PENCETAHUAN AWAL MATEMATMA SEKOLAH

Oleh:

Dr. H. Aleh Maryunis

JURUSAN PENDIDIKAN M ATEM ATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN

ILMU PENGETAHUAN ALAM

PADANG

1998

PENGETAWAN AWAL M A m T I K A SEKOLAE

oleh :

Dr. ALEKS MARYUNIS

Jurusan Pendidikan M'atematika FPMIPA IKIP Padang

1998

PENGETAHUAN A'A.4L blATEM_4TIKA SEKOLAH

oleh : Dr. Aleks Maryunis

Berbagai t e o r i be la j a r yang men jelaskan bagama-

na proses b e l a j a r t e r j a d i pada d i r i siswa, s e p e r t i Teo-

r i Pemrosesan I n f ormasi, Teori Konst rukt iv is , a t a u Teo-

r i Bela j a r Bermakna, menekankan pentingnya peranan pe-

ngetahuan awal dalam proses be la ja r .

Teori Pemrosesan Informasi (Kein, 1997; Leahey

dan H a r r i s ' , 1997) nenjelaskan bahwa proses b e r p i k i r

a k t u a l yang t e r j a d i dalam memori jangka pendek, d i s a w

t i n g tergantung kepada informasi a t a u masalah 'yang d i -

hadapi, juga sangat tergantung kepada te rsedianya pe-

ngetahuan a t a u skemata. Pada memori jangka pendek t e r -

j a d i proses k o n t r o l berupa p e n s l a n g a n dan penyandian,

Pengulangan menungkinkan informasi i t u t e t a p hidup da-

lam memori jangka pendek, dan dengan penyandian t e r j a -

d i proses penyatuan informasi yang baru d i te r ima de-

ngan pengetahuan awal yang t e r sed ia .

Teor i Konst rukt iv is (NCTM, 1992; D r i s c o l l , 1994)

mengemuk,akan bahwa siswa s e n d i r i l a h yang sebenarnya ber-

tanggungjawab mengkonstruksi pengert ian mengenai konsep

yang sedang d ipe la jar inya . Pembentukan konsep t e r s e b u t

akan sangat di tentukan oleh pengetahuan awal yang dimi-

l i k i siswa.

1

Eegitu pula d a r i Teor i Eklajar Bermakna yang d i k e

mukakan oleh Ausubel (1985) dapat d i k e t a h u i bahwa be la j a r

akan bermakna a p a b i l a in formas i bahan pengajaran baru da-

p a t t e r k a i t dengan s t r u k t u r k o g n i t i f a t a u penge tahuan

awal s i s w a .

Walaupun peranan pengetahuan awal t e r s e b u t t e l a h

d i s a d a r i keutamaannya oleh pa ra guru matematika, namun

masih s e r i n g t imbul pertanyaan t e n t a n g pengetahuan awal

mana yang dianggap menjadi pengetahu-an awal sua tu t o p i k

m a temat ika t e r t e n t u . S e p e r t i misalnya t imbul pertanyaan,

pengetahuan m a n a yang menjadi pengetahuan a w a l untuk me*

p e l a j a r i fungs i kuadra t , mat r iks , l o g i k a matematika, d m

sebagainya.

Berdasarkan hal-ha1 t e r s e b u t d i a t a s , n d - a l a h i n i

ak=m berusaha mengungkapkan dan nembahas apa yang menja-

d i pengetahuan awal b a g i matematika sekolah yang t e r d i r i

a t a s subbidang s t u d i a r i t m e t i k a , a 1 jabar , geometri , dan

kalkulus . Untuk- maksud i t u , akan d iu ra ikan penger t ian

s i s tem matematika, matematika sekolah , pengetahuan awal

untuk masing-masing subbidang s t u d i matematika sekolah,

pengetahuan awal dan pemecahan masalah, s e r t a p roses

akomodasi s ebaga i pengembangan penge tahuan awal .

Peterson (1974) mengemukakan bahwa sua tu s i s tem

mat,ematika dibentuk o leh t i g a komponen utama, y 3 i t u :

a. himpunan,

b, r e l a s i , dan

C. operasi .

Himpunan merupakan sekelompok obyek ( b a i k konk-

r i t maupun a b s t r a k ) yang memil iki c i r i - c i r i t e r t e n t u ,

Obyek-obyek t e r s e b u t s e p e r t i misalnya i d e a t a u h a s i l

pengamatan dapat menjadi anggota a t a u unsur sebuah him-

punan t e r t e n t u .

R e l a s i ada lah bentuk hubungan yang t e r d a p a t an-

tara anggota-anggota a t a u unsur-unsur himpunan t e r s e -

bu t , Persamaan, per tidaksamaan, s i m e t r i , dan ekuivalen-

si, merupakan beberapa contoh r e l a s i . Antara 3 dan 4

t e r d a p a t r e l a s i 3 kurang d a r i 4, a t a u 4 l e b i h d a r i 3 ,

Operasi merupakan manipulas i apa yang dapa t d i -

lakukan te rhadap anggota-anggota a t a u unsur-unsur sebu-

ah himpunan, Penjumlahan, pengurangan, pe rka l i an , dan

pembagian merupakan beberapa contoh operasi . Antara 7 - dan 5 misalnya, dapa t di lakukan o p e r a s i :

a . penjumlahan : 7 + 5

b, pengurangan : 7 - 5

c. pe rka l i an : 7 x 5

d . pemhagian

M ATEM ATIKA' :SEKOLkH

Matematika sekolah ada lah bidang s t u d i matemati-

ka yang d i a j a r k a n d i s ekolah-sekolah, Topik-topik y a x

d i a jarkan diambil d a r i kurikulum yang t e l a h di te tapkan.

Matematika yang d ia j a rkan d i sekolah-sekolah t e r -

d i r i a t a s empat subbidang s t u d i matematika, y a i t u : a r i t -

n e t i k a , a l j a b a r , g e o a e t r i , dan kalkulus .

a, Aritmetika

Aritmetika d ikena l juga dengan nama berhi tung.

Subbidang s t u d i matematika i n i t e l a h d i a jarkan s e jak se-

kolah dasar (SD).

Unsur-unsur utama a r i t m e t i k a adalah bi langan-

bilangan a s l i yang d i sebu t juga bi langan b u l a t p o s i t i f .

Bilangan-bilangan a s l i i n i digunakan untuk menghitung ba-

nyaknya benda a t au obyek s e p e r t i orang, mobil, pohon ka.-.

yu, dan sebagainya. Dengan menambahkan bilangan n o l , ma-

ka himpunan bilangan a s l i i n i d i p e r l u a s menjadi himpunan

bilangan cacah. Begitu se te rusnya dengan menambahkan ber-

t u r u t - t u r u t bilangan b u l a t n e g a t i f , b i langan pecah, b i -

langan i r r a s i o n a l , dan bilangan khayal ; maka b e r t u r u t -

t u r u t d ipero leh himpunan bilangan b u l a t , himpunan bilang-

a n r a s i o n a l , himpunan bilangan r e a l , dan himpunan bilang-

an kompleks.

Re las i utama pada a r i t m e t i k a adalah r e l a s i :

a ) sama dengan,

b) l e b i h d a r i , dan

c ) kurang da r i .

Operasi-operasi dasar pada a r i t m e t i k a adalah :

a ) pen jumlahan , b) pengurangan,

c ) perka l ian , dan

d) pembagian

Dalam banyak ha1 t e r d a p a t persamaan a n t a r a a l j a b a r

dan a r i t m e t i k a , Perbedaan a n t a r a keduanya ada lah j i k a pa-

da a r i t m e t i k a hanya bi langan-bi langan t e r t e n t u yang diope-

r a s ikan , maka pada a l j a b a r di samping bilangan-bilangan

t e r t e n t u dioperasikan juga unsur-unsur berupa lambang-

lambang yang menyatakan bilangan.

Secara umum obyek-obyek a l j a b a r d i s e b u t bentuk-ben-

t u k a l j a b a r . Sebuah bentuk a l j a b a r dapa t merupakan :

a ) bi lzngan t e r t e n t u , s e p e r t i : 2 , 3 , 10 , 3 , dan sebagai-

b) sebuah lambang huru f , s e p e r t i : a, b, x , y ,

c ) kombinasi a n t a r a bi langan t e r t e n t u dan lambang huruf , 2

s e p e r t i : 2 + a , ' a + b, x + 1, t - 5t + 6, dan sebagai-

nya . R e l a s i - r e l a s i utama pada a l j a b a r ada lah :

2 a ) persamaan, s e p e r t i : 3x + 1 = 10 , x - 4 = 0, dan se-

bagainya,

b) pertidaksamaan, s e p e r t i : 3x + 1 10, y - 1 5, dan

sebagainya , dan

c ) r e l a s i f u n g s i yang dinyatakan dalam bentuk persamaan

s e p e r t i : y = f ( x ) , y = f (x-1) , d m sebagainya,

S e p e r t i halnya dengan a r i t m e t i k a , ope ras i -ope ras i

dasar pada a l j a b a r ada lah :

a ) pen jumlahan,

b ) pengurangan,

c ) perk31ican, d m

d) peabagian

D i samping obyek-obyek berupa bentuk-bentuk a l j a -

b a r , obyek-obyek utama pada geometr i ada lah t i t i k dan ga-

ris (Moise dan Downs, 1964; Bernkopf, 1975). Sebuah ti-

t i k t i d a k memiliki ukuran s e p e r t i panjang a t a u l e b a r . Se-

buah t i t i k hanya menyatakan sebuah p o s i s i . Begitu pula

dengan sebuah g a r i s , t i d a k memil iki ukuran s e l a i n ukuran

panjang. Secara a b s t r a k dinyatakan bahwa t i t i k dan g a r i s

hanya ada sebaga i ide .

R e l a s i - r e l a s i pada geometr i yang banyak dikemuka-

kan dalam matematika sekolah ada lah : . a ) r e l a s i - r e l a s i pada a r i t m e t i k a dan a l j a b a r ,

b ) berimpitan,

c ) b e r s i l a n g m ,

d) s e j a j a r ,

e ) bers i langan ,

f ) berpotongan,

g ) sebangun,

h ) sama dan sebangun,

Operasi -operas i d a s a r geomet r i yang banyak d i -

kemukakan dalam matematika sekolah ada lah :

a ) ope ra s i -ope ra s i d a s a r yang be r l aku pada a r i t m e t i k a

dan a1 jabar ,

b) d i l a t a s i ,

c ) t r a n s l a s i ,

d) r o t a s i , dan

e ) transformasi . ,

Obyek-obyek, r e l a s i - r e l a s i , dan ope ra s i -ope ra s i

yang t e r d a p a t pada a r i t m e t i k a , a l j a b a r , dan geometr i ,

juga t e r d a p a t dalam k a l k u l u s , Fungsi- fungsi s e p e r t i

y = f ( x ) , y = (u,v), dan sebagainya, merupakan obyek-

obyek utama d a r i kalkulus .

D i samping ope ra s i -ope ra s i da sa r yang t e r d a p a t

pada a r i t m e t i k a , a l j a b a r , dan geometr i , operas i -opera-

s i yang men j a d i c i r i utama k a l k u l u s ada lah :

a ) p e n d i f e r e n s i a l a n , dan

b ) pengin tegra lan ,

Kedua o p e r a s i ini memegang peranan yang sanga t pen t ing

ba ik dalam matematika murni maupun dalam matematika te-

rapan. Dalam mekanika misalnya, j a r a k yang ditempuh

o leh sebuah obyek yang bergerak d i t en tukan o l e h kece-

patan dan waktu, y a i t u j i k a v a r i b e l - v a r i a b e l l a i n n y a

dianggap konstan, J i k a kecepatam mengalami perubahan

s e t i a p s a a t , makn perhi tungan d i lakukan dengan menggu-

nakan ka lku lus ,

4. PENGETWAN AWAL

Pengetahuan awal merupakan pengetahuan yang su-

dah ada dalam memori jangka panjang seseorang. Pengeta-

huan awal ini juga s e r i n g d i s e b u t skema, s t r u k t u r kog-

n i t i f , a t a u l a n d a s d a t a (Bower dan EEilgard, 1986; Rey-

no ld dan Flagg, 1983; Le f r anco i s , 1995).

Leahey dan Harris (1985, 1997) mengemukakan bah.-

w a gagasan awal d a r i pengetahuan awal a t a u skema ini

t e l a h dikemukakan s e j a k nasa a h l i f i l s a f a t Immanuel

Kant dan a h l i f i s i o l o g i S i r F rede r i ck B a r t l e t t yang me-

nyatakan bahwa konsep hanya memil iki a r t i b a g i s e se -

orang j i k a konsep i t u dapa t dihubungkan dengan pengeta-

huan awal yang t e l a h d imi l ik inya ,

Pengetahuan awal a t a u skema merupakan sa tuan da-

sar untuk merepresentas ikan pengetahuan. Obyek i n d i v i -

dua l , p e r i s t i w a , a t a u i d e a b s t r a k d i r e p r e s e n t a s i k a n da-

l a m memori dalam bentuk skema (Eysenc, 1984; Hergenhahn

dan Oslon, 1997). Dengan demikian pengetahuan lawal a t au

skema merupakan bangunan penge r t i an mental seseorang

t en t ang apa-apa yang pernah d i a l a m i a t a u d i p e l a j a r i n y a ,

Misalnya konsep t e n t a n g kecepa tan ( v ) , waktu ( t ) , dan

ja rak yang ditempuh ( s ) pada s u a t u gerak p e r j a l a n a n

yang berAturan, dapnt ters impan s e c a r a t e r p i s a h l e p a s

s a t u sama l a i n , a t a u dalam hubungan bahwa j a r a k yang di-

tempuh sama dengan kecepatan d i k a l i waktu ( s = v. t ) ,

v s

w -- - dalnm waktu t

Begitu pula pada konsep t e n t a n g a l a s ( a ) , t i n g g i ( t ) ,

dan l u a s s e g i t i g a (L) dapat ters impan sebaga i pengeta-

huan awal s e c a r a t e rp i sah -p i sah l e p a s s a t u sama k i n ,

a t a u tersimpan dalam bentuk hubungan bahwal l u a s sebu-

ah s e g i t i g a sama dengan setengah panjang alas d i k a l i

t i n g g i (L = 3 a t ) .

Dar i kedua contoh d i a tas dapa t d inyatakan bahwa

pada contoh pertama, konsep kecepa tan ( v ) dan waktu ( t )

dapa t dipandang s e b a g a i d i r i n y a s e n d i r i a t a u s e b a g a i

komponen d a r i konsep j a r ak yang ditempuh ( s = v t ) . Begi-

t u pu la pada contoh kedua, a las ( a ) dan t i n g g i (t) da-

p a t dipandang s e c a r a t e rp i sah -p i sah , a t a u dipandang se-

baga i komponen l u a s s e g i t i g a (L = 3 a t ) .

Skemp (1981) mengemukakan adanya konsep ordo l e -

b i h t i n g g i dan konsep ordo l e b i h rendah. Konsep j a r a k

yang ditempuh ( s = v t ) memil iki ordo yang l e b i h t i n g g i

dar ipada konsep kecepatan ( v ) dan waktu ( t ) , Begi tu pu-

l a konsep l u a s s e g i t i g a (L = + a t ) memil iki ordo yang le-

b i h t i n g g i da r ipada konsep alas ( a ) dsn t i n g g i ( t ) ,

Oleh karena i t u s e p e r t i dikemukakan s e l a n j u t n y a

o leh Skemp ( l 9 8 1 ) , j i k a seseorang akan mempelajar i

sebuzih konsep matematika, maka d i a t e r l e b i h dahulu ha-

r u s memiliki pengetahuan awal yang l e b i h rendah yang me-

rupakan komponen konsep matematika yang a k m d i p e l a j a r i

i t u , D i s m p i n g i t u d i a juga h a r u s memil iki pengetahu-

an awal t en t ang n o t a s i dan ope ra s i -ope ra s i yang d iper lu-

kan s e r t a segenap a tu ran -a tu ran a t a u prosedur-prosedur

pengerjaan h i tung . S e l a i n i t u d ipe r lukan pu la pengetahu-

an mengenai teorema-teorema a t a u rumus-rumus yang menya-

takan r e l a s i yang t e r d a p a t dalam s i s t e m matena t ika t e r -

t e n t u ,

5 PENGETAHUAN A1.UAL MATEN A T I K h SEKOLAH

D a l a m b e l a j a r matematika d i s eko lah , pengetahuan

awal matematika sekolah yang d i m i l i k i siswa t e r d i r i atas

penge tahuan be rbaga i s a tuan bahasan subbidang s t u d i m a -

temat ika yang t e l a h d i p e l a j a r i n y a , J i k a d i l i h a t d a r i ba-

nyaknya sa tuan bahasan s e t i a p subbidang s t u d i matemati-

ka t e r s e b u t yang t e l a h d i p e l a j a r i s i s w a d a r i SD, k e l i -

ha tan seolah-olah pengetahuan awal matematika t e r s e b u t

sangat banyak dan sanga t beraneka ragam,

Namun j i k a d i l i h a t d a r i konseps i matematika seba-

g a i sua tu s i s t e m , maka pengetahuan awal matematika t e r -

s ebu t untuk s e t i a p subbidang s t u d i dapa t dikelompokkan

ke dalam :

a ) pengetahuan awal t en t ang himpunan obyek matematika,

b) pengetahuan awal t e n t a n g r e l a s i a n t a r a obyek-obyek

11

himpunan matematika t e r s e b u t , dan

c ) pengetahuan awal t e n t a n g ope ras i -ope ras i yang dapat

dilakukan a n t a r a obyek-obyek himpunan matematika

te rsebut .

I Obyek-obyek a t a u unsur-unsur himpunan matematika

s e p e r t i bilangan-bilangan t e r t e n t u , huruf-huruf, maupun

berbagai bentuk a l j a b a r l a innya dapa t dijumpai pada se-

t i a p s i s tem matematika. Begitu pu la r e l a s i - r e l a s i seper-

t i persamaan dan pertidaksamaan, s e r t a operas i -operas i

s e p e r t i penjumlahan dan pe rka l i an , d spa t dijumpai pada

s e t i a p s i s tem matematika.

Berdasarkan u r a i a n d i a t a s dapat dinyatakan bah-

via himpunan, r e l a s i , dan o p e r a s i yang mendasar ini me-

rupakan pengetahuan awal yang pen t ing dalzm b e l a j a r rna-

t e n a t i k a sekolah. Pengetahuan awal t e r s e b u t be r fungs i

I sebagai pengetahuan p r a s y a r a t yang sangat berperan da-

l a m menentukan k e s i a p n b e l a j a r siswa.

I . Sebagai i l u s t r a s i misalnya siswa-siswa SLTP d i -

minta menjawab a t a u nenyelesaikan berapakah 18 - (3-4) ?

I Ada beberapa kernungkinan jawaban yang akan d ibe r ikan

siswa-siswa SLTP t e r s e b u t , y a i t u :

(a) 18 - (3 - 4 ) = t i d a k tahu karena t i d a k memiliki pe-

ngetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i dan u ru tan pengerja-

an hitung. Atau s e p e r t i kebanyakan siswa yang ti-

dak memiliki dasa r pengetahuan akan menjawab misal-

nya s e p e r t i : 18 - ( 3 - 4) = 18 + 7 = 25

( b ) 18 - (3 - 4 ) = 11, dalam ha1 i n i siswa mengabaikan

tanda kurung, a t a u karena t i d a k memil iki pengetahuan

awal t e n t a n g konsekuensi menghilangkan t anda kurung

t e rhadap perubahan tanda b i l angan p o s i t i f a t a u nega-

t i f . J a d i siswa mengerjakan o p e r a s i 18 - ( 3 - 4 ) s e

p e r t i mengerjakan 18 - 3 - 4 = 11.

( c ) 18 - ( 3 - 4) = 17, dalam ha1 i n i siswa mengetahui

u ru t an penger jaan h i t u n g y a i t u nenger jakan yang d i

dalam t anda kurung t e r l e b i h dahulu y a i t u 3 - 4 = -1 , t e t a p i s i s w a t e r s e b u t t i d a k mengetahui konsekuensi

menghilangkan tanda kurung t e rhadap perubahan tanda

n e g a t i f a t a u p o s i t i f . Siswa t e r s e b u t mengerjakan ope-

rasi 18 - ( 3 - 4) = 18 - 1 = 17

( d ) Siswa-siswa yang menguasai ope ra s i -ope ra s i d a s a r dan

u r u t a n penger jaan h i t u n g akan menger jakan s e p e r t i be-

r i k u t :

1 8 - ( 3 - 4 ) = 18 - (-1)

. = 1 8 + 1

= 19

Sebagai i l u s t r a s i l a i n misalnya seorang siswa SMU

dimin ta menyelesaikan berapakah 5 3 ? Untuk dapa t men ja-

wab per tanyaan i n i , pertama-tama s i swa SMU t e r s e b u t harus

memil iki pengetahuan awal mengenai konsep b i langan ber -

pangkat n e g a t i f yang d i d e f i n i s i k a n dengan :

Se te l ah penge r t i an konsep b i langan berpangkat n e g a t i f di-

inga tnya kembali , maka b u t i r - b u t i r pengetahuan s e p e r t i

5' = 5.5.5, dan 5 x 5 x 5 = 125 yang pernah d i p e l z r i n y a

d i S D maupun SLTP h a r u s dapa t d ipanggi lnya kembali d a r i

memori jangka panjangnya. J i k a pemanggilan kembali t e rh -

dap pengetahuan awal i n i gaga l , maka s iswa t e r s e b u t ti-

dak dapat memberikan r e spons yang benar t e rhadap s t imu-

l u s yang d i te r imanya y a i t u berapakah 5-3. J i k a d i l i h a t

d a r i konsep ordo yang l e b i h t i n g g i dan ordo yang l e b i h

rendah, maka ordonya dapa t d i l i h a t pada diagram b e r i k u t :

T I N G G I

REND AH 5 x 5 ~ 5 = 9 ........ ordo 1

Contoh l a i n misalnya pada penye lesa ian persamaan

kuadra t : x2 - 5x + 4 = 0 akan d i t en tukan harga-harga x

mana yang memenuhi persamaan k u a d r a t t e r s e b u t . ~ i a dua

ha rga x, y a i t u xl dan x2 yang d i h i t u n g dengan menggunakm

s e t e l a h melakukan s u b s t i t u s i n i l a i a = 1, b = -5, dan

C = 3, maka d ipe ro l eh : v

Agar dapat menentukan berapa besarnya harga xl

dan x2 dengan benar d iper lukan dasar -dasar pengetahuan

awal yang a n t a r a l a i n n e l i p u t i :

a ) o p e r a s i pen jumlahan, pengurangan, p e r k a l i a n , dan pem-

bagian,

b ) s i s t em b i langan b u l a t (yang mengandung b i langan b u l a t

p o s i t i f dan n e g a t i f ,

c ) b i langan r a s i o n a l (yang mengandung b i langan pecahan),

d ) b i langan i r r a s i o n a l (bentuk a k a r ) , dan

e ) u r u t a n penger jaan h i tung .

J i k a d i t e r u s k a n dengan c ontoh-c ontoh pemecahan so-

a1 matematika yang l e b i h t i n g g i , maka akan dapa t d i k e t a -

h u i bahwa pengetahuan awal yang d iper lukan s e b a g a i penge-

tahuan p r a s y a r a t akan semakin banyak, Hal i n i memperjelas

h a k i k a t matematika yang b e r s i f a t h i r a r k i s , s e r t a mengapa

matematika i t u semakin t e r a s a suka r j i k a dasar -dasar pe-

ngetahuan awal t i d a k banyak yang d ikuasa i .

6 , PENGETAHUAN AW-AL DAN PEMECAHAN MASALAH

Dua contoh yang dikemukakan sebelumnya pada kon-

s e p ordo yang l e b i h t i n g g i dan ordo yang l e b i h rendah un-

mengenai j a r ak yang ditempuh s e r t a l u a s s g i t i g a , s e r t a

s o a l - s o a l : berapakah 5-3 ? , berapakah 18 - ( 3 - 4) ?.:, 2 s e r t a penye lesa ian persamaan k u a d r a t x - 5x + 4 = 0 ;

keaemuanya- 1Cu merupak-an c ontoh-contoh keg ia t an b e r p i k i r

dalam matematika yang d i s e b u t pemecahan masalah,

Wickelgren (1974) mengemukakan bahv~a sebuah masalah d i -

susun o leh t i g a j e n i s i n fo rmas i yang nencakup :

a. in formas i mengenai apa yang d i k e t a h u i t e n t a n g masa-

l a h , b, i n fo rmas i mengenai t indakan- t indakan (operas i -opera-

s i ) yang h a r u s d i lakukan , dan

c , in formas i t e n t a n g t u j u a n apa yang h a r u s d i c a p a i pa-

da pemecahan masalah t e r s e b u t ,

Sebagai contoh misalnya : Berapakah

a. In fo rmas i me Bentuk pen jumlahan

ngena i apa b i langan pecahan yang d i k e t a h u i 1 t e n t a n g masa-

GI/ l a h ,

I Berapakah b. Informas i t e n - 9Samakan genyebut

t a n g t indakan IUI .pa yang ,,,us

kedua pecahan dan

lakukan pen jum-

\ di lakukan l ahan

4/ c , In fo rmas i t e n -

t a n g t u j u a n pemecahan m a -

s a l a h : h a s i l pen- jumlahan t

Pada masalah i n i , i n fo rmas i t en t ang t indakan apa

yang h a r u s di lakukan mempersyaratkan pemanggilan kemba-

li informas i mengenai pengetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i

penjumlahan dan prosedur menyamakan penyebut pecahan,

Contoh be r iku tnya : Se le sa ikan lah 2x + 4 = 16

a. Informas i me- + Persamaan li-

ngena i apa n e a r : yang d i k e t a h u i 2x + 4 = 1 6 t e n t a n g rnasa- p-( lab

Se le sa ikan lah 3 b, In fo rmas i t en- + Pindahkan ang-

2x + 4 = 1 6 t a n g t indakan k a 4 ke r u a s

apa yang h a r u s kanan : di lakukan

Bagi masing-

masing r u a s

dengan 2 :

4' 6. In fo rmas i t en -

t ang t u j u a n

pemecahan ma-

s a l a h :

Pada contoh d i atas d ipe r lukan pengetahuan awal t en-

t a n g a r t i k a t a s e l e s a i k a n l a h , Yang dimaksud dengan pe-

nye l e sa i an sebuah persamaan dengan v a r i a b e l x ada lah

menentukan n i l a i v a r i a b e l x t e r s e b u t . Juga d iper lukan

pengetahuan awal tensang s i f a t - s i f a t o p e r a s i pada se -

buah persamaan y a i t u bahwa : pemindahan bentuk a l j a b a r

d a r i r u a s k i r i ke r u a s kanan a t a u seba l iknya akan me-

ngubah tanda bentuk a l j a b a r t e r s e b u t , b e g i t u p u l a

t e r d a p a t ketentuan bahwa sebuah persamaan t i d a k berubah

harganya a p a b i l a kedua r u a s persamaan t e r sebu t d i b a g i

dengan bentuk a1 j a b a r yang sama.

Dar i kedua contoh t e r s e b u t d i a t a s dapat d ike t a -

h u i bahwa untuk memecahkan sebuah masalah matematika d i -

perlukan pengetahuan awal untuk :

a . menafsirkan apa yang d i k e t a h u i dan apa yang menjadi

tu juan pemecahan masalah, dalam ha1 i n i s anga t diper-

lukan kemampuan untuk menerjemahkm. pernyataan-pernya-

t aan v e r b a l yang t e r d a p a t dalam sebuah masalah ke da-

l a m bentuk model-model matematika,

b. melakukan manipulas i t e rhadap apa yang d i k e t a h u i d a r i

masalah, y a i t u berupa a turan-a turan o p e r a s i a t a u pe-

nger jaan h i t u n g , s i f a t - s i f a t a t a u runus-runus dan se -

bagainya.

Dengan perka taan lain dapa t dikatakan bahwa in-

formasi mengenai apa yang d i k e t a h u i t e n t a n g masalah s e -

c a r a langsung akan dapat d i k e t a h u i a p a b i l a dalam masalah

t e r s e b u t s e c a r a j e l a s t e l a h dinyatakan bentuk a l j a b a r

a t a u r e l a s i yang h a r u s d i s e l e s a i k a n . S e l a i n i t u , j i k a

masalah t e r s e b u t masih dalam bentuk pernyataan v e r b a l ,

maka ungkapan v e r b a l t e r s e b u t h a r u s diterjemahkan t e r l e -

b ih dahulu ke dalam bentuk a l j a b a r a t a u r e l a s i a n t a r a

bentuk-bentuk a l j a b a r yang b iasanya dinyatakan dalam mo-

del-model matematika berbentuk persamaan a t a u p e r t i d a k -

samaan .

Sebagai contoh misalnya pe rha t ikan lah persoa lan b e r i k u t :

Seorang ayah membelan jakan uangnya sebanyak 4 5.000,- kemudian sisa uangnya dibagikannya kepada k e t i g a a n a h y a , Jika masing-masing anaknya memperoleh F$ 400,- be rapa uang ayah semula ?

Model matematika yang d iper lukan untuk memecahkan

masalah t e r s e b u t d i t en tukan sebaga i b e r i k u t :

a, Misalkan uang ayah semula x

b, S i s a uang ayah s e t e l a h dibe-

l an j akan F) 5.000,- . x - 5000

c. S i s a uang ayah t e r s e b u t d i -

bagikan kepada k e t i g a anak,

s e t i a p anak memperoleh

d, Masing-masing anak mempero-

l e h 400,- i n i b e r a r t i x - 5000 = 400 . 3

e , Model matematika yang d i -

pero leh : x - 5000 = 1200

* Informas i t e n t a n g t indakan- t indakan yang h a r u s

dilakukan t e rhadap apa yang d i k e t a h u i t en t ang masalah

merupakan in fo rmas i t e n t a n g prosedur s e r t a o p e r a s i yang

ha rus di lakukan t e rhadap bentuk a l j s b a r a t a u rslasi an-

tara bentuk-bentuk a l j aba r t e r s e b u t . Selan ju tnya , Fnfor-

n a s i t en t ang tu juan pemecahm masalah dapat berupa :

a , h a s i l operasi pen jumlahan, pengurangan, p e r k a l i a n ,

d m pembagian,

b. penentuan n i l a i s a t u a t a u l e b i h v s r i a b e l ,

c. nenentukan perbandingan,

d. melakukan pembuktian,

e m dan sebagainya,

~ e r d a s a r k x i u r a i a n d i atas b e r i k u t contoh-con-

toh yang dikemukakan, maka s e c a r a umum dapat dikernuka-

k m bahwa pengetahuan ten tang :

a. himpunzn obyek-objek maternatika,

b, n o t a s i , d e f i n i s i , s e r t a rumus dan teorema,

c . kemampuan mener jemahkan sua tu pernyataan v e r b a l ke

dalam bentuk model matematika,

d. kemampuan melakukan o p e r a s i (pen jumlahan, pengurang-

an , pe rka l i an , pembagian, t r a n s l a s i , r o t a s i , pendi-

f e r e n s i a l a n , pengin tegra lan , dan l a i n - l a i n ) s e s u a i

a t u r a n pengerjaan h i t u n g te rhadap obyek-obyek yang

t e r d a p a t pada s i s tem matematika t e r t e n t u ,

e. prosedur penyelesaian r e l a s i matematika s e p e r t i pe-

nye lesa ian persamaan dan pertidaksamaan,

merupakan sebagian besa r pengetahuan awal yang d iper -

lukan siswa untuk melakukan a n a l i s i s dan s i n t e s i s t e r -

hadap informas i pengajaran matematika yang diterimanya,

7. PROSES AKOMODASI SEBAGAI PROSES PENGEMBANGAN

PENGETAHUAN AWAL

Proses menghubungkan in fo rmas i baru dengan pe- .

ngetahuan awal yang sudah ada , menurut P iage t , dapat

t e r j a d i dalarn dua ben tuk y a i t u a s i m i l a s i dan akornoda-

s i (Skemp, l981) , As imi las i ada lah penyesuaian

informasi baru dengan pengetahuan awal yang sudah ada

tanpa menimbulkan perubahan pada pengetahuan awal i t u ,

sedangkan akomodasi merupakan penyesuaian informasi ba-

r u dengan pengetahuan awal yang ada dengan menimbulkan

perubahan pada s t r u k t u r dasar pengetahuan awal.

Dalam b e l a j a r matematika dapat dikemukakan sebu-

ah contoh sebagai b e r i k u t . J i k a seorang siswa t e l a h

memiliki pengetahuan awal a t a u skema sistem bilangan

as l i , maka uengan proses asimilasi d i a dapat memecahkan

masalah s e p e r t i 3 + 4 a t a u 3 x 5. Dalam melakukan peme-

cabs masalah i n i t i d a k t e r j a d i perubahan s t r u k t u r da-

s a r skema karena pemecahan masalah nas ih berada dalam

sis tem bilangan as l i . Namun jika kemudian kepada siswa

+ sedangkan siswa tersebut i t u diberikan masalah 3 ' belum memiliki skema s e l a i n skema bi langan a s l i , maka

skema bilangan a s l i yang d imi l ik inya t i d a k mampu mem-

4 . H a l i n i . disebab- bantu menyelesaikan masalah 2 +

1 kan karena 7 dan bukan anggota bi langan a s l i t e t a p i 5 *

nerupakan anggota bi langan r a s i o n a l (bi langan pecahan).

Oleh karena i t u skema bilangan a s l i yang ada dalam me-

mori jangka pan jang per lu dikembangkan.

Siswa-siswa yang t i d a k b e r h a s i l mengembangkan

skema bilangan a s l i menjadi skema bi langan r a s i o n a l

1 s e r i n g mencoba menjawab masalah 2 + dengan c a r a : 5

. .

Jawaban yang d ibar ikan siswa hi s a l a h , dan kesalahan

yang dibuatnya ada lah kesalahan yang rnendasar, Jawaban

yang benar adalah :

Kesalahan yang mendasar hi pada umumnya t e r j a d i

j i k a p roses pengajaran rnatematika t i d a k b e r h a s i l menge*

bangkan pengetahuan awal yang d i m i l i k i siswa. Sebagai

sua tu bidang s t u d i yang b e r s i f a t h i r a r k i , matematika

pe r lu d i a j a rkan dengan menekankan proses akomodasi. Ji-

ka ini t i d a k b e r h a s i l , maka matematika &an semakin su-

lit d i p e l a j a r i s i s w a , dan guru akan menghadapi banyak

kesukaran dalam mengajarkan matematika.

Pengetahuan awal memegang peranan pent ing dalam

proses penerimaan, pengolahan, dan penyimpanan i n f orma-

si, Pengetahuan awal i t u sudah ada dalam memori jangka

panjang dan s e r i n g d i s e b u t sebaga i skema, s t r u k t u r kog-

n i t i f , a t au l a n d a s da ta ,

Pengetahuan awal matematika secara umum dapat

dipandang sebaga i pengetahuan be rbaga i subbidang s t u d i

matematika yang t e l a h d i p e l a ja r i siswa, Secara khusus

s e s u a i dengan konsepsi..matematika sebagai suatu s i s tem

yang dibentuk o leh berbagai komponen, maka untuk s e t i a p

subbbidang s t u d i matematika sekolah ( a r i t m e t i k a , alja-

bar , geometri , dan ka lku lus ) pengetahuan awal yang sa-

ngat diper lukan untuk mempelajari materi p e l a j a r a n baru

maupun dalam pemec,?han rnasalah matematika adalah :

a, pengetahuan awal t en tang himpunan matematika yang m e -

ngandung unsur-unsur utama s e p e r t i : bi langan, huruf

a t a u n o t a s i yang menyatakan bi langan, bentuk-bentuk

a l j a b a r , t i t i k dan g a r i s , d m sebagainya.

b. pengetahuan awal t en tang r e l a s i a n t a r a unsur-unsur

rnatematika, s e p e r t i : persanaan, pertidaksamaan, r e -

l a s i fungs i , kesebangunan, ke samasebangunan, dan se-

bagainya.

c, pengetahuan awal t e n t a n g operas i -operas i yang dapat

dilakukan te rhadap unsur-unsur sebuah himpunan mate-

matika, s e p e r t i : penjumlahan, pengurangan, perkali.9-

an , pembagian, d i l a t a s i , r o t a s i , t r a n s l a s i , pendife-

r e n s i a l a n , pengin tegra lan , dan ,sebagainya.

Untuk me la t ih mengingat dan mengaplikasikan pe-

ngetahuan awal t e r s e b u t dapat di lakukan me la lu i p roses

a s i m i l a s i , namun pengembangan pengetahuan awal p e r l u di-

lakukan me la lu i p roses akomodas i , -ya i tu aga r pengetahuan

awal t e r s e b u t s e l a l u dapat d i sesua ikan dengan permasa-

lahan matematika yang penuh keanekaragaman.

D A F T A R B A C A A N

Ausubel, David P, (1985) "Learning a s Construct ing Mean- ing", Dalam New D i r e c t i n s i n Educational Ps~cho logy , ed, Noel Entwist le . London : The Falmer P ress ,

Bernkopf , Michael (19'75) Mathematics. An Appreciation, Boston : Houghton K a f f l i n Co,

Bower, Gordon H e ; Hilgard, Ernes t Re (1986) Theories of beaming, New Delhi : Pren t i ce Ha l l of Ind ia ,

Dr i sco l l , Mercy P, (1994) Psycholom of learn in^ f o r In- s t r u c t i o n , Boston : Allyn and Bacon,

Eysenck, M c h a e l W e (1984) A Handbook of C o ~ n i t i v e Psg- c h o l o a . London : Lawrence Erlbaum Associates ,

Hergenhahn, B.R. ; Olson, Matthew EE, (1997) Theories of Learninq. Upper Saddle River, New Je r sey : Pren t i - c e-Hal1 Inc ,

Klein, Stephen B. (1997) Learning, P r i n c i v l e s and A ~ p l i - c a t ions , New York : McGraw-Kill Book Company.

Leahey, Thomas H e ; Harris, Richard J. (1985) Human Learn- a, Englewood C l i f f s , New Je r sey : Prent ice-Hall Inc ,

Leahey, Thomas K,; Harris, Richard J, (1997) Learninq and Cognition. Upper Saddle River, New J e r s e y : Prentice-Hall Inc ,

Lefrancois , Guy R. (1995) Theories of Human Learninq, Kro's Reports.

Moise, Edwin E,; Downs, Floyd La (19bO) Geometr~.. Don M i l l , Ontar io : Addison Wesley (Canada) Limited,

NCTII (1992) Cons tuc t iv i s t Views on t h e Teaching and Le- arninq, Reston, Virg in ia : NCTM.

Peterson, John Me (1974) Basic Concept of Elementary Mathematics. Boston : Pr ind le , Weber and Schmidt, Inc .

Reynolds, Allan G. ; ' Flagg Pa= W. (1983) Cognit ive PSY- cho lom, Boston : ~ i t t l e , Brown and Company.

Wickelgren, Wayne (1974) How t o Solve Problem Solving. San Fransisco : W.H. Freeman and Conpany.