Pertanika 12(1), 99-106 (1989)

Satu Kajian tentang Getaran Terusik ke atas Selaput Segi EmpatSama dengan Menggunakan Teori Usikan.

ZAINUL ABIDIN HASSAN and SALWA BT. ABU BAKARJabatan Fizik

Fakulti Sains dan Pengajian Alam SekitarUniversiti Pertanian Malaysia

43400 UPM Serdang, Selangor Darul Ehsan, Malaysia

MOHD. LOTFY B. ALI SABRANJabatan Matematik

Fakulti Sains dan Pengajian Alam SekitarUniversiti Pertanian Malaysia

43400 UPM Serdang, Selangor Darul Ehsan, Malaysia

ABSTRAKDengan menggunakan teori usikan, kajian ke atas getaran selaput segi empat sama dibuat. la menunjukkanbahawa andainya taburan jisim selaput tersebut tidak sekata maka akan berlaku perubahan pada bentukgetaran dan juga frequensi yang terhasiL Bentuk getaran dan frequensi yang terhasil tersebut dapat diperi-halkan oleh teori usikan. Dengan menggunakan komputer bentuk perubahan getaran tersebut dapat dilihatdengan tepat.

ABSTRACTA study of perturbed vibration on a square membrane using standard perturbation theory is conducted. It isshown that uneven distribution of mass on the membrane would result in a different shape of vibration. This,in turn, resulted in a change in frequency. Both of these can be described using perturbation theory. Hence,a computer is used to draw the shape of the vibration.

1. PENDAHULUANGetaran di atas selaput merupakan satu fenomenon fizik yang dipelajari oleh mana-manapelajar fizik pada peringkat universiti. la me-rupakan satu penyelasaian kepada persamaangelombang dengan syarat sempadan yang ter-tentu. Getaran di atas selaput merupakan peng-unggulan kepada sistem yang sebenarnya, se-perti getaran pada permukaan gendang, kom-pang, rebana dan mana-mana alat muzik yangsepertinya. Penyelesaian ini mengandaikanbahawa ketumpatan permukaan bagi selaputtersebut adalah sekata.

Teori usikan adalah satu kaedah peng-hampiran yang terkenal dalam matematik danfizik. la digunakan untuk mendapat penyele-

saian secara hampir bagi sistem yang sukaruntuk mendapat penyelesaian secara tepat.Kalaulah sistem yang ingin dikaji tersebut mem-punyai persamaan dengan model yang manapenyelesaiannya diketahui dengan tepat, makakaedah teori usikan boleh digunakan. Kaedahini sangatlah berguna kerana teori usikan bolehdigunakan peringkat demi peringkat sehinggakepada darjah ketepatan yang diperlukan.

2. GETARAN ATAS SELAPUTPergerakan selaput diperihalkan oleh persama-an gelombang iaitu (Pain 1975)

d V

77 ...d)

ZAINUL ABIDIN HASSAN, SALWA BT ABU BAKAR DAN MOHD. LOTFY B. ALI SABRAN

dengan — = c1 dan c ialah halaju perambatangelombang di atas permukaan tersebut. Den-gan menggunakan kaedah pemisahan pem-boleh-ubah, penyelesaian \\f dengan di mana \j/adalah sifar pada bingkai segiempat sama yangmempunyai panjang pinggir L ialah

y/ = Asinim— Isin in-?- \exp( itet) . . . ( 2 )V /J / V Li J

Ini adalah gelombang pegun dalam duadimensi, dengan A sebagai amplitud gelombang,m dan n adalah sebarang integer yang mempu-nyai hubungan seperti berikut :

rt + nr

dengan k sebagai nombor gelombang, semen-tara (0 mempunyai kaitan dengan k sepertiberikut :

(0= kf

oleh sebab itu

...(3)9) £

Dari persamaan (2), y boleh ditulis sepertiberikut :

y/ = <p(Xjy) T(t)

di mana <(>(x, y) adalah fungsi yang bergantungpada ruang semata-mata sementara T(t) adalahfungsi yang bergantung pada masa semata-mata.Oleh itu persamaan (1) boleh ditulis sepertiberikut :

n ^y i y) Yy 9J)"*\ '

Persamaan (4) adalah persamaan eigen dengan<|>(x, y) sebagai fungsi eigen, G)2 sebagai nilaieigen dan ——V sebagai operator eigen. Secarafiziknya proses matematik di atas samalahdengan mengambil gambar keadaan selaputtersebut pada satu ketika di mana amplitudgetaran pada ketika itu ialah maksimum. Se-mentara <|)(x, y) ialah fungsi yang mempunyaipertalian berikut:

dengan j- sebagai faktor penormalan, Rajah(1), menunjukkan bentuk selaput tersebutuntuk m = 2, n = 2.

Garis nod berlaku apabila <|>(x, y) = 0 iaitu

pada x= — dan y = —dengan i dan j se-bagai sebarang nombor asli. Rajah (lb) menun-jukkan garisan nod untuk mod getaran m = 2,n = 2. Sementara rajah (lc) ialah kontornya.

3. TEORI USIKAN

3.1 Teori Usikan ke atas Kes Tidak DegeneratKatakan operator yang bertindak pada sistemyang tidak terusik diberi oleh persamaan(Gasiorowic 1974)

A 0 o

di mana H o(j)n dan E n adalah operator fungsieigen dan nilai eigen yang unggul di manapenyelesaian diketahui. Maka bagi sistem yangterusik ia boleh ditulis seperti berikut :

„ = E,,<t>tl

A A A

dimana H - H,,+ H'H' = operator usikan.

Dengan mengembangkan <j) „ di dalam siri<t>"rn i a i t u

Maka perubahan nilai eigen keperingkatpertama yang terhasil disebabkan oleh usikanIT diberi oleh persamaan

E> " WnHl$HdT; = < n\H'\n> = H . . . (7 )

dan

=En-Em

Ini adalah hasil piawai dari teori usikan keperingkat pertama bagi sistem yang tidakdegenerat.

= — sin

3.2 Teori Usikan ke atas Kes Degenerat.

Untuk sistem yang degenerat pula, fungsi eigenyang tidak terusik terdiri daripada gabungan

—"jsinf anZ} ...(5) l i n e a r fungsi-fungsi eigen yang degenerat ter-LJ \ L) sebut. Iaitu (Anderson 1971)

100 PERTANIKA VOL. 12 NO. 1, 1989

GETARAN TERUSIK KE ATAS SELAPUT SEGI EMPAT SAMA DENGAN MENGGUNAKAN TEORI USIKAN

di mana TV adalah bilangan kedegeneratan. V\adalah pekali yang memperihalkan nisbah ga-bungan 0° di antara satu sama lain. Denganmengembangkan (|>n, fungsi eigen yang terusikdi dalam sebutan <p"ti maka kita dapati persamaanberikut :

di mana bnm adalah pekali untuk sebutan </>'„, didalam pengembangan 0,,. Dari persamaan diatas, perhatikan apabila m = n

E'tiV -" III n,

Persamaan (8) adalah persamaan matrik.Untuk sistem berdegenerat gandadua, persa-maan (8) boleh ditulis di dalam bentuk

V

V

di mana a = < . Persamaan diatas boleh dipermudahkan kepada

as-En ar>

. - (9)

Persamaan (9) hanya benar apabila deter-minan

«.. -E. «i,v =0

Yang mana ini bererti

Persamaan (10) memberi perubahan nilaieigen keperingkat pertama. Sementara E\ mem-punyai dua nilai, yaitu

2En **„.+ an

V (an ~an)*

Dari persamaan (9), dengan mengambil Vn2 =1, maka kita dapati

...(12a)

Oleh itu vektor eigennya ialah

V

ax

1

...(126)

eigenvektor di atas tidak dinormalkan. Dua nilaimemberi dua nilai eigenvektor.

4. USIKAN JISIM KE ATAS SELAPUTBERGETAR

4.1 Menentukan Operator Usikan

Getaran di atas selaput pada satu-satu ketikadiwakilkan oleh persamaan (4), iaitu

Persamaan di atas adalah untuk taburanjisim ke atas permukaan selaput yang sekata.Katakan p tidak lagi sekata, sebaliknya terdiridari dua sebutan iaitu

p^> p + p(x,y)

di mana p disebutan pertama menunjukkantaburan jisim yang sekata dan sebutan keduamenunjukkan perbezaan taburan jisim yangbergantung pada kedudukan iaitu p'(x, y). Di-andaikan bahawa p'(x, y)«p. Oleh itu sebutan

L T

p p + p(x,>-)yang mana dengan menggunakan pengemban-gan binomial ia boleh ditulis dalam bentuk

1 (*>y)p + p(xyy) " p

dengan mengabaikan sebutan yang lebih besardari peringkat kedua ke atas

•=•£'-p + p(x,3?) p | / p

Oleh sebab itu operator eigen / / , , -> / /

PERTANIKAVOL. 12 NO. 1, 1989 101

ZAINUL ABIDIN HASSAN, SALWA BT. ABU BAKAR DAN MOHD. LOTFY B. ALI SABRAN

d i m a n a H= H+H =p +

p

-TP(* >y)

c>y)

V2

p) T

P

dimana H0 =

dan H =

4.2 Usikan Jisim Titik ke atas Kes Tak De-generaLDengan menggunakan operator usikan H se-perti persamaan (13) dan memasukkannya kedalam persamaan (7), maka perubahan nilaieigen boleh didapati yaitu

Adakan sedikit perubahan tatatanda

= < wi, m\H\m, m>P(x,y)

= < m, m P m>

tetapi / / J m, n > = - a> * I wi, n >

P(x,y)Acolin = 0)1 mn < m, m m, m> . . .(14)

Persamaan (14) mengatakan bahawa per-ubahan frequensi akan berlaku andainya se-bu-

p{ x>y)tan < m, m my m > ̂ 0. la adalah .positif jika p(x, y) adalah positif (iaitu penam-bahan jisim) dan adalah negatif jika p(x, y)adalah negatif (iaitu pengurangan jisim).

Perhatikan sebutan

D = < m, m m>

m>

i r= -pJ

0 0

Dari persamaan (5)

4 f; f7 TtxD=—^J p ( x,y")sin2m — si

Li o o

Andainya p( x,y) = p I x)p

— d x dy

maka

D p( x) sin2 m —dxpL Jo

•f i—dy ...(15)

Katakan p'(x, y) adalah jisim titik yang beradapada titik (xo, yo) maka;

u-y() ...(16)

dengan 5(x - xo) dan 8(y - yo) sebagai fungsidelta Dirac, dan (I sebagai jisim usikan.maka persamaan (15) menjadi

4 ji r' ax

D = -\ 8( x-x,,)sin 2m—dxpL <> LpL

JD = i

ny>n-dy

•sin n——

tetapi pL2 = M, yaitu jisim keseluruhan selaputtersebut

D=7txtl . 2•s in

M L LOleh sebab itu perubahan frequensi ber-

laku sepertimana yang diberi oleh persamaan(14) i.e.

4usin sin

M L LPersamaan di atas mempunyai nilai

maksimum bila jisim usikan tersebut diletak dimana nilai

, 2 Ttxo . ty<,sin m sin n = 1

L LIaitu di titik antinod dan tidak akan berlakusebarang perubahan frekuensi andainya jisimtersebut diletak pada garisan nod. Nilai per-ubahan frequensi ialah

/ fx Ttx It 7ty»Aft)^ = 2(00 mm / — sin m —^sin m

V M L LDengan kata lain semakin tinggi mod ge-

taran, semakin besarlah perubahan frekuensiyang berlaku, makin besar nisbah jisim usikandengan jisim keseluruhan, dan semakin besarjugalah perubahan frekuensi.Tetapi

102 PERTANIKA VOL. 12 NO. 1, 1989

GETARAN TERUSIK KE ATAS SELAPUT SEGI EMPAT SAMA DENGAN MENGGUNAKAN TEORI USIKAN

A (t)W—=2 [JL,V M

nxo 7Vyo„ sin m sin m

iaitu perbezaan pecahan bagi setiap mod ge-taran hanyalah bergantung pada nisbah jisimusikan dengan jisim keseluruhan sahaja.

Sementara perubahan bentuk untukfungsi eigen diberi oleh persamaan

\m, m> = Im, wi>° + Y a . In, ft > ... (17)| • | ^ ^ j »H .mm \

(lihatper-

m, m>

dimana a

samaan 8).Oleh

a«.mm

,,k . mm

sebab

<

itu

ft

mm

E\

(

H in

.-E

v . y )

P

-

0):n, ft|- m>

Untuk jisim titik seperti persamaan (16)

•(o: < «, k\pi:

t, m>

PL'c o l ,

TtX,, .n sin

7tx(,sin in sin

L

Dengan memasukkan nilai «nkmm ke dalampersamaan (17), maka siri untuk mode m,myang terusik diperolehi. Didapati bentuk ge-taran adalah berubah sepertimanayang terdapatdalam rajah (2a), di mana (la) adalah bentukgetaran untuk mode (2, 2) tanpa usikan dan(2a) adalah bentuk getaran untuk mod (2,2)dengan usikan — =0.13 berada pada titik anti-nod (0.25, 0.25) untuk L = 1. Sementara (2b)ialah kontornya.

4.3 Usikan Jisim Titik ke atas Kes Degenerat.Perubahan kepada peringkat pertama pada nilaieigen untuk kes degenerat diberi oleh persa-maan (10) iaitu

a,, + a.,.,

2E.=

± j — 5 — + • ; • • • ••• (10)

di mana d..= < n, i |//|72, j> untuk i, j = 1, 2.Persamaan (10) menunjukkan bahawa

nilai eigen yang degenerat akan berpecah padadua nilai baru. Iaitu

E = E\ + E,! dan E = Elt + E ]

Dengan menggunakan FT sebagaimanapersamaan (13), makaai; dapat dinilaikan, iaitu

a = < n, i n, j >(K x>y)

p

dengan mengadakan perubahan tanda

(K*>y)a"k =< nk, i

a* =_!!<„*, ,-|

~H

Kx

sin zk—dx dy . . .(18a)L

«;; = «,: = —^J J p^yym n—

Ky KX Ky ( \

s i n k—^sin k—^sin n dx dy ...\ \Sb)L L L

L 2 p ....

sin 2£ sin !n——dxdy ...(18c)

Oleh sebab itu persamaan (10) menjadi

2 V 4

untuk jisim titik p(x,v) x-x.)

ob)

Maka persamaan (18) menjadi

= TT s i n "w——sin k—M L L

s i n n— s i n

sin ft -sin rc——

PERTANIKA VOL. 12 NO. 1, 1989 103

ZAINUL ABIDIN HASSAN, SALWA BT. ABU BAKAR DAN MOHD. LOTFY B. ALI SABRAN

4 jicoi

M-sin

KX *).KX * ) . > • v

sin " n ... \i9c)

Perhatikansin n sin k

L

sin 2k^-smL

= a1 ...(20«)L

maka —— = a ...(20ft)a "2

yaitu a";; = a'\na™,

dan rf£ = ««<*£maka persamaan (10b) menjadi

E =a

(i

. ( « • „ •

, , («•„ , •

+1+

2

a K

± 1

(a\m

)

+ 1)

laitu satu syarat di mana usikan tersebut tidakmenyebabkan simmetri sistem tersebut terturun.

Sementara perubahan bentuk untukfungsi eigen ke peringkat sifar diberi olehpersamaan

Dengan mengambil Vmt - I, dan dari per-samaan (12a), ia menjadi

f,! = -</{< -«*.*

tetapi EH = 0 a"* = a a"2* dan a,, == CCHlta"*n

GLmaka 0 = 0

2 „»*

yaitu£(, = Oataupun E. = ati>{ a\m + l) ... (C2l)

Dengan kata lain, apabila diletakkanusikan jisim titik ke atas selaput, maka nilaieigen akan berpecah pada dua nilai, sama ada

£„= E\ ataupun £„= E°H + a^(cc~ + 0

P e r h a t i k a n E~, = a.}>{ a1,,,, + l )

dari (19b) dan (20a)

Act)';,,, =M

KX,,sin

+ sin 2k sin 2n | ...(22)

disebabkan sebutan di sebelah kanan adalahgandadua, oleh itu adalah sentiasa positif, makaEl sentiasa positif.

2

E „ sama dengan sifar hanya apabila

Kxt, /IX ffxflsin n—*• = sin « = 0 atau sin n

7rv „ ?r>. ;rx= sin n—— = 0 atau sin k = sin k = 0

L L LKy „ Ky „

atau sin k—'•— = sin n—— = 0L L

Dari (21) maka

-oc , a"

0 ( ; ' =0 ; ; t J + a , , f > ; , . . . ( 24a )

Dan 0H |0,' > = 0 iaitu dua fungsi eigen yangterhasil adalah berortogan di antara satu samalain.

Nisbah percampuran 0 „r, dan 0 r , didalam 0,' ditentukan oleh sebutan

a =

KXit .

sin /r sinL I

KX . 7TV ,sin n sin k

L LKx,, Ky,,

a = 0 bilasin k-^- = 0 ataupun sin fr—— = 0.

Apabila a sifar, maka

iaitu selaput tersebut bergetar denganmod 0 dan kedudukan jisim titik ialah padagansan nod untuk mod <p n r

Sementara untuk kes yang tiada peruba-han tenaga iaitu <j> „ ia adalah sama denganmode <(>", (lihat rajah 2).

104 PERTANIKA VOL. 12 NO. 1, 1989

GETARAN TERUSIK KE ATAS SELAPUT SEGI EMPAT SAMA DENGAN MENGGUNAKAN TEORI USIKAN

9 7TV TV

Rajah 2: 0 , - —sin 2—sin ;?—

9 TTr TV0" = _£_si n -£L£si n 2 —

"' L L L

fQ)© -h •CO" :

Rajah Ic. Kontor untuk getaran mod m = 2, n =2, tanpa usikan,

Rajah la. Hentuk getaran untuk mode m = 2, n = 2, tanpa

usikan.

Rajah 1b. Hentuk garis nod untuk mode m = 2, n - 2.

PERTANIKA VOL. 12 NO. 1, 1989

Rajah 2a. Hentuk getaran untuk mod m = 2, n = 2 dengan

usikan * = 0.13 berada pada titik (0.25, 0.25)

105

ZAINUL ABIDIN HASSAN, SALWA BT. ABU BAKAR DAN MOHD. LOTFYB. ALI SABRAN

Rajah 2b. Kontor untuk getaran bagi mode m = 2, n = 2, denganusiknn * = 0.13 berada pada titik (0.25, 0.25)

4. KESIMPULANKajian getaran ke atas selaput di atas menun-jukkan bahawa andainya selaput tidak sekata,maka bentuk getaran yang terhasil akan be-rubah. Ini juga merubahkan frekuensi sistemtersebut Kalaulah jisim usikan itu merupakanpenambahan jisim pada mana-mana titik, maka

frekuensi yang terhasil sentiasa lebih rendahdari frekuensi bagi sistem tanpa usikan; tetapisebaliknyajika pengurangan jisim yang berlaku.

5. PENGHARGAAN

Pihak pengarang ingin merakamkan terimakasih kepada ahli-ahli Jabatan Fizik UPM yangmemberikan cadangan-cadangan yang baik danteguran-teguran yang membina terutamanyaProf. Madya Dr. Mohd. Yusuf Sulaiman.

RUJUKAN

FAIN, HJ. 1975. The Physics of Vibrations and Waves.Great Britain: Unwin Brothers Ltd.

SRINIVASAMN P. 1982. Mechanical Vibrations Analy-sis. New Delhi: Tata-McGraw-Hill PublishingCompany Ltd.

GASIOROWIC S. 1974. Quantum Physics. UnitedStates of America : John-Wiley Sons.

ANDERSON E.E. 1971. Modern Physics and QuantumMechanics. Philadelphia: W.B. Saunders Company.

(Received 29 January, 1988)

*

106 PERTANIKA VOL. 12 NO. 1, 1989