semester genap 2008/2009 transfer momentum · masukkan ke pers (*) dan kita peroleh dua persamaan...

SEMESTER GENAP 2008/2009

ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 44

TRANSFER MOMENTUM

ALIRAN DALAM ANULUS

Aliran dalam anulus adalah aliran di antara dua pipa yang segaris pusat. Jadi ada pipa besar dan ada pipa kecil. Pipa kecil berada dalam pipa besar. Ruang yang terbentuk oleh dua pipa ini disebut anulus.

Untuk keperluan analisis aliran, kita tetapkan terlebih dahulu jari-jari pipa, yaitu ROI adalah jari-jari pipa luar bagian dalam. RIO adalah jari-jari pipa dalam bagian luar. Sketsa aliran fluidanya adalah seperti pada gambar berikut. Di sini fluida bergerak ke arah kanan (arah x positif).

Pipa besar

Pipa kecil

Ruang anulus

ROI adalah jari-jari pipa luar bagian dalam.

RIO adalah jari-jari pipa dalam bagian luar.

Fluida mengalir di antara RIO dan ROI.

ROI

RIO



Untuk memudahkan analisis, sistem pada gambar di atas ini masih harus dijelaskan lebih lanjut dalam bentuk volume atur (Control Volume) agar kita bisa membuat neraca momentumnya. Gambarannya seperti berikut.

Pipa luar

Pipa dalam

ROI RIO

r

∆r Volume atur berbentuk gelang dengan ketebalan dr dan berjari-jarir r. Tekanan pada sisi yg menghadap pembaca sebesar p1 dan sebesar p2 pada sisi penampang yang menembus halaman ini.

Fluida mengalir dari arah pembaca menuju ke arah belakang halaman ini.

L

r

x

ROI

p2 p1

Fluida: ρ , μ

Fluida: ρ , μ

p1 p2 RIO

X = 0 X = L



Analisis Terhadap Volume Atur Neraca Gaya:

1. Ada gaya (tekanan) pada posisi x = 0 sebesar F1 = p1A; A = 2πr∆r

Jadi F1 = p1[2πr∆r]

2. Ada gaya (tekanan) pada posisi x = L sebesar F2 = -p2A; Jadi F2 = -p2[2πr∆r]

3. Ada gaya (viskous) masuk ke elemen volume melalui permukaan dalam pada posisi r, yaitu:

[2휋푟퐿. 휏 ] 4. Ada Gaya (viskous) keluar dari elemen volume melalui

permukaan luar pada posisi r+∆r, yaitu:

[2휋푟∆푟퐿. 휏 ] ∆ 5. Ada gaya (inersia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0),

sebesar:

[2휋푟∆푟푣푥. 휌푣푥]

6. Ada momentum (gaya inersia) keluar pada penampang 2, (pada x = L), sebesar:

−[2휋푟∆푟푣푥. 휌푣푥]



Sekarang kita jumlahkan semua gaya:

p1[2πr∆r] - p2[2πr∆r] + [2πrL. τ ]

- [2πrL. τ ] ∆ + [2πr∆rvx . ρvx]

- [2πr∆rvx . ρvx] = 0 (keadaan stedi) Di sini suku ke-5 dan ke-6 saling meniadakan karena vx-nya sama (A sama). Sehingga kita peroleh:

p1[2πr∆r] - p2[2πr∆r] +[ퟐ훑퐫퐋. 훕퐫퐱]퐫−[ퟐ훑퐫퐋. 훕퐫퐱]퐫+∆퐫 = 0

Atau:

[ퟐ훑퐫퐋. 훕퐫퐱]퐫 ∆퐫−[ퟐ훑퐫퐋. 훕퐫퐱]퐫

=[2πr∆r] (p1-p2) Kita bagi dengan 2π∆rL

2π L rτrx|r+∆r – rτrx|r2π∆rL =

[2πr∆r](p1 − p2)2π∆rL

Kita peroleh:

rτrx|r+∆r – rτrx|r ∆r =

r (p1 − p2)L

Kalau nilai ∆r diambil limitnya mendekati nol, maka suku sebelah kiri merupakan turunan pertama terhadap rτrx, yaitu:



푑푑푟

(푟휏 ) = ∆푝퐿

푟

dan ∆푝 = (푝 − 푝 ) . Atau:

푑(푟휏 ) = ∆푝퐿

푟푑푟 Untuk memperoleh distribusi fluks momentum, persamaan ini kita ingtegralkan:

푑(푟휏 ) = ∆푝퐿

푟푑푟 Kita peroleh:

푟휏 = ∆푝퐿

12

푟 + 퐶 atau

휏 = ∆푝2퐿

푟 + 퐶푟

Berapakah nilai C1 ?? Sayang sekali, tidak ada informasi sedikitpun tentang nilai fluksi momentum baik pada r = RIO maupun pada r = ROI. Namun masih bisa dimanipulasikan, bahwa pada posisi r tertentu terdapat kecepatan aliran yang maksimum, misalnya saja posisi yang dimaksud adalah pada jarak r = ξ ROI.



Pada jarak r = ξ ROI, fluksi momentumnya adalah nol. Sehingga, persamaan

휏 = ∆푝2퐿

푟 + 퐶푟

dengan memasukkan r = ξ ROI, menjadi:

0 = ∆푝2퐿

ξ ROI + 퐶

ξ ROI

Atau C1-nya adalah:

퐶 = −∆푝2퐿 (ξ ROI)

Dengan demikian:

휏 = ∆푝2퐿 푟 +

− ∆푝2퐿 (ξ ROI)

푟

휏 = ∆푝ROI

2퐿푟

ROI− ξ

ROI

푟

Ingat bahwa ξ masih belum diketahui. Tujuan menggantikan konstanta integrasi C1 dengan ξ semata-mata karena ξ memiliki arti fisis yang cukup bermakna.

ROI RIO

r

∆r

r = ξ ROI



Terapkan hukum Newton tentang viskositas:

휏 = −휇 푑푉푥푑푟

maka:

푑푉푑푟

= −∆푝ROI

2휇퐿

푟

ROI

− ξ 2ROI

푟

Atau:

푑푉 = −∆푝ROI

2휇퐿

푟

ROI

− ξ 2ROI

푟푑푟

Integrasikan:

푑푉 = −∆푝ROI

2휇퐿

푟

ROI

− ξ 2ROI

푟푑푟

Diperoleh:

푉 = −∆푝ROI

4휇퐿

푟2

ROI

− 2ξ 2ROI ln 푟 + C2

Atau:

푉 = −∆푝ROI

2

4휇퐿

푟2

ROI2

− 2ξ 2 ln 푟 + C2

푉 = −∆푝ROI

2

4 퐿

푟

ROI

2− 2ξ 2 ln

푟

ROI

+ 퐶3 (*)

Untuk menentukan ξ dan C3, kita pergunakan syarat batas, yaitu: Pada r = RIO , Vx = 0 r = ROI , Vx = 0



Masukkan ke pers (*) dan kita peroleh dua persamaan serentak (simultan), yaitu:

0 = ∆ ROI2

휇RIO

ROI− 2ξ ln RIO

ROI+ 퐶

0 = ∆ ROI2

휇ROI

ROI− 2ξ ln ROI

ROI+ 퐶

Atau:

0 = RIO

ROI− 2ξ ln RIO

ROI+ 퐶

0 = ROI

ROI− 2ξ ln ROI

ROI+ 퐶

Dikurangi dan didapat:

0 = RIO

ROI− 1 − 2ξ ln

RIO

ROI

RIO

ROI− 1 = 2ξ ln

RIO

ROI

2ξ =

RIOROI

− 1

ln RIOROI

Dan dengan memasukkan nilai 2ξ tersebut ke salah satu persamaan batas tsb, kita dapatkan untuk C3:

0 = RIO

ROI− 2ξ ln RIO

ROI+ 퐶



0 = RIO

ROI−

RIOROI

RIOROI

ln RIO

ROI+ 퐶

0 = RIO

ROI− RIO

ROI+ 1 + 퐶

Sehingga

퐶 = −1 Kemudian masukkan

ξ =

RIOROI

− 1

2 ln RIOROI

kepersamaan fluksi momentum ini :

휏 = −∆푝ROI

2퐿푟

ROI− ξ

ROI

푟

휏 = −∆푝ROI

2퐿푟

ROI−

RIOROI

− 1

2 ln RIOROI

ROI

푟

Untuk profil kecepatan, masukkan nilai

2ξ =

RIOROI

− 1

ln RIOROI

dan

퐶 = −1

ke dalam persamaan ini: 푉 = −∆푝ROI

2

4 퐿

푟

ROI

2− 2ξ 2 ln

푟

ROI

+ 퐶3

Diperoleh:



푉 = −∆푝ROI

2

4휇퐿

푟

ROI

2

−

RIO

ROI

2− 1

lnRIO

ROI

ln푟

ROI

− 1

Dengan batasan:

RIO ≤ r ≤ ROI

Gambar berikut adalah plot푉 vs 푟untuk nilai-nilai: ∆ ROI

2

휇 = 100 satuan ; RIO

ROI= 0,4 ; atau RIO = 4 satuan

dan ROI = 10 satuan.

Kecepatan maksimum terjadi pada r = ξ ROI; yaitu:

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12

Kece

pata

n, V

x

Jarak dari pusat pipa, r



푟 = ξR =RR

2− 1

2 ln RR

. ROI

푟 = ξR = 0,4 2 − 12 ln 0,4 . 10 = −0,84

−1,833 . 10 = 6,77 satuan

yang kecepatan maksimumnya adalah: 18,436 satuan. Untuk menentukan kecepatan maksimum sebenarnya juga bisa diperoleh dengan

menurunkan satu kali 푉 terhadap 푟 dari persamaan:

푉 = −∆푝ROI

2

4휇퐿

푟

ROI

2

−

RIO

ROI

2− 1

lnRIO

ROI

ln푟

ROI

− 1

hingga

푑푉푑푟

= 0 yaitu pada :

푟 = ξR Dengan

ξ =RR

2− 1

2 ln RR

Ternyata kecepatan maksimum tidak berada di tengah-tengah anulus.



Sekarang perhatikan sekali lagi persamaan profil kecepatan yang sudah kita peroleh:

푉 = −∆푝ROI

2

4휇퐿

푟

ROI

2

−

RIO

ROI

2− 1

lnRIO

ROI

ln푟

ROI

− 1

atau

푉 = ∆푝ROI

2

4휇퐿1 −

푟

ROI

2

+

RIO

ROI

2− 1

lnRIO

ROI

ln푟

ROI

atau

푉 = ∆푝ROI

2

4휇퐿1 −

푟

ROI

2

+ (ट)2 − 1

ln(ट) ln푟

ROI

atau

푉 = ∆푝ROI

2

4휇퐿1 −

푟

ROI

2

+ 1 − ट2

ln1ट

ln푟

ROI

dengan

ट =RIO

ROI

Maka jika ट mendeka nol, persamaan profil kecepatannya menjadi:



푉 = ∆푝ROI

2

4휇퐿1 −

푟

ROI

2

yang sama saja dengan profil kecepatan dalam suatu pipa berjari-jari R sebagaimana dapat dilihat pada halaman 38 (Handout No.04), yaitu:

푣 = ∆푝푅4휇퐿

1 −푟푅

=====================

Hingga tahap ini, untuk aliran dalam anulus kita sudah memperoleh:

Profil Shear Stress:

휏 = −∆푝ROI

2퐿푟

ROI−

ट − 12 ln ट

ROI

푟

Profil Kecepatan:

푉 = ∆푝ROI

2

4휇퐿1 −

푟

ROI

2

+ 1 − (ट)2

ln1ट

ln푟

ROI

Kecepatan Maksimum terjadi pada 푟 = ξR dengan

ξ = (ट)ퟐ ퟏퟐ 퐥퐧(ट) dan

ट =RIO

ROI

semester genap 2008/2009 transfer momentum · masukkan ke pers (*) dan kita peroleh dua persamaan...

Documents