pengukuran listrik.pdf

3

2.2 Distribusi Peluang Diskret

Himpunan pasangan terurut (x,f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskret X, bila untuk semua hasil kemungkinan x:

1. f(x) ≥ 0.

2. ∑ f(x) = 1

3. p(X=x) = f(x)

Dapat dinyatakan dengan tabel.

2.2 Distribusi Peluang Diskret

Ilustrasi-1

Suatu pengiriman 8 komputer PC yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, Cari distribusi peluang banyaknya yang cacat?

Jawab

X= kemungkinan banyaknya komputer cacat yang dibeli sekolah

x = 0,1,2

,28

10

2

8

2

5.

0

3

)0()0( =

÷÷ø

öççè

æ

÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ

=== XPf ,28

15

2

8

1

5.

1

3

)1()1( =

÷÷ø

öççè

æ

÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ

=== XPf ,28

3

2

8

0

5.

2

3

)2()2( =

÷÷ø

öççè

æ

÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ

=== XPf

28

10

28

1528

3

x 0 1 2

f(x)distribusi peluang, x:

6

2.3 Distribusi Peluang Kontinu

Ilustrasi-1Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam 0C, pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang.

a). Tunjukan syarat-2 dipenuhi?

b). Hitung P(0< x ≤1) ?

Jawab:

( )ïî

ïíì

<<-=lainnyaxuntuk

xx

xf,0

21,3

2

( ) 19

1

9

8

93.

2

1

32

1

2

=+===--

¥

¥-òò

xdx

xdxxfa

( )9

1

9310.

1

0

31

0

2

===£< òx

dxx

XPb


Distribusi Kumulatif

Distribusi kumulatif (tumpukan) F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) dinyatakan oleh:

Akibatnya:

( ) ( ) ( ) .¥<<¥-=£= ò¥-

xuntukdttfxXPxFx

( ) ( ) ( )

( ) ( ))(

,

adaturunanfungsibiladx

xdFxf

danaFbFbXaP

=

-=<<

7


Ilustrasi-2Carilah F(x) dari fungsi padat pada ilustrasi-1 dan kemudian hitunglah P(0<X≤1)?.

Jawab:

untuk -1<x<2,

Jadi( )

ïïî

ïïí

ì

³

<£-+

-<

=

2,0

21,9

1

1,03

x

xx

x

xF

( ) ( )9

1

93

3

1

3

1

2 +====

--¥-òò

xtdx

tdttfxF

xxx

( ) ( ) ( )9

1

9

1

9

20110 =-=-=£< FFXP

è

è

Distribusi Tumpukan Kontinu


( ) ( )9

1

93

3

1

3

1

2 +====

--¥-òò

xtdx

tdttfxF

xxx

è

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

f(x)

8

2.4 Distribusi Empiris

Fungsi peluang bertype diskret dan kontinumerupakan cara menjelaskan distribusi peluang untuk suatu populasi atau system.

Sering pdf f(x) tidak diketahui dalam suatu percobaan è bentuknya dimisalkan.

Agar pemisalan tidak terlalu menyimpang, diperlukan pertimbangan dari semua informasi yang tersedia.

Langkah-langkah pembentukan distribusi empiris1. Data statistik disajikan dalam bentuk gabungan tabel

dan grafik yang disebut “Diagram batang dan daun”.

2. Dapat juga disajikan dengan distribusi frekuensi yang datanya dikelompokan dalam kelas yang berbeda.

3. Buat distribusi frekuensi nisbi yaitu frekuensi tiap kelas dibagi dengan banyaknya pengamatan.

4. Gambar histogram distribusi frekuensi nisbi dengan memakai titik tengah tiap selang dan frekuensi nisbi sebagai padanannya. Tinggi tiap pesegi panjang diatur sedemikian rupa sehingga luasnya mencerminkan peluang.

9

Langkah-langkah pembentukan distribusi empiris5. Taksir fungsi kepadatan peluang dengan membuat

kurva yang smooth (licin) sehingga total luaspersegi panjang histgram sama dengan 1.

6. Persamaan fungsi dapat didekati dengan analisis numerik atau dapat dibandingkan dengan persamaan fungsi yang sudah dikenal, misalnya persamaan kuadrat, lingkaran, hiperbola, ellipsatau persamaan dari pdf yang umum seperti pdf normal, gamma, t, F dan lain sebagainya. Kebanyakan data statistik didekati oleh distribusi normal.

2.4 Distribusi Empiris

Ilustrasi-1:

Ada sekumpulan data nilai statistik Matematika I dari 40 siswa:

68, 70, 80, 30, 33, 56, 90, 78, 65, 60, 55, 45, 67, 80, 95, 44, 67, 76, 55, 73, 66, 87, 69, 38, 69, 75, 69, 40, 56, 87, 59, 61, 74, 84, 89, 57, 80, 45, 67, 76.

Bentuklah distribusi empiris dari data tersebut?

10

2.4 Distribusi EmpirisDiagram Batang dan Daun

Batang Daun Frekuensi

3 038 3

4 5405 4

5 655697 6

6 85077699917 11

7 0863546 7

8 0077490 7

9 05 2

2.4 Distribusi EmpirisDistribusi Frekuensi Nisbi

SelangTitik Tengah

KelasFrekuensi

Frekuensi Nisbi

30 – 39 34,5 3 0,075

40 – 49 44,5 4 0,100

50 – 59 54,5 6 0,150

60 – 69 64,5 11 0,275

70 – 79 74,5 7 0,175

80 – 89 84,5 7 0,175

90 – 99 94,5 2 0,050

11

2.4 Distribusi EmpirisDistribusi Kumulatif Nisbi

Batas Kelas Frekuensi Kumulatif Nisbi

Kurang dari 29,5 0,000








2.4 Distribusi EmpirisDistribusi Kumulatif Nisbi

12

2.4 Distribusi EmpirisPenaksiran PDF dan Distribusi Kumulatif

Kontinu

2.5 Distribusi Peluang Gabungan

Pencatatan hasil percobaan sering diperoleh tidak berasal dari peubah acak tunggal.

Diperlukan pencatatan beberapa peubah acak secara serentak è distribusi peubah acak gabungan.

Jika X dan Y dua peubah acak, maka peluang terjadinya secara serentak dinyatakan dengan f(x,y) untuk setiap pasangan (x,y) dalam rentangan X dan Y.

13

Defenisi fungsi massa peluang (diskret)Fungsi f(x,y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluangpeubah acak diskret X dan Y bila:1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua (X,Y)2. ∑x ∑y f(x,y) = 1 3. P(X=x, Y=y) = f(x,y)untuk setiap daerah A dibidang x y, P[(X,Y)єA] = ∑∑ f(x,y)

A


Ilustrasi-1:

Dua isi ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya yang berwarna biru dan Y warna merah yang terpilih, hitunglah:

a. Fungsi peluang gabung f(x,y), dan

b. P[(X,Y) є A], bila A daerah {(x,y)|x+y≤1}


14

Jawab:

a).Isi ballpoint: biruè 3, merahè 2 dan hijauè 3

X = terambil isi warna biru, Y = terambil isi warna merah

Nilai yang mungkin (x,y): (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) ,(0,2),(2,0)

f(0,0)=

f(0,1)=

f(0,2)=

f(1,0)=

f(1,1)=

f(2,0)=

( )20

2,1,0

2,1,0

,

2

8

2

323

,

£+£==

÷÷ø

öççè

æ

÷÷ø

öççè

æ--÷÷

ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ

=yx

y

xyxyx

yxf

HMB

28

3

28

6

28

1

28

9

28

6

28

3


Jawab:

b). P[(X,Y) є A],

A = {(x,y)|x+y≤1}f(x,y)y Jml

Bars0 1 2

X

0

1 -

2 - -

Jml Lajur

Distribusi Peluang Gabungan

28

1

28

3

28

3

28

6

28

6

28

928

10

28

15

28

3

28

1

28

12

28

151

( )[ ] ( )( ) ( ) ( )

14

9

28

1828

9

28

6

28

3

0,11,00,0

1,

==

++=

++=£+=Î

fff

YXPAYXP


15

Defenisi fungsi padat gabungan (kontinu)

Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat gabunganpeubah acak kontinu X dan Y bila:

1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua (X,Y)

2. ∫ ∫ f(x,y) dxdy = 1

3. P[(X,Y)єA] = ∫ ∫ f(x,y) dxdy

untuk setiap daerah A dibidang xy,

+∞ +∞

-∞ -∞

A


Ilustrasi-2:Suatu perusahaan coklat mengirim berkotak-kotak coklat dengan campuran krem, tofe, dan kacang berlapis coklat cerah dan pekat. Bila kotak dipilih secara acak, serta Xdan Y masing-masing menyatakan proporsi yang krem berlapis coklat cerah dan pekat. Misalkan bahwa fungsi padat gabungannya ialah

a. Tunjukan bahwa syarat 2 dari defenisi di atas terpenuhi, b. Cari P[(X,Y) є A], bila A daerah {(x,y)|0<x<1/2,1/4<y<1/2}

( ) ( )ïî

ïíì ££££+=

lainnyayxuntuk

yxyxyxf,,0

10,10,325

2,


16

Jawab:( ) ( )

15

3

5

2

5

3

5

2

5

6

5

2

5

6

5

232

5

2,).

1

0

21

0

1

0

1

0

21

0

1

0

=+=

÷÷ø

öççè

æ+=÷

øö

çèæ +=÷÷

ø

öççè

æ+=+=

=

=

=

=

¥

¥-

¥

¥-òòò òò ò

y

y

x

x

yydy

ydy

xyxdxdyyxdxdyyxfa

( )[ ]

( )

160

13

16

3

4

1

4

3

2

1

10

1

10

3

1010

6

10

1

5

6

5

232

5

2

2

1

4

1,

2

10,).

21

41

21

41

21

41

21

21

41

21

2

0

2

0

=úû

ùêë

é÷øö

çèæ +-÷

øö

çèæ +=

÷÷ø

öççè

æ+=÷

øö

çèæ +=÷÷

ø

öççè

æ+=+=

÷øö

çèæ <<<<=Î

=

=

=

=òòò ò

y

y

x

x

yydy

ydy

xyxdxdyyx

YXPAYXPb


Defenisi distribusi marginal (pias)

Distribusi marginal (pias) dari X sendiri dan Y sendiri didefenisikan sebagai:

g(x) = ∑ f(x,y) dan h(y) = ∑ f(x,y)

(untuk peubah diskret)

g(x) = ∫ f(x,y) dy dan h(y) = ∫ f(x,y) dx

(untuk peubah kontinu)

+∞ +∞

-∞ -∞

y x


17

Ilustrasi-3:Tunjukan bahwa jumlah lajur dan baris pada tabel ilustrasi-1, memberikan distribusi pias dari X sendiri dan Y sendiri?

JawabPeubah acak X = 0,1,2, dan Y = 0,1,2

Dalam bentuk tabel dapat ditulis:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )14

5

28

10

28

1

28

6

28

32,01,00,0,000

2

0

==++=++==== å=

fffyfgXPy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )28

150

28

6

28

92,11,10,1,111

2

0

=++=++==== å=

fffyfgXPy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )28

300

28

32,21,20,2,222

2

0

=++=++==== å=

fffyfgXPy

( )28

3

28

15

28

10

210

xg

x

( )28

1

28

12

28

15

210

yh

yJumlah baris: Jumlah lajur:


Ilustrasi-4:Cari g(x) dan h(y) untuk fungsi padat gabungan pada ilustrasi-2 ?.

JawabMenurut defenisi,

untuk 0 ≤ x ≤ 1,

untuk x lainnya, g(x) = 0,

untuk 0 ≤ y ≤ 1,

untuk y lainnya, h(y) = 0,

( ) ( ) ( )5

34

5

3

5

432

5

2,

1

0

21

0

+=÷÷

ø

öççè

æ+=+==

=

=

¥

¥-òò

xyxydyyxdyyxfxg

y

y

( ) ( ) ( ) ( )5

312

5

62

5

6

5

232

5

2,

1

0

21

0

yyxyxdxyxdxyxfyh

x

x

+=

+=÷÷

ø

öççè

æ+=+==

=

=

¥

¥-òò


18

Defenisi peluang bersyarat:

( ) ( )( )

( ) 0

,|

>

Ç=

AP

AP

BAPABP ( ) ( )

( )( ) 0

,,

|

>

===

xg

xg

yxfxXyYP


Defenisi distribusi bersyarat

Misalkan X dan Y dua peubah acak, diskret maupun kontinu. Distribusi bersyarat peubah acak Y, bila diketahui X=x, dinyatakan oleh:

begitu pula, distribusi bersyarat peubah acak X, bila diketahui Y=y, dinyatakan oleh

( ) ( )( ) ( ) 0,,

| >= xgxg

yxfxyf

( ) ( )( ) ( ) 0,,

| >= yhyh

yxfyxf


19

Jika diketahui peubah acak Y=y, maka peubah acak X yang berada antara a dan b, dapat dihitung:

Bila X dan Y peubah acak diskret

P(a<X<b | Y=y) = ∑ f(x|y),

Bila X dan Y peubah acak kontinu

P(a<X<b | Y=y) = ∫ f(x|y)dx,

x=a

b

a

b


Ilustrasi-5:Dari ilustrasi-1, Cari distribusi bersyarat X, bila Y=1, dan gunakan ini untuk menghitung P(X=0 | Y=1). f(x|y) è y=1?

Jawab

Distribusi bersyarat X,

bila Y=1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )7

3

28

120

28

6

28

61,21,11,01,1

2

0

==++=++==å=

fffxfhx

( ) ( )( )

( ) ( ) .2,1,0,1,3

71,

1

1,1|

73

==== xxfxf

h

xfxf

( ) ( ) ,2

1

28

6.

3

71,0.

3

71|0 === ff ( ) ( ) ,

2

1

28

6.

3

71,1.

3

71|1 === ff ( ) ( ) ,00.

3

71,2.

3

71|2 === ff

( ) 02

1

2

11|

210

xf

x


20

Ilustrasi-6:Misalkan X bagian dari pelari pria dan Y bagian dari pelari wanita yang menyelesaikan lomba-lomba maraton dapat dinyatakan sebagai fungsi padat gabungan.

hitunglah g(x), h(y), f(y|x), dan tentukan peluangnya bahwa kurang dari 1/8 pelari wanita yang menyelesaikan suatu maraton bila dikatahui bahwa tepat ½ dari pelari pria menyelesaikan maraton tersebut.

( )îíì ££££

=lainnyayxuntuk

xyxxyyxf

,,0

0,10,8,


Jawab:

Maka:

( ) ( ) ,10,.4..448, 32

0

2

0

<<======

=

¥

¥-òò xxxxxydyxydyyxfxg

xy

y

x

( ) ( ) ,0,.4..4.48, 21

0

21

0

xyyyxyxdxxydxyxfyhx

x<<=====

=

=

¥

¥-òò

( ) ( )( ) ,0,

2

4

8,|

23xy

x

y

x

xy

xg

yxfxyf <<===

( )16

148

2|

2

1|

8

1 818

181

81

0

2

002

21

021 =====÷

øö

çèæ =<

=

=òòòy

yydyydy

ydyyfXYP


21

Ilustrasi-7:

Diketahui fungsi padat gabungan

Carilah g(x), h(y), f(x|y), dan hitunglah

P(1/4 < X < 1/2 | Y = 1/3).

( )( )

ïî

ïíì

££££+

=lainnyayxuntuk

yxyx

yxf,,0

10,20,4

31,

2


Jawab:

Maka:

( ) ( ) ( ),20,

244444

31,

1

0

31

0

2

<<=+=÷÷ø

öççè

æ+=

+==

=

=

¥

¥-òò x

xxxxyxydy

yxdyyxfxg

y

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),10,

2

31

8

314

8

31

4

31,

222

0

222

0

2

<<+

=+

=+

=+

===

=

¥

¥-òò y

yyyxdx

yxdxyxfyh

x

x

( ) ( )( )

( ),20,

2231431

,| 2

2

<<=+

+

== xx

y

yx

yh

yxfyxf

( )64

3

42|

3

1|

2

1

4

1 21

41

21

41

21

41

2

31 ====÷

øö

çèæ =<<

=

=òò

y

y

xdx

xdxxfYXP


Tugas-2 Quiz-2

pengukuran listrik.pdf

Documents