penyelesaian masalah

PPG MATEMATIK/WAJ3105/(MT01)/IPGK IPOH/JUN 2011

2. Soalan Bukan Rutin

Berapakah bilangan pergerakan yang minimum untuk menggerakkan 3 keping

cakera (duit syiling ) dengan mematuhi peraturan –peratuan berikut.

1. Setiap kali pergerakan dilakukan .hanya satu cakera sahaja ,iaitu cakera

teratas boleh dipindakan.

2. Setiap cakera tidak boleh berada diatas cakera yang lebih kecil.

3. Gunakan pergerakan yang paling minimum..

Satu masalah yang menarik ialah masalah Menara Hanoi. Masalah Menara Hanoi

merupakan satu masalah bukan rutin.Dalam masalah ini kaedah manipulatif

digunakkan untuk menyelesaikan masalah. Kaedah ini sesuai untuk masalah abstrak

dimana ia digambarkan dengan menggunakan bahan konkrit. Biasanya ,jalan

penyelesaian bagi masalah itu membabitkan manipulasi benda-benda tertentu.Dalam

masalah ini, beberapa cakera mesti dipindahkan daripada pasak A ke pasak C (lihat

rajah 1) Perhatikan setiap langkah pergerakan cakera dalam contoh berikut :

Rajah 1 Situasi permulaan bagi masalah Menara Hanoi

A

B

C


Penyelesaian bagi masalah ini membabitkan Manipulasi benda-benda yang

konkrit. Misalnya para pelajar boleh menggunakan kepingan duit syiling 10sen, 20sen

dan 50 sen untuk mewakilkan cakera 1,2 dan 3.Kemudian kepingan duit itu dipindahkan

mengikut cara yang tertentu bagi menyelesaikan masalah ini. Rajah 2 adalah contoh

duit syiling yang digunakan semasa pergerakan.

Rajah 2 : Contoh Duit Syiling

A B C

50 sen 20 sen 10 sen

50 sen20 sen

10 sen


Langkahpergerakkan A B C

PertamaDuit syiling 10 sen

ke petak C

KeduaDuit syiling 20 sen

ke petak B

KetigaDuit syiling 10 sen

ke petak B

KeempatDuit syiling 50 sen

ke petak C

KelimaDuit syiling 10 sen

ke petak A

KeenamDuit syiling 20 sen

ke petak C

KetujuhDuit syiling 10 sen

ke petak C

10 sen

20 sen

50 sen

10 sen

50 sen20 sen

50 sen20 sen

10 sen


Melalui urutan pergerakan ini para pelajar dapatlah menyelesaikan masalah ini

dengan kaedah manipulasi benda-benda yang konkrit. Jadi bilangan pergerakan

minimum bagi memindahkan 3 keping cakera atau duit syiling adalah 7. Prosedur

seperti ini boleh digunakan untuk mendapatkan data yang berikut : Jadual yang akan

diperolehi bagi enam keping duit syiling adalah seperti yang berikut

Kita dapat membuat kesimpulan bahawa senarai nombor berpola wujud dalam

jadual di atas. Disini satu lagi kaedah dapat digunakan untuk mencari bilangan

pergerakan bagi sesuatu bilangan duit syiling. Kaedahnya adalah kaedah Analisis .

Melalui huristik Analisis, para pelajar cuba mencapai situasi matlamat dengan

melaksanakan rangkaian pergerakan atau langkah yang tertentu. Misalnya bilangan

pergerakan bagi sesuatu bilangan duit syiling boleh dicari dengan menggunakan

kaedah mengenal pasti nombor berpola dari jadual di atas.

Bilangan Duit Syiling Bilangan Pergerakan

1 1

2 3

3 7

4 15

5 31

6 63

7 ?

8 ?

9 ?

10 ?

n ?


Dengan jadual ini dapat membentuk satu rumusan berikut : p = 2n – 1, dengan

n adalah bilangan keping duit syiling yang digunakan dan p adalah bilangan

pergerakan yang minimum. Contohnya untuk mencari bilangan pergerakan bagi

3 keping dan 5 keping duit syiling , kita boleh menggunakan rumusan tersebut.

CONTOH 1: P = 23 – 1 CONTOH 2: P = 25 – 1

= (2x2x2) - 1 = (2x2x2x2x2) - 1

= 8 – 1 = 32 - 1

= 7 = 31

Ini dapat membuktikan bahawa bilangan pergerakan yang minimum bagi sesuatu

bilangan duit syiling, boleh juga dicari dengan rumusan tersebut. Bagi sesuatu

bilangan yang besar , kita lebih baik menggunakan rumusan ini untuk mencari

bilangan pergerakan yang minimum. Contohnya untuk mencari bilangan pergerakan

bagi 10 keping duit syiling , kita boleh menggunakan rumusan tersebut dengan lebih

mudah. Disini Contoh 3 menunjukkan jalan penyelesaian yang lebih mudah untuk

menyelesaikan masalah .

P = 210 – 1

= (2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) -1

= 1024 – 1

= 1023

Kesimpulanya , pelajar dapat menyelesaikan masalahnya dengan menggunakan

Model Polya .Pelajar akan memahami soalan dengan mengumpul item –item yang

diberi. Kemudian memilih strategi yang sesuai untuk menyelesaikan masalah.

Akhirnya pelajar akan menggunakan strategi tersebut untuk menyelesaikan

masalahnya atau untuk mencari jawapan.

penyelesaian masalah

Documents