NOMBOR MODULAR

NOMBOR MODULARNombor modular adalah satu bentuk arimetik asas yang sama seperti jam, di mana sebaik sahaja sampai ke dua belas nombor kembali ke sifarARIMETIK MODULAR JAM (asas 12)Arimetik jam (atau modular) adalah arimetik yang dibuat pada jam. Pada jam-12 (12-hour clock) terdapat 12 nomborBiasanya kita mengguna nama piawai untuk nombor-nombor pada jam dan mula dengan 0 bukan 1. Maka nama piawai jam-12 kita guna 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 dan 11

Untuk memudahkan kefahaman kita akan menggunakan jam-12 untuk membuat Arimetik yang mudah.

Contoh, jika sekarang pukul 3 dan kita tambah 5 jam dan jam akan menunjukkan pukul 8 ,Jadi kita kita akan tulis 3 + 5 = 8Tetapi jika sekarang pukul 11 dan kita tambah 5 jam dan jam akan menunjukkan pukul 4.Jadi kita akan tulis 11 + 5 = 4* Bukan 16 kerana tidak terdapat nombor 16 pada jam-12Setiap kali kita melepasi 12, kita akan menghitung jam mulai 1 semula. Jika kita menambah nombor dengan cara kita menambah jam dengan menggunakan jam kita sebenarnya melakukan arimetik jam.Maka dalam jam arimetik 8 + 6 = 2 kerana 6 jam selepas pukul 8 adalah pukul 2.Penolakan, pendaraban dan pembahagian dalam arimetik jam boleh ditakrifkan sebagaimana dalam arimetik biasaPenolakkan : a b = x bermakna a = b + xPendaraban : a x b = ab bermakna b + b+...+b tambah a kaliPendaraban sifar : Jika a = 0 maka a x b = 0 x b = 0Pembahagian : a b = a/b = x bermakna a = bx mempunyai songsang pendaraban

++1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+121234567891011121236456758941011122++1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112Dengan menggunakan takrifan operasi asas arimetik jam selesaikan soalan berikut berdasarkan jam-124 9 4 9 = x4 = 9 + xx = 7 (rujuk jadual)

2) 4 x 9bermakna 9 + 9 + 9 + 9 = 12

3) 4 7 = yBermakna 4 = 7 y Dengan cara cuba jaya:- 7 x 1 = 7, 7 x 2 = 2, 7 x 3 = 9, 7 x 4 = 4

Maka y = 44) 4/9 = tBermakna 4 = 9tDengan cara cuba jaya :-9 x 1 =99 x 2 = 69 x 3 = 39 x 4 = 129 x 5 = 99 x 6 = 69 x 7 = 39 x 8 = 129 x 9 = 99 x 10 = 69 x 11 = 39 x 12 = 12*Oleh kerana tiada nilai t apabila 9t = 4, 4/9 = t tidak wujudPertimbangkan sistem matematik berdasarkan jam-5 dengan set finitnya = {0, 1, 2, 3, 4}. Proses penambahan pada jam-5 adalah sama dengan jam-12 kecuali nombor-nombor dalam set ini adalah {0, 1, 2, 3, 4}. Laksanakan proses penambahan dan pendaraban untuk jam-5 (modulo 5 arithmetic) dengan melengkapkan jadual 2 dan jadual 3.Jadual 2: PenambahanJadual 3 : Pendaraban+0123401234x0123401234Proses penambahan atau pendaraban di jadual 2 dan 3 dikenali modulo 5 atau mod 5

Dari jadual 2, didapati4 + 9 = 3 dan 2 + 1 = 3Maka, 4 + 9 = 2 + 1Untuk menjadikan penyataan di atas benar, kita menggunakan notasi berikut:4 + 9 = 2+ 1, (mod 5) *Dibaca sebagai 4 + 9 adalah kongruen kepada 2 + 1, mod 5.Kekongruenan Mod mNombor nyata a dan b adalah kongruen modulo m, a b, (mod m), jika beza a dan b adalah gandaan bagi mContoh:-3 8, (mod 5)

3 8, (mod 5), kerana 8-3 = 5, dan 5 adalah gandaan bagi 5

Latihan 3 53, (mod 5)3 19, (mod 5)Cara lain untuk menentukan sama ada dua nombor itu kongruen mod m.Bahagikan setiap nombor dengan m dan semak bakinya. Jika baki mereka adalah sama maka nombor-nombor itu kongruen mod m.Selesaikan persamaan berikut:-4 + 9 x, (mod 5)15 + 92 x, (mod 5)2 + 4 x, (mod 5)2 4 x, (mod 5)7 x 5 x, (mod 7)3 5 x, (mod 12)

Februari 2011 mempunyai 28 hari dan 1 Februari adalah hari selasa. Tentukan hari apakah pada 13 Februari dan 28 Februari.