Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

PENYELESAIAN MATRIKS PERSAMAAN LINEAR 2 DAN 3 VARIABEL :Matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel.

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah

ax + by = p ............................................................................ (1)cx + dy = q ............................................................................. (2)

Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh karena itu, berdasarkan penyelesaian matriks bentuk AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut.

asalkan ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal 23 :

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara matriks.

2x + y = 7x + 3y = 7

Jawab:

Dari persamaan di atas dapat kita susun menjadi bentuk matriks sebagai berikut.

Dengan menggunakan rumus penjelasan persamaan matriks di atas, diperoleh sebagai berikut.

Jadi, diperoleh penyelesaian x = 1 dan y = 2.

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Kalian tentu tahu bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya eliminasi, substitusi, gabungan antara eliminasi dan substitusi, operasi baris elementer, serta menggunakan invers matriks. Kalian dapat menggunakan cara-cara tersebut dengan bebas yang menurut kalian paling efisien dan paling mudah.

Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti berikut.

Misalkan A =   , X =   , dan B = 

Bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A-1 B. Dalam hal ini, A-

1 = 

Oleh karena itu, diperoleh :

asalkan det A ≠ 0.

Contoh Soal 24 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

2x + y – z = 1x + y + z = 6x – 2y + z = 0

Jawaban :

Cara 1:

Operasi elemen baris, selain dapat digunakan untuk mencari invers matriks, dapat pula digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Dengan menggunakan operasi baris elementer.

Dengan demikian, diperoleh y = 2. Kita substitusikan nilai y = 2 ke persamaan (2) sehingga :

y + 3z = 11 ↔ 2 + 3z = 11↔ 3z = 11 – 2↔ 3z = 9↔ z = 3

Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke persamaan (1) sehingga diperoleh :

x + y + z = 6 ↔ x + 2 + 3 = 6↔ x + 5 = 6↔ x = 6 – 5↔ x = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.

Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}.

Cara 2:

Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks sebagai berikut.

Misalkan A =   , X =   , dan B = 

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

det A = 

det A = 2(3) – 1(0) + (–1)(–3) = 9

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

Dengan cara yang sama, kalian akan memperoleh K31 = 2, K32 = –3, dan K33 = 1 (coba tunjukkan).

Dengan demikian, diperoleh :kof(A) = 

Oleh karena itu, adj(A) = (kof(A))T.

Adj(A) = 

Jadi, X = 

Jadi, diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah {(1, 2, 3)}.

Langkah Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sama halnya seperti prinsip penyelesaian persamaan yang lain, pertama-tama kita harus mengurangkan (mengeliminasi) 2 persamaan untuk memperoleh persamaan baru dengan menghilangkan 1 buah variabel. Kalian langung saja simak contohnya sebagai berikut:

Contoh Soal:Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari persamaan berikut!

3x - 3y - 3z = 9 ........(i)

2x + 2y + 2z = 18 ........(ii)

x - 3y - 3z = -30.......(iii)

Penyelesaian:Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu:

3x - 3y - 3z = 9 | X4 → 12x - 12y - 12z = 36

x - 3y - 3z = -30 | X3 → 3x - 18y - 12z = -90

____________________ -

9x + 6y = 126 ..........(iv)

x - 3y - 3z = -30 | X2 → 2x - 6y - 6z = -30

2x + 2y + 2z = 18 | X-3 → -6x - 6y - 6z = -54

____________________ -

8x = 24 x = 3 .......(v)

Karena dari persamaan (v) kita sudah mendapatkan nilai x, sekarang tinggal gunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv)

9x + 6y = 126

9(3) + 6y = 126

27 + 6y = 126

6y = 126 - 27

6y = 99

y = 99/6

y = 16,5

Sekarang kita sudah mendapat nilai y. Langsung saja subtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z:

2x + 2y + 2z = 18

2(3) - 2(16,5) - z = 18

6 + 33 + z = 18

39 + z = 18

z = 18 - 39

z = -21

Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah {3; 16,5; -21}

Mungkin itu saja yang bisa dijelaskan mengenai Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Semoga kalian dapat mengerti dan memahami langkah-langkah yang suah dijelaskan. Berlatihlah dengan jenis soal yang lain.