nivou imamo dvije proste grede AB i EF - redoslijed rjeavanja je proizvoljan* u II. nivou imamo prostu gredu s prepustima BCDE i konzolu FG

za okomito optereenje redoslijed rjeavanja je proizvoljan, ali da smo imali ihorizontalno optereenje ili kosu silu trebali bi voditi rauna gdje je nepomian leaj (G),te da prvo treba rijeiti nosa BCDE a zatim konzolu, kao bi uzduna sila dola donepominog leaja.

1.) Nosa AB

M A = 0 - AV5 + q1525 = 0 AV = 25 kN

MB = 0 - BV5 + q1525 = 0 BV = 25 kN

x = 0 BH = 0 (ovu jednadbu piemo samo akoimamo horizontalnih sila)

Kontrola ! y = 0 AV + BV q15 = 0

2.) Nosa EF

MF = 0 - EV5 + q252,5 = 0 EV = 50 kNME = 0 FV5 - q252,5 = 0 FV = 50 kN

x = 0 FH = 0 (ovu jednadbu piemo samo akoimamo horizontalnih sila)

Kontrola ! y = 0 EV + FV q25 = 0


29/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 27

3.) Nosa BCDE

MD = 0

-CV7,5 + BV10 + P5 - EV2,5 +

q12,5

+ 5,725,2 - q22,5

25,2 = 0

CV =5,725,781 = 104,17 kN

MC = 0 DV7,5 + BV2,5 - P2,5 EV10 + q12,525,2 - q2 2,5

+ 5,725,2 = 0

DV =5,775,1093 = 145,83 kN

Kontrola ! y = 0 -25 -100 50 - 102,5 202,5 + 104,17 + 145,83 = 0

4.) Nosa FG

x = 0 GH = 0 y = 0 GV FV q22,5 = 0 GV = 100 kN

MG = 0 FV2,5 + q22,525,2 - MG = 0 MG = 187,5 kNm

Kontrola ! MF = 0 -q

22,5

2

5,2 + GV2,5 M

G = 0

Odreivanje dijagrama unutarnjih sila* moemo raditi za cijeli Gerberov nosa ili za svaki "podijeljeni" nosa

1.)

M=0 M1 = 0 M2 = 08

2

0

l qm =

y=0 T1 = 25 kN T2 = -25 kN8

510 20

=m

x=0 N1= 0 N2 = 0 25,310 =m kNm

2.)

M=0 M3 = 0 M4 = 08

2

0

l qm =

y=0 T3 = 50 kN T4 = -50 kN8

520 20

=m

X=0 N3= 0 N4 = 0 5,620 =m kNm

5,2


30/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 28

3.)

Presjek 5.: x=0 N5 = 0y=0 T5 = -25 kNM=0 M5 = 0

Presjek 6.: x=0 N6 = 0y=0 T6 = -50 kNM=0 M6 = - 93,75 kNm

Presjek 7.: N7 = 0 y = 0 T7 = 54,17 kNM7 = 0 M7 = - 93,75 kNm

Presjek 8.: N8 = 0 y = 0 T8 = 54,17 kNM8 = 0 M8 = 41,675 kNm

Presjek 12 .: N12 = 0T12 = 50 kNM12 = 0

Presjek 11 .: N11 = 0 y = 0 T11 = 100 kNM11 = 0 M11 = - 187,5 kNm


31/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 29

Presjek 10.: N10 = 0 y = 0 T10 = - 45,83 kNM10 = 0 M10 = - 187,5 kNm

M10 = M11

Presjek 9 .: N9 = 0 y = 0 T9 = - 45,83 kNM9 = 0 M9 = 41,65 kNm

M9 = M8

4.)

Presjek 13 .: N13 = 0 y = 0 T13 = - 50 kNM13 = 0

Presjek 14 .: N14 = 0 y = 0 T14 = - 100 kNM14 = 0 M14 = - 187,5 kNm


32/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 30

Dijagrami unutarnjih sila M i T

Mjerila : 0.5 cm :: 1m1 cm :: 50 kNm1 cm :: 50 kN


33/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 31

Zadatak 6:

Za zadani Gerberov nosa treba odrediti M i T dijagrame - grafoanalitikim postupkom.

Promatramo 3 proste grede

A-C AV = CV = 37,5 kN

3,708

5,7 210 =

=

qm kNm

C-D 67,665,7

5100 =

=C kN

675,335,7

5,2100 =

= D

675,1665,220 == C m kNm

D-G D = G = 100 kN

25081020 23

0 ==m kNm


34/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 32


35/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 33

Obrazloenje grafoanalitikog postupka

A = A0 + A' = 37,5 12,5 = 25 kNC = C0 + C' = 104,2 0,03 = 104,17 kND = D

0 + D' = 133,33 + 12,5 = 145,83 kN

G = G0 + G' = 100 + 0 = 100 KnMG' = MG = 187 kNm


36/163

GERBEROVI NOSAI

1. DIO. 34

Djelovanje para momenata na Gerberov nosaZadaci ovakvog tipa mogu se pojaviti na kolokviju ili ispitu.!!!!!!!

1.)

2.)


37/163

REETKASTI NOSAI

1. DIO. 35

REETKASTI NOSAI

Nauili smo da nosai, odnosno konstruktivni sustavi, mogu biti punostjeni i/ili reetkasti.Reetkasti nosa se sastoji samo od tapova, a optereenje se prenosi iskljuivo uvorovima.

Prema statikom sustavu, odnosno karakteru leajnih veza moemo imati:prostu gredu, konzolu, trozglobnu konstrukciju, Gerberovu reetku.

Reetkasti nosai mogu biti jednostavni i sloeni.

* jednostavni - tono se zna redoslijed spajanja tapova- optereenje se preko tapova prenosi na vrsto tlo

rjeavanje moe biti :analitiko ili grafiko

x=0 poligon sila zatvoreni liky=0

! kod rjeavanja uvijek kreemo od vora gdje nam se javljaju samo 2 nepoznate sile

reetka je nastala tako da smo dodavalitapove na vrstu toku (1) koja je s dva tapavezana na tlo

redoslijed rjeavanja reetke: prvo vor (6) 5 4 3 2 1

AB C veze s podlogom

Kontrola ! x = 0 ; y = 0


38/163

REETKASTI NOSAI

1. DIO. 36

* sloeni redoslijed rjeavanja

1.) A, B, C2.) 1,2,,63.) Kontrola u toki (K)

x = 0 ; y = 0

* kombinacija: reetka + punostjeni


39/163

REETKASTI NOSAI

1. DIO. 37

Zadatak 7:Odredite sile u tapovima reetke, te nacrtajte skicu realnih (stvarnih) djelovanja.

Postupak rjeavanja:

Analitiki:

vor (3)

kod nepoznatih veliinauvijek pretpostavljamo vlane sile utapovima

x = 0 ; y = 0 ;23

= tg = 56,31

1.) y = 0 -Dy -Ey = 0 x = 0 -Dx + Ex + P = 0Dy = Dsin = 0,832 D Dx = Dcos = 0,5547 DEy = Esin = 0,832 E Ex = Ecos = 0,5547 E0,832 D = - 0,832 E - 0,5547 D + 0,5547 E + 100 = 0

D = - E 0,5547 E + 0,5547 E + 100 = 01.1094 E + 100 = 0

E = -90,139 kN ( tlak)D = 90,139 kN ( vlak)

Ex = -90,1390,5547 = -50 kN Ey = -75 kNDx = 50 kN Dy = 75 kN

vor (2)skiciramo vor (2) i silu E ucrtavamo s njezinim stvarnimdjelovanjem, tj. sila E je tlana i crtamo strelicu u vor i zbogtoga u kasnijim izraunima vie ne mijenjamo njezin predznak

x = 0 Ex I = 0 I = Ex = 50 kN ( vlak ) y = 0 - Ey - F = 0 F = -Ey = -75 kN ( tlak )


40/163

REETKASTI NOSAI

1. DIO. 38

vor (1 )

x = 0 Gx + Dx + I = 0 y = 0 Dy - H Gy = 0

== 4544

tg Gx = 0,707 G

Gy = 0,707 G

1.) 0,707 G + 50 +50 = 0 4,141707,0

100==G kN ( tlak )

Gy = -100 kN Gx = -100 kN2.) Dy H Gy = 0

75 H (-100) = 0 H = 175 kN (vlak)

Leajne veze reakcije

y = 0 A + H = 0 A = -175 kN

ili MBC = 0 A4 + P7 = 0

1754

700== A kN

B = F = 75 kN C = G = 141,4 kN

Kontrola ! y = 0 A + B + Cy = 0 x = 0 - Cx + P = 0- 175 + 75 + 100 = 0 - 100 + 100 = 0

OBAVEZNO! skica stvarnog djelovanja

x = 0 i y = 0 u svakom voru


41/163

REETKASTI NOSAI

1. DIO. 39

Grafiki: (od vora do vora) Za grafiko odreivanje sila potrebno je odrediti mjerilo sila.

Mjerilo sila 1cm::20kN

Oitamo :D = 4,5 cm D = 90 kN ( vlak )E = 4,5 cm E = 90 kN ( tlak )( tlak zato jer sila gleda u vor (3) )

Oitamo :I = 2,5 cm I = 50 kN ( vlak )F = 3,7 cm F = 74 kN ( tlak )

Oitamo :H = 8,7 cm H = 174 kN ( vlak )G = 7,0 cm G = 140 kN ( tlak )


42/163

REETKASTI NOSAI

1. DIO. 40

Zadatak 8:

Odredite vrijednosti sila u tapovima prikazane reetke. Nacrtajte skicu realnih djelovanja.

Postupak:

== 435,6348

tg

Ax = Acos = 0,4472 A ; Ay = Asin = 0,8944 A

I. Prvo trebamo odrediti leajne veze reakcije A, B i C jer niti u jednom voru nemamosamo dvije nepoznate sile

M3 = 0 -C16 P210 + P18 = 0

75,2816

1011088016

108 21 =

=

= P P C kN

x = 0 -Ax + P1 = 0

Ax = P1 = 80 kN 89,178cos

==

x A A kN

Ay = Asin = 178,890,8944 = 160 kN

y = 0 - Ay - P2 - C -B = 0B = -Ay P2 C = - 160 110 (- 28,75 ) = - 241,25 kN

Kontrola ! M2 = 0 Ay20 + P26 + B16 = 016020 + 1106 + ( - 241,25) 16 = 0

ucrtamo stvarni smjer reakcija , odnosno ucrtamo stvarne smjerove sila u tapovima kojiveu reetku s podlogom ( A, B, C )


43/163

REETKASTI NOSAI

1. DIO. 41

vor (2) == 13,536

8 tg

y = 0 Dy + 28,75 = 0Dy = - 28,75 kN ( tlak)

94,35sin

== y D D kN

Dx = Dcos = - 21,56 kN

x = 0 - E + 80 Dx = 0E = 80 ( - 21,56 ) = 101,56 kN

vor (4) == 6598,3810

8 tg

y = 0 -Gy + Dy P2 = 0Gy = 28,75 110 = - 81,25 kN ( tlak)

06,130sin

==

yGG kN

Gx = Gcos = - 101,56 kN

x = 0 - F Gx Dx = 0F = - Gx Dx = - ( -101,56 ) 21,56 = 80 kN

Gx je negativno jer smo tako izraunaliDx je pozitivno jer smo u vor(4) ucrtali stvarni smjer

vor (3) x = 0

=+=+

08080

0 F A x ovo je kontrola!

y = 0 - Ay H = 0

H = - Ay = -160 kN ( tlak )


44/163

REETKASTI NOSAI

1. DIO. 42

vor (1) kontrolni vor treba provjeriti , a ne samo zakljuiti

x = 0 y = 0

Skica stvarnog djelovanja


45/163

REETKASTI NOSAI

1. DIO. 43

Zadatak 9: Ritterova i Culmannova metodaU oznaenim tapovima reetke odredite vrijednosti djelovanja Ritterovom metodom. (vrlo esto dolazi na ispitu i kolokviju !!!!! )

Postupak:

== 69,3332

tg

1.) Reakcije y = 0 R1- P = 0

R1= 60 kN M(1) = 0 R24- P19 = 0

R2 = 135 kN

x = 0 P2 + R2 R3 = 0R3 = 215 kN

2.) Odreivanje vrijednosti u oznaenim tapovima reetke

a.) MRA = 0 ( desni dio )

A2- P13 R32 = 0305

22215360

=+

= A kN

b.) MRC = 0 ( lijevi dio )C2 + P24 + R28 R13 = 0

6102

3608135480-=

+=C kN

c.) y = 0 ( lijevi dio )R1- By = 0

By = R1= 60 kN ; 17,1085547,060

sinB y ===

B kN ; Bx = Bcos = 90 kN


46/163

REETKASTI NOSAI

1. DIO. 44

Culmannova metodaU oznaenim tapovima reetke odrediti vrijednosti djelovanja Culmannovom metodom.

1.) Naemo reakcije grafikim postupkom koristei Culmanov pravacC.P.(R)

2.) Naemo Culmanov pravac za unutarnje sile (C.P)

Oitano : Reakcije : A = 310 kN R1= 60 kNB = 110 kN R2= 135 kNC = - 610 kN R3= 215 kN

U presjeku poligon sila mora biti zatvoreni lik tj. 013 =++++ C B A P Rrrrrr


47/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 45

TROZGLOBNI NOSAI

Trozglobni nosai su sastavljeni od dva diska. Diskovi su meusobno povezani zglobom, asvaki je disk zglobno vezan i za podlogu.

- mogu biti luni ili okvirni- mogu biti punostjeni i reetkasti

Reakcije su u smjeru tapova M = 0 ; T = 0

Disk AC 0,0,0 AC N T M tap 0,0,0 == BC N T M BC

opaska Disk tap

tapoviopter

zgloba2izmedju


48/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 46

Zadatak 10:Treba odrediti dijagrame unutarnjih sila M, T, i N za zadani trozglobni okvir.

Postupak:1.) Odreivanje reakcija leajnih veza

- imamo nepoznato : AV, AH, BV i BH = 4 nepoznate veliine

3 jednadbe ravnotee x = 0 1 jednadba MCl = 0 ili MCd = 0 y = 0 + jer znamo da je u zglobu C moment jednak nuli. M = 0

1. MA = 0BV8 - BH1 - P6 - q61= 0 BV= 93,64 kN

BH = 29,1 kN2. MCd = 0

-P2 - BH6 + BV4 = 0

3. MB = 0-AV8 - AH1 + q67 + P2 = 0 AV = 126,36 kN AH = 29,1 kN

4. MCl = 0-AV4 + AH 5 + q63 = 0

Kontrola : x = 0 AH BH = 0 y = 0 AV + BV - q6 P = 0

2. Odreivanje unutarnjih sila

- unutarnje sile odreujemo u karakteristinim tokama, tj. na mjestima gdje funkcijedijagrama unutarnjih sila imaju istaknute, karakteristine vrijednosti (sve smo to nauili uTehnikoj mehanici )

- predznaci unutarnjih sila predmet dogovora moment crtamo uvijek na vlanojstrani, T i N isto kao u Tehnikoj mehanici

tzv. skok funkcije funkcija prekidnatzv. lom funkcije derivacija funkciji prekidna

- uoimo sve toke ( presjeke ) u kojima funkcije M, T i N imaju karakteristinevrijednosti, a izmeu tih toaka imamo neprekidne derivabilne funkcije, uglavnom I. iII. reda i moemo ih narisati.


49/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 47

Karakteristine toke su u presjecima 1 do 12

Karakteristini presjeci :

Presjek 1: x = 0 N1 = 0 y = 0 T1 = 0M=0 M1 = 0

Presjek 2 : x = 0 N2 = 0 y = 0 T2 + q2 = 0 T2 = -40 kNM2=0 M2 + q21 = 0

M2 = -40 kNm

Presjek 3: x = 0 T3 + AH = 0 T3 = -29,1 kN y = 0 AV+ N3 = 0 N3 = -126,36 kNM3 = 0 M3 = 0

Presjek 4: x = 0 T4 + AH = 0 T4 = -29,1 kN y = 0 N4 + AV = 0 N4 = -126,36 kNM4=0 M4 + AH5 = 0

M4 = -145,5 kNm ( vlak lijevo)


50/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 48

Presjek 5 : x = 0 N5 + AH = 0 N5 = -29,1 kN y = 0 -q2 - T5 + AV = 0 T5 = 86,36 kNM5=0 M5 + AH5 + q21= 0

M5 = -185,5 kNm (vlak gore)

Presjek 6 : x = 0 N6 + AH = 0 N6 = -29,1 kN y = 0 AV - q6 T6 = 0 T6 = 6,36 kNM6=0 M6 = MC = 0 u toki C imamo zglob

to znai da moment mora biti jednak nuli .(to nam je bila jedna od toki oko koje smo raunali nae

reakcije)

Presjek 7: x = 0 T7 - BH = 0 T7 = 29,1 kN y = 0 N7 + BV = 0 N7 = -93,64 kNM7= 0 M7 = 0

Presjek 8: x = 0 T8 - BH = 0 T8 = 29,1 kN y = 0 N8 + BV = 0 N8 = -93,64 kNM8=0 - M8 - BH3 = 0

M8 = - 87,3 kNm ( vlak desno)

Presjek 9 : Tehnika mehanika projekcije u smjeru T i N !!!!!

sin = 0,6cos = 0,8

N = 0 N9 + BVsin + BHcos = 0 N9 = -79,3 kN T = 0 T9 + BVcos - BHsin = 0 T9 = -57,45 kN

M9= 0 M9 + BH3 = 0 M9 = -87,3 kNm ( vlak desno gore)


51/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 49

Presjek 10 : N = 0 N10 = N9 = -79,3 kN T = 0 T10 = T9 = -57,45 kNM10= 0 M10 + BH4,5 BV2 = 0

M10 = 56,3 kNm

Presjek 11: N = 0 N11 + BVsin + BHcos - Psin = 0N11 = -19,46 kN

T = 0 T11 + BVcos - BHsin - Pcos = 0T11 = 22,50 kN

M11= 0 M11= M10 = 56,3 kNm

Presjek 12: N = 0 N12 + AHcos - AVsin + q6sin = 0N12 = -19,46 kN N11

T = 0 T12 - AVcos + AHcos + q6cos = 0T12 = 22,50 kN T11

M12= M6 = MC = 0


52/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 50

DIJAGRAMI UNUTARNJIH SILA


53/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 51

Grafiko odreivanje unutarnjih sila u zadanim presjecima r-r , s-s i t-t(vrlo esto na kolokviju te pismenom i usmenom dijelu ispita!!!!!!!!!)Zadano:K= 80 kN = 30

Postupak:

0rrrr

rrr

rr

=+++=

= B A K

A K R B R

l

d

B = 69 kN A = 102,5 kN

Oitamo:

Presjek r-r ; Nr-r = + 98 kNTr-r = + 31 kNMr-r = + r r A =

0,45 102,5 = + 46 kNmPresjek s-s ; Ns-s = - 65 kN

Ts-s = - 23 kNMs-s = - r s B =-0,9 69 = - 62 kNm (vlak s gornje strane)

Presjek t-t ; Nt-t = - 37 kNTt-t = - 57 kNMt-t = r t Rl = 2,55 69 = 176 kNmMt-t = r t B = 2,55 69 = 176 kNm

ss M ssT

ss N


54/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 52

TROZGLOBNI OKVIR SA ZATEGOMZadatak 11:

Za zadani trozglobni okvir sa zategom odredite dijagrame unutarnjih sila M, T i N

Postupak:Reakcije su iste kao u zadatku 10 . Optereenje i leajne veze (reakcije) su ostale

iste, postoji samo razlika u unutarnjim vezama.Javljaju se: poluzglob D i tap 1

AV = 126,36 kN BV = 93,64 kN AH = 29,1 kN BH = 29,1 kN

- karakteristini presjeci Desni dio nosaa, tj. od presjeka 5-12rauna se kao u prethodnom zadatkutj. unutarnje sile ostajunepromijenjene.

prvo trebamo odrediti silu u tapu 1, a taj tap nazivamo zategom .- to je unutarnja veza

Iz sume momenata oko (polu)zgloba D odredimo silu u zatezi,tj. moment u presjeku 4, koji je identian s (polu)zglobom D morabiti jednak nuli M4 = 0

M4 = 0 AH5 - H2 = 0 H = 72,75 kN

88,10245cos == o H

kN V = 72,75 kN


55/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 53

Unutarnje sila u lijevom dijelu nosaa

Presjek 1: x = 0 N1 + H = 0 N1 = -72,75 kN y = 0 T1 + V = 0 T1 = -72,75 kN

M(1)=0 M1 = 0

Presjek 2: x = 0 N2 + H = 0 N2 = -72,75 kN y = 0 T2 + V + q2 = 0 T2 = -112,75 kNM(2)=0 M2 + V + q21 = 0 M2 = -185,5 kNm

Presjek 3 : isto kao prije x = 0 T

3 + A

H = 0 T

3 = -29,1 kN

y = 0 AV+ N3 = 0 N3 = -126,36 kNM3 = 0 M3 = 0

Presjek 4 : x = 0 T4 + AH H = 0 T4 = 43,65 kN y = 0 N4 + AV + V = 0 N4 = -199,11 kNM(4)=0 M4 + AH5 H2 = 0 M4 = 0 = MD

Presjek 13 : x = 0 T13 + AH = 0 T13 = -29,1 kN y = 0 N13 + AV = 0 N13 = -126,63 kNM13= 0 M13 + AH3 = 0 M13 = - 87,3 kNm ( vlak lijevo)

Presjek 14: x = 0 T14 + AH - H = 0 T14= 43.75 kN y = 0 N14 + AV + V= 0 N14 = -199,11 kNM14=0 M14 + AH3 = 0 M14= M13 = -87,3 kN


56/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 54

DIJAGRAMI UNUTARNJIH SILA


57/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 55

Zadatak 12:Odredite reakcije te silu u zatezi za zadani trozglobni okvir sa zategom.

(Nosai ovakvog tipa vrlo esto se pojavljuju na predmetu Drvene konstrukcije, poloaj zatege moe biti na bilo kojem mjestu po visini, a diskovi se spajaju u obliku

slova A krovite.)

Postupak kod analitikog odreivanja reakcija te sila u zatezi:

Reakcije: (kao kod proste grede jer imamo 3 leajne veze) x = 0 C MB = 0 A M A= 0 B

Sila u zatezi:

MCl = 0 -Aa + Cc + Zhd - Zva + P1l1 = 0 Z ili M

C

d = 0 Bb - Zhe - Z

vb P

2l

2 = 0

ZH=ZcosZV=Zsin

Unutarnje sile odreujemo kao kod svakog drugog nosaa u karakteristinim tokama.Sila u zatezi za nas je samo jo jedna od koncentriranih sila pa imamo karakteristinepresjeke ispred i iza mjesta djelovanja zatege.


58/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 56

Zadatak 13:Za zadani trozglobni okvir sa zategom odredite dijagrame unutarnjih sila.

Postupak:x = 0 Ah + P = 0 Ah = -100 kN

MB= 0 -Av *4 + Ah*1 P*3 + q*4*2=0 Av=-60 kN

y=0 Av + Bv - q*4=0 Bv=140 kN

Kontrola!M A= 0 Bv*4-q*4*2-P*4=0

Dijagrami unutarnjih sila

Prvo treba izraunati silu u zatezi. Raunamo je iz uvjeta da moment u zglobu C mora biti jednak 0, tj . M

C= 0 .

Napravimo presjek kroz zglob i promatramo sile s lijeve strane ili s desne strane.tg =3/4 =36.870

MlC= 0 Av*2 Ah*4 + Zh*3 Zv*2 + q*2*1=060*2-100*4+Z*cos *3 Z*sin *2 + 20*2*1=0120-400+Z*0.8*3 Z*0.6*2 + 40 = 0-240 + 1.2Z=0 Z=200 kN

Kompjutorska rjeenja (samo za provjeru, ako elite nacrtati dijagrame unutarnjih sila)

Reakcije - stvarni smjer djelovanjaDijagram momenata Dijagram poprenih sila Dijagram uzdunih sila


59/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 57

Zadatak 14:Grafikim postupkom odredite reakcija te sile u presjeku t-t za zadani trozglobni okvir sazategom.

Kod grafikog rjeavanja prvo odredimoMjerilo sila --kN:: -- cm

Odredimo reakcije A i B.Reakcije i sila P se moraju sjei u jednoj toki.Znamo da je B vertikalna reakcija, naemo toku ukojoj se sijeku B i P te kroz tu toku mora proi A.

Oitamo reakcije u mjerilu sila i dobijemo:

A=141,4 kN;B= 100 kN

Nakon to smo odredili reakcije, traimo silu u zateziZ. Silu naemo iz uvjeta da rezultanta reakcije B i sile u zatezi Z R (B+Z ) mora proi krozzglob C (moment u zglobu C mora biti 0).

Oitamo: Z= 100 kN

Rezultantu R(B+Z) zatim uravnoteimo unutarnjimasilama Ttt i Ntt. Oitamo: Ttt= 100 kN; Ntt= - 100 kN.

Moment izraunamo kao umnoak horizontalnekomponente R (B+Z) h x udaljenost do presjeka t-t.(R (B+Z)h =Z )Mtt= 100x1 = 100 kNm (vlak s vanjske strane)


60/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 58

Kompjutorska rjeenja: (samo za provjeru, ako elite nacrtati dijagrame unutarnjih sila)

Reakcije Dijagram momenata

Dijagram poprenih sila Dijagram uzdunih sila


61/163


62/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 60

Dijagrami unutarnjih sila za zadani trozglobni okvir sa zategom kompjutorska rjeenja

M dijagram

T dijagram

N dijagram


63/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 61

Zadatak 16:Trozglobni nosa sa zategom grafiko odreivanje unutarnjih sila u zadanom presjeku.

Oitamo: Reakcije A= 141 kN; B= 100 kN

U presjeku t-tRezultanta reakcije B i sile u zatezi Z

tj. Rd mora proi kroz zglob C (Mc=0)Vidimo da od djelovanja sile P u presjeku t-t imamo samouzdunu silu Ntt= -133 kN

U presjeku s-s

Ako gledamo s desne strane do presjeka ss djeluju nam B, Z i P, odnosno Rd+P Nss = 0

Tss = Rd+P =-33 kNMss = (Rd+P)*2= 66kNm (vlak s unutarnjestrane)


64/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 62

Kompjutorska rjeenja

Reakcije Mss =66.66 kNm

Tss = -33.33 kN Ntt= -133.33 kN


65/163


66/163

TROZGLOBNI NOSAI

1. DIO. 64

Djelovanje para sila i para momenata na trozglobni okvirZadaci ovakvog tipa mogu se pojaviti na kolokviju ili ispitu.!!!!!!!

(vanjsko optereenje u ravnotei, pripazite na reakcije !!!!)

AHh 1x 0,5h =0

M A=0; MB=0; => AV = BV = 0

M A=0; MB=0; => AV = BV = 0

AH = BH = h1

5,05,0

=

=h

h A H


67/163

OJAANA GREDA

1. DIO. 65

OJAANA GREDA -LANGEROVA GREDA -analitiki postupak-

Zadatak 18:

Za zadanu ojaanu gredu odredite reakcije te dijagrame unutarnjih sila M, T i N.

1.) Reakcije:

kao odgovarajua prosta greda (vrijedi samo za vertikalno optereenje)

MG = 0 -AV10 + q48 + P2 = 0 AV = 52,0 kN AV = AV

M A = 0 GV10 - q42 - P8 = 0 GV = 88,0 kN GV = GV

Kontrola ! y = 0 52 + 88 - 104 100 = 0

2.) Unutarnje sile:

U presjeku x-x imamo4 nepoznate unutarnje sile pa ne moemo iz uvjeta ravnotee rijeitiproblem. Zato je potrebno prvo rijeiti sile u tapovima ili "ojaanju".


68/163

OJAANA GREDA

1. DIO. 66

0235

0

2 =+=

S P G M V

d D

4 4 34 4 21

a) odreivanje sila u ojaanju sile u tapovima

MDl = 0 ili MDd = 0

MDodgovarajua prosta greda

MD moment na odgovarajuoj prostoj gredi

702

3004402

352 =

+=

+=

P GS V kN ( S2 je tlana sila )

ili 702140

2 00

2 =

=== f

M M S D D kN

S2 = H horizontalni tap

vor (1) x = 0 S2 + S1H = 0 y = 0 V1 + S1V = 0S1H = -S2 = -H = -70 kN V1 = - S1V = 70 kN

99cos

701 =

=

S kN

S1V = S1sin = -70 kN

vor (2) x = 0 S3H + S2 = 0 y = 0 V2 + S3V = 0S3H = -S2 = -H = -70 kN V2 = - S3V = 70 kN

99cos

33 ==

H S S kN

S3V = S3sin = -70 kN


69/163

OJAANA GREDA

1. DIO. 67

Dijagrami unutarnjih sila

Momentni dijagram

M A = 0

MB = AV2 - 842

2 2=q kNm

MC=AV4- 1222

41

2

= V S q kNm

MD = AV5 - q43 S1V3+ V11 = 0 kontrola

MG = 0MF = GV2 = 176 kNmME = GV4 ( P + S3V )2 = 12 kNm

MC = AV4 - q42 = 128 kNm Mx dijagram na zadanom nosauMD = AV5 - q43 = 140 kNm Mx - dijagram na odgovarajuoj prostoj grediMF = GV2 = 176 kNm

Dijagram poprenih sila (na gredi)

T A = AV = 52 kNTBl = AV - q2 = 32 kNTBd = AV - q2 S1V = -38 kNTCl = TBd = q2 = -58 kNTCd = TCl + V1= 12 kNTEl = TCd = 12 kNTEd = TEl + V2 = 82 kNTFl = TEd = 82 kNTFd = TFl S3V P = - 88 kNTGl = GV = - 88 kN

Dijagram uzdunih sila

x = 0Nx = S1H = 70 kN


70/163


71/163

OJAANA GREDA

1. DIO. 69

Ojaana greda - Langerova greda - grafoanalitiki postupak -

Mx = AVx -2

2 xq - S1H y(x)

Mx = AV x -2

2 xq - H y(x)

Mx = Mx - H y(x)MxM A = 0 ;MC = 128 kNm ;MF = 176 kNm ;MG = 0

Dijagram poprenih sila

Tx = AV - qx S1V Tx = AV - qx Htg 1 Tx = Tx- Htg i

T A = AV = 52 kN ; TC= 52 40 = 12 kN ; T0Fl = 12 kN ; T0Fd = -88 kN ; TG = -GV = -88 kN


72/163

OJAANA GREDA

1. DIO. 70

Grafiko odreivanje unutarnjih sila u zadanom presjeku

Mjerila1cm :: 1m1cm :: 20 kN

Oitamo :B = 20 kN A = 104 kN

Nt-t = 50 kNTt-t = -20 kNMt-t = + r tRCl = +0,254Mt-t = + 10,8 kNm

l C R H A

K B Arrr

rrrr

=

=++

.2

0.1 ili d C R H K B

rrrr=++

Djelovanje para momenata i para sila na ojaanu gredu !!!

Zadaci ovakvog tipa mogu se pojaviti na kolokviju ili ispitu.!!!!!!!Primjer 1.:

y = 0 AV = BV = 0

MCl

= MCd

= 10 kNm5

2== C

M H kN

Sile u tapovimaH = 5 kNV = -5 kNS = 7,07 kN


73/163

OJAANA GREDA

1. DIO. 71

Primjer 2.:

m = 10 kNm

y = 0 AV = BV = 0 MCl = 0 H = 0 V2 = S2 = 0

Presjek t-t S1V2 = 10 S1V = 5 kNS1 = 7,07 kN

y(1) = 0 S1V= -V1 = 5 kNN34 = -S1H = -5 kNT34 = S1V = 5 kN

T14 =2m = -5 kN

Primjer 3.:

y = 0 AV = BV = 0 x = 0 AH = 0 MCl = 0 H2 + P1V1 = 0

H = -3,54 kN

Sile u tapovima

vor 1 V1 = 3,54 kNS1 = -5,0 kN

vor 2 V2 = -10,61 kNS2 = 5,0 kN


74/163

ZADACI ZA VJEBU

72

ZADACI ZA VJEBU:

Gerberovi nosai:Primjer 1: Odredite M i T dijagrame analitikim postupkom!

Rjeenje:reakcije

M dijagram

T dijagram

NAPOMENA (vrijedi za sve zadatke): Svi dijagrami dobiveni su kompjutorski.Dijagrami poprenih sila nacrtani su na " krivoj" strani u odnosu na ono kako smo mi nauili uTehnikoj mehanici, ali predznaci su ispravni . Kad sami crtate dijagrame moete prikazanezrcaliti oko uzdune osi i izgledat e onako kako smo navikli .


75/163

ZADACI ZA VJEBU

73

Primjer 2: Odredite M i T dijagrame analitikim postupkom!

Rjeenje:reakcije

M dijagram

T dijagram


76/163

ZADACI ZA VJEBU

74

Primjer 3: Odredite M i T dijagrame analitikim postupkom!

Rjeenje:reakcije

M dijagram

T dijagram


77/163

ZADACI ZA VJEBU

75

Reetkasti nosaiPrimjer 1: Ritterovom metodom odredite sile u oznaenim tapovima!

Rjeenje:

reakcije

1= 70 kN; 2= -198.3 kN; 3= 40 kN;

Primjer 2: Ritterovom metodom odredite sile u oznaenim tapovima!

Rjeenje:reakcije ( iste kao u primjeru 1)

4= 46.7 kN; 5= 42.1 kN; 6= -70 kN;

1

2

3

4

5

6


78/163

ZADACI ZA VJEBU

76

Primjer 3: Ritterovom metodom odredite sile u oznaenim tapovima!

Rjeenje:reakcije

1= -440 kN; 2= 246.4 kN; 3= -146.7 kN;Primjer 4: Ritterovom metodom odredite sile u oznaenim tapovima!

Rjeenje:reakcije ( iste kao u primjeru 3)

4= -440 kN; 5= -246.4 kN; 6= 126.7 kN;

1

2

3

4

5

6


79/163

ZADACI ZA VJEBU

77

Trozglobni nosaiPrimjer 1: Odredite dijagrame unutarnjih sila M, T i N!

Rjeenje:reakcije


80/163

ZADACI ZA VJEBU

78

Dijagrami unutarnjih silaM dijagram

T dijagram

N dijagram

7,86

7.110


81/163

ZADACI ZA VJEBU

79

Primjer 2: Odredite dijagrame unutarnjih sila M, T i N!

Rjeenje:reakcije


82/163

ZADACI ZA VJEBU

80

Dijagrami unutarnjih silaM dijagram

T dijagram

N dijagram

96.198

328

04.101


83/163

ZADACI ZA VJEBU

81

Ojaane gredePrimjer 1: Odredite dijagrame unutarnjih sila M, T i N!

Rjeenje:reakcije

M dijagarm

T dijagram

N dijagram


84/163

ZADACI ZA VJEBU

82

Primjer 2: Odredite vrijednost sile u zadanom tapu!

Rjeenje:reakcije

Vrijednost sile u1=-204.1 kN

1


85/163


86/163

ZADACI ZA VJEBU

84

Trozglobi okvir sa zategomPrimjer 1: Odredite grafiki M, T i N u presjeku t-t!

Stvarni smjer unutarnjih sila

T=200 kN, N=-100 kN M=0 Mtt + (A+Z)*r =0 Mtt= - (A+Z)*r(vlak gore )

A B

B

P

Z

Z A + Z A +

N

T

Z

A

r

Z A +

t

t

r

Z +tt M


87/163

85

2. DIO primjeri i zadaci za 3. kolokvij


88/163

POMACI I KUTEVI ZAOKRETA

2. DIO 86

POMACI I KUTEVI ZAOKRETA POPRENOG PRESJEKA

Odreivanje pomaka poprenog presjeka u toki A.

Pod djelovanjem vanjskog optereenja dolazi do deformacija sustava.Nas obino interesiraju pomaci samo nekih odreenih toaka, u

nekom smjeru. (npr. pomak poprenog presjeka u toki A A)

Postupak za rjeavanje je sljedei:

1)

Za zadano vanjsko optereenje odredimo dijagrame M i N ( T ne treba jer je njegov doprinos mali.)

2)

S promatranog sustava moramo ukloniti sve vanjsko optereenje

i u smjeru traenog pomaka, na mjestu toke A , dajemo jedininooptereenje tzv. mjerno optereenje .

Mjerno optereenje, intenziteta 1 kN (1 kNm), je jedinina sila (jedinini moment) kojadjeluje na mjestu i u smjeru traenog pomaka (kuta). Za to jedinino, mjerno, optereenjeizraunamo m1, n1, ( t 1 ).

Piemo jednadbu rad vanjskih sila = radu unutarnjih sila

lan koji uzima u obzir utjecaj poprenih sila obino zanemarimo jer je doprinos mali(zatonam ne trebaju dijagrami poprenih sila).

++= dsGF t T ds

EF n N ds

J m M

v1111


89/163


2. DIO 87

A

Primjer 1: (openito)Potrebno je pronai ukupni pomak poprenog presjeka u toki A te kut zaokreta za istu toku.

22 AY AX A += ik i mjesto pomaka

k uzrok pomaka

Postupak:1) Za vanjsko optereenje odredimo M, N, (T)2) Za jedinino optereenje odredimo mi, ni (t i )

2a) (za horizontalni pomak jedinina sila u smjeru osi x) m1x, n1x, (t1x)

2b) (za vertikalni pomak jedinina sila u smjeru osi y)m1y, n1y, (t1y)

2c) (za kut zaokreta jedinini moment u smjeru kuta zaokreta)

m1, n1, (t1)

++= dsGF t T ds

EF n N ds

EI m M x x x

AX

++= dsGF t T

ds EF

n N ds

EI m M y y y

AY 22

AY AX A +=

++= dsGF

t T ds

EF

n N ds

EI

m M A

E = kN/m2, F = m2, I=m4 G = kN/m2 Modul elastinosti povrina moment inercije modul posmika

EI i EF su konstante (za nae primjere) pa moemo pisati

++= dst T GF dsn N EF dsm M EI x x x AX 111

++= dst T GF dsn N EF dsm M EI y y y AY 111

++= dst T GF dsn N EF dsm M EI A 111


90/163


2. DIO 88

Da ne bismo rjeavali integrale, radimo numeriku integraciju po:

- Simpsonu

[ ] ++== k k s s p p m M m M m M l EI ds EI m M

46

1

Za linearne funkcije imamo:

abl ( )++ bababal

46

632

l babl a

22

46

bal

33

2

2

l babl a

+

224

6

babal

2bl a

++6

30

24

6l bababal

- ili grafiku integraciju po Vereaginu

( ) m M F EI

ds EI

m M v

S

v=

11 F(Mv) povrina dijagrama (obavezno povrina parabole)m ordinata ispod teita funkcije za koju smo

izraunali povrinu


91/163


2. DIO 89

Primjeri integracije:

=

8

2aq M EI am M ma M

EI

parabole povrina

32321 =

=

48476

Vereagin

Simpson EI

am M m M a EI

=

=32

46

1

+

= 21 3

132

21 M M am

EI

Vereagin

+

+

= 122211 31

32

231

32

21 mma M mma M

EI

+

+

+

= 122211 31

32

231

32

21 mma M mma M

EI

+= 23232211011 ma M ma M EI

Kod uzdunih sila treba izraunati s EF

1 , a predznak ovisi o predznaku dijagrama

unutarnjih sila.

0

I

I


92/163


2. DIO 90

Zadatak 19:Za zadani sustav potrebno je odrediti vrijednost ukupnog pomaka presjeka u toki A te kutzaokreta iste toke. Pri izraunu uzeti u obzir utjecaj momenata savijanja i uzdunih sila nadeformiranje sustava.

Zadano:EI = 2,4106 kNm2 EF = 650000kN

22 AY AX A +=

Postupak:1) Za vanjsko optereenje:

Veze s podlogom:

y = 0 A = 0

x = 0 B = P = 80kN

M = 0 C+P3 = 0 C = -240kNm

Unutarnje sile:

Presjek 1: Presjek 2: Presjek 3:

N1 = 0 N2 = 0 N3 = -B = -80kNT1 = -B = -80kN T2 = -B = -80kN T3 = 0M1 = C = 240kNm M2 = C-B9 M3 = C-B9

M2 = 240-720 = -480kNm M3 = -480kNm


N4 = -80kN N5 = 0 N6 = 0T4 = 0 T5 = B = 80kN T6 = P = 80kNM4 = -B9+C M5 = -480kNm M6 = 0M4 = -480kNm

Dijagrami unutarnjih sila:


93/163


94/163


2. DIO 92

Vereaginova integracija:

( ) m EF EI

EF EI V AX

01833,0650000

800104,2

4104080057602880006480

1

110801

632

26480

610480631

332

29240

331

632

294801

6 =+

=++++

=+

++

+

=

2b) Traimo AY (vertikalni pomak)

U toki A dajemo jedininu silu, mjerno optereenje, u smjeruosi y i naemomy , ny , t y . (maknuli smo sve vanjsko optereenje).

Veze s podlogom: A = 1 kNB = 0C = 10 kNm

Unutarnje sile:Presjek 1: Presjek 2: Presjek 3:

n1 = -1kN n2 = -1kN n3 = 0t1 = 0 t2 = 0 t3 = 1kNm1 = -C = -10kNm m2 = -10kNm m3 = -10kNm


n4 = 0 n5 = 1kN n6 = 1kNt4 = 1kN t5 = 0 t6 = 0m4 =0kNm m5 = 0 m6 = 0Dijagrami unutarnjih sila:

Simpsonova integracija:

( ) [ ]

( ) m EI EI

EF EI

dsn N EF

dsm M EI y y

S AY

0145,034800

4800480024006

91

0001

02

10104801048010120410240

691

11

==++

=++++

+++

=+=

m AY AX A 0234,00145,00183,0 2222 =+=+=


95/163


2. DIO 93

2c) Traimo A (kut zaokreta)

Da bismo nali kut zaokreta u toki A, za isti sustav, dajemo jedinini moment,mjerno optereenje i naemo m , n , t ..

Veze s podlogom: A = 0B = 0C = 1 kNm

Unutarnje sile:


n1 = t1 = 0 n2 = t2 = 0 n3 = t3 = 0m1 = -1kNm m2 = -1kNm m3 = -1kNm


n4 = t4 = 0 n5 = t5 = 0 n6 = t6 = 0m4 = -1kNm m5 = -1kNm m6 = -1kNm

Dijagram unutarnjih sila:


( )

( ) ==

==++

=

++++

==

1747,0180

00305,0104,2

73207320144048001080

12

164801104801480112041240

691

1

6

rad EJ EI

EI

dsm M EI A


96/163


2. DIO 94

Pomak pod nekim zadanim kutemZadatak 20:Za sustav i optereenje kao u zadatku 19. potrebno je odrediti pomak presjeka u toki A nazadanu os z, koja se nalazi pod kutem od 65 .

Postupak:1) Za vanjsko optereenje : isto kao u prethodnom zadatku

2) Za jedinino optereenje:

Dajemo jedinino mjerno optereenje usmjeru traenog pomaka (u smjeru osi z)

f y = 1sin = 0,9063kNf x = 1cos = 0,4226kN

Veze s podlogom: A = f y = 0,9063kNB = f x = 0,4226kNC = -f x 3+f y 10 = 7,7952kNm

Unutarnje sile:Presjek 1: Presjek 2: Presjek 3:

n1 = -0,9063kN n2 = -0,9063kN n3 = -0,4226kNt1 = -0,4226kN t2 = -0,4226kN t3 = 0,9063kNm1 = -7,7952kNm m2 = -11,5986kNm m3 = -11,5986kNm

Presjek 4: Presjek 5: Presjek 6:n4 = -0,4226kN n5 = 0,9063kN n6 = 0,9063kNt4 = 0,9063kN t5 = 0,4226kN t6 = 0,4226kNm4 = -2,5356kNm m5 = -2,5356kNm m6 = 0

Dijagrami unutarnjih sila:


97/163


2. DIO 95


( )

( )

[ ]

( ) ( )

[ ]

mm

EF EI

EF EI

dsn N EF

dsm M EI

A

z z AZ

0234,00208878,000052,00203678,0650000

08,338104,2

744,48882

08,338650000

1176,243408,33922488,12526

104,21

08,3381

176,2434248,203536

10992,8350

691

422610,0108001

5356,236480

5356,24800671,748045986,11480610

5986,114806969,912047952,724069

1

11

6

6

==+=+

=

=+++

=

=+++=

=++

++++

+++=

=+=

0 mehanizam

Do sada smo radili sustave koji su bili statiki odreeni sustavi, tj. imali smo tolikoveza koliko smo mogli postaviti jednadbi ravnotee.

x = 0 , y = 0 , M = 0 Statiki neodreeni sustavi su oni sustavi kod kojih se ne mogu sve sile u

spojevima odrediti iz jednadbi ravnotee, jer je broj nepoznatih veliina vei odraspoloivih jednadbi ravnotee, ve moramo pisati dodatne jednadbe, tzv. jednadbe kontinuiteta (kompatibilnosti).


108/163


109/163

METODA SILA

2. DIO 107

- SLOENI SUSTAVI STATIKI NEODREENI -

Redoslijed rjeavanja kao kod Gerberovog nosaa.

7x neodreeni sustav( provjerite pomou formule)

Redoslijed rjeavanja A B C

prosta greda

Trozglobni prosta gredaokvir

Redoslijed rjeavanja A A B

prosta greda prosta greda

prosta greda

Redoslijed rjeavanja A B C

prosta gredaTrozglobni trozglobni

Okvir okvir


110/163

METODA SILA

2. DIO 108

DIJAGRAMI MOMENATA OD DJELOVANJA PARA MOMENATA

Ovakvi dijagrami nastaju kada kao prekobrojnu veliinu oslobodimo para momenata ili prekinemo tap. Zadaci takvog tipa mogu se pojaviti na kolokviju ili ispitu.!!!!!!!


111/163

METODA SILA

2. DIO 109

METODA SILA

Metoda sila je jedna od osnovnih metoda za proraun statiki neodreenih sustava, u kojojsu sile nepoznate veliine koje se trae. U metodi sila proraun zadanog sustava zamjenjujese proraunom osnovnog sustava koji se dobiva tako da se u zadanom sustavu raskineodreeni broj veza, koje se na mjestima raskida nadomjeste silama koje osiguravajukontinuitet (neprekinutost, kompatibilnost). Broj raskinutih veza ne smije biti vei od stupnjastatike neodreenosti sustava. Obvezan je uvjet da osnovni sustav mora bitigeometrijski nepromjenjiv.

Iz uvjeta kontinuiteta na mjestima raskinutih veza dobiju se osnovne jednadbe metode silakoje nazivamo jednadbama kontinuiteta , jednadbama kompatibilnosti ili jednadbamaneprekinutosti.

Zadatak 24:Za prikazani sustav potrebno je izraunati i nacrtati dijagrame unutarnjih sila. U proraunuuzeti u obzir utjecaj momenata savijanja i uzdunih sila na deformirani sustav.

Zadano:EI = 90kNm 2 EF = 20kN

Imamo 4 nepoznate vanjske reakcije, asamo 3 jednadbe ravnotee.Sustav nam je 1x statini neodreen.

Potrebno je prekinuti jednu vanjsku ili jednu unutarnju vezu koja je viak.Ovaj puta kod odreivanja OS (osnovnog sustava) imamo vie mogunosti.

Mi emo odabrati konzolu ZAPAMTITE !!!!!! Kod metode sila uvijek radimo na osnovnom sustavu koji jestatiki odreen!!!!!


112/163

METODA SILA

2. DIO 110

Pomak na mjestu sile X1 mora biti jednak nuli i to nam daje 4. jednadbu , tj.

jednadbu kontinuiteta.

JEDNADBA KONTINUITETA 0111 =+ xv aa pomak mora biti jednak nuli

Jednadba kontinuiteta govori o stanju deformacija na mjestu prekobrojneveliine X 1.

Pomak na mjestu prekobrojne sile za X1 = 1

111,1,1 1 X iznoskojibilo za pomak X aa x =

011,1,1 =+ xaa v pomak na mjestu pomak na mjestuprekobrojne veliine prekobrojne sile od X1 = 1

od vanjskogoptereenja

Postoji bezbroj veliina za X1, ali smo jedna daje u stvarnosti pomak 0 namjestu 1. Postupak rjeavanja:

1. Na osnovnom sustavu za vanjsko optereenje

QN=192kNQT=144kN

PN= Pcos= 48kN; PN=48kNPT= Psin= 64kN; PT=64kN

Reakcije: A=240kN; B=80kN; C=Q10-P 4=0 C=2720kNm

Izraunamo i nacrtamo M v , T v , N v dijagrame unutarnjih sila u karakteristinim presjecima

:

2. Na osnovnom sustavu za X 1 = 1, na mjestu 1

2408

2

0 =

= l qm


113/163

METODA SILA

2. DIO 111

.

Reakcije: A = 1B = 0C = 14kNm

Izraunamo i nacrtamo m1, t 1, n1 za X 1 u karakteristinim presjecima

Izraun koeficijenata fleksibilnosti


( ) ( )

( )( )

75,24862,6755,24191344217760

58,019258,01441

1427205,122200411168065

1116805,913204896065

896042404068

1

1

1

111

===

=+++

++++=

=

+

=

EF EI a

EF EI a

ds EF

n N ds EI

m M a

v

v

l

v

l

vv

( )

99407,1532,067407,154,667,1410

108,08,01

141411114886

1032

82881

11

11

111111

=+=+=

=++++

=

=+=

EF EI a

EF EI a

ds EF nnds EI mma

uvijek pozitivno !!

01111 =+ xaa v -2486,75+15,99407X1 = 0

X1 = 155,479 kN


114/163

METODA SILA

2. DIO 112

a11 po Vereaginovoj integraciji:

( ) 99407,154,667,14104,667,1704008401

8,0108,01

832

288

1431

832

2108

831

1432

210141

11

11

=+=+++=

=+

+

+

+

+

=

EF EI EF EI a

EF EI a

Konani dijagrami Superpozicija

Mk= Mv + m1 X1 Nk= Nv + n1 X1 Tk= Tv + t1 X1

Po principu superpozicije u karakteristinim presjecima zbrajamo Mvi i m1iX1, Tvi i t1iX1 , Nvi in1iX1.

Kod momentnih dijagrama pretpostavit emo da nam je sve s gornje strane pozitivno, a sdonje negativno. To nema veze s predznakom momentnog dijagrama jer on je nacrtan navlanoj strani, nego nam to slui da znamo na koju stranu moramo nacrtati ono to dobijemozbrajanjem.

M1= 2720 - 14155,479=543.29 kNm; M2= 1680 - 11155,479=-30,269 kNm;M3= 960 - 8155,479= - 283,83 kNm; M4= 960 - 8155,479= -283,83 kNmM5= 240 - 4155,479= - 381,9 kNm; M6= 0

Kod poprenih sila uvaavamo stvarne predznake poprenih sila.T1= 208 - 0.6155,479=114.71 kN; T2= 208 - 0.6155,479=114.71 kNT3= 144 - 0.6155,479= 50.71 kN; T4= 144 - 0.6155,479= 50.71 kNT5= 240 - 155,479= 84.52 kN; T6= 0 155.479= - 155.479 kN (to je ujedno X1)

Kod uzdunih sila uvaavamo stvarne predznake uzdunih sila.N1= -144 + 0.8155,479=-19.616 kN; N2= -144 + 0.8155,479=-19.616 kNN3= -192 + 0.8155,479= -67.616 kN; N4= -192 + 0.8155,479= -67.616 kN


115/163

METODA SILA

2. DIO 113

Ili moemo skratiti pa iz M dijagrama, koristei diferencijalne odnose, izraunati T,

3223

2112

71,505

28,3083,283

65,1145

28,30543

T T

T T

==

=

==+=

2408

830 20 =

=m

( )

25,1554

621

72,844915,338

42832402915,141

54

45

==

==+

=

T

T

a iz x=0, y=0 u pojedinom voru izraunati N.


116/163

METODA SILA

2. DIO 114

Poprene sile osim pomou diferencijalnih odnosa moemo odrediti i na sljedei nain:ODREIVANJE POPRENIH SILA IZ MOMENTNOG DIJAGRAMA POMOU FORMULE

Konvencija predznaka

ik

kiik ik ik L

M M T T +=

ik

kiik kiki L

M M T T +=

Npr.

2 P T ik = 2

P T ki = 8200== kiik T T

kN P T kN P T kiik 5,875,37508100200

21255,3750

8100200

2==

+===

+=

PT= Psin= 64kN, PN= Pcos= 48kN

POPRENE SILE IZ MOMENTNOGDIJAGRAMA POMOU FORMULE

UZDUNE SILE IZ RAVNOTEE VORA

N23 = 0 jer nema horizontalnog optereenjana tapu, a leaj 3 je pomian

8100

== kiik T T

kN T

kN T

kN T

kN T

48,15548,351202

84,2832

830

52,8448,351202

84,2832

830

7,50712,823210

84,28328,543264

7,114712,82321084,28328,543

264

32

23

21

12

==

=

==

=

=+=

=

=+=

=

kN P N

kN N N kN N

kN T T T N x

N

x x

x

x x

6,19486,676,67

6,676,0

56,40

cos56,40

56,408,07,50sin

0

12

212121

2121

2121

=+=+=

=

===

===

==


117/163

METODA SILA

2. DIO 115

DEFORMACIJSKA KONTROLA

Deformacijska kontrola u fizikalnom smislu je izraunavanje pomaka unaprijedpoznatog iz geometrijskih rubnih uvjeta na konstrukciji.

Kod odabira osnovnog sustava dobro je da bude drugaiji od ranije koritenih.

=+ 0 EF n N ds

EI m M Dk Dk

Mk konani momentni dijagram

Nk konani dijagram uzdunihsila

Isto bi dobili i kada bi mnoili

=+ 011 ds EF n N ds

EI m M k k


118/163

METODA SILA

2. DIO 116

Zadatak 25:

Za prikazani sustav potrebno je izraunati i nacrtati dijagrame unutarnjih sila. U proraunuuzeti u obzir utjecaje momenata savijanja i uzdunih sila na deformiranje sustava.

Zadano:P = 120kNEI = 80kN/m2 EF = 20kNm

1x neodreeni sustav 1 unutarnja veza vika jerimamo samo 3 vanjske veze (minimalni broj)

Postupak:ZAPAMTITE !!!!!! Uvijek radimo na osnovnom sustavu koji je statiki odreen!!!!!

1. Izraun M v , T v , N v z a vanjsko optereenje

Reakcije:x=0 A = P = 120kNM=0 C = B =

64120 = 80kN

Izraunamo unutarnje sile u karakteristinim presjecima i nacrtamo dijagrame


119/163


120/163

METODA SILA

2. DIO 118

3. Izraun M k , T k , N k konani dijagrami

Mk= Mv + m1X1 Nk= Nv + n1X1 SuperpozicijaTk= Tv + t1X1

Po principu superpozicije u karakteristinim presjecima zbrajamo Mvi i m1iX1, Tvi i t1iX1 , Nvi in1iX1.

M1= 0; M2= 240 +0= 240 kNm; M3= 480 + 0.9468 (-106,624)= 379.046 kNmM4= 480 + 1.8947 (-106,624)= 277,979 kNm; M5= 480 + 1.8947 (-106,624)= 277,979 kNm;M6= 240 kNm; M7=0.

T1= 80 kN; T2= 80 + 0.3162 (-106,624)= 46.285 kN; T3= 0 + 0.3162 (-106,624)=- 33.715kN;T4= -120 0.9487 (-106,624)= -18.845 kN; T5= -120 0.9487 (-106,624)= -1

statika konstrukcija-skripta

Documents