SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UNESA 2015

- 1 - | ISSN: 2087-9946 Jurusan Fisika FMIPA UNESA

Pengaruh Konstanta Kosmologi Pada Fenomena Perihelion Shift

Merkurius di Ruang-Waktu Schwarzschild de-Sitter

PHILIN YOLANDA DWI SAGITA1), BINTORO ANANG SUBAGYO2)

1) Program Studi Fisika FMIPA Pascasarjana Institut Teknologi Bandung. Jl. Ganesha No. 10, Bandung E-mail: philinyolandadwisagita@student.itb.ac.id

2) Jurusan Fisika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Jl. Raya ITS, Kampus ITS Sukolilo, Surabaya E-mail: b_anang@physics.its.ac.id

TEL: 085755557151/081252461546

ABSTRAK: Keraguan Einstein dalam penggunaan konstanta kosmologi pada persamaan medan gravitasinya yang statis karena adanya pembuktian pengamatan Hubble mengenai semesta yang mengembang pada tahun 1927 membawa penulis untuk menunjukkan pengaruh keberadaan konstanta kosmologi pada kajian fenomena perihelion shift Merkurius dengan memanfaatkan solusi persamaan medan gravitasi Einstein pada alam semesta de Sitter yaitu Schwarzschild de Sitter. Dari hasil studi didapatkan bahwa perihelion shift Merkurius memiliki nilai konstanta kosmologi sebesar 10-42 cm-2 yang dipengaruhi oleh jarak semi lactus rectum Matahari dan Merkurius sebesar 1,475 x 105 cm dan 5,79 x 1012 cm dengan akurasi sebesar 5 x 10-3.

Kata Kunci: Konstanta Kosmologi, Schwarzschild de Sitter, Perihelion Shift, Semi Lactus Rectum.

PENDAHULUAN

Sebelum Teori Relativitas Umum (TRU) diperkenalkan oleh Einstein pada tahun 1915, orang mengenal sedikitnya tiga hukum gerak yaitu Mekanika Newton, Relativitas Khusus, dan Gravitasi Newton. Mekanika Newton sangat berhasil dalam menerangkan sifat gerak benda berkelajuan rendah. Namun gagal untuk benda yang kelajuannya mendekati laju cahaya. Kekurangan ini ditutupi oleh Einstein dengan mengemukakan Teori Relativitas Khusus (TRK) yang mengimplikasikan bahwa tidak ada benda atau sinyal yang dapat bergerak lebih cepat daripada cahaya. Hukum yang ketiga adalah Gravitasi Newton yang berhasil menerangkan fenomena gerak benda langit yang dipengaruhi oleh interaksi gravitasi antar benda dengan ketelitian tinggi. Namun, tidak konsisten dengan TRK yang mengimplikasikan bahwa efek gravitasi pastilah merambat dengan kelajuan melebihi laju cahaya(Purwanto, 2005).

Sehingga Einstein berkali-kali mencoba merumuskan teori gravitasi yang konsisten

dengan Teori Relativitas Khusus dan dihasilkan Teori Relativitas Umum (TRU) pada tahun 1915. Ia mengemukakan saran yang cukup revolusioner bahwa gravitasi bukanlah seperti gaya-gaya yang lain, namun gravitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi di dalam ruang-waktu tersebut(Hidayat, 2010).

Ketika Hubble menunjukkan bahwa alam semesta memang mengembang, demikian pula bahwa dapat diperoleh suatu solusi non-statik dari persamaan medan Einstein tanpa suku konstanta kosmologi (oleh A. Friedmann), Einstein akhirnya menyatakan bahwa tidak perlu lagi memasukkan konstanta kosmologi ke dalam persamaan medannya.

Akan tetapi, beberapa kosmolog besar seperti Arthur S. Eddington dan G. Lemaitre di tahun 1930-an menujukkan bahwa suku dapat memberikan gambaran yang menarik pada kosmologi, atau saat ini, seringkali dipandang bahwa dengan mempertahankan suku Ʌ, para kosmolog memiliki kemungkinan kosmologi yang lebih

ISSN: 2087-9946 Jurusan Fisika FMIPA UNESA | - 2 -

luas untuk dipilih dan diselidiki(Hidayat, 2010).

Pada waktu yang hampir bersamaan, yaitu pada tahun 1916, Schwarzschild menawarkan solusi eksak mengenai persamaan medan Einstein yang vakum (Ʌ = 0) dan statis(Purwanto, 2005). Namun, telah diketahui bahwa alam semesta ini dipenuhi oleh materi massif yang berinteraksi dengan ruang-waktu dan semua fenomena itu dapat dijelaskan secara fisis oleh sebuah rancangan ruang-waktu de-Sitter dimana nilai konstanta kosmologi tidak lagi bernilai nol (Ʌ ≠ 0) sehingga dengan menggabungkan solusi persamaan medan Schwarzschild pada ruang-waktu de-Sitter dapat diketahui pengaruh dan nilai ekperimen konstanta kosmologi Einstein pada fenomena pergeseran perihelion Merkurius.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Schwarzschild de Sitter

Pada tahun 1916, solusi persamaan Schwarzschild masih merupakan solusi eksak pertama dan terpenting bagi persamaan medan vakum Einstein. Solusi Schwarzschild diperoleh dengan asumsi medan statik yang ditimbulkan oleh suatu distribusi massa simetri bola. Yang dimaksud dengan ‘statik’ adalah dalam sistem koordinat yang digunakan, matriknya secara eksplisit tidak bergantung waktu(Kagramanova, 2014). Akan tetapi, bagaimana jika ingin menghitung ruang-waktu yang berisi materi atau sebuah gelombang gravitasi yang dihasilkan oleh beberapa sistem bintang, kemudian akan diketahui bagaimana materi berinteraksi dengan ruang-waktu. Atau dengan kata lain solusi persamaan medan gravitasi dengan sumber.

Oleh karena itu dilakukanlah beberapa analisis terkait untuk memodifikasi persamaan medan Einstein yaitu mengasumsikan bahwa hanya daerah diluar medan bersifat statis. Ini akan menuntun kita untuk menggunakan konstanta kosmologi pada unit relativistik dimana 1Gc . Pada medan de Sitter yang relativistik ini, ditentukan bahwa

vv gR (Rindler, 2006) sehingga

didapatkan persamaan Schwarzschild de Sitter sebagai berikut:

𝑑𝑠2 = (1 −2𝑚

r−

1

3Λ𝑟2) 𝑐2𝑑𝑡2 − (1 −

2𝑚

r−

1

3Λ𝑟2)

−1𝑑𝑟2 − 𝑟2(𝑑𝜃2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜑2)

(1)

Persamaan (1) merepresentasikan tentang ruang-waktu simetri bola yang memodifikasi persamaan medan gravitasi yang vakum dan memiliki pusat (𝑟 = 0) dimana ruang-waktu ini berbentuk melengkung. Karena diekpektasikan bahwa ruang-waktu vakum yang tanpa gangguan untuk memiliki kurvatur ruang-waktu

simetri maksimal yang konstan yaitu −1

3Ʌ,

maka dapat disimpulkan bahwa persamaan (1) akan disebut solusi persamaan medan gravitasi Schwarzschild de Sitter jika Ʌ > 0, dan akan disebut sebagai solusi persamaan medan gravitasi Schwarzschild anti de-Sitter jika Ʌ < 0(Rindler, 2006).

Pergeseran Perihelion Merkurius Pergeseran Perihelion merupakan

modifikasi persamaan geodesik orbit untuk partikel masif tak bermassa padamedan gravitasi Matahari dengan cacat kerucut (conical defect).

Cacat kerucut (conical defect) merupakan kelengkungan medan dengan geometri paksa akibat adanya peristiwa kuadropole matahari yang menyebabkan adanya kecacatan pada bentuk geometri medan(Valenkin, 2014).

Ruangwaktu, seperti yang disebutkan Vilenkin pada bukunya, dibangun secara geometrical dengan sudut azimut yang mengelilingi sumbu dengan range 0 < 𝜑 <2𝜋𝑏. Untuk efek yang sangat kecil, parameter b dapat pula ditulis 𝑏 = 1 − 𝜀. Dimana 𝜀 merupakan parameter tanpa dimensi yang menggambarkan peristiwa cacat kerucut. Untuk 𝜀 = 0, secara fisis menggambarkan elemen garis lengkung yang simetris. Sementara itu, untuk cacat kerucut yang digenerasikan oleh adanya peristiwa cosmic

string menghasilkan nilai 𝜀 =8𝐺𝜇

𝑐2 dimana 𝜇

merupakan massa per unit panjang dari string(Valenkin, 1994).

SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UNESA 2015

- 3 - | ISSN: 2087-9946 Jurusan Fisika FMIPA UNESA

Dengan adanya peristiwa cacat kerucut (conical defect), maka solusi persamaan Schwarzchild de Sitter (atau pada beberapa jurnal disebut sebagai The Kottler spacetime) dapat pula ditulis sebagai berikut:

𝑑𝑠2 = (1 −2𝑚

r−

1

3Λ𝑟2) 𝑐2𝑑𝑡2 − (1 −

2𝑚

r−

1

3Λ𝑟2)

−1𝑑𝑟2 − 𝑟2(𝑑𝜃2 +

𝑏2𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜑2) (2)

dengan:

𝑚 =𝐺𝑀

𝑐2 = massa geometri dari central body

Λ = konstanta kosmologi

b = parameter cacat kerucut

Pada ruangwaktu de-sitter, partikel mengikuti persamaan geodesik yang dapat ditentukan dari persamaan Lagrangian.

𝐿 =1

2(1 −

2𝑚

r−

1

3Λ𝑟2) 𝑐2 (

𝑑𝑡

𝑑𝑝)

2

−1

2(1 −

2𝑚

r−

1

3Λ𝑟2)

−1

(𝑑𝑟

𝑑𝑝)

2

−1

2𝑟2 (

𝑑𝜃

𝑑𝑝)

2

−1

2𝑟2𝑏2𝑠𝑖𝑛2𝜃 (

𝑑𝜑

𝑑𝑝)

2

(3)

dimana : p merupakan parameter affine. Sehingga didapatkan:

𝑑𝑡

𝑑𝑝≅

𝐸

𝑐(1 −

2𝑚

r−

1

3Λ𝑟2)

−1 (4)

𝑑𝑟

𝑑𝑝= (1 −

2𝑚

r−

1

3Λ𝑟2)

12⁄

𝐹 (5)

𝑑2𝜃

𝑑𝑝2 = 0 (6)

dan 𝑑𝜑

𝑑𝑝≅

𝐿

𝑟2 (7)

Untuk mendapatkan solusi pada koordinat radial, digunakan persamaan geodesik paksa seperti berikut:

𝑔𝜇𝑣𝑑𝑥𝜇

𝑑𝑝

𝑑𝑥𝑣

𝑑𝑝= 𝑘 (8)

dimana: k merupakan sebuah konstanta dan solusi persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mengambil batasan sebagai berikut[5]:

𝑘 = −𝑐2 (space-like curves)

𝑘 = 𝑐2 (time-like curves)

𝑘 = 0 (light-like curves)

Kemudian, untuk persamaan radial,

dimana 𝜃 = 𝜋2⁄ dan

𝑑𝜃

𝑑𝑝= 0, dengan

mensubstitusikan persamaan (4), (5), (6), dan (7) pada persamaan (8) diatas maka dihasilkan persamaan sebagai berikut:

𝑔00

𝑑𝑥0

𝑑𝑝

𝑑𝑥0

𝑑𝑝+ 𝑔11

𝑑𝑥1

𝑑𝑝

𝑑𝑥1

𝑑𝑝

+ 𝑔22

𝑑𝑥2

𝑑𝑝

𝑑𝑥2

𝑑𝑝

+ 𝑔33

𝑑𝑥3

𝑑𝑝

𝑑𝑥3

𝑑𝑝= 𝑘

sehingga didapatkan:

1

2𝐸2 −

1

2(

𝑑𝑟

𝑑𝑝)

2= 𝑉(𝑟) atau

1

2(

𝑑𝑟

𝑑𝑝)

2+ 𝑉(𝑟) =

1

2𝐸2 (9)

dimana : 𝑉(𝑟) = (1 −2𝑚

r−

1

3Λ𝑟2) (𝑘 +

𝑏2𝐿2

𝑟2 )

yang merupakan potensial efektif pergerakan partikel pada medan gravitasi matahari.

Kemudian ditentukan orbit dengan mengubah variabel 𝑟 menjadi 𝑢 = 𝑟−1, sehingga untuk orbit partikel masif yang tidak berotasi dengan time-like curves (𝑘 =𝑐2), maka didapatkan:

𝑢 ≅𝑚𝑐2

𝑏2𝐿2 {1 + 𝑒 [cos[𝑏(𝜑 − 𝜑0)] +

3𝑚2𝑐2

𝐿2 [1 −𝑏8𝐿8Λ

9𝑚6𝑐8] 𝑏 sin[𝑏(𝜑 −

𝜑0)]]} (10)

dan didefinisikan pergeseran perihelion awal Merkurius sebesar:

∆𝜑0 = 3 (𝑚𝑐

𝐿)

2[1 −

𝑏8𝐿8Λ

9𝑚6𝑐8] (11)

sehingga solusi 𝑢(𝜑) dapat pula ditulis:

𝑢 ≅𝑚𝑐2

𝑏2𝐿2{1 + 𝑒 cos[𝑏(𝜑 − 𝜑0 − ∆𝜑0)]} (12)

Berdasarkan persamaan (11) dan (12), didapatkan bahwa besar pergeseran perihelion Revolusi total Merkurius sebesar:

∆𝜑 = 0

dimana: ∆𝜑 = 2𝜋∆𝜑0 sehingga:

ISSN: 2087-9946 Jurusan Fisika FMIPA UNESA | - 4 -

∆𝜑 = 6𝜋 (𝑚𝑐

𝐿)

2

[1 −𝑏8𝐿8Λ

9𝑚6𝑐8]

dan Λ =9𝑚6𝑐8

𝑏8𝐿8

dengan: 𝑏𝐿 = ℎ, dimana h merupakan momentum anguler per unit massa planet. Sehingga persamaan diatas dapat pula ditulis:

Λ =9𝑚6𝑐8

ℎ8

Berdasarkan data pengamatan dari pergerakan revolusi Merkurius, didapatkan: ℎ2 = 𝑙𝑚𝑐2 dimana 𝑙 merupakan semi-latus rectum planet. Untuk planet Merkurius, 𝑙 = 5,79 x 1012 cm, sementara untuk Matahari, 𝑚 = 1,475 km. Sementara itu, dari perbandingan antara hasil perhitungan dan data pengamatan, didapatkan bahwa perihelion shift Merkurius memiliki akurasi sekitar 5 x 10-3 didapatkan(Will, 1993):

Λ =9𝑚2

𝑙4 (13)

Λ ≅ 10−42 𝑐𝑚−2 (14)

KESIMPULAN Berdasarkan hasil analisa solusi

persamaan medan Schwarzschild de Sitter

didapatkan bahwa konstanta kosmologi

pada fenomena perihelion shift Merkurius

memiliki persamaan Λ =9𝑚2

𝑙4 dengan nilai

eksperimennya sebesar |Λ| ≅ 10−42 𝑐𝑚−2

yang dipengaruhi oleh semi lactus rectum

Matahari (𝑚) dan semi lactus rectum planet (𝑙)

sebesar 1,475 x 105 cm dan 5,79 x 1012 cm

dengan akurasi sebesar 5 x 10-3.

UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih

kepada Prof. Freddy P. Zen, M.Sc, D.Sc selaku promotor dan Agus Suroso, M.Sc selaku co-Promotor serta DITJEN DIKTI atas bantuan beasiswa Program Pendidikan Magister Menuju Doktor untuk Sarjana Unggulan (PMDSU) Fisika ITB Tahun Angkatan 2015 sehingga penelitian ini dapat diperbaiki dan dikembangkan lebih baik lagi.

DAFTAR RUJUKAN Arrosyidi, Abu Fadlol. 2012. Solusi

Schwarzschild dan Kerr untuk Persamaan Medan Gravitasi Einstein. Tugas Akhir diterbitkan. Surabaya: Jurusan Fisika FMIPA Universitas Airlangga

Bertotti, B. Less, L. Tortora, P. 2013. A Test of General Relativity Using Radio Links with the Cassini Spacecraft. Nature, 425:374

D. Inverno, Ray. 1998. Introducing Einstein’s Relativity. Oxford: Clarendon Press

Hidayat, Taufiq. 2010. Teori Relativitas Einstein. Bandung: Institut Teknologi Bandung

Islam, J.N. 1983. The Cosmological Constant and Classical Test of General Relativity. Phys. Lett, A 97:239

Kagramanova, Valeria. 2014. Solar System Effect in Schwarzschild de Sitter spacetime, Arxiv:gr-qc/0602002v2

Mcmahon, David. 2006. Relativity Demystified. New York: McGraw-Hill Press.

Purwanto, Agus. 2005. Catatan Kuliah: Teori Gravitasi. Surabaya: ITS Press.

Purwanto, Agus. 2009. Pengantar Kosmologi, Surabaya: ITS Press

Rindler, Wolfgang. Ishak, Mustapha. 2007. The Contribution of The Cosmological Constant to Relativistic Bending of Light Revisited, arXiv:0709.2948v1[astro-ph]

Rindler, Wolfgang. 2006. Relativity, Second Edition, Oxford: Oxford University Press

Valenkin, A. Shellard, E.P.S. 1994. Cosmic Strings and Other Topological Defect, Cambridge: Cambridge University Press

Will, Clifford M. 1993. Theory and Experimental in Gravitational Physics, Revised Edition, Cambridge: Cambridge University Press