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Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Matemática

Matemática II (MAT022)

1er Semestre de 2014. Certamen 3, martes 15 de Julio de 2014.

Nombre: . ROL: . Paralelo: .

1. (25 puntos)

(a) (13 puntos) Encontrar α, β ∈ R de la matriz A ∈ M 2×2(R) dada por

A =

2 6α β

de modo que admita a v1 =

31

y a v2 =

21

como vectores propios.

(b) (12 puntos) Encuentre una matriz B ∈ M 2×2(R) con los mismos vectores propios v1 y v2 del item (a) yvalores propios λ1 = 1 asociado a v1 y λ2 = 0 asociado a v2. Calcule, además, B

10.

Solución :

(a) Tenemos que la matriz A es de la forma A =

2 6α β

, luego para cada vector propio debe cumplirse

que Av = λv.

Así para v1 =

31

se tiene:

2 6α β

31

= λ1

31

y λ1 valor propio.

Entonces

12 = 3λ1

3α + β = λ1 ⇒ λ1 = 4

3α + β = 4 .

De forma análoga, para v2 =

21

, se tiene:

2 6α β

21

= λ2

21

y λ2 valor propio.

Entonces

10 = 2λ22α + β = λ2

⇒ λ2 = 52α + β = 5

.

Luego, de las ecuaciones 3α + β = 4

2α + β = 5 se obtiene α = −1, β = 7.

Por lo tanto nuestra matriz es: A = 2 6

−1 7 .

(b) La matriz B buscada es diagonalizable ya que admite una base de vectores propios v1 =

31

y

v2 =

21

.

Así, B = P DP −1 donde P es la matriz cuyas columnas son v1 y v2 y D es la matriz diagonal compuetapor los valores propios dados λ1 = 1 y λ2 = 0.

Luego, D =

1 00 0

, P =

3 21 1

⇒ P −1 =

1 −2−1 3

. Se sigue entonces que

B =

3 21 1

1 00 0

1 −2−1 3

=

3 21 1

1 −20 0

=

3 −61 −2

.

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Por otro lado se tiene que B10 = (P DP −1)10 = P D10P −1 pero

D10 =

110 0

0 0

= D.

Entonces B10 = P DP −1 = B.

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Nombre: .Paralelo: .

2. (25 puntos) Sea la serie∞

n=0

anxn donde an = 2

n

−(

−1)n.

(a) (8 puntos) Demuestre que el radio de convergencia de la serie es 12 .

(b) (8 puntos) Analice la convergencia de esta serie en x = 12 y x = −12 .(c) (9 puntos) Pruebe que ∀x ∈ −12 , 12,

∞n=0

anxn =

3x

1 − x − 2x2 .

Solución :

(a) Para determinar el radio de convergencia R podemos calcular, L = lim n

|an| si existe, o L = lim |an+1||an|si existe.

Si determina el límite lim n

|an| se hace como sigue: 2n−1 ≤ |an| ≤ 2n+1. Además, n√

2n−1 y n

√ 2n+1

convergen a 2. Lo que implica que lim n

|an| = 2. Luego el radio de convergencia es R = 12 .Otra forma

En el cálculo de lim|an+1||an| , tenemos que

2n+1 − (−1)n+12n − (−1)n =

2 − (−1)n+12n1 − (−1)n2n

. Como 12n 0 tenemos que

L = 2.

Luego el radio de convergencia es R = 12 .

(b) Para x = 1

2 hay que estudiar la serie

∞n=0

2n + (

−1)n

2n . Esta no converge pues su término general

1 − (−1)n2n 1 = 0.

Para x = −12 se obtiene la serie∞n=0

2n + (−1)n−2n , que es igual a

((−1)n− 1

2n. Como 1 y -1 son puntos

de acumulación de la sucesión (−1)n − 12n , ésta no converge. Por esta razón la serie tampoco converge.

(c) Sabemos que la serie

∞n=0

xn tiene radio de convergencia 1 y que para todo x ∈ (−1, 1) se tiene que∞n=0

xn = 1

1 − x . Entonces, para x ∈−12 , 12 se tiene que

∞n=0

(2x)n = 1

1 − 2x y∞n=0

(−x)n = 11 + x

.

Con esto se tiene que:

∞n=0

(2n − (−1)n)xn = 11 − 2x −

1

1 + x =

3x

1 − x − 2x2

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Nombre: .Paralelo: .

3. (25 puntos) Considere la región encerrada por las curvas y2 = x, y = 2 − x, x = 0. Calcular:

(a) (10 puntos) El volumen del sólido generado al rotar la región anterior en torno al eje x = 2.

(b) (15 puntos) El área lateral del sólido que se genera al rotar la región anterior en torno al eje y = 0.

Solución

(a) Si ocupamos el metodo de las arandelas o capas cilíndricas, se tiene:

V = 2π

10

(2 − x)(2 − x − √ x)dx

V = 2π

10

(4 − 4x − 2√ x + x2 + 2√

x3)dx

V = 2π75

V = 14π

5

(b) Cálculo de S 1:

S 1 = 4 · πCálculo de S 2:

S 2 = 2π

10

(2 − x)√

2dx

S 2 = 2 ·√

2 · π 1

0

(2 − x)dx

S 2 = 2 ·√

2 · π

2x − x2

2

1

0

S 2 = 2 ·√

2 · π

2 − 12

S 2 = 3

√ 2π

Cálculo de S 3:

S 3 = 2π

10

√ x ·

1 + 1

4xdx

S 3 = 2 · π 1

0

√ x ·

√ 4x + 1

2√

x dx

S 3 = π

6(4x + 1)

32

1

0

S 3 = π

6(5

√ 5 − 1)

Por lo tanto, el área lateral es:

S 1 + S 2 + S 3 = 4π + 3√

2π + π

6(5

√ 5 − 1)

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Nombre: . Paralelo: .

4. (25 puntos) Considere las curvas dadas en coordenadas polares r1(θ) = 92 y r

22(θ) = 9 cos(2θ).

(a) (8 puntos) Obtenga un esbozo, en un mismo plano, de r1(θ) y r2(θ).

(b) (8 puntos) Exprese r2(θ) como una parametrización γ : I ⊂ R → R2. A partir de γ (t) obtenga unaexpresión, en integrales, para el perímetro de la curva descrita por γ (t) (No calcule tal integral).

c) (9 puntos) Si R es la región exterior a r1(θ) e interior r2(θ) obtenga su área.

Solución :

(a) El esbozo de las curvas está dado por:

.01-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

(b) Tenemos que r22(θ) = 9 cos(2θ) ⇒ r2(θ) = 3

cos2θ).

Si tomamos la parametrización:

γ :

x = r cos θy = r sen θ1

⇒

x = 3

cos2θ)cos θ

y = 3

cos2θ)sen θ con 0 ≤ θ ≤ π

4

Obs:considerando sólo 1/4 de la lemniscata

Derivando ambas ecuaciones con respecto a θ , se obtiene:

dx

dθ =

−3sen3θ√ cos2θ

dy

dθ =

3cos3θ√ cos2θ

Luego el perímetro de la curva pedida, estará dada por:

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l = 4

π4

0

−3sen3θ√ cos2θ

2+

3cos3θ√

cos2θ

2dθ

= 4 π

4

0

9sen2 3θ

cos2θ + 9cos

2 3θcos2θ

dθ

= 12

π4

0

1√ cos2θ

dθ

(c) Primero calcularemos las intersecciones de las curvas

Intersecciones: 9cos2θ = 9

2 ⇒ cos2θ = 1

2 ⇒ 2θ = π

3 ⇒ θ = π

6

Por simetría:

A

2 = 2 ·

π6

0

1

2

9cos2θ − 9

2

dθ

A

2 =

9

2 sen 2θ

π

6

0

− 92

θ

π

6

0

A

2 =

9

2 sen

π

3 − 9

2

π

6

A

2 =

3

4(3

√ 3 − π)

A = 32

(3√

3 − π)

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