Pendahuluan

Materi Contoh Soal Pembahasan

OLEH : FAHMIN SIMINA

PenutupMenu

go

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VERIABEL

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan Linear dua variabel adalah persamaan yangmemiliki dua variabel dengan pangkat masing-masingvariabel adalah satu. Persamaan Linear dua Variabelmemiliki bentuk umum.

cbyax

Dengan :a, b, dan c adalah konstanta x dan y adalah variabel

42.

0.

nmb

yxa

Misalkan kita akan mencari penyelesaian dari 2m + n = 4.Bila m = 0, maka 0 + n = 4, sehingga n = 4Penyelesaiannya adalah (0,4).Bila m = 1, maka 2 . 1 + n = 4, sehingga n =2Penyelesaiannya adalah (1,2)Bila m = 2, maka 2 . 2 + n = 4, sehingga n = 0Penyelesaiannya adalah (2,0)Demikian seterusnya...

2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah duapersamaan linear dua variabel yang mempunyai satupenyelesaian.Bentuk umumnya sebagai berikut :

222

111

cybxa

cybxa

iabeladalahydanx

koefisienadalahbdanaba

Dengan

var

,,

:

2211

Contohx - y =4............(1)

x + y=6..........(2)

Persamaan (1) dan (2) disebut sistem persamaan linear dua variabelkarena ke dua persamaan tersebut memiliki satu penyelesaian yaitu(5,1)

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DUA VARIABEL

Sistem persamaan linear dua varibel dapatdislesaikan dengan tiga cara yaitu metode :

1. Metode subtitusi2. Metode eleminasi dan,3. Metode Grafik

a. Metode Subtitusi

Bila menggunakan metode subtitusi kita dapat menggantikansuatu variabel dengan variabel dari persamaan lain.Contoh :

2 6..... ( )

3....... ( )

x y i

x y ii

Langkah awalUbahlah salah satu persamaan dalam bentuk x =……. Atau y =…..Dari persamaan (i), kita dapat memperoleh :

2x – 6 = y

Lanjut kelangkah berikutnya

Langkah kedua

Subtitusikan persamaan di atas ke persamaan (ii), sehinggadiperoleh :

(2 6) 3x x

3 6 3x

3 9x

93

3x

LANGKAH KE TIGA

Nilai x= 3 disubtitusikan ke persamaan (i) atau persamaan (ii)Misalkan x= 3 disubtitusikan ke persamaan (i) diperoleh :

2 . 3 – y = 66 – y = 6y = 6 – 6 y = 0

Jadi, penyelesaian SPLDV tersbut dapat dituliskan dalamhimpunan penyelesaian, HP = {(3,0)}.

b. Metode Eleminasi

Metode eleminasi dilakukan dengan cara menghilangkansalah satu variabel. Contoh di atas dapat diselesaikan denganmenggunakan metode eleminasi berikut

Contoh

2x – y = 6 (i)x + y = 3 (ii)

Langkah awalMulailah dengan menghilangkan variabel x

Next>>>

2 6 1 2 6

3 2 2 2 6

3 0

0

x y x x y

x y x x y

y

y

Langkah keduaHilangkan variabel y

2 6

3

3 9

93

3

x y

x y

x

x

Jadi, penyelesaiannya adalah x=3 dan y= 0Ditulis HP = {(3,0)}

c. Metode Grafik

Dengan metode grafik, kita harus menggambar grafik dari keduapersamaan, kemudian titik potong kedua grafik tersebut merupakanpenyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel.

Contoh :

2 6..... ( )

3....... ( )

x y i

x y ii

Next >>>

Langkah Awal

Gambarlah grafik persamaan 2x- y =6. Kita harus menentukan terlebihdahulu titik potong grafik terhadap sumbu x dan y.

1. Titik potong terhadap sumbu-x, maka y=0.2x-y=6

=>2x-0=6=>2x=6

x=3Jadi, titik potong terhadap sumbu x adalah (3,0)

2. Titik potong terhadap sumbu-y, maka x=02.0 – y = 60 – y = 6

-y = 6y = -6

Titik Potong terhadap sumbu Y adalah (0,-6)

Langkah keduaGambarlah grafik persamaan x+y=3

1. Titik potong terhadap sumbu X, maka y= 0=> x + y = 3=> x + 0 =3=> x=3titik potong terhadap sumbu X adalah (3,0)

2. Titik potong terhadap sumbu Y , maka x= 0x + y = 3=> 0 + y = 3=> y = 3titik potong terhadap sumbu Y adalah (0,3)

3 (0,3)

(3,0)

0 3

-6 0,-6

2x-y=6

x+y=3

d. Metode Campuran

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukandengan metode campuran dari eliminasi dan subtitusi.

2 6..... ( )

3....... ( )

x y i

x y ii

Langkah Awal : metode eleminasiHilangkan variabel x .

2x-y = 6 I x1 I 2x – y = 6

x + y=3 I x2 I2x + 2y=6

-3y=0y=0

Langkah kedua: metode subtitusi

Masukkan nilai y = 0 ke persamaan (i) atau ke persamaan (ii). Misalkan nilai y= 0 dimasukkan kepersamaan (i).

2x – 0 = 6 2x = 6x = 3

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel diatas adalah x = 3 dan y=0, dituliskan HP={(3,0)}

4. Penggunaan Sistem Persamaan Linear dua Variabel

Penggunaan sistem persamaan linear dua variabel juga dapat diterapkandalam kehidupan sehari-hari.

Contoh :

Harga 4 buah buku tulis dan 3 buah pensil adalah Rp. 25.000,00. Harga 2buah buku tulis dan 7 buah pensil adalah Rp 29.000,00. berapakah harga 2lusin buku tulis dan 4 lusin pensil ?

Jawab : Misalkan, harga sebuah buku tulis dilambangkan x dan harga sebuah pensildilambangkan y.Dengan demikian diperoleh :4x+3y=25.000 (i)2x+7y=29.000 (ii)

Misalkan sistem persamaan linear dua variabel di atas akan diselesaikandengan metode eleminasi.

Langkah awal

Hilangkan variabel x.

4x+3y=25.000 I x1I 4x+3y=25.000

2x+7y=29.000 I x2I 4x+14y=58.000

-11y = -33.000y = 3.000

Next>>>

Langkah kedua

Kita dapat menggunakan metode subtitusi. Masukkan nilai y = 3.000 kesalah satu persamaan. Misalkan kepersamaan (i), diperoleh :

4x+3. 3000=25.0004x + 9.000=25.0004x = 25.000 – 9.0004x = 16.000

x = 4.000Dengan demikian diperoleh bahwa harga sebuah buku tulis adalah Rp 4.000 danharga sebuah pensil adalah Rp 3.000

Harga 2 lusin buku tulis dan 4 lusin pensil adalah:= 2(12) Rp 4.000+ 4(12) Rp 3000= 24 .Rp 4000 + 48. Rp 3000=Rp96.000 + Rp 144.000=Rp 240.000,00

Jadi harga 2 lusin buku tulis dan 4 lusin pensil adalah Rp. 240.000

SOAL 1.

Bila 4x + 2y dan 7x + 4y =2, maka nilai dari 2x + 5 =…..

A. -11

B. -8

C. 4

D. 11

Pembahasan

Soal 2

Diketahui sistem persamaan 3x + 7y =1 dan

2x-3y =16 . Nilai x.y = …..

A. 8

B. 6

C. -10

D. 12

Pembahasan

Soal 3

Diketahui harga 6 baju dan 4 celana adalah

Rp 480.000,00, sedangkan harga 3 baju dan

6 celana yang sama yaitu Rp480.000,00.

Harga 2 baju dan 5 celana adalah…..

A. Rp140.000,-

B. Rp280.000,-

C. Rp380.000,-

D. Rp480.000,-

Pembahasan

Soal 4

Harga 2 baju dan 1kaus adalah Rp170.000, sedangkan harga 1 baju dan 3 kaus Rp 185.000,-. Harga 3 baju dan 2 kaus adalah…….

A. Rp 275.000,-

B. Rp285.000,-

C. Rp305.000,-

D. Rp320.000,-

Pembahasan

Soal 5

Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan

ia harus membayar Rp 15.000,00, sedangkan Intanmembeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan hargaRp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3kg apel?

A. Rp42.000,-

B. Rp41.000,-

C. Rp40.000,-

D. Rp43.000,-

Pembahasan

Soal 6

Nilai 2x-7y pada sistem persamaan y= 3x – 1 dan3x + 4y=11 adalah…..

A. 16

B. 12

C. -12

D. -16

Pembahasan

Soal 7

Harga 5 buku tulis dan 4 pensil Rp18.500,-. Harga 4 buku tulis dan 3 pensil Rp14.500,-. Jumlah harga 6 buku tulis dan 10 pensiladalah……

A. Rp25.000,-

B. Rp27.000,-

C. Rp30.000,-

D. Rp33.000,-

Pembahasan

Kembali ke Menu

Diketahui : 4x-2y=2……..(i)

7x+4y=2…….(ii)

Sebagai langkah awal kita akan mencari nilai x dan nilai y dengan menggunakan

metode campuran.

Langkah awal

Menghilangkan variabel y dengan eliminasi. Caranya kalikan persamaan (i) dengan 2

dan kalikan persamaan (ii) dengan 1. Hasilnya sebagai berikut.

8x + 4y = 4

7x + 4y =2 -

x = 2

Langkah kedua

Subtitusikan nilai x= 2 ke salah satu persamaan. Misalkan, nilai x= 2 disubtitusikan ke

persamaan (i), diperoleh:

4. 2 + 2y=2 8 + 2y=2

2y=2-8

2y=-6 y= -6/2= -3

Jadi Nilai x= 2 dan y=-3

Berarti nilai dari : 2x+5y= 2.2 + 5.(-3) = 4-15= -11

Jawab . A

Diketahui sistem persamaan

3x+ 7y=1 ……(i)

2x-3y=16 …….(ii)

Langkah Awal

Gunakan metode eliminasi untuk menghilangkan variabel x. caranya kalikan persamaan

(i) dengan 2, dan kalikan persamaan (ii) dengan 3. Hasilnya sebagai berikut.

6x+14y=2

6x-9y=48 -

23y= -46 y= -2

Langkah kedua

Subtitusi nilai y = - 2 ke persamaan (i)

3x + 7.(-2)=1 3x – 14 = 1

3x=1 + 14

x= 15/3= 5

Jadi, nilai x. y = 5. (-2) = -10

Jawab . C

Misalkan :harga baju dilambangkan = b Harga celana dilambangkan =c.Berdasarkan informasi pada soal diperoleh persamaan berikut :6b + 4c = 480.000,- ……..(i)3b + 6c = 480.000,- ……..(ii)Langkah awalMisal kita eliminasi b. Berarti kalikan persamaan (ii) dengan 2. Diperoleh :6b+4c=480.0006b+12c=960.000 -

- 8c= - 480.000c = 60.000

Langkah keduaSubtitusi c= 60.000 ke persamaan (i).6b + 4 (60.000)=480.0006b = 480.000 – 240.000= 240.000

b = 240.000/6 = 40.000

Dengan demikian , harga 2 bajudan 5 celana= 2.(40.000) + 5. (60.000)= 80.000+ 300.000= 380.000

Jadi harga 2 baju dan 5 celanaadalah Rp380.000,-Jawab. C

Pembahasan nomor 4Harga 2 baju dan satu kaus Rp170.000. Sedangkan harga 1 baju dan tiga kausRp185.000,-

Misal : harga baju = b

harga kaos = k

diperoleh persamaan sbb.

2b + k = 170.000 (i)

b + 3k = 185.000 (ii)

Langkah awal

Kita eliminasi variabel b. kita kalikan persamaan (ii) dengan 2.

2b + k =170.000

2b + 6k= 370.000 -

-5k = -200.000 k = 200.000/5= 40.000

Subtitusi k= 40.000 ke persamaan (ii).

b + 3 (40.000)=185.000

b=185.000 – 120.000

b = 65.000

Jadi, harga 3 baju dan 2 kausadalah:= 3 (65.000) + 2 (40.000)= 195.000 + 80.000= Rp 275.000,-Jawab. A

Misalharga1 kg mangga = xHarga 1 kg apel = y Kalimat matematika dari soal tersebut adalah:2x + y = 15.000 …….(i)

x + 2y = 18.000……..(ii)Langkah awalKita eliminasi y, maka persamaan (i) kita kalikan 2, maka diperoleh;4x + 2y = 30.000

x + 2y = 18.000 –3x = 12.000 x = 12.000/3= 4000Langkah keduaSubtitusi nilai x = 4000 ke persamaan (i) atau (ii), Kita pilih persamaan (i)2 ( 4000) + y =15.0008000+y=15.000 y = 15000 – 8000 = 7000Jadi x= 4000 dan y = 7000.

Maka harga : 5 kg mangga dan 3 apel adalah;5x+ 3y= 5 (4000) + 3 (7000)

= 20.000 + 21.000= Rp 41.000,-

Jawab. B

Pembahasan soal 6

Diketahui y = 3x – 1 dan 3x + 4y=11Langkah awalsubtitusi y= 3x – 1 kepersamaan 3x + 4y=11

3x+4(3x-1)=11 3x+12x-4=11 15x-4=11 15x=11+515x=15 x= 15/15=1Langkah keduaSubtitusi x=1 ke persamaan y=3x-1Maka diperoleh:y= 3 (1) -1 y=3-1=2

Maka nilai : 2x-7y= 2 (1)- 7 (2)= 2-14= -12

Jawab. C

Misalkan harga buku tulis =b

harga pensil = p

berdasarkan informasi pada soal kita peroleh persamaan berikut:

5b+4p=18.500 (i)

4b+3p=14.500 (ii)

langkah awal

kita eleminasi p, kalikan persamaan (i) dengan 3 dan kalikan persamaan (ii) dengan 4.

15b + 12p=55.500

16 + 12p = 58.000 -

-b = - 2.500

b = 2.500

Langkah Kedua

Subtitusi b = 2500 ke persamaan (ii)

4b + 3p = 14.500

4 (2500) + 3p= 14.500

10.000 + 3p = 14.500

3p= 14.500 – 10.000= 4.500

p = 4500/3 =1.500

Jumlah harga: 6 buku tulis dan 10 pensil adalah;= 6 ( 2.500) + 10 ( 1.500)= 15.000 + 15.000= Rp 30.000

Jawab D.

1. SPLDV adalah singkatan dari Sistem Persamaan Linear DuaVariabel

2. SPLDV dapat diselesaikan dengan 4 cara; yakni Cara Grafik Cara Subtitusi Cara Eliminasi Cara Camburan/metode gabungan3. SPLDV memiliki bentuk umum sebagai berikut:

a dan d adalah koefisien dari variabel xb dan f adalah koefisien dari variabel yc dan h adalah konstanta

hfydx

cbyax