sistemas de partículas

16/7/2015 UnidadIV:Sistemasdepartculas|Teorayproblemas

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TeorayproblemasM.enC.TomsDavidNavarreteGonzlez

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FsicaIUnidadI:VectoresUnidadII:CinemticaenunadimensinUnidadIII:LeyesdelmovimientoUnidadIV:SistemasdepartculasVerProblemasResueltos

ProblemasResueltosFsicaIUnidadIIParteIProblemasResueltosFsicaIUnidadIIParteII

FsicaIIUnidadI:PRODUCTOSVECTORIALESUnidadIITRABAJOYENERGIAUnidadIII:OSCILACIONES

FsicaIIIUnidadI:CampoelctricoUnidadII:PotencialelctricoUnidadIII:CapacitanciaUnidadIV:CorrienteelctricaUnidadV:Campomagntico

FsicaIVUnidadI:MagnetismoUnidadII:LeydeInduccindeFaradayUnidadIII:InductanciaUnidadIV:OndasElectromagnticas

TermodinmicaUnidadIUnidadIIUnidadIII

UnidadIV:Sistemasdepartculas

Introduccin

En este captulo consideraremos el movimiento de un sistema de partculas. Veremos que ladescripcingeneraldelmovimientodecadaunadelaspartculasesimposiblederealizar,locualdalugaraqueseenfoqueelproblemadeotramanera.

Paralograresteobjetivo,serequieredeladefinicindeotrascantidadesfsicastalescomo:momentolineal,centrodemasa(cm),fuerzasinternasyexternas.Loanteriorseaplicaracualquiersistemadepartculas, en especial al cuerpo rgido. Obtendremos un principio general de la naturaleza: elprincipio de conservacin del momento lineal y su aplicacin en la descripcin de colisiones.
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Finalmenteseestudiarlacinemticadelarotacindecuerporgido.

4.1Momentolinealdeunapartcula

ComoyasevioenelenunciadodelasegundaleydeNewton(ecuacin3.2),sedefineelmomentolinealdeunapartculacomo:

dondemeslamasadelapartculaydonde essuvelocidad.SusunidadesenelSIson .

4.2Momentolinealdeunsistemadepartculas

ConsideremosunsistemadeNpartculas(vaselafigura4.1).

Figura4.1

Sedefineelmomentolineal delsistemacomo

(4.1)

Es importantemencionar que pretendemos describir el movimiento de un sistema de partculas, apartirdelasegundaleydeNewton,paraelmovimientoindividualdecadapartcula.Conlafinalidaddesimplificarladescripcin,consideremosunsistemaformadonicamenteportrespartculas.

Movimientodeunsistemadetrespartculas.

Enlafigura4.2semuestraunsistemadepartculasconlasdiversasfuerzasinternasyexternassobrecadaunadeellas.

AplicandolasegundaleydeNewtonacadaunadelastrespartculassetiene:

(4.2)

Dondesehautilizadolasiguientenotacin:



eslafuerzaresultantequeactasobrelamasa .

eslafuerzaexternatotalqueactasobrelamasa .

eslafuerzainternasobrelamasaqueleejercelamasa .

Conk,j=1,2,3.

Ensistemastalescomogases,lquidososlidosnoseconocenlasfuerzasinternasyladescripcindelmovimientoindividualdecadapartculaesimposible.

Porloanterior,yconelusodelaterceraleydeNewton,abordaremoselproblemadeformadistinta.Esta forma alternativa nos conduce de manera natural al concepto de un punto representativo delsistemadepartculasdenominadocm,cuyaspropiedadesdescribimosacontinuacin.

4.3Posicin,velocidadyaceleracindelcentrodemasa(cm)

Consideremos un sistema compuesto por partculas de masa y con los vectores de

posicin (vaselafigura4.3).

Figura4.3

Posicindelcentrodemasa.

Sedefineelcmdelsistemadepartculascomoelpuntocuyovectordeposicin, estdadocomoelpromedioenlasposicionesymasasdelaspartculas,porlaecuacin

(4.3a)

Donde eslamasatotaldelsistema.

Estoes,elcmesunpuntoconcoordenadas dadaspor



(4.3b)

(4.3c)

(4.3d)

Velocidadyaceleracindelcentrodemasa

Al evolucionar el movimiento del sistema en el tiempo, las partculas tienen velocidades yaceleraciones.Poresto,elcmdelsistematambinadquierevelocidadyaceleracin(vaselafigura4.4),dadaspor

(4.4)

(4.5)

stassonlavelocidadyaceleracin,respectivamentedelcmdelsistemadepartculas.



Figura4.4

Centrodemasadedospartculas

Enelcasosimplededospartculasdemasasm1,m2, separadasunadistanciad (vase lafigura 4.5), el vector de posicin del cm del sistema slo tiene componente x, el cual se obtieneaplicandolaecuacin(4.3b)

lo que indica que el cm se encuentra ubicado entre las dospartculasymscercade lademayormasa.Si lasmasas fuesen iguales,elcm se localizaraenelcentrogeomtrico.

Figura4.5

4.4Ecuacindemovimientodeunsistemadepartculas

Delaspropiedadesdelcm,procedemosageneralizarladescripcindeunsistemadepartculas.Lasecuacionesdemovimientoparacadapartculadelsistemason

,para .(4.6)

Sumandolasecuacionesanterioressobreelndicej(nmerodepartculas),yutilizandolaterceraleydeNewton,elsegundotrminodelaecuacinanteriorseanula,puestoquelasfuerzasinternasentreparejasdepartculassonigualesyopuestas.Porlotanto,laecuacin4.6sereducea

(4.7)

Deladefinicindelaaceleracindecmdelsistema:



(4.8)

endonde eslafuerzaexternatotalqueestactuandosobreelsistema.

Laecuacindemovimiento (4.8)nodependede las fuerzas internasdel sistemay slodescribeelmovimientodeunpunto,llamadoelcmdelsistema,comositodalamasaestuvieraconcentradaenl.Sedicequeesta ecuacindetermina la traslacindelsistema de partculas porque slodescribe elmovimiento de una partcula demasaM sobre la que acta la fuerza externa total (vase lafigura4.4)

Aunquehemospodido avanzar analizando la traslacindel sistemadepartculas, an tenemosquedescribirelrestodelmovimientodelaspartculasrespectodeunsistemadecoordenadasancladoadichopunto.Alestudiarestemovimiento,sepresentanuevamenteelproblemadeldesconocimientodelasfuerzasinternasenelsistema.Porestaraznparagasesolquidos,sudescripcinsetratabajootros conceptos fsicos que se consideran en otras ramas de la fsica como la termodinmica y lamecnicadefluidos.Sinembargo,elconocimientodeestasfuerzas,paraloquedefiniremoscomouncuerporgido,noesnecesario.

La ecuacin (4.8) se puede reescribir en trminos del momento lineal total del sistema. De lasdefinicionesdemomentolinealtotaldelsistemaydelavelocidaddelcentrodemasa:

(4.9)

lacualpermitecalcular,deotraforma,elmomentolinealtotaldelsistema.LomsinteresantedeestaecuacinesquerepresentaelmomentolinealdeunapartculademasaMyconvelocidad .Estoreafirma que, para la traslacin del sistema, basta con describir el movimiento de una partculallamadaelcmdelsistema.

Si derivamos respecto al tiempo la ecuacin anterior, y suponemos lamasa del sistema constante,entonces,

ydelaecuacin(4.8):

.(4.10)

Observe la similitud de esta ecuacin con la ecuacin demovimiento de una partcula dada por lasegundaleydeNewton.

Es importante describir lo que ocurre cuando las partculas que formanun sistema interactan conagentesexternos,detalformaquelaresultantedetodaslasfuerzasqueestosltimosejercenesiguala cero se dice en este caso que el sistema est aislado. Esta situacin da lugar a un principioimportantedelafsica.

DelasegundaleydeNewton,si:

.



Entonces .Este resultado,paraun sistemaaislado,nospermiteenunciar el siguienteprincipio:

Principiodeconservacindelmomentolineal

Enunsistemadepartculasaislado,elmomentolinealdelsistemaseconserva.

.(4.11)

Esteprincipioes,entreotros,tilenladescripcindecolisionesentrepartculas:

4.5Colisionestotalmenteinelsticasentrepartculas

A continuacin aplicaremos la conservacin del momento lineal para describir un sistema departculasdemasas ,queinicialmentesemuevenconvelocidades,lascualesexperimentanunchoqueentres.Comoresultadodelacolisin,laspartculassemuevenconvelocidadesfinales.Sielsistemaseencuentraaislado,esdecir,silasumadelasfuerzasexternassobrelesigualacero,elmomentolinealtotalseconserva.

.(4.12)

Lasvelocidadesfinalesdependendeltipodecolisin.Lascolisionespuedenserelsticaseinelsticas.En este texto nos limitaremos al anlisis exclusivo de las colisiones totalmente inelsticas lo quesignificaque,despusdelacolisin,todaslaspartculassemuevenjuntasconlamismavelocidad.

Las colisiones elsticas se analizarn posteriormente en el texto deFsica 2, donde se estudian losconceptosdeenerganecesariosparaladescripcincompletadeestetipodecolisiones.

Mediante la solucinde algunos ejemplos, se ilustrar el empleodel principiode conservacindelmomentolinealenelestudiodecolisionesenunaydosdimensiones.

4.5.1Colisintotalmenteinelsticaentredospartculas

Aplicando la conservacin delmomento lineal, determinaremos la velocidad final que adquiere elsistemadedoscuerpospuntuales,movindosesobreunasuperficiesinfriccin,queexperimentanunchoquecompletamenteinelstico(vaselafigura4.6).

Dadoquelasuperficieeslisa,lafuerzaexternaqueestactuandosobreelsistemaenladireccindelmovimientoesceroporloqueelmomentolinealinicial (antesdelchoque)yelmomentolinealfinal(despusdelchoque)delsistema,dadoscomo

,soniguales.



Estoes:

.

De esta ecuacin resulta que la velocidad comn con la que semueven las partculas despus delchoquees

.

Notamos que esta velocidad final coincide con la dada en la ecuacin (4.4) correspondiente a lavelocidaddelcm del conjunto, la cual es una caracterstica general de este tipo de choque. Por loanterior,esteresultadopuedeextenderseacolisionesinelsticasentremsdedospartculasyentresdimensiones.

4.6Movimientodeuncuerporgido

Introduccin

Sedefineelcuerporgidocomounsistemaenelcuallasdistanciasrelativasentrelaspartculasquelocomponennocambianbajolaaccintantodefuerzasinternascomoexternas.Encasocontrariosedenominacuerpodeformable.

Un cuerpo rgido puede tener diversos tipos de movimiento: traslacin, rotacin o combinado. Elmovimientodetraslacindeacuerdoconladefinicindecuerporgidoyporlovistoenlaseccinanteriorsereducealadescripcindelmovimientodesucentrodemasayaquestenodependedelas fuerzas internas. El movimiento de rotacin se realiza alrededor de un eje fijo o mvil,denominadoejederotacin,quepasaporalgnpuntodelcuerporgido.Enestemovimientotodaslaspartculas se mueven a lo largo de trayectorias cerradas (circunferencias) centradas en el eje derotacin. Finalmente, el movimiento combinado se describe analizando tanto el movimientotraslacionalcomoelderotacin.Eltemaprincipalatratarahoraeslacinemticadelarotacindeuncuerporgidoalrededordeunejeprincipaldeinercia.

4.6.1Traslacindeuncuerporgido

Paralatraslacindelcuerporgido,seresuelvelaecuacin(4.10)obtenidaanteriormente:

,

donde , es la fuerza externa total (como si sta se aplicara en el cm del cuerpo rgido). Estocorrespondealmovimientodeunapartculaqueyahasidotratadoenlosdoscaptulosprevios.

4.6.2Centrodemasadeuncuerporgido

Para determinar el cm de un cuerpo rgido, las sumatorias en la ecuacin (4.3) se transforman enintegrales.Para observar esto, consideremos la figura4.7, donde semuestra un cuerpo rgidoyunelementodiferencialdemasadelcuerpo.



figura4.7

Laposicindelcmdelcuerporgidoes

.(4.13)

Si queremos escribir esta expresin en trminos de cmo se encuentra distribuida la masa en elcuerpo,necesitamosintroducirladensidaddemasadelmismo,dadacomo:

.(4.14a)

Estadensidaddemasapuedevariarenelcuerporgido.Enelcasoenelcualelcuerposeconsiderahomogneo(estoes,lamasaseencuentradistribuidaenformaproporcionalenelcuerpo),ladensidaddemasaesconstanteysetiene:

.(4.14b)

Utilizandoenlaecuacin(4.13)ladensidaddemasaparacuerposhomogneos,hallamos:

.(4.15)

Esta ecuacin nos indica que la posicin del centro demasa (cm) para cuerpos homogneos slodependedelageometradelcuerpo.Poresto,paracuerposhomogneosconsimetras,elcmcoincideconelcentrogeomtricodelcuerpo.Lafigura4.8muestraelcmdealgunoscuerposhomogneos.



figura4.8

4.6.3Cinemticadelarotacindeuncuerporgido

Elmovimientodeuncuerporgidopuedesernicamentedetraslacinelcualcomosemencionenlaseccin4.6.1,sedescribeconvenientementeatravsdelmovimientodesucmobienpuedetenermovimiento de rotacin en torno de algn eje o incluso, puede que ambos tipos de movimientoocurransimultneamente.Enesteltimo tipodemovimiento,enelcasogeneral, elejede rotacinpuede tener cualquier direccin y tambin puede cambiarla. Para describir tal movimientocomplicado, usualmente se separa la rotacin en tres componentes a lo largo de tres ejesperpendiculares.



Enlasiguienteseccin,solamenteseconsiderarelcasosimpledelacinemticadelarotacindeuncuerporgidoentornodeunejededireccinfija,comoelmovimientorotacionaldeunventilador,una ruleta, las hlices de un helicptero, la rueda de una bicicleta, una sierra circular, un discocompacto,untiovivoounapuertaquesebalancea,pormencionaralgunosejemplos.Enestecasolaspartculas del cuerpo rgido realizan trayectorias cerradas. Estas trayectorias son crculos de radiodiferentepuestoquecadapartculaestubicadaaunadistanciadiferentedelejederotacin.

4.6.3.1Rotacinalrededordeunejededireccinfija

En la figura 4.9 se ilustra un cuerpo rgido (un disco compacto) que gira alrededor de un eje dedireccin fija (al que llamaremos eje z) quepasapor el puntoO y es perpendicular al plano de lafigura(planoxy).Cuandoesteejenosedesplaza,sedicequeesunejefijo.

figura4.9

Enelmovimientoderotacin,cadapuntodelcuerpoestaunadistanciafijadelejezysemuevealolargodeuncrculoquetienesucentroenesteeje.

Para describir la orientacin del cuerpo en cualquier instante, se selecciona alguna partcula delcuerpoyseusacomounpuntodereferencia(Penlafigura4.9)cualquierpartculapuedeservirparaello,siemprequenoestsobreelejederotacin.Entonces,elmovimientocirculardeestapartculade referencia es representativo del movimiento rotacional del cuerpo y la posicin angular de lamismaesrepresentativadelaorientacinangulardetodoelcuerpo.

4.6.3.2Posicinangular

La posicin angular de la partcula de referencia y, por lo tanto, la orientacin angular de todo elcuerpo rgido estar dada en trminos del ngulo que forma la lnea OP con el eje x. Porconvencin, el ngulo expresado en radianes (rad) se considera positivo cuando se mide endireccincontrariaalasmanecillasdelreloj.

Desplazamientoangular

La coordenada especifica la posicin rotacional del cuerpo rgido en un instante dado, esto es,detalformaque,cuandoelcuerporgidogira,suposicinangularcambiaconeltiempo.

Porlotantopodemosdescribirelmovimientorotacionaldelcuerpoentrminosdelarazndecambiode .

Sialtiempo laposicinangulares ,yaltiempo laposicinangulares (vase
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lafigura4.10),entonces,sedefineeldesplazamientoangular como

.

figura4.10

4.6.3.4Velocidadangularinstantnea

Lavelocidadangularinstantnea ,alacualnosreferiremossimplementecomovelocidadangulares

.(4.16)

Algunasvecesseexpresaalavelocidadangularenrevolucionesporminuto ,usualmente

denotado como . Dado que y , entonces, expresintilparaconvertirdeunaunidadaotra.

Comopuedeobservarse,lavelocidadangulardadaporlaecuacin(4.16)eslamismaecuacin(3.30)quecorrespondealavelocidadangulardeunapartculaenmovimientocircular.Poresto,lavariableangular es nica para describir al cuerpo rgido como un todo. Por consiguiente, las ecuacionesencontradasparaelmovimientocirculardeunapartcula,enlaseccin3.4.2.2,sonlasmismasqueparaelmovimientoderotacindelcuerporgido.

4.6.3.5Aceleracinangularinstantnea

Porlomismo,laaceleracinangularinstantneaes

,(4.17)

quecorrespondealaecuacin(3.32).Estasecuacionesseaplicanalmovimientoderotacingeneraldelcuerporgidoalrededordeunejefijo.

4.6.3.6Rotacinuniformementeaceleradadeuncuerporgido

De igual manera, las ecuaciones cinemticas del movimiento circular uniformemente acelerado,ecuaciones(3.35a3.35e),delaseccin3.4.2.2,seaplicanparadescribir larotacinuniformementeaceleradadelcuerpo.stasson



(4.18a)

(4.18b)

(4.18c)

(4.18d)

.(4.18e)

Dondelascondicionesinicialessontalesque ,cuando .

4.6.3.7Rotacindeuncuerporgidoconvelocidadangularconstante

En el caso ms simple, la rotacin del cuerpo rgido es con velocidad angular constante o conaceleracinangularcero.Siesteeselcaso, la frecuenciade rotacin f (Hz)est relacionadacon lavelocidadangularmediantelaecuacin

.(4.19)

EntrminosdelperiododerotacinT(tiempoquetardaelcuerporgidoenefectuarunarevolucincompleta):

.(4.20)

Como se observa, las ecuaciones (4.19) y (4.20) tambin son similares a las que describen a unapartculademasammovindoseenunatrayectoriacircularconvelocidadangularconstante.

En elmovimiento rotacional, si la aceleracin angular es positiva, esto significa que aumenta lavelocidadangularporelcontrario, siesnegativa,entoncesdisminuye.Enotraspalabras, larotacinseestacelerandosi,(ambas) tienenelmismosignoporelcontrario,si tienensignosopuestos,seestfrenando.

4.6.3.8Rapidezlineal,aceleracinradialytangencialdeunpuntodelcuerporgido

Silascircunferenciasdescritasporotrosconjuntosdepartculasestnadiferentesdistanciasdelejede rotacin, con radio diferente, entonces, su velocidad y su aceleracin lineales tambin serndiferentes.Paradeterminar la relacinentre las rapideces linealvyangularnosauxiliamosde lafigura4.11.Enestafigurasemuestra,enlatrayectoriacirculardescritaporunadelaspartculasdelcuerporgido,elvectorvelocidadlinealqueestangentealatrayectoriaenesepunto.



figura4.11

Comosevioenlaseccin3.4.2.2,lalongituddearcoyelnguloestnrelacionadospor

.(4.21)

Dadoquer es constante para el conjuntodepartculas con elmismo radio, al derivar la expresinanteriorconrespectodeltiemposeobtiene:

(4.22)

elladoizquierdodeestaecuacinrepresentaalarapidezlinealvdelapartculaentantoque eslarapidezangulardelcuerporgido.Esdecir:

.(4.23)

Comoloindicaestaigualdad,lasunidadesdelarapidezlinealson .

De la ecuacin (4.23) observamos que la rapidez lineal de una partcula del cuerpo rgido esdirectamente proporcional al radio de la circunferencia descrita por ella. Cuantoms lejos est unpunto del cuerpo respecto del eje de rotacin, mayor ser su rapidez lineal. Esto ltimo quedailustradoenlafigura4.12enlaque .
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figura4.12

Demanerasimilaralaefectuadaenlaseccin3.4.2.2,sepuederepresentaralaaceleracinlinealdeunapartcula,quesemueveenuncrculo,oasuscomponenteslaaceleracintangencial ylaradialocentrpeta (figura4.13)entrminosdelasvariablesangulares.

figura4.13

Laaceleracintangencialactacambiandolamagnituddelavelocidadlineal(rapidez)delapartculayseobtienederivandolaecuacin(4.23)conrespectodeltiempo,

.(4.24)

Estaaceleracin,comosunombreloindica,estangentealatrayectoriacirculardelapartculayporlomismoparalelaalavelocidadlineal.

La aceleracin radial o centrpeta est asociada al cambio de direccin de la velocidad de lapartcula,lacualestdada,comovimosenlaseccin3.4.2.2,como:

.(4.25)

Lacomponentecentrpetasiempreapuntahaciaelejederotacin.Comoseindicaenlafigura4.13,lascomponentes , sonperpendicularesentres.Laaceleracinlineal eslasumavectorialdestasysumagnitudaestdadacomo

.(4.26)

Laaceleracinlinealysuscomponentesseexpresanen .EneltextodeFsica2seestudiarladinmicadetraslacinyrotacindeuncuerporgido.

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