1BAHAN AJAR

MEKANIKA TEKNIK STATIKA

Disusun oIeh:

2PENGANTAR

Mekanika teknik statika merupakan salah satu matakuliah yang umumnya diberikan kepada

mahasiswa jurusan teknik. Matakuliah ini merupakan cabang dari iImu mekanika. Mekanika adalahilmu Fisika yang mempelajari keadaan status benda, baik dalam keadaan diam atau bergerak akibatpengaruh gaya-gaya yang bekerja. IImu ini sangat penting perannya dalam sistem analisiskerekayasaan, dan seringkali orang menyebut bahwa awal dari rekayasa adalah mekanika.

Fokus utama materi matakuliah ini adalah memberikan pemaharnan kepada mahasiswajurusan teknik bagaimana menganalisis kesetimbangan benda-benda kaku atau gabungannya dalamkeadaan diam. Contoh-contoh persoalan dalam bahan ajar ini dipilihkan untuk persoalan-persoalan.yang mudah ditemui sehari-hari.

Tujuan instruksional umum matakuliah ini adalah setelah mengikuti kuliah ini mahasiswadiharapkan mengetahui dan memahami konsep dasar gaya dan kondisi keseimbangan serta

cara-cara perhitungannya. Adapun tujuan instruksional khusus pembelajaran matakuliah staitikastruktur ini adalah :

1. Mahasiswa mengenal cara menghitung resultan gaya, penguraian dan penjumlahan gaya baiksecara aljabar dan vektor, definisi momen, kopel, momen lentur dan momen puntir, operasivector mornen serta mampu menyelesaikan soal-soal sistim gaya dan momen dalam dua dimensi

2. Mahasiswa memahami persamaanJ syarat kesetimbangan static dalam dua dan tiga dimensi,

macam-macarn tumpuan dan gaya-gaya reaksi tumpuan, diagram benda bebas dan mampu

menyelesaikan soal-soal kesetimbangan dalam dua dan tiga dimensi3. Mahasiswa memahami pembuatan diagram benda bebas truss dua dan tiga dimensi, analisis truss

dengan metode joint; potongan; kombinasi joint dan potongan; mampu menyelesaikan soal-soaltruss dalam dua dan tiga dimensi dan mampu mengembangkannya untuk menganalisis struktur

Penyajian materi dalam bahan ajar ini diawali dari penjelasan mengenai perkembangan ilmu---mekanika-;--sisrem-saman-, .hukurn-Newt"cm;---operasi-vekror;---sisrem--gaya-;---keserimbangan-dan

aplikasinya dalam memecahkan persoalan-persoalan struktur yaitu trus, rangka dan mesin. Materi

bahan ajar ini dibagi menjadi 4 bab yaitu Bab 1. Pendahuluan, Bab2. Sistem Gaya, Bab 3.Kesetimbangan dan Bab 4. Analisa Struktur. Tiap-tiap bab dibagi menjadi beberapa sub bab yangdisertai contoh penyelesaian soal-soal. Diakhir setiap bab diberikan soal-soal latihan yang disertai

dengan kunei jawabannya. Kunei jawaban ini diharapkan membantu mahasiswa yang berlatih

3mengerjakan soal-soal latihan dalam mencocokkan hasil perhitungannya. Pada bagian akhir daribahan ajar ini disertakan lampiran beberapa formula matematika yang sangat membantu dalampemahaman materi yang ada.

Mahasiswa yang menggunakan bahan ajar ini diharapkan mempelajari materi sesuai urutanpenyajian yang ada. Materi tiap-tiap bab saling terkait dengan bab-bab sebelumnya. Oleh karena itupemahaman yang kurang dalam suatu bab akan menghambat pemahaman dalam memelajari bab-babberikutnya. Dianjurkan mahasiswa mernpelajari contoh-contoh soal yang ada dan selanjutnyamencoba mengerjakannya kembali secara terpisah. Untuk mengukur seberapa-jauh pemahamanmateri yang telah dikuasai, mahasiswa dianjurkan untuk mengerjakan soal-soal yang 'ada disetiapakhir bab dan soal-soal yang ada di buku-buku yang tercantum di daftar pustaka.

Penyusun menyadari apabila bahan ajar ini masih jauh dari sempurna. Penyusun menunggudan memberikan penghargaan yang sebesar-besar untuk setiap masukan yang membawa perbaikan

bahan ajar ini. Semoga bahan ajar ini dapat memberikan tambahan manfaat bagi penggunanya.

Penyusun

xxx

4PengantarDaftar isiBab 1 Pendahuluan

DAFTARISI

134

Sub-bab 1.1. Lingkup IImu Pengetahuan dan Rekayasa (Engineering) 4Sub-bab 1.2. Perkembangan Ilmu Mekanika 5Sub-bab 1.3. Beda Formulasi pacta Mekanika 6Sub-bab 1.4. Daftar Istilah pada Mekanika 8Sub-bab 1.5. Prinsip-Prisip Dasar Mekanika Benda Kaku 10Sub-bab 1.6. Langkah - Langkah Penyelesaian Soal Pada Mekanika Benda Kaku 12Sub-bab 1.7. Sistem Satuan 13Bab 2 Sistem-Sistem Gaya 21Sub-bah 2.1. Pendahuluan 21Sub-bab 2.2. Sifat-Sifat Gaya pada Benda Kaku 22Sub-bab 2.3. Resulante Dari Sistem-sistem Gaya 32Bab 3 Keseimbangan (Equilibrium) 37Sub-bab 3.1. Keseimbangan 37Sub-bah 3.2. Diagram Beda Bebas (Free-Body Diagram) 38Sub-bab 3.3. Macam-rnacam Tumpuan dan Sifatnya 39Sub-bab 3.4. Keseimbangan dalam Dua Dimensi 42Sub-bab 3.5. Keseimbangan dalam Tiga Dimensi 50Bab 4 Struktur 56Sub-bab 4.1. Pendahuluan 56Sub-bab 4.2. Trus 56Sub-bab 4.3. Rangka (Frames) dan Mesin (Machine) 71Daftar Pustaka 81Lampiran Topik Pilihan dari Matematika 82

5BABI

PENDAHULUAN

Mekanika adalah ilmu Fisika yang mempelajari keadaan status benda, baik dalam keadaandiarn atau bergerak akibat pengaruh gaya-gaya yang bekerja. I1mu ini sangat penting perannyadalam sistem analisis kerekayasaan, dan seringkali orang menyebut bahwa awal dari rekayasa

adalah mekanika. Dalam riset dan pengembangan yang modernpun ilmu mekanika juga masihdiserapkan, misalnya dalam bidang-bidang getaran, stabilitas, kekuatan dari struktur dan mesin,

performansi engine, aliran fluida, mesin-rnesin listrik dan peralatannya, perilaku molekul, atom dan

sub atom. Disamping itu ilmu mekanika tergolong imu fisika yang paling tua dibandingkan ilrnu-

ilmu fisika yang lain.

1.1 Lingkup Ilmu Pengetahuan dan Rekayasa (Engineering)Kerekayasaan adalah suatu aktivitas yang berhubungan dengan ciptakan dari sistern-sistem

yang baru untuk memanfaatkan umat manusia. Proses dari penciptaan dapat ditempuh mealui

berbagai cara, misalnya riset merancang, dan membangun serta mengembangkan.Dari kamus The Living Webster Encyclopedic, Engineering didefiniskan sebagai "the art ofexecuting a partial application of scientific knowledge".

Perlu diketahui bahwa perkembangan suatu teknologi bergantung dari tiga hal, yaitu

tuntutan jaman, perkembangan ilmu pengetahuan, dan perkembangan ilmu rekayasa. Jadi sangatlahpenting untuk mengerti perbedaan antara ilmu rekayasa dan ilmu pengetahuan.

Ilmu pengetahuan ialah sesuatu yang berkenaan dengan paham yang terstruktur dan

kumpulan dari berbagai fakta, hukum, dan prinsip tentang penguasaan fenomena ( gejala ) alamoSedangkan ilmu rekayasa adalah sebaliknya yaitu suatu seni yang berdasarkan dari penerapan

-~

berbagai fakta, hukum, dan prinsip untuk mencipta fenomena tertentu yang diinginkan, hal ini dapat-,

dilihat pada gambar 1.1.

Jadi kegiatan dari ilmu pengetahuan dan ilmu rekayasa adalah dua kegiatan yang saling berlawanan

arah, tetapi hasilnya saling mendukung, walaupun caranya hampir sama, yaitu dengan cara anlisis

dan sintesis.

6 - f'

Gambar 3.4 Batang Dua Gaya

Situasi yang kedua adalah keseimbangan dari sebuah benda yang mengalami aksi dari tiga

gaya. Kalau gaya-gaya tersebut tidak concurret, maka salah satu gaya yang memberikan momen

resultante terhadap titik temu dari dua gaya yang lain, yang berarti menggagalkan keseimbangan

momen terhadap setiap titik pada bidang. Perkecualian hanya berlaku bila tiga gaya sejajar. Padakasus ini kita boleh menganggap titik temunya berada di jauh tak berhingga, Prinsip titik temu dariketiga gaya dalarn keseimbangan dapat dipakai dalam menyelesaikan persarnaan gaya secara grafis.

Dalam kasus ini poligon dari gaya-gayanya digarnbar dan dibuat tertutup, seperti pada gambar 3.8.b.

Bila benda dalam keseirnbangan men gal ami aksi lebih dari tiga gaya, maka dapat disederhanakan

menjadi batang tiga gaya dengan cara menggabungkan dua atau lebih dari gaya-gaya yang diketahui.3.4.2 Ketentuan Statis dan Kekokohan

Sebuah benda atau kombinasi kaku dari berbagai elemen yang dianggap benda tunggal, yang

mempunyai tumpuan luar atau kendala lebih dari "cukup" untuk menjaga posisi keseimbangannyadisebut statis tak tentu. Tumpuan-tumpuan yang dapat dilepaskan tanpa merusak keadaan

keseimbangan dari benda disebut sebagai lebihan (redundant). Jumlah kelebihan elemen tumpuanmenyatakan tingkat ketidaktentuan statis dan besamya sarna dengan jumlah total dari gaya-gaya luaryang belum diketahui besamya dikurangi jumlah persamaan yang tersedia dari persamaankeseimbangan yang tidak saling bergantung. Sebaliknya untuk benda-benda yang ditumpu oleh

sejumlah tumpuan yang minimum cukup untuk menjarnin konfigurasi keseimbangan disebut statistertentu (statically determinate), dan sebutan statis tertentu Juga 6erlaRu untul( 15enda:DenoYCy1mgjumlah persamaan keseimbangannya cukup untuk menentukan gaya-gaya luar yang besarnya belumdiketahui.

Persoalan-persoalan dalam artikel keseimbangan ini dan juga untuk seluruh persoalan dalammekanika teknik statika pada umumnya dibatasi sampai benda-benda statis tertentu dimana

kendalanya sudah cukup untuk menjamin agar posisi seimbang dan jumlah gaya-gaya tumpuan yang

46

belum diketahui besamya dapat ditentukan secara lengkap oleh adanya persamaan keseimbangan

yang tidak saling bergantungan. Hal ini perlu anda perhatikan pada saat akan menyelesaikan

persoalan keseimbangan, sebab bila masalah yang saudara hadapi adalah benda statis tak tentu maka

penggunaan persamaan keseimbangan yang tidak saling bergantungan saja belumlah mencukupiuntuk menyelesaikan persoalan, dan bila anda tetap berkeras kepala dalam mencari jawabnya, makausaha anda akan sia-sia saja. Supaya hal ini tidak terjadi sebaiknya anda hitung dahulu jumlahbesaran yang akan saudara cari, kemudian bandingkan dengan jumlah persamaan keseimbanganyang tidak saling bergantungan yang tersedia dari sistem gaya yang saudara hadapi.

Dari pemaparan hubungan antara kendala (pembatas) terhadap keseimbangan , berikutnyakita lihat lebih jauh lagi tentang hubungan kendala terhadap perubahan bentuk bangunan.Keberadaan dari ketiga kendala untuk persoalan dua dimensi tidak selalu menjamin konfigurasiyang stabil. Pad a gambar 3.5 menunjukkan empat perbedaan dari jenis-jenis kendala. Pada gambar

I tersebut menggambarkan sebuah plat yang ditumpu oleh beberapa link, hubungan link terhadap platmaupun terhadap landasan dilakukan oleh sebuah pin, dan masing-masing link dianggap mampumenahan gaya dalam arah sumbunya.

'(11 Complutc il.'\.tLy ibJ Inonnplotc fL~i(y.~._; ...... ", " ,I , .'~.,' '._ r

\I/} r:X

4747

I

disebut kokoh bersyarat, yang artinya konfigurasi disebut akan kokoh untuk suatu pembebanan

yang tertentu, perlu saudara in gat untuk kasus 3.5b dan 3.5c walaupun jumlah kendalanya ada tiga,tetapi resultante dari kendalanya hanya ada dua.

Pada gambar 3.5d keadaan dari kendalanya kokoh sempurna walaupun link 4 dilepas, jadidengan adanya link 4 berarti menambah jumlah kendala untuk menjaga agar posisi benda tidakberubah. Dalam hal ini link 4 sebagai kendala berlebih, dan keadaan benda sebagai statis tak tentu.

Dari keempat contoh pada gambar 3.5 dapat kita simpulkan bahwa kendala-kendala pada

benda dalam keseimbangan dua dimensi dapat berupa cukup, bersyarat, atau berIebih. Dalam

pelajaran mekanika teknik ini persoalan sebagaian besar adalah statis tertentu dengan jumlahkendala yang cukup.

Contoh soal3.!. :

1. Tentukan besarnya tegangan tali T pada seutas kabel yang dibebani dengan 1000lb pada sistem

puli seperti gambar.T

~,:~~.30.c0e.~

~-~r$,~fN~.

l Ir~"l\;]~}R

~~i)J'B

Jawab.Gambar 3.6. Gambar contoh soal 3.1

Langkah pertama yang dikerjakan adalah menggambarkan diagram benda bebas. DBBditunjukkan pada gambar berikut.

4848

- --.1;

Langkah selanjutnya adalah menyusun persamaan kesetimbangan. Pada Iangkah ini dimulai daripuli A.

EMo=O

EFy=O

Tlr _ T2r = 0 -+ T, =,T2

Tl +T2 -1000 = 0 -+ 2TJ = 1000 -+ T, = T2 = 500lb

Dari DBB pada puli B dapat diketahui bila:

T3= T4 = T2/2 = 250lbDari DBB pada puli C dapat diketahui apabila:

T= T3 = 250lbGaya dukung F pada bantalan C dapat dihitung dengan cara menerapkan kesetimbangan gayapada arah x dan y. Hal ini menghasilkan

EFx=O -+ 250 cos 30o-Fx=0 -+ Fx=2171b

rFy = 0 -+ Fy + 250 sin 30 _ 250 = 0 -+ Fy = 1251b

Dengan demikian diperoleh

F=~Fx2+Fy2 = ~(217)2+(125)2 =2501b

Contoh soal 3.2. :2. Carilah besarnya gaya T yang menyangga suatu batang I dan gaya-gaya reaksi di titik A seperti

ditunjukkan pada gambar. I-beam standar O,5mdan berat 95kg/m.

4949

f~-~r~--'~'

Jawab.

Gambar 3.7. Gambar contoh soal no 3.2

Langkah pertama yang dikerjakan adalah menggambarkan diagram benda bebas. DBBditunjukkan pada gambar berikut.

)' T ..

.."~."'."'

50

3.5 Keseimbangan dalam Tiga DimensiSekarang kita perluas prinsip-prinsip dan metode-metode yang telah dikembangkan untuk

keseimbangan dua dimensi kepada kasus keseimbangan tiga dimensi. Pada sub bab 3.1 kondisi

umum untuk keseimbangan dari sebuah benda dinyatakan dalam persamaan 3.1, yang isinya adalah

gaya resultante dan kopel resultante pada benda dalam keseimbangan haruslah sarna dengan no!.

Pernyataan tersebut bila ditulis dalam bentuk skalar tiga dimensi adalah sebagai berikut

'LF =0 atau "LFx=0

'LM =0 atau "LMx =0

'LMy=O

............. : (3.6)

"LMz =0

Tiga persamaan skalar yang pertama menyatakan bahwa sebuah bend a dalam keseimbangan

bila gaya resultantenya dalam tiga arah sumbu koordinatnya sarna dengan no1. Sedangkan pada

kelompok yang kedua lebih jauh menerangkan bahwa keseimbangan memerlukan momen resultantedalam tiga arah sumbu koordinatnya sarna dengan noL Keenam persamaan ini adalah perlu dan

merupakan syarat cukup untuk menyatakan keadaan keseimbangan dalam tiga dimensi, Pemilihan

sumbu acuan (referensi) dapat dipilih sesuai kehendak kita, untuk operasi vektoris harus tetapdigunakan aturan tangan kanan.

Keenam hubungan skalar dari persamaan 3.6 keadaannya tidak saling berhubungan

(independent) kar.ena keberlakuan yang satu tidaklah mempengaruhi yang lain. Sebagai contoh,untuk sebuah motor yang dipercepat di atas jalan raya yang lurus dan permukaan jalan dianggapsebagai sumbu x, dari Hukum Newton II menyatakan bahwa gaya resultante pada motor sarna

dengan massa motor dikalikan percepatannya. Berarti 'LF,r;to0 padalah persamaan keseimbangan

gaya pada kedua sumbu yang lain adalah no1. Hal ini serupa , kalau sebuah flywheel (rodagendheng) dari sebuah mesin yang dipakai untuk mempercepat mobil, yang berarti roda gendhengmengalami peningkatan percepepatan sudut terhadap sumbu x, hal ini berarti keseimbangan

rotasinya tidak dipenuhi. Karena itu , untuk flywheel sendiri 'LMx "* 0, dan 'LFx ;to 0, tetapi persamaan

51

keseimbangan yang lain ('LM)' *- 0, 'LM;: *- 0, 'LFy *- 0 .dan 12Fz ;

52

Pemecahan secara vektor .

DBB Batang

Kita gunakan A sebagai pus at momen untuk mengeliminir gaya-gaya di A ( Ax, Ay, dan Az ).Kemudian kita tentukan vektor posisi B dan G terhadap A , untuk menghitung momen terhadap A

rAG = -Ii - 3j + 1,5k m dan rAB= -2i - 6j + 3k mdimana pusat massa G berada di tengah-tengah AB.

Persamaan vektor momennya terhadap A

LMA = 0, rAB x ( B, + By ) + rAG x W = 01 j k J k-2 -6 3 + -1 -3 1,5

Bx By 0 0 0 -1962

( -3 By + 5886)i + (3 B, - 1962)j + (-2 By+6 Bx)k = 0dengan kesamaan dari koefisien i,j,dan k terhadap nol diperolehs, =654Ndan By =1962N

gaya-gaya di A ditentukan dari persamaan keseimbangan gaya

L:F = 0, (654 - Ax) i + (1962 - Ay)j + (-1962 + Az) k= 0dan Ax = 654 N Ay = 1962 N Az = 1962 N

sehingga

A=~A2;c +A2y +A2z =~6542 +19622 +19622 = 2850N

pemecahan secara skalar.

Buat persamaan momen terhadap sumbu yang melalui A dan sejajar terhadap sumbu x,yL:MAx= 0, 1962 (3) - 3 By=O By = 1962NL:MAy= 0, -1962(1)+ 3 Bx= 0 a, =654 N

53

dari persamaan gaya-gaya

LFx;;:: 0, -Ax +654=0LFy;;:: 0, -Ay + 1962;;::0LFz=O, -s; -1962 =0

Ax;;:: 654NAy;;:: 1962 N

Az = 1962 N

SOAL~SOAL LATIHAN1. Pusat masa G dad sebuah mobil seberat 1400kg ditunjukkan pada gambar. Carilah besarnya

gaya normal pada setiap rodanya ketika mobil tersebut dalam kesetimbangan.

Jawab : Nf;;::2820 N & N, = 4050 N

Gambar soal no 12. Sebuah bola homogen dan permukaannya licin diletakkan pada suatu alur seperti ditunjkkan

pada gambar. Hitunglah gaya kontak pada titik A dan B.

Jawab: NA = 101,6 N & NB = 196,2 N

Gambar soal no 23. Puli A meneruskan torsi sebesar 900 Ib-in kesebuah pompa melalui poros di C. Tegangan sabuk

pada sisi bawah sebesar 150lb. Motor penggerak B mernilik berat 200lb dan berputar searah

jarum jam. Hitunglah besarnya gaya R yang bekerja di titik O.Jawab : R = 2871b

5454

A

Garnbar seal no 3

4. Suatu gaya P sebesar 40lb bekerja pada suatu handel mesin seperti ditunjukkan pada garnbar.Tuliskanlah gaya dan momen reaksi dititik 0 dalam bentuk vektor. Abaikan berat dari handel

tersebut.

Jawab : R = -38,6i - IO,35k lbM = -103,5i - 193,2j + 386k lb-in

Gambar seal no 4

5. Suatu gerobak pengangkut barang beroda tiga rnengangkut benda seberat 100kg seperti

----ditunjukkan-pada-gambar-;-Hitungiah~pertambahan-besamya-gaya-normal-disetiap-wdanya-akibat-.----berat benda yang diangkutnya tersebut.

Jawab: i1NA= 66,1 N, i1NB= 393 N & i1Nc= 522 N

5555

Gambar soal no 5

6. Sebuah papan nama taka masanya lOOkg dengan pusat mas a ditengah papan seperti ditunjukkanpada gambar. Tumpuan dititik C dapat dianggap sebagai sambungan bola dan soket. Tumpuan

dititik D hanya membatasi gerak kearah sumbu y saja. Hitunglah besarnya gaya tali Tl dan T2,besarnya gaya reaksi di C dan gaya lateral di titik D.

Jawab : Tl = 347N, T2 = 431N, R = 63,lN & C = 768N

x'- -

.;-;.,In!

Garnbar soal no 6

5656

4.1. Pendahuluan.

BAB4

STRUKTUR

Pada bab sebelumnya pembahasan ditujukan pada keseimbangan benda kaku tunggal ataustruktur yang terdiri dari bagian-bagian yang dihubungkan, secara keseluruhan telah dianalisa

sebagai benda kaku tunggal. Sekarang kita akan membahas lebih jauh persoalan keseimbanganstruktur, yaitu mengenai penentuan gaya-gaya dalam struktur atau gaya-gaya aksi dan reaksi

diantara bagian-bagian yang dihubungkan. Dalam menganalisa gaya-gaya dalam ini bagian-bagian

struktur harus dipisahkan dan dengan menerapkan persamaan keseimbangan pada masing-masing

bagian atau kombinasi dari beberapa bagian, gaya-gaya dalam struktur tersebut dapat ditentukan.

Analisa ini menerapkan kaidah hukum Newton ketiga, yang berbunyi "Gaya-gaya aksi dan reaksi

diantara benda-benda yang saling berkontak sarna besamya, sama garis kerjanya dan berlawananarah". Pada bab ini akan dikemukakan struktur statis tertentu, yaitu struktur yang memenuhi syarat

cukup persamaan keseimbangan statika.

4.2. TRUS4.2.1. Definisi Trus

Suatu rangka yang disusun dari batang-batang lurus yang dihubungkan pada ujung-ujungnyauntuk membentuk struktur yang kokoh disebut trus. Trus dengan susunan batang-batang terletak

pada satu bidang disebut trus bidang (plane truss), sebaliknya bila susunan batang-batang trusmembentuk konfigurasi tiga dimensi disebut trus ruang (space truss). Contoh-contoh umum trusadalah struktur jembatan, atap , mesin derek, menara dan beberapa struktur yang lain. Batang-batangyang digunakan adalah profil I, kanal, sudut, dan batang-batang dengan profil khusus yang

dihubungkan bersama-sama pada ujung-ujungnya dengan sarnbungan keling, las, baut atau pin.Contoh trus bidang sederhana ditunjukkan pada Gambar 4.1.

A C

Gambar 4.1. Struktur trus sederhana

5757

~~. ~

Struktur yang sebenarnya dapat tersusun dari beberapa trus bidang yang dihubungkan

bersama-sama untuk membentuk rangka ruang (space frame). Setiap trus ini dirancang untukmenerima beban yang bekerja pada masing-rnasing bidangnya dan dengan demikian dapatdiperlakukan sebagai trus bidang. Beberapa contoh trus yang umum digunakan ditunjukkan sepertipada Gambar 4.2.

I/N\GJL~\,-~ ~.~

P"rtal

~/1\~!f\J7,l\~l7..fM~ ~\-\.\r,ren

1-.-1. -7--v--l~/I-\.J-,\1.\.]..\-'.Uow~

Gambar 4.2. Beberapa bentuk struktur trus yang lazim digunakan4.2.2. Asumsi dan Persayaratan Trus

Sebelum kita membahas beberapa metode untuk menganalisa gaya-gaya luar dan gaya-gaya

dalam struktur, terlebih dahulu perlu ditentukan asumsi dan persyaratan trus yang terdiri dari:

1. Trus memenuhi syarat cukup untuk kondisi keseimbangan statika2. Hubungan antar batang hanya terdapat pada ujung-ujungnya atau tidak ada batang kontinu

yang diantaranya terdapat titik hubung (joint) dengan batang-batang yang lain

58

3. Gaya-gaya luar yang bekerja pad a trus dianggap terkonsentrasi pada titik-titik hubung dantidak terdapat gaya-gaya atau momen-momen luar yang bekerja pada batang diantara duatitik hubung

4. Ujung-ujung batang dihubungkan oleh sambungan pin tuna friksi, walaupun sebenarnyadikeling atau dilas. Dengan demikian gaya yang bekerja pada setiap ujung batang berkurangmenjadi satu gaya dan tidak ada momen kopel.Dari uraian diatas, gaya-gaya yang bekerja pada setiap batang trus diasumsikan dua gaya,

satu garis kerja, sarna besar, dan berlawanan arah yang diterima pada setiap ujung batang. Dengandemikian setiap batang dapat diperlakukan sebagai batang dua gaya (two force member), dankeseluruhan trus bisa dianggap sebagai susunan batang-batang dua gaya.

Perlu diperhatikan, batang dua gaya tidak harus berupa batang lurus dengan garis kerja gaya-gaya berimpit dengan sumbu batang. Hanya saja, setiap bagian dari batang tersebut selain menerimagaya-gaya dalam berupa gaya aksial juga gaya geser V dan momen letur M.

Apabila beban luar terkonsentrasi pada batang diantara dua titik hubung atau beban luar

terdistribusi sepanjang batang seperti pada jembatan, rnaka perlu dilengkapi sistim lantai dengankombinasi stringer dan batang-batang Iantai agar dapat mentransmisikan beban pada titik-titik

hubung seperti terlihat pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3. Stringer pada jembatan

59

4.2.3. Trus Bidang Sederhana

Rangka tiga batang yang dihubungkan oleh pin-pin pada ujungnya dan membentuk strukturtrus segitiga adalah elemen dasar dari trus, seperti terlihat pada Gambar 4.4a. Rangka ini bila diberi

beban pada titik B akan terdeformasi kecil sekali dan deformasi hanya mungkin terjadi karen aperubahan panjang batang yang kecil, elemen dasar segitiga ini membentuk trus kokoh. Bandingkandengan rangka empat batang yang dihubungkan oleh pin-pin pada titik-titik A, B, C dan D. Jika

beban diberikan pada titik B, rangka ini akan roboh dan kehilangan bentuk aslinya seperti terlihat

pada Gambar 4.4b.

n

Gambar 4.4. Konfigurasi beberapa disain rangka

Untuk trus bidang sederhana seperti terlihat pada Gambar 4.3 terdapat hubungan antara

jumlah batang, m dan jumlah pin atau titik hubung j. Dalam kasus ini mulai dengan segitiga a awalABC, yang terdiri dari tiga batang dan tiga titik hubung, untuk setiap titik hubung terdapat dua

batang. Pengembangan selanjutnya adalah dengan penambahan dua batang dan satu titik hubungbaru, begitu seterusnya.Dengan demikian dapat kita tulis:

m - 3 = 2(j - 3)Dari sini

m=2j-3 (4.1).

Hubungan yang dikemukakan seperti pada persamaan (4.1) adalah kondisi yang diperlukan-~~. untuk-stabilitas-tetapi--bukan-merupakan-k0ndisi-cukup,-kar.ena-Satu-atau-lebih-batang"batang-m _

dapat disusun dengan beberapa cara tetapi tidak memberikan sumbangan terhadap suatu konfigurasi

yang stabil dari keseluruhan trus. Berkaitan dengan stabilitas tersebut, secara umum struktur trus

bidang dapat diklasifikasikan kedalam 3 bagian :

6060

a) Tidak kokoh (not rigid).pada kondisi ini m+3 < 2j dan trus tidak stabil. Setiap perpindahan atau pergeseran darikondisi keseimbangan akan menyebabkan struktur roboh (collapse). Kontruksi semacam inibukan disebut struktur trus, tetapi suatu mekanisme. (Gambar 4.9a).

b) Kokoh (just rigid).Pada kondisi ini persamaan (4.1) dipenuhi, hila satu batang dihilangkan akanmenghancurkan kekakuannya dapat menyebabkan sebagian atau keseluruhan struktur roboh

(Gambar 4.9b). Struktur semacam ini adalah struktur statis tertentu (statically determinate).c) Sangat kokoh (over rigid).

Pada kondisi ini m + 3 > 2 j, dengan menghilangkan satu batang tidak akan menghancurkankekakuannya (Gambar 4.9c). Struktur semacam ini adalah struktur statis tak tentu (staticallyindeterminate).

4.2.4. ANALISA TRUSUntuk menganalisa gaya-gaya dalam struktur dan reaksi tumpuan, terdapat tiga metode yang

biasa digunakan dalam analisa trus, yaitu :

1. Metode titik hubung (method of joints)2. Metode potongan (method of sections)3. Metode grafis dengan diagram Maxwell

Analisa trus dengan ketiga metode ini bertitik tolak dari asumsi dan persyaratan trus seperti yangtelah dikemukakan sebelumnya. Pada materi ini, metode analisa trus yang dibahas hanyalah metode

titik join dan metode potongan.4.2.4.1. Analisa Trus Dengan Metode Titik Hubung

Diatas telah dikemukakan pengertian trus yang terdiri dari sekelompok sambungan pin-pindan batan~-batan~ dua gaya. Karena batang dua gaya selalu berada pada kondisi keseimbangan

-

,

maka menurut Hukum Newton ketiga tiap-tiap titik hubung juga berada dalam kondisikeseimbangan. Pengertian ini mendasari ide untuk menentukan gaya-gaya tiap batang dengan

menganalisa kondisi keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada tiap titik hubung tersebut, prosedurini disebut metode titik hubung (method of joints).

---~-

6161

Dalam menganalisa keseimbangan setiap titik hubung ini hanya diperlukan dua persamaan

keseimbangan gaya, yaitu :

LFx=O dan LFy=O (4.3)

Dengan demikian, analisa sebaiknya dimulai dari titik hubung yang sekurang-kurangnya terdapat

satu gaya diketahui dan tidak lebih dari dua buah gaya yang tidak diketahui. Jika pada trus terdapat

sejumlah j titik hubung, maka diperlukan 2j persamaan keseimbangan gaya. Dari persamaan (4.1)diperoleh bahwa, jumlah gaya yang tidak diketahui yang dihitung dari diagram benda bebas pin-pinadalah m+J. Artinya gaya-gaya pada semua batang, terrnasuk reaksi tumpuan, dapat diperoleh dari

diagram benda bebas pin-pin. Sedikit kesulitan mungkin akan dijumpai dengan cara ini, karenagaya-gaya pada semua batang dan reaksi tumpuan baru bisa diperoleh setelah memecahkan

persamaan simultan yang seringkali cukup rumit bilajumlah titik hubungnya banyak.Berdasarkan asumsi bahwa trus adalah benda kaku yang berada dalam keseimbangan, maka

komponen gaya-gaya reaksi tumpuan lebih dahulu dapat dihitung dengan menerapkan 3 persamaan

keseimbangan gaya dan momen.

LFx=O, LFy=O dan LM =0 (4.4)

Selanjutnya gaya-gaya tiap batang dapat dihitung dengan mengevaluasi keseimbangan setiap titikhubung seperti yang telah diuraikan diatas. Cara ini lebih memudahkan dalam memecahkanpersamaan simultan daripada cara tersebut diatas, dan penjelasan hal ini akan diberikan dalambentuk contoh soaL

Berikut ini adalah prosedur umum analisa trus dengan metode titik hubung :1. Tetapkan sistim sumbu x dan y, sebagai perjanjian untuk mewakili gaya-gaya kedalam dua

komponen, komponen x dan y.

2. Buat diagram benda bebas seluruh trus, dan asumsikan arah gaya-gaya reaksi tumpuan.Tentukan gaya-gaya reaksi tersebut dengan menggunakan persamaan (4.4). Teliti kebenaranasumsi di atas dengan melihat tanda besaran gaya-gaya reaksi tersebut yang diperoleh dari

hasil perhitungan. Apabila tanda besaran gaya tersebut negatif, maka arah gaya kebalikan

6262

dari asumsi semula; sebaliknya bila tandanya positif, maka arah gaya sesuai dengan yangdiasumsikan.

3. Buat diagram benda bebas setiap pin dan asumsikan arah gaya-gaya yang tidak diketahui.Lakukan analisa keseimbangan gaya tiap pin, dimulai dari pin degan dua buah gaya yang

tidak diketahui. Gaya-gaya ini dapat diperoleh dari per (4.3) dan hasilnya dipindahkan(dengan mengingat kaidah Hukum Newton ke tiga) ke pin yang berdekatan dan diperlakukansebagai besaran yang diketahui pada pin ini. Prosedur ini dapat diulangi sampai semua gaya-

gaya yang tidak diketahui telah diperoleh.Untuk mengetahui apakah batang menerima gaya tarik/tekan, dapat ditentukan dengan

melihat diagram bend~ bebas pin. Jika arah gaya menuju pin, maka batang menerima gaya tekansebaliknya jika arah gaya menjauhi pin, maka batang menerima gaya tarik.

Contoh Soal 4.1.:Tentukan gaya semua batang dengan metode titik hubung untuk trus seperti ditunjukkan padagambar.

Jawab,

30 k..."i 20 kN

Gambar 4.5. Gambar contoh soal no 4.1

Langkah awal adalah mengambarkan erlebih dahulu DBB, selanjutnya menyusun persamaankesetimbangan sehingga dapat dihitung besamya gaya-gaya reaksi ditumpuan. DBB trusditunjukkan pada gambar berikut.

6363

~f

t

Sm

yIIL_-x

.,30kN g.'

Persamaan kesetimbangan yang dapat disusun dan besarnya gaya reaksi yang diperoleh adalah

sebagai beriku t :r~:;\{R ~ OJ[2:l;~l:= 0)

5'1' - 20(5) ':""30

6464

Kesetimbangan gaya pada join A dan besamya gaya pada batang AB dan AC adalah sebagai berikut.[11~" = OJ o.S6GAB - 3D '"" 0 .iU3 = 3.L. G kN T Ans.(~~, "" 0) .tl.C - O..5(34,()} = (J AC = 17.32 kN C Arts.

Kesetimbangan gaya pada join B dan besarnya gaya pada batang BD dan BC adalah sebagai berikut.[~1~.'," 01f1:F,; =: 01

O.S66BC ~ O.S(1(){34.Gl "" 0BD - 2(O:~)(34..61 = {l

Be .3,1.6 kN C An!>.1W ::::;3,(6 kN T 1\.)1$.

Kesetimbangan gaya pada join C dan besamya gaya pada batang CD dan CE adalah sebagai berikut.

.D.SG6c:n .Q ..S(H,i{34..6} - 20 ;:, QCD;;" 57.7k~'1" . ,."

': ';:','

eli '7 .;i7.3~r;;.;d.5{34j}}~O~.fi057 ..'iJ == 0CJ; ; 63.5. :i~Nc.

Kesetimbangan gaya padajoin E menghasilkan 0,866DE = 10, sehingga DE = ll,55kN.

4.2.4.2. Analisa Trus Dengan Metode Potongan

Metode ini dapat digunakan untuk menentukan gaya aksial beberapa batang yang dipilih

tanpa perlu menghitung gaya-gaya semua titik hubung, seperti pada metode sebelumnya.

Keberhasilan atau kegagalan dalam penerapan metode ini tergantung pada pemilihan seksi

pemotongannya. Pada umumnya, seksi pernotongan terdiri dari 3 batang, jadi hanya 3 gaya yangtidak diketahui dan dapat dihitung dengan tiga persamaan keseimbangan, Gambar 4.6. menunjukkanbagaimana metode ini digunakan.

Kadang-kadang untuk memperoleh hasil yang diinginkan, ~ta perlu membuat lebih dari satu

seksi pemotongan atau menggunakan gabungan metode potongan dengan metode titik hubung.

6565

,f- ~~.

(iI)

Gambar 4.6. llustrasi metode potongan.(misalkan ingin diketahui gaya-gaya pada batang BC & BE, maka pemotongan melewati batang FE,

BC dan EF. Batang yang terpotong tersebut selanjutnya digantikan dengan gaya-gaya sepertiditunjukkan pada gambar 4.5b. Selanjutnya dengan menerapkan persamaan kesetimbangan, dapatlah

dicari besarnya gaya-gaya batang tersebut.)Contoh soal 4.2.

Hitung gaya pada batang DJ dari trus atap Howe seperti diperlihatkan pada gambar berikut. Abaikansemua komponen gaya horisontal pada tumpuan .

. - fj panels at 4 m .. .-~.--.---, -

Gambar 4.7. Gambar contoh soal no 4.2

6666

Pemecahan soal:

Langkah awal adalah menggambarkan DBB dari trus tersebut. Selanjutnya menyusunpersamaan kesetimbangan untuk mencari besamya gaya-gaya reaksi di tumpuan.

+0 IM A = 0, e; (18)- (1)(3)- (1)(6)- (1)(12)= 0 ::} Rc =E= 1,17kN18

Untuk menghilangkan gaya pada batang DJ kita gunakan metode potongan, namun tidak

mungkin membuat seksi pemotongan melalui DJ (misal, seksi pemotongan 2) tanpamemotong empat batang yang gaya-gayanya tidak diketahui. Untuk itu perlu dilakukan satu

seksi pemotongan lain (misal, seksi pemotongan 1), sebelum memperhatikan seksipemotongan 2, dimana hanya memotong tiga batang yang gaya-gayanya tidak diketahui.

Pemilihan seksi pemotongan ini harus dapat digunakan untuk menghitung sebagian gaya-

gaya batang dari seksi pemotongan 2 (minimal satu batang) agar selanjutnya gaya batang DJdapat dihitung dari seksi pemotongan 2 dengan menggunakan prisnsip-prinsip keseimbangan

gaya dan momen.

Dari seksi pemotongan 1 :

10kN

S;;ctiOD J

+0 IMA =0,+0 IMJ =0,

(0,707CJX9)- (IX3)- (1)(6)= 0 CJ = IAkN (tekan)- (0,894CD )(4,5) - {1,83)(9 )+ (1)(3) +(I)( 6) = 0CD =-1,86kN CD = 1,86kN (tekan)

Jadi CD seharusnya batang tekan dan bukannya batang tarik seperti diasumsikan padagambar diatas,

6767

Dari sisi pemotongan 2 diperoleh:

-. Section 2

LM G = 0, -+ 12DJ + 10(16) + 10(20) - 18,33(24) - 4,14(0,707)(12) = 0Jadi DJ = 16,67 leN (tarik)

4.2.4.3. Trus Ruang (Space Trusses)Trus yang telah diuraikan sebelumnya adalah trus bidang dengan semua batang trus terletak

pada satu bidang (2 dimensi). Dalam juga terdapat kontruksi trus yang dibangun dari batang-batangyang dihubungkan bersama-sama pada ujung-ujungnya dalam ruang (3 dimensi) untuk membentukstruktur yang kokoh (rigid structure). Trus dengan konfigurasi batang-batang semacam ini dikenalsebagai trus ruang (space truss).

D

A

(b)

Gambar 4.8. Konfigurasi trus ruang

Seperti halnya trus bidang dengan elemen dasarnya adalah trus segitiga, sebaliknya untuk trus ruang

elemen dasamya tersusun dari enam batang yang dihubungkan pada ujung-ujungnya danmembentuk sisi dari suatu tetrahedron, seperti pada Gambar 4.8. Pada Gambar 4.8a dua buah batang

AD dan BD dihubungkan di titik D memerlukan batang CD sebagai tumpuan ketiga untuk menjagaagar segitiga adb tidak berotasi terhadap AB. Pada Gambar 4.8b landasan penumpu digantikan

6868

dengan 3 buah batang lagi AB, BC serta AC dan membentuk susunan tetrahedron yang

kekakuannya tidak bergantung pada landasannya. Susunan batang-batang seperti ini merupakan unit

fundamental penyusun trus ruang yang kokoh. Pengembangan selanjutnya dari elemen dasar iniuntuk membentuk trus ruang yang kokoh yang lebih besar dapat dilakukan dengan menambah tiga

batang yang ujung-ujungnya dihubungkan pada tiga titik hubung tetap dari elemen dasar trustersebut, seperti terlihat pada Gambar 4.8c. Trus ruang yang tersusun dad elemen-elernen dasar

semacam ini membentuk kontruksi trus ruang sederhana (simple space truss). Keempat titik hubungtidak boleh terletak dalam satu bidang.

Hubungan jumlah batang (m) dan titik hubung U) untuk trus ruang sederhana dapatditurunkan secara analog seperti pad a trus bidang sederhana. Dalam hal ini elemen dasar trus ruang

terdiri dari 6 batang dan 4 titik hubung, untuk setiap titik hubung terdapat 3 batang. Pengembangan

selanjutnya adalah dengan penambahan 3 batang dan 1 titik hubung baru, begitu seterusnya. Dengandemikian, dapat kita tulis :

m-6=3U-4)dari sini m = 3j -6 (4.5)

Seperti halnya trus bidang, hubungan yang dikemukakan pada persamaan (4.5) akan dipenuhijika trus ruang adalah statis tertentu. Jika m+6 > 3j, terdapat sejumlah batang berlebih (redundantmembers) dan persamaan-persarnaan yang tidak saling bergantungan (independent equations), dantrus semacam ini adalah statis tak tentu (over rigid). Sebaliknya jika m+f < 3j, trus tidak stabil danbeban yang diberikan padanya akan menyebabkan struktur trus roboh (collapse).

Bila trus ruang secara keseluruhan kokoh dan semua gaya reaksi tumpuan adalah statis

tertentu, maka tumpuan akan berupa kombinasi bola-bola, roller, dan bola-dan-soket yang

menghasilkan 6 buah gaya reaksi tumpuan tidak diketahui. Gaya reaksi tersebut dengan cepat dapat

dihitung dengan menerapkan 6 persamaan keseimbangan gaya dan momen,

LF=O dan LM =0 (4.6),----Dimana~masing~masing-die.valuasi-pada_setiap_sumbu-ruang-trus-tiga.-dimensi._Disamping-.itu, _

diasumsikan batang-batang trus ruang dihubungkan pada ujung-ujungnya dengan sambungan bola-dan-soket tak berfriksi, walaupun sebenarnya dihubungkan dengan sambungan kelingllas. Dengan

demikian pada semua batang tidak terdapat momen kopel dan setiap batang trus adalah berupa

batang dua gaya. Kondisi keseimbangan setiap titik hubung ini dapat dikemukakan dengan 3

persamaan keseimbangan gaya L Fx = 0,Lr; = 0 dan L Fz = 0 dan untuk memudahkan

6969

perhitungan gaya-gaya batang sebaiknya analisa dimulai dari titik hubung dengan tidak lebih dari 3

gaya yang tidak diketahui.

Contoh Soal 4.3:

Trus ruang tersusun dari tetrahedron ABCD ditumpu di A oleh sambungan bola-dan-soket, serta

rotasi terhadap sumbu x, y atau z ditahan masing-masing oleh link 1, 2 dan 3. Beban L diterapkan

dititik hubung E, yang secara tetap dihubungkan pada tetrahedron dengan 3 buah link. Tentukan

semua gaya-gaya batang pada titik hubung E.

Gambar 4.9. Gambar contoh soal no 4.3

Jawab:

Pertama kita bahas keseimbangan seluruh trus seperti pada Gambar DBB trus. Terdapat 6

buah gaya-reaksi tumpuan, tiga buah gaya di A dan 3 buah di link 1,2 dan 3. Juga terlihatbahwa jumlah batang m=9 dan titik hubung j=5, dengan demikian persarnaan m+f = 3jdipenuhi dan struktur kokoh dan statis tertentu.

7070

Z 3

4

~,

"-'x

Keseimbangan Seluruh Trus :

DBB Trus

IM A = 0, (3i +3j +4k)x{- Li)+ (3i)x(Dyj)+ (~i)x(Dzk)+ (4k)x(Byj) = 0atau: 3Lk-4Lj+3Dyk-3Dzj-4Byi =0Dengan rnengelompokkan semua koefisien kedalarn vektor satuannya masing-rnasing

diperoleh:

-4B) - (4L+3Dz)j + {3L+3Dy)k = 0Dengan rnenyamakan semua koefisien vektor satuan i, j dan k dengan nol, diperoleh tiga

persarnaan berikut :

By =0 3L+3Dy = 0

Dari ketiga persarnaan tersebut didapat :

B y =0 D =--4L Dy =-L

atau dalarn bentuk vektor :

Dz =-(jL}IF =0, (Ax -L)i+(Ay +Dy +By)j+{Az +DJk = 0atau Ax -L= 0maka : Ax = L A y =L A =-3Lz

7171

6-L

Sekarang kita mulai analisa keseimbangan gaya pada titik hubung yang sekurang-kurangnya

terdapat 1 gaya diketahui dan tidak lebih dari 3 gaya yang tidak diketahui, dan temyata titik

hubung E memenuhi syarat tersebut. Dengan demikian dapat kita analisa langsung tanpa

menganalisa keseimbangan pada titik hubung yang lain. Dari Gambar c, tiga vektor gaya

yang tidak diketahui pada titik hubung E tersebut adalah :

F EB =-FE-B (r: J.) F = FEe (-3i-4k)

5FED = FED (- 3j - 4k)

5

Keseimbangan gaya dititik hubung E :

!:F=O, L+ FEB + F EC + FED = -Li+ FEB (-i- j)+ FEe (-3i-4k)+ FED (-3j-4k)=OJ2 5 5

Kelompokkan kedalam vektor satuannya masing-masing:

atau:

Apabila ketiga persamaan tersebut dipecahkan secara simultan, maka :

F =-5

EC

5FED =-L6

4.3. RANGKA (FRAMES) DAN l\1ESIN (MACHINES)Rangka dan mesin adalah struktur yang sedikitnya terdapat satu elemen individu (individual

member) berupa elemen banyak gaya (multiforce member). Pada struktur ini, sedikitnya satu elemendikenai 3 gaya atau lebih. Umumnya, arah gaya-gaya tersebut tidak diketahui dan tidak searah

. elemen;_d_aILhiasadninyy_-aatakalLd_e_o_ggI1.2Jm.m99nen._gg~angtidak diketahui. Gaya-g~~yang.,c.

bekerja pada tiap elemen tersebut dapat diperoleh dengan mengisolasi elemen dengan diagrambenda bebas dan menerapkan persamaan keseimbangan (4.4). Harap diperhatikan dalammenerapkan prinsip aksi-reaksi jika hendak menggambarkan gaya-gaya interaksi dalam diagrambenda bebas yang terpisah. Jika struktur terdiri dari elemen-elemen atau tumpuan-tumpuan yangIebih banyak diperlukan untuk menjaga supaya tidak roboh, maka problem ini adalah statis tak tentu,

7272

dan pemecahannya tidak cukup dengan menggunakan prinsip-prinsip kesetimbangan statika

walaupun masih tetap diperlukan.

Rangka adalah struktur kaku sempuma yang dirancang untuk menahan atau mengangkat

beban yang biasanya stasioner. Mesin dirancang untuk mentransmisikan dan memodifikasi gaya-

gaya(stasioner atau tak stasioner) dan biasanya terdiri dari bagian-bagian yang bergerak. Baikrangka maupun mesin, setiap bagian atau elemennya berupa elemen multi gaya. Untuk menentukan

gaya semua elemen, sebaiknya dimulai dengan menentukan gaya-gaya luar struktur yang dianggap

sebagai bend a kaku tunggal. Kemudian setiap elemen dilepas dan dihitung semua gaya yang bekerjapadanya dengan persamaan keseimbangan gaya dan momen. Pada mesin hal tersebut tidak selalu

bisa dilakukan, terutama apabila keseluruhan struktur mesin tersebut tidak kokoh (Misalnya,mekanisme slider crank). Untuk itu analisa dimulai dari keseimbangan elemen yang dianggap rigid.

4.3.1. RANGKA (FRAMES)Prosedur analisa rangka secara umum hampir sarna dengan trus. Prosedumya sebagai

berikut::

1. Tetapkan sistim salib sumbu sebagai perjanjian untuk mewakili gaya-gaya kedalam duakornponen, komponen x dan y.

2. Buat diagram benda bebas seluruh rangka dan terapkan persamaan keseimbangan untuk

mencari gaya-gaya reaksi turnpuan.

3. Struktur dilepas dan dihitung keseimbangan untuk setiap bagian. Dengan mengingat kaidah

hukurn Newton ke tiga (aksi-reaksi), Setelah semua arah gaya (termasuk arah dan besar gayabeban) didefinisikan, maka gaya-gaya yang bekerja pada setiap batang dapat dihitung.

Hal-hal berikut perlu diperhatikan dalam melaksanakan prosedur analisa di atas ;1. Dalam rnembuat diagram benda bebas asumsikan arah gaya-gaya yang hendak ditentukan.

Apabila dari hasil perhitungan gaya-gaya tersebut diperoleh tanda minus, rnaka arah gaya---

seharusnya berlawanan dari asumsi semula.2. Harap dichek apakah persoalan termasuk statis tertentu atau statis tak tentu. Apabila

kasusnya adalah statis tak tentu, maka pemecahannya tidak cukup dengan hanya

rnenggunakan persamaan keseimbangan statika (hal ini akan tersendiri dalam buku yang

7373

lain). Namun mahasiswa jangan terkecoh dengan menilai kasus statis tertentu atau statis taktentu dengan hanya melihat dari reaksi tumpuan.

3. Mahasiswa dianjurkan untuk menchek kembali apakah gaya-gaya tiap batang yang diperolehdengan memecahkan persamaan simultan memenuhi persyaratan keseimbangan pada tiap-

tiap batang. Akhirnya, gambarkan diagram benda bebas tiap bagian dengan arah gaya-gaya

yang benar, dan cantumkan besar gaya tersebut pada tempat yang sesuai.

Contoh Soal 4.4:

Hitunglah besarnya gaya-gaya pada seluruh batang pada struktur rangka seperti pada gambar berikut.

Jawab.

Gambar4.10. Gambar contoh soal no 4.4

Langkah pertama adalah menggambarkan DBB lalu menyusun persamaan kesetimbangan untuk

mencari besamya gaya-gaya reaksi di A dan C. DBB rangka adalah sebagai berikut.

Gambar DBB rangka

7474

fB"

r-\p.

E;: 501b

Persamaan kesetimbangan menghasilkan :

11ns.

Ans.

Langkah selanjutnya adalah menggambarkan DBB untuk tiap-tiap batang pada rangka sepertiditunjukkan pada gambar berikut.

r~l- _jBB, n; , (~ ~~:bII. ; \\.,,;4iK' .F\ 3 L ;~\~.I ',\:~4! \) D '~

F \\A~A, ~ 501b't~C'

A_;, "" 60 lb E Cy= 100 lb

DBB pada tiap-tiap batang

Selanjutnya disusun persamaan kesetimbangan untuk masisng-masing batang sebagai berikut.Batang ED.

Batang EF.

.[-.;:'MD = 0][SF == OJ

. _' . ;." .

.P 2. 50 - 50 = 0. i)k.l.00Jb .-:F .:,.',' :':" :"~,;,:-::

Ails .

Ans.

F sarna dan berlawanan arah dengan E, sehingga F = E = 50lb

BatangAB

[:~:"i\fA =' 0]

[2:Fx "" O} ~4x +"15-= 50T3/5T';;:-o~"~'A:An.~.

:~'15'lh:"'-"----'-. Ans.. .

l2:Z;:'l. = OJ 50(4/5).=: 60:.." Bye= 0 #....=.: 7201)) All:;.

7575

'>......:...

Batang Be

[2:F_': = til," --- ' 30 + 100(3/5(-:-,'15'--.\6:: ',; o;-~- ,C - ;" 751b ,'- ,.- '-';A,is'-'::' ,;.' :::.: .. ~:;...,'.::~:~ ... ~:;. ~-! _', . ~ .:: ~/:,~ . ;:':'.,~ .: : ~~.::.~ .. :~:~'.~>'.~~.~,~:.,.~;..~{"/~: :.,..-._ . '~'~~:~:~'->;.,::"~:i-'SVe may, apply the 'remaining' ~,~:c,oquil,ibiium e((uations 'as 'u i:hedi;"Thu.E, '" ,r.~::'::'..-'.,. ,','.'_.,::_'-''' :::_..,"...~.:.:.: h::~:'~.~.;.-.:~.:::/:..' ~~.i:/-:~

7676

selanjutnya dapat dicari dengan mernbuat diagram benda bebas dan menerapkan prinsip-prinsip keseirnbangan yang berlaku.

Contoh Soal 4.5

Sebuah mesin dirancang untuk pen gam an terhadap suatu beban berlebih. Suatu pin yang dipasang di

S dari bahan yang lebih lunak digunakan sebagai pernbatas, apabila beban melebihi suatu batas,

maka pin tersebut putus sehingga pencepit rnembuka. Hitunglah besarnya gaya T apabila gaya yang

menyebabkan pin S putus adalah sebesar 800N dan gaya-gaya reaksi di tumpuan.

120

Dimensionsin millimeters

Jawab.

Gambar 4.10. Garnbar contoh soal 4.5

Langkah awal yang dilakukan adalah rnenggarnbarkan DBB, lalu menyusun persarnaan

kesetimbangannya, Dari persarnaan tersebut dapatlah dihitung besarnya gaya-gaya yang belum

diketahui. Karena simetri, maka DBB dari mesin pengarnan beban berlebih dibuat sebagian seperti

ditunjukkan pada gambar berikut.

A

DBB Mesin pengaman beban berlebih

7777

. - - . " ., ., ,r.' .~ ".

'.){l'.'-;: -

Persamaan pada join menghasilkan

B coss + C 1:os'~';_'T,"~' 0

'/' , , .... T ..' '. ,'.T-2- cos (I (cos 0)(50) -+ -.' -. - (} (sin D){36) - 36(800. ) -, -2. (26._.'.)=, 0. ..'. 2 cps ...., ..

Substitusi sine/cosEl= tanf = 5/12, menghasilkan

,'T(2'v:;:_"'+'. 5{S6).. :'1..,.).'3.. .',>8800"-,:,-._;,, ........ , :iJ: '."

. 1,' ,;::to i477N '0\' '1' .'-'" lA77 kN Ans,

Persamaan kesetimbangan pada arah sumbu y menghasilkan

[:tF~,=: O}

.Ans.

7878

Soal-Soal Latihan:

(Pad a soal-soal berikut ini kalau massa tidak disebutkan berarti diabaikan).1. Hitunglah besarnya gaya-gaya pada setiap batang pada struktur trus berikut.

Jawab: AB = 5kN (tarik), BC :::5..fi kN (tekan), CD = 15kN (tekan), AC = 5.J5 kN (tarik) danAD=O

Gambar soal no 12. Hitunglah besarnya gaya-gaya pada setiap batang pada struktur trus berikut.

Jawab: AB :::DE = 96kN (tekan), AH = EF :::75kN (tarik), BC = CD = 75kN (tekan), BH = CG= DF = 60kN (tarik), CH = CF::: 48kN (tekan) & GH = FG = 112,5 kN (tarik)

Gambar soal no 2.

3. Hitunglah besamya gaya pada batang CG pada trus berikut ini.Jawab: CG = 14,14 kips (tarik)

Gambar soal no. 3

79

2L. 2L

4. Hitunglah besamya gaya pada batang BC, BE & BF pada trus berikut ini

Jawab: BC = BE = .J3 (tank) & BF = .J3 (tekan)

Gambar soal no. 4

5. Hitunglah besamya gaya-gaya pada batang AB, AC & AD untuk trus ruang berikut ini.

Jawab : AB = 4,46kN (tekan), AC = 1,521 kN (tekan) & AD = 1,194 kN

Gambar soal no.5

6. Hitunglah gaya pada batang FJ dan OJ pada trus ruang sebagai berikut. Gunakan metode

potongan.Jawab : FJ = 0 & OJ = 70,8 kN (tekan)

80

Gambar soal no. 6

7. Hitunglah besamya gaya-gaya reaksi tumpuan di A dan F untuk struktur berikut ini. Jawab : A=

999N & F ;::::314N(keatas)

Gambar soal no. 78. Suatu disain mesm pemotong digunakan untuk menggantikan disain yang lama. Hitunglah

besarnya gaya potong di P apabila gaya pada grip sebesar 150N.Jawab : p;::::1467 N

_'-,.Ii JJ ~:~:. :3il!i5ifU {llrh

Gambar soal no. 8

81

DAFTAR PUSTAKA

1. Meriam, J.L. , "Mechanics Statics", Second edition, John Wiley and Sons, Inc., London, 1959.2. Meriam, J.L., and Kraige, L.G., "Engineering Mechanics volume 1 Statics". Second edition,

John Wiley and Sons, New York, 1987.3. Beer P., Ferdinand, and Johnston Russell E.,"Mechanics for Engineers Statics", Third edition,

Me Graw-hill Kogakusha, Ltd., Tokyo, 1976.4. Beer P., Ferdinand, and Johnston Russell E.,"Mechanics for Engineers Statics", Fourth edition,

Me Graw-hill Book Company, Ltd., Singapore, 1987.

5. Shame H., Irving, "Engineering Mechanics Statics and Dynamics", Second edition, PHI, NewDelhi,1980.

6. Timoshenko, and Young, "Engineering Mechanics", Fourth edition, Me Graw-Hill Kogakusha,Ltd.,Tokyo, 1982.

o o o _

82

LAMPTRANA

TOPTI< PILIHAN DAR! MATEMA TlKA

Al Pengantar

Lampiran A ini berisi resume dari topik-topik pilihan dalam matematika dasar yang sering

dipakai dalam memecahkan persoalan mekanika. Topik-topik yang ada dalam lampiran ini

sebaiknya dikuasai dengan baik agar saudara tidak mengalami hambatan dalam mengikuti

matakuliah ini, disamping itu masih ada topik-topik lain yang tidak ditulis dalam lampiran ini jugarnasih diperlukan.

Sebagai seorang yang sedang belajar ilmu mekanika sebaiknya anda jangan bosan untuktetap belajar rnatematika, dan bila periu mengulangi cara pemakaiannya. Perlu saudara ketahuibahwa ilmu mekanika merupakan ilmu terapan yang selalu berhubungan dengan pendeskripsian dari

benda nyata dan gerak sebenarnya. Oleh karena itu saudara selalu dituntut untuk mengerti arti phisik

dan geometri dari persamaan matematika yang dipakai selama mempelajari teori dan formulasi sertamemecahkan persoalan-persoalan mekanika.

A2 GEOMETRI BIDANG

1. Bila dua garis berpotongan dan saling tegak lurus satu dengan yang lain, sudut antara yang

dibentuk oleh masing-masing pasangan adalah sarna besar.

2. Kesamaan segitiga

x h-y-=--b h

3. Luas segitigaLuas = (bh)/2

4. LingkaranKe1"i1in=g2":ri1(rr ---~-------------------------------~

Luas = 1(r2Panjang busur s = r8Luas sektor = (r28)/2

8 dalam radian5. Setiap segitiga yang digambarkan dalam setengah lingkaran adalah segitiga siku-siku

83

6. Sudut-sudut segitiga

81 + 82+ 6J ::::180084 = 61 + 82

A3 GEOMETRI BENDA PEJAL

1. Bola

Volume = 4/311:r3

Luas perrnukaan = 4 m2

2. Baji bolaVolume

3. Kerucut rnelingkar tegak lurus

Volume =113 m2h

Luas selubung = 1[rLL= (r2 + h2)112

4. Piramida

Volume = 1/3 Bh

Dirnana B == luas alas

A4AUABAR

1. Persarnaan kuadrat

ax2 +bx+c:::O

x = ( - b ..Jb 2 - 4 ac ) I 2 a ,b2 -4ac > 0 untuk akar-akar riil

2. logaritrna

bX =y,x=logb Y

logaritarna natural

b=e:::2,718282

eX =y,x=loge y=lnylog 10 x = 0,4343 In x

84

I 1

log(ab) ::::log a + log blog(a I b) = loga-Iogblog(1In) := - log n

log an := n log alog 1=0

3. Determinan

alhiciOrde 3 aZh2c2 ;;:+a1b2c3 +a2b3c1 +a3b1c2 -a3b1c3 -alb3c2

a3b3c3

4. Persarnaan pangkat 3

x3 =Ax+B;misalp=A/3,q=BI3

Kasus I: (q2 - P 3) < 0 (ketiga akarn ya bilangan riil dan berbeda )cos It= q l(pfP)O < It< 1800

Xl ;;: 2fP cos(u J 3}, x2 ;: 2fP cos(u I 3+1200); x3 ::::2fP cos(u I 3+2400)

Kasus II: (q2 - p3 0 ( satu akar bilangan riil, dua akar bilangan irnajiner)

XI :;;;(q+~q2 _ p3 Y +(q_~q2 _ p3)3Kasus III: (q2 - p3)= 0 (ketiga akarnya bilangan riil , dua akar sarna)

.Xl :=2qX,x2 =X3 =_qXuntuk persamaan pangkat tiga yang urnurn:

substitusi X = Xo - a 13 dan diperoleh x30 =Axo +B

kemudian dilanjutkan seperti di atas untuk rnenentukan harga Xo dari x = Xo - aJ3

85

la-)

A5 GEOMETRI ANALIT

1. Garis lurus

y = a + rnx x/a + ylb=l2. Lingkaran

x2 + i = r2 (x - a)2 + (y-bi=r23. Parabol

y = b (x 2 ~

4. Elip

x2/a2 +y2/b2=15. Hiperbol

X = aCllb2)

x2/a2 + llb2 =1A6 TRIGONOMETRI

1. Definisi

sin e = alc

cos 8 = b/c

tg e = alb

cosec 8 = cIa

sec 8 = c/bcotg 8 = b/a

kuadran

I II III IVSin e + + - -

Cos o + - - +Tg8 + - + -

cosec 8 + + - -sec e + - - +cotg e + - + -

2. Macarn-rnacarn hubungan sinus-cosinus

86

sin 2 0 + cos! 8 = 11+ tg 28 =sec2 81+cot g20:::: cos ec20

sio(012) = ~(l-cos 0)/2COS(%)= ~(l+cos 8) sin28 ::::2 sin 8 cos 8

cos28=cos2 8-sin2 8sin{ab)= sin a cos bsio b cosacos{a b) = cos a cosbsin a sin b

3. Hukum sinus

% =sio Alsin B4. Hukum cosinus

c2 ::::a2+b2-2abcosC

c2 =a2 +b2 +2abcos D

A7 OPERAS I VEKTOR

1. Notasi. Besaran vektor ditulis huruf besar, besaran skalar ditulis huruf kecil, Jadi besaran

vektor V mempunyai besar v.

Dalam buku maternatika biasanya vektor dituliskan !:::. atau V sedang besarnya adalah Ivl.2. Penjumlahan

Penjumlahan segitiga P + Q:::: RPenjumlahan paralelogram P +Q ::::RHukum kumutatip P + Q:::: Q + PHukum asosiatip P + (Q + R):::: (P + Q) + R

3. PenguranganP-Q::::P + (-Q)

4. Vektro satuan i,j,kV :::v: xi+ vyj+ v.kDimana besamya v=~v2x +v2y +v2z

5. Arah cosinus I,m,n cosinus dari antara V dan sumbu x, y , z

87

J adi I = vJv. m = vylv , n = vivVektor = v(li + mj + nk)f + m2 +n2=1

6. Dot product atau scalar product (perkalian skalar)P.Q = pq cos 8Prod uk ini dapat dipandang sebagai besamya P dikaIikan dengan komponen q cos 8 dari QdaIam arah P, atau sebagai besar Q dikaIikan dengan komponen p cos e dari P dalam arah Q.Hukum kumutatip P.Q = Q.PDari definisi dot product

i.i = j.j = k.k =1i.j = j.i = k.i = j.k = k.j =0P.Q = (Pxi + Pyj + Pzk). (qxi + qyj+ q.k)

= Pxqx + Pyqy+ Pzqzberdasarkan definisi dot product, maka bila dua buah vektor saling tegak lurus ( P dan Q )hasilnya adalah nol, P.Q=O.

Sudut antara dua vektor PI dan P2 dapat ditentukan dari hubungan PIPz = p)P2 cos 8,sehingga

Cos 8 ::::P: ).P2/(PIP2)::::: (PIx P2x+ Ply P2y+ PlzP2z)/(Pj+P2)::::Itl2 + mjm, + njn2

dimana l.m,n mewakili arah cosinus dari vektor . Dari pemyataan tersebut, dua vektor akan

saling tegak lurus bila arah cosinus mengikuti hubungan P.(Q+R) = P.Q + P.R7. Cross product (perkalian vektor)

Perkalian ~ektor PxQ dari dua vektor P dan Q didefinisikan sebagai vektor dengan besarPxQ = pq sin e dan arahnya dispesifikasikan dengan aturan tangan kanan. Pembalikan urutanvektor dan penggunaan aturan tangan kanan menghasiIkan PxQ =-PxQ.Hukum distributip Px(Q+R) = PxQ +PxRDari definisi cross product, dengan memakai sistem koordinat aturan tangan kanan

ixj=k jxk=i kxi:::::jj x i = -k k x jk = -i ix k = -jix ie j x j e kx k e O

dengan bantuan tanda-tanda di atas dan hukum distributip , maka cross product dapat ditulis

88

PxQ = (P..i+Pyj + pzkh(q_.i +q yj +qzk)= (pyqz -P~qy}+(pzqx -Pxqz )j + (PAy -Pyqx~

cross product dapatjuga ditulis sebagai determinanijk

PxQ = PxPyPzqxqyqz

8. Hubungan-hubungan tarnbahan

Triple scalar product ( PxQ) .R =R .(PxQ). Dot dan cross dapat ditukar selarna urutan vektortetap dijaga. Penulisan kurung keeil sebenamya tidak perlu karena Px(Q.R) tidak punya arti,dan tidaklah rnungkin sebuah vektor P di cross dengan sebuah skalar (Q.R). jadi pemyataandi atas dapat ditulis PxQ.R = P.QxRTriple scalar product rnemiliki eksapansi determinan

r, Py r,PxQ.R= qx qy qz

triple cross product (PxQ)xR = - Rx(PxQ) = R x (QxP) pada kasus ini penulisan kurung kecilhams dilakukan karena penulisan PxQxR bisa punya dua arti. Hal ini bisa dilihat padabentuk penulisan berikut ini

(PxQ)xR = R.PQ - R. QPPx(QxR) = P.RQ - P.QRSuku pertama dalam pemyataan yang pertama, sebagai contoh, adalah dot product R.P

(skalar) dikalikan Q.9. Turunan vektor masih tetap sarna seperti turunan skalar.

dP .. . .Tt=P=Pxi+pyj+Pzkd(Pu) ..

-pu+pul-----------------dt

d{P.Q) = PQ+PQdt

d{PxQ} ..--=PxQ+PxQ

dt

89

/ I

10. Integrasi vektor

Kalau V adalah fungsi dari x.y, dan z dan elemen dari volume adalah dT = dx dy

dz .intergral dari V untuk seluruh volume dapat dituliskan sebagai jumlah vektor dariintegrasi ketiga komponennya , jadiJVdT=i fVxdT+j fVydT+k fVzdT

A8DERETTanda dalam kurung besar menyatakan batas konvergensilex) ao ~ 1l))X ~ mix=-+ L.....,all cos-+ L.....,b" sm-

2 rI~1 I rI~1 I

dimana a" = ff.(x)cos-[-dx,b" = fl' (x)smnn-x[-1l))X.-I -/

[ ekspansi fourier untuk -1< x

90

f

A9TURUNANdx ll--=nxdx

n-1

d(uv) dv du--=u-+v-

dx dx dxdu dv

v--u-dx dx

dx V2lim sin dx = sin dx = tan dx = dxA~Olim cos& =cos dx = 1A~O

d sin x---=cosx

,dxd cosx .---=-Slnx

dxd tan x 2---=sec x

dxd sinh x h---=cos x

dxd cosh x . h---=Sln x

dxd tanh x h2---=sec x

dx

AIO INTEGRAL

xn+lxlldx=-

n+l

91

f -I -I

f

f

f

IS.In xJcos 1

J

f~ =lnx.Ja+bxdx =l:_~(a+bxf

3b

2.ra+fub

xdx =_1 (a+bx-alog(a+bx))a+bx b2

dx I x.j;;b 1 h x.J-ab---=--tan --or--tan ---a +bx2 M a .J-ab a

f~x2 a2 dx=~[ x~x2 a2 al In(x+~x2 a2 )]

JJa2 _x2 dx=~( x~a2 _x2 +a2 sin-I ~)

Jx~a2 _x2 dx=-i~(a2 _x2)3

Ix 2 ~a2 _x2 dx=-~~(a2 _x2)2 +f(x~a2 _x2 +a2 sin-I~)

I/ ~a2 _XZdx=_~(X2 +~a2 )~(a2 _x2)3

dx =In(x+Jx2 al)~x2 a2

f dx =sin~-I~X2 a2 a

,.-----

IxJx2 a2dx=i~(x2 az)3

Jx2Jx2 Q2dx=~~(X2 a2)3 + Qg2 10g(x+~x2 az)xdx Jx2 _a2

I~xZ _a2

xtb: =~a2 x2Jx2 _a2

fSin xdx= -cosx

Jcos xdx = sin x-fsec-xtiA=.!.lOJ=+=s=in=x=------~J 2 I-sinx

2 dx x sin 2x=----2 4x sin2x

xtb:=-+--2 4

92

f e px =

f

e:

Hixrt

Jsm. :'dx x=--co3s-x (L"'.+sm.;-).xf cos' xdx = Si;.x (2+cos2 x)

ax . d eax(asin px- pcos px)Sin X 1;

a- + p:

Ie