SPLDV dan SPLTV

Titania Intan P

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing bervariabel dua dikenal dengan sistem persamaan linear dua variabel.

Jika kedua variabel tersebut adalah x dan y, bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) ditulis:

dengan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 bilangan-bilangan

real,

a1, b1 tidak bersama-sama nol, dan

a2, b2 tidak bersama-sama nol.

a1x + b1y =

c1

a2x + b2y =

c2

Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik

Perhatikan sistem persamaan berikut.

x + y = 5……………………(i)

x – y = 1……………………(ii)

Gambar grafik persamaan (i) dan (ii) dalam bidang

Cartesius. Tentukan dua titik potong garis terhadap sumbu X

dan sumbu Y.

(i) (ii)

Diperoleh titik potong: garis (i): (0, 5) dan (5, 0) garis (ii) : (0, -1) dan (1, 0)

x 0 5

y 5 0

x 0 1

y -1 0

Dari grafik di atas, tampak titik potong kedua garis, yaitu P(3, 2) yang merupakan penyelesaian dari persamaan (i) dan (ii).

Secara umum, langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik adalah sebagai berikut:

• Gambarlah grafik masing-masing persamaan.

• Tentukan titik potong kedua grafik itu. Titik

potong ini merupakan penyelesaian SPLDV.

Jika ketahui bahwa posisi (kedudukan) antara

kedua garis itu (berpotongan, sejajar, atau

berimpit)

menentukan penyelesaian SPLDV. Seperti

gambar di bawah ini.

Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Substitusi

Misalkan diketahui sebuah SPLDV berikut.x + y = 1x + 5y = 5

SPLDV di atas akan diselesaikan dengan metode substitusi.

Dari persamaan x + y = 1 diperoleh x = 1 - ySubstitusikan ke x + 5y = 5

diperoleh: x + 5y = 5(1- y) + 5y = 5 1 – y + 5y = 5 4y = 4 y = 1

Substitusikan y = 1 ke x = 1 – y, diperoleh:x = 1 – y x = 1 – 1 x = 0

Jadi, penyelesaian SPLDV di atas adalah x = 0 dan y = 1.

Secara umum, langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan cara Substitusi adalah sebagai berikut:

• Pilihlah salah satu persamaan (pilihlah

persamaan yang sederhana jika ada), kemudian

nyatakan salah satu variabel persamaan itu ke

dalam variabel persamaan yang lain.

• Substitusikan persamaan itu ke persamaan

yang lain.

Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi

Perhatikan sistem persamaan berikut:

x – y = 3

x + 2y = 15

Langkah-langkah penyelesaian:

• Mengeliminasi (menghilangkan) variabel x untuk

menentukan variabel y.

x – y = 3

x + 2y = 15

–3y = –12

y = 4

• Mengeliminasi variabel x untuk memperoleh nilai y.x – y = 3 × 2 x 2 2x – 2y = 6x + 2y = 15 × 1 x 1 x + 2y = 15

+

3x = 21

x = 7

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(7,4)}.

Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Campuran

Dalam menyelesaikan SPLDV juga digunakan metode eliminasi dan substitusi (metode campuran).

Contoh :

Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut.

2x – 3y = 13

2x + 4y = 6

Jawab:

Untuk mencari nilai x, eliminasi variabel y.

2x – 3y = 13 × 4 8x – 12y = 52

2x + 4y = 6 × 3 6x + 12y = 18 +

14 x = 70 x = 5

Untuk mencari nilai y, substitusikan x = 5 ke

dalam salah satu persamaan semula (boleh dipilih

persamaan yang pertama atau kedua).

Misalnya, dipilih persamaan 2x – 3y = 13

sehingga diperoleh

2(5) – 3y = 13

–3y = 3

y = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, –

1)}.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terdiri

atas tiga persamaan dengan tiga variabel.

SPLTV memiliki bentuk umum sebagai berikut.

dengan a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 ,c1 ,c2 ,c3 ,d1 ,d2 ,dan d3

bilangan-bilangan real. Variabelnya x, y, dan z.

a1x + b1y + c1z

= d1

a2x + b2y + c2z

= d2

a3x + b3y + c3z

= d3

Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Substitusi

Perhatikan SPLTV berikut.

4x + 3y + z = 21 ................................................... (1)

2x + y + 2z = 15 ................................................... (2)

3x + 2y – 3z = 0 ................................................... (3)

SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan metode substitusi dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Dari persamaan (1), yaitu 4x + 3y + z = 21, diperoleh

z = 21 – 4x – 3y.

Substitusi z = 21 – 4x – 3y ke persamaan (2) dan (3).

Substitusi ke persamaan (2):

2x + y + 2z = 15

2x + y + 2(21 – 4x – 3y) = 15

2x + y + 42 – 8x – 6y = 15

–6x – 5y = –

27 .................................................. (4)

Substitusi ke persamaan (3):

3x + 2y – 3z = 0

3x + 2y – 3(21 – 4x – 3y) = 0

3x + 2y – 63 + 12x + 9y = 0

15x + 11y =

63 .................................................. (5)

Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV

dalam variabel x, y, dan z dengan

metode substitusi:1. Pilihlah salah satu persamaan yang

sederhana, kemudian nyatakan x sebagai

fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x

dan z, atau z sebagai fungsi x dan y

2. Substitusikan x atau y yang diperoleh pada

langkah pertama ke dalam dua persamaan

yang lain sehingga diperoleh SPLDV.

3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada

langkah kedua.

Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Eliminasi

Prinsip utama metode eliminasi adalah menghilangkan variabel satu demi satu untuk memperoleh nilai variabel yang lain. Perhatikan langkah-langkah berikut.• Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z

sehingga diperoleh SPLDV.• Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada

langkah pertama.• Substitusikan nilai-nilai variabel yang

diperoleh pada langkah kedua ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode eliminasi.x – 3y + z = –15x + y – z = 58x – 6y – z = 1Jawab:x – 3y + z = –1.................................................... (1)5x + 5y – z = 5 ................................................... (2)8x – 6y – z = 1 ................................................... (3)

Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2), diperoleh persamaan (4).x – 3y + z = –15x + y – z = 5–––––––––––– +6x – 2y = 4 3x – y = 2 .................................... (4)

Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3), diperoleh persamaan (5).x – 3y + z = –18x – 6y – z = 1–––––––––––– +9x – 9y = 0 x – y = 0 ...........................(5)Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV dan penyelesaian dari SPLDV ini adalah3x – y = 2x – y = 0–––––––– –2x = 2 x = 1

Untuk memperoleh nilai y, eliminasikan x

3x – y = 2 × 1 3x – y = 2

x – y = 0 × 3 3x – 3y = 0

––––––––– –

2y = 2 y = 1

Untuk menentukan nilai z, eliminasikan salah satu variabel x atau y sehingga kalian memperoleh SPLDV yang mengandung variabel z. Sehingga akan memperoleh z = 1.

Dengan demikian, himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah {(1, 1, 1)}.

SEKIAN

DAN

TERIMAKASIH