modul ulangkaji matematik spm 2014

MODUL ULANGKAJIDAN

LATIHAN BERFOKUS

MATEMATIK SPM 2014

MENGIKUT FORMAT KERTAS SOALAN SPM SEBENAR

Dialahediakan Oleh :Zuraidah Mustaffa

GURU MATEMATIK, SMK AGAMA BALING

1

JOM SKOR A MATEMATIK DALAM SPM….!

PETUA BIJAK BELAJAR :

NABI MUHAMMAD SAW BERPESAN :

1. MENUNTUT ILMU WAJIB KE ATAS SETIAP MUSLIM, DARI BUAIAN HINGGA KE LIANG LAHAD – PASTIKAN NIAT YANG BETUL ~ NIAT BELAJAR KERANA ALLAH.

2. SAMPAIKAN DARIKU WALAUPUN SATU AYAT – PEMBELAJARAN BERKESAN – HAMPIR 80% BERKESAN. – CABAR DIRI SENDIRI UNTUK MENGAJAR RAKAN ATAU SEKURANG-KURANGNYA MENGAJAR DIRI SENDIRI – TALK KEPADA YOURSELF, TSETIAP YOURSELF.

3. BERBUAT BAIK DAN SENTIASA MENDOAKAN KESEJAHTERAAN DAN KESELAMATAN KEDUA IBU BAPA SERTA GURU-GURU.

BUAT SOALAN YANG SAMA SEKURANG-KURANGNYA 3 KALI, DENGAN CARA; A. SALIN B. SALIN SEMULA DAN FAHAMKAN C. CUBA MENJAWAB SENDIRI4. FIKIRKAN MUDAH…! MAKA MUDAHLAH JADINYA…... YAKIN BAHAWA KITA BOLEH BERJAYA!

ANALISA SOALAN MENGIKUT TAJUK DAN TINGKATAN BAGI KERTAS MATEMATIK SPM

KERTAS 1 –

40 SOALAN OBJEKTIF

11 – 15 SOALAN TING. 1, 2, 3

16 – 18 SOALAN TING 4.

11 SOALAN TING 5.

TING 1, 2 DAN 3 TINGKATAN 4 TINGKATAN 5

POLIGONS I DAN II NOMBOR PIAWAI ASAS NOMBORUNGKAPAN ALGEBRA

HIMPUNAN GRAF FUNGSI

PERSAMAAN LINEAR GARIALAH LURUS MATRIKSPERKARA RUMUS KEBARANGKALIAN I UBAHANPENJELMAAN I & II BULATAN BEARINGSTATIALAHTIK I & II TRIGONOMETRI BUMI SEBAGAI

SFERAINDEKS SUDUT DONGAK DAN

SUDUT TUNDUKKETAKSAMAAN

LINEARGARIS & SATAH DLM 3

MATRAKERTAS 2

SEKSYEN A – 11 SOALAN

TING 1, 2 & 3 – 3

PEPEJAL GEOMETRI – ISIPADU

GABUNGAN

PERSAMAAN QUADRATIK GRAF FUNGSI

BULATAN – LUAS DAN PANJANG

LENGKOK

PENAAKULAN MATEMATIK PENJELMAAN III

2

a + 90% = 126/140 K1 = 33/40 dan k2 =93/100 A 80% = 112/140 K1 = 30/40 dan k2 = 82/100

70% = 98/140

K1 = 30/40 dan k2 = 68/100

SOALAN TING 4 – 6 SOALANTING 5 – 7 SOALAN

SEKSYEN B – PILIH 4 DARI 5 SOALAN

PENYELESAIAN PERSAMAAN SERENTAK

GARIS LURUS MATRIKS

STATISTIK III KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH

GRAFGARIS & SATAH DLM 3 MATRA

KEBARANGKALIAN II

HIMPUNAN BUMI SEBAGAI SFERA

PELAN & DONGAKAN

NOTA PAPER 1 – MATEMATIK MENENGAH RENDAH

A. ALGEBRA

Nota :

Unknown/ anu – x, y, a, b, c Term / sebutan - 2x, 3y, 4a

a. like terms / sebutan setara – 2x, 3xb. unlike terms / sebutan tidak setara – 2x, 2y

Expression/ ungkapan - 2x + 3yPersamaan/ persamaan - 2x + 3y = 7

Contoh :1. Expdaning bracket / kembangan: 2 ( k – 3 ) 2 + 3 – 2k 2 = 2 (k – 3)(k – 3) + 3 – 2k2

= 2 (k2 -3k -3k +9) + 3 – 2k2

= 2(k2 – 6k + 9) + 3 – 2k2

= 2k2 -12k + 18 +3 – 2k2

= -12k + 21

2. Linear Persamaan / persamaan linear

a. Diberi 11 – 4 ( 3 – 2k ) = 23 , cari nilai k. 11 – 12 + 8k = 23 - 1 + 8k = 23 8k = 23 + 1

8k = 24 k = 3

b. Diberi bahawa , maka n =

3

3. Pecahan Algebra

Ungkapkan sebagai pecahan tunggal dalam bentuk terendah.

=

=

=

=

4. Indeks

a. Permudahkan

b. Diberi , cari nilai k .

maka :

4

INGAT HUKUM INDEKS....!

INGAT HUKUM PECAHAN....!

TAMBAH/KEPADALAK ~ SAMAKAN PENYEBUT

DARAB ~ DARAB TERUS

BAHAGI ~ DARAB SONGSANG

SAMA DENGAN ~ DARAB SILANG

5. Ketaksamaan

a. Senaraikan semua integer x yang memuaskan kedua-dua ketaksamaan 2x > - 5 dan 7 – 2x > 5.

dan

maka

b. gambarajah di bawah mewakili dua persamaan serentak di atas suatu garialah nombor.

Ketaksamaan sepunya yang mewakili nilai sepunya bagi kedua-dua ketaksamaan tersebut ialah :

- 1 < x < 3

5

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

Latihan :

1. (3p – m)(p + 2m) =A 3p2 + 5pm – 2m2

B 3p2 – 5pm + 2m2

C 3p2 + 7pm - 2m2

D 3p2 – 7pm + 2m2

2. Diberi bahawa , maka p =

A 1 B 9C 11 D 15

3.

A B

C D

4. Diberi bahawa , maka

n =

A

B

C

D

5. Permudahkan (4m-1n1/2)2 x

A B

C D

6. Hitung nilai bagi (8 x 3-6) ÷

A B

C D

7 Ungkapkan

sebagai satu pecahan dalam bentuk terendah.

A

B

C

D

8

Diberi bahawa

, ungkapkan

m dalam sebutan n.

A 2(n – 12 )

B 2n – 12

C n – 12

D n + 12

9

A

B

C

D

10Diberi bahawa 5e – 4 = 16 – (e + 5) , cari nilai bagi e.

A

B

C

D

6

11Permudahkan

.

A

B

C

D

12 Diberi bahawa

, cari nilai

bagi n.

A

B

C

D

7

B. POLYGON / LINES DAN SUDUTS

i. Hasiltambah sudut pedalaman

‘KOD 9’ – Hasiltambah digit-digit = 9

Poligon Hasiltambah sudut-sudut pedalaman (x)segitiga – 3 180 => 1 + 8 + 0 = 9segiempat – 4 360 => 3 + 6 + 0 = 9Pentagon – 5 540 => 5 + 4 + 0 = 9Heksagon – 6 720 => 7 + 2 + 0 = 9Heptagon – 7 900 => 9 + 0 + 0 = 9Octagon – 8 1080 => 1 + 0 + 8 + 0 = 9Nanogon – 9 1260 => 1 + 2 + 6 + 0 = 9Dekagon – 10 1440 => 1 + 4 + 4 + 0 = 9

ii. hasilambah sudut peluaran = 360˚

iii. Sudut Pedalaman =

iv. Sudut dan Garialah – sudut bertentangan – ‘X’

- sudut selang seli – ‘N’ / ‘Z’

- sudut sepadan – ‘F’

- jumlah sudut pedalaman bagi ‘ ц’ = 180˚

CONTOH :

a. Dalam rajah di bawah, LMNTUV ialah heksagon sekata. KLM dan HVL adalah garis lurus. Cari nilai bagi x + y . PENYELESAIAN :

LMNTUV – guna kod 9 Heksagon => 6 =>720 ÷ 6 = 120

i. Y =

ii. x = 180 – 76 – 60 = 44

8

Sudut-sudut adalah sama saiz

76 0

y

H

L M

N

TU

VX

iii. x + y = 30 + 44 = 74˚

6 0

LATIHAN

1. Rajah di bawah menunjukkan heksagon RSTUVW. MVUL ialah suatu garis

lurus.

Hitung nilai bagi x + y.

A 130°

B 230°

C 310°

D 490°

2. Dalam rajah di bawah, PQRSTU ialah a regular heksagon. PUV dan QPW garis lurus.

74

y x

Q W

VTS

R

P

U

Nilai bagi x + y = A 69 B 72C 76 D 86

9

K

60˚ 120˚

RT

UV

S

W60°

70°

M

Lx

y

RAJAH 1

3. Rajah 2 menunjukkan sebuah segi empat selari KLMN .

nilai bagi x ialah

A 20°B 40°C 60°D 120°

10

N M

LK

3x

RAJAH 2

20°

40°

C. STATISTIK / NISBAH DAN KADAR

Nota : i. Mean (purata) => hasiltambah data-data bilangan data

ii. mod (mod) => most frequent data (data tertinggi)

iii. median (penengah) - dengan syarat - Susun data secara menaik atau menurun terlebih dahulu., kemudian bilang data :

- odd/ ganjil => data di tengah2 - even / genap => hasiltambah 2 data di tengah-tengah bahagi 2.

iv. nisbah dan kadar - nilai baru x nilai sepadan nilai lama

Contoh :

1. Rajah 11 ialah carta palang yang menunjukkan skor bagi sekumpulan pelajar dalam satu ujian.

11

x

y

1 2 3 4 5

12345678

9

RAJAH 11Nyatakan modal skor.A 2 B 3 C 4 D 9

2. Cari nilai bagi x, jika median ialah 4 dan mod ialah 3.

3, x, x, 3, 3, 6

A 2 B 3 C 4 D 53.

RAJAH 12Rajah 12 ialah carta pai bagi keputusan suatu ujian. Diberi bahawa bilangan pelajar yang mendapat Grede B ialah 60, cari bilangan pelajar yang mendapat gred C.

A 48 B 36 C 24 D 12

LATIHAN :

1. Jadual kekerapan di bawah menunjukkan Jisim bagi ikan yang ditangkap oleh 20 orang nelayan.

Jisim ikan yang ditangkap (kg)

kekerapan

1015182025

74225

12

Grade D

120 0

60 0 Grade A

Grade B

Grade C

150 0

Grade D

Palang tertinggi ialah bagi skor = 3. Jadi skor mod ialah 3…

Grade C = 360 – (150 + 120 + 60) = 360 – 330 = 30˚

Grade B = 150 ˚ 60 pelajar 30˚ = 30˚ <=> 12 pelajar

Susun data : 3,3,3,x,x,6, jadi ada 6 data, maka median ialah 2 data di tengah. (x +3 )/2 = 4, jadi x = 5

Hitung purata Jisim, dalam kg, bagi ikan yang ditangkap oleh nelayanA 16.1 B 16.2 C 16.5 D 16.6

2. Pikkepadagraf di bawah menunjukkan bilangan pokok buah-buahan dalam sebuah dusun.

Durian

Rambutan

Manggis

mewakili 25 pokokNisbah bagi pokok rambutan kepada pokok manggis ialah 3 : 2. Cari jumlah bagi pokok durian dan pokok manggis.

A 225 B 275 C 300 D 400PENYELESAIAN PERSAMAAN SERENTAK

NOTA : - penyelesaian persamaan serentak - untuk mencari nilai 2 anu.- dua kaedah penyelesaian iaitu :

a). penghapusan (elimination) b). penggantian (substitution)

- kaedah penghapusan i. samakan anu yg hendak dihapuskan. SPMii. tdana sama – kepadalak, tdana berlainan - tambah iii. dapatkan nilai salah satu anu.iv. gantikan nilai anu diketahui dlm salah satu persamaan bagi mencari nilai satu

lagi anu.

Contoh :

1. Hitung nilai bagi d dan bagi e yang memuaskan persamaan-persamaan : 5d − 2e = 16 d + 4e = −10

13

samakan nilai anu , conkepadah , samakan pekali bagi e :5d − 2e = 16 -------- ( 1 )

d + 4e = −10 -------- ( 2 ) (1) x 2 -------- ( 3 )

2. ( 2 ) + ( 3 ) d + 10d + 4e + (- 4e) = - 10 + 32 3.

4. Ganti d = 2 dalam ( 2 ) 2 + 4e = -10 4e = - 10 – 2 4e = - 12 e = = - 3 Oleh itu, d = 2 dan e = - 3

Latihan :

1. Hitung nilai bagi k dan w yang memuaskan persamaan-persamaan linear serentak berikut : 2k – 3w = 10 dan 4k +w = -1.

[4 marks]

2. Hitung nilai bagi x dan y yang memuaskan persamaan-persaman : x – 2y = 1 x + 3y = 6

[4 marks]

3. Hitung nilai bagi x dan y yang memuaskan persamaan-persaman:

[4 marks]

14

4. Hitung nilai bagi p dan q yang memuaskan persamaan-persaman:

p – 2q = 13

3p + 4q = -2 [ 4 marks]

5. Hitung nilai bagi m dan n yang memuaskan persamaan-persamaan :2m - 5n = -12 dan 3m + n = -1 [ 4 marks]

LUAS DAN PERIMETER – bulatan II

Nota : 1. Lilitan bagi bulatan = d = 2r 2. Luas bagi bulatan = r2

3. Panjang lengkok = 4. Luas sector =

Contoh :

1. Rajah 6 menunjukkan dua sektor OPQR dan OST dengan pusat O. PSO ialah satu garis lurus dan PO = 3PS

RAJAH 6

15

Q

45o

P

R

T

S O

PO = 3PS21 = 3PS PS = = 7 cm

SO = 14cm

PO = 21 cm dan ROT = 75˚. Menggunakan , hitung

(a) luas, in cm2 , bagi kawasan berlorek (b) perimeter, in cm, bagi kawasan berlorek.

[6 marks] (a) luas bagi kawasan berlorek = luas bagi sektor POR – luas bagi sektor SOT

======

(b) perimeter bagi kawasan berlorek = PS + ST + KEPADA + OR + PQR

======Latihan : 1. Rajah di bawah menunjukkan dua sektor OMN dan OPQ dengan pusat O dan

sukuan berpusat Q.

60

O

M N

TP Q

OM = 14 cm dan QT = 7 cm, Menggunakan = , hitung

(a) perimeter bagi seluruh rajah(b) luas bagi kawasan berlorek. [6 marks]

16

2. Dalam rajah di bawah, PQ dan RS adalah dua sektor bagi dua bulatan berbeza

berpusat O. RQ = ST = 7 cm dan PO = 14 cm. Menggunakan = , hitung :

a. luas, dalam cm2 , bagi kawasan berlorek,b. perimeter, dalam cm, bagi seluruh rajah. [6 marks]

PEPEJAL GEOMETRY – ISIPADU GABUNGAN

Nota : 1 Luas bagi trapezium =

2 Curved surface luas bagisilinder = 2πrh

3 Surface luas bagisphere = 4πr2

4 Isipadu bagiright prialahm = cross sectional × length

5 Isipadu bagisilinder = πr2h

6 Isipadu bagi cone = πr2 h

7 Isipadu bagi sphere = πr3

8 Isipadu bagiright pyramid = × base luas × height

Contoh :

Rajah 3 menunjukkan gabungan pepejal bagi piramid VPQRS dan separuh silinder

dengan diameter 7 cm. VS = 8 cm, PS = QR = 6 cm. Menggunakan , cari isipadu,

dalam cm bagi pepejal tersebut.

O

Q

T

60º

R

17

S

P

V

P

R

S

Q

RAJAH 3

LATIHAN :

1 . Rajah 5 menunjukkan pepejal dibentuk dengan gabungan kon dan silinder.

diameter bagi silinder dan diameter bagi asas bagi kon

ialah 7 cm. isipadu bagi pepejal gabungan ialah 231 cm3 . Menggunakan π = , hitung

tinggi, dalam cm, bagi kon.. [4 marks]

.

18

Isipadu = isipadu bagi a piramid + isipadu bagi separuh silinder

2. Rajah 6 menunjukkan silinder dengan tinggi 20 cm dan diameter 14 cm. sebuah kondengan jejari 7 cm dan tinggi 9 cm dikeluarkan dari pepejal tersebut. Hitung isipadu in cm3

pepejal yang tinggal (Guna π = ). `[4 marks]

RAJAH 6

3. Rajah 7 menunjukkan sebuah pepejal gabungan separuh silnder dan sebuah prisma tegak pada satah segiempat DEFG.

DE = 14 cm, EJ = 8 cm, dan tinggi bagi prisma tegak ialah 6 cm. Hitung

isipadu, in cm3, bagi pepejal itu. (Guna )

4 mark

4 Rajah 1 menunjukkan gabungan pepejal hemisfera dan sebuah silinder.

19

diameter bagi silinder ialah 14 cm dan tingginya ialah 35 cm. diameter bagi hemisfera ialah 21 cm

Hitung isipadu, in cm3, bagi pepejal itu.

[ Use ]

[4 marks]5. . Rajah 3 menunjukkan gabungan pepejal terdiri dari kon dan hemisfera

diameter bagi kon dan hemisfera ial;ah masing-masing 21cm. Isipadu bagi pepejal itu ialah 4

042.5 cm3. Menggunakan π = , hitung tinggi bagi kon itu dalam cm. [4 marks]

Answer:

20

6. Rajah 4 menunjukkan sebuah pepejal gabungan dari pyramid tegak dan kuboid.

isipadu bagi pepejal itu ialah 1 100 cm3. Hitung tinggi bagi piramid itu. [4 marks]

GRAF FUNGSI - Paper 1Nota :

Jenis graf (a > 0) Positive (a < 0) Negativei. Linear

ii. Kuadratik

iii. Kubik

Y

x

Y

x

21

Y

x

Y

x

Y y

x X

Y y

X x

iv. salingan

Contoh :

1. Graf yang manakah yang berikut mewakili y = x 2 + 7 ?

A B

C D

2.

22

Y

x0

7

70

y

y

x0

y

0x

1 Angka beerti / bentuk piawai – PAPER 1 SAHAJA

3. Graf yang manakah yang berikut mewakili

A B

C D

ANGKA BEERTI

NOMBOR BUKAN SIFAR

SIFAR DI TENGAH-TENGAH

SIFAR DI SEBELAH KANAN

Bukan angka beerti

sifarsifar di sebelah kiri

bagi nombor perpuluhan

sifar di sebelah kanan bagi nombor yang lebih dari satu

23

27

y

3 xO

3

27 x

y

O

3

y

-27 xO

27

y

-3 xO

CONTOH DAN LATIHAN :

1. Bundarkan 73 900 betul kepada dua angka beerti.

A 74B 740C 73 000D 74 000

2 3.4 x 10 5 – 47 000 =

A 2.93 x 10 5

B 8.1 x 10 4

C 2.93 x 10 9

D 8.1 x 105

3

A 1.435 x 10 4 B 1.435 x 10 5 C 2.87 x 10 2 D 2.87 x 10 3

4 Bilangan populasi bagi dua daerah ialah 3 700 000 dan 290 000 masing-masing. Cari perbezaan populasi bagi dua daerah tersebut.

A 3.41 x 10 5 B 3.41 x 10 6

C 0.341 x 10 5 D 34.1 x 10 6

5

5

4

4

44

45

1093.2

103.29

107.434

107.410104.3

107.4104.3

24

BENTUK PIAWAI A X 10N

1 < A < 10 N IALAH

INTEGER

73900 – next kepada 3 ialah 9, rounding off kepada 2 s.f will give answer 74000

6.

7.Ungkapkan 2.314 10-5 sebagai suatu nombor tunggal.

A 0.02314

B 0.002314

C 0.0002314

D 0.00002314

7. Bundarkan 70 699 betul kepada empat angka beerti.

A 70 600 B 70 610 C 70 620 D 70 700

8. Ungkapkan 7.564 x 10-5 sebagai suatu nombor tunggal.

A 0.007564 B 0.00007564 C 0.0007564 D 0.07564

10. =

A 1.6 x 103 B 1.6 x 104

C 1.6 x 10-8 D 1.6 x 10-9

PERSAMAAN KUADRATIK – PAPER 2 SAHAJA

NOTA : UNGKAPAN KUADRATIK PERSAMAAN KUADRATIK

25

Satu anu sahaja dan kuasa tertinggi ialah 2

Satu anu sahaja dan kuasa tertinggi ialah 2

Hasil dari 2 ungkapan linear. Hasil dari 2 persamaan linear. pemfakkepadaran : Selesaikan persamaan :


1. Selesaikan persamaan (3x - 2)(2x - 1) = 3x(x - 1) + 9 [4 marks]

2. Selesaikan persamaan 3x2 = 2(x – 1) + 7. [4 marks]

3. Selesaikan persamaan kuadratik

[4 marks]

4. Selesaikan persamaan kuadratik . [4 marks]

26

SPM

Latihan :

Selesaikan persamaan :

(a) = x + 6 (b) (w – 1)2 – 32 = 0

(c) 2a2 = 3(1 + a) + 2 (d) = 4

2. SETS – PAPER 1

NOTA :Symbols Definition Conkepadah

Set semesta – semua yang dibincangkan

= { x: x ialah nombor ganjil yang kurang dari 10}= { 1,3,5,7,9}

, {} Empty set / set kosong

A = { nombor perdana kurang dari 2 }A = {}

Є , Є

Element of, not element of

B = {1,3,5,7,9,11,13,15}1 Є B, 2 Є B

N Bilangan bagielements

n(A) = 0n(B) = 8

Subset , not subset {1,3,5} B{2,4,6} B

A’ Complement(bukan)

={ 1,2,3,4,5}A = { 2,3,5}A’ = {1,4}

Intersection(serupa)

A = { 1,2,3,4,5} B = { 2,3,4}A B = {2,3,4}

Union ( semua) P = { 2,4,6,8} Q = { 1,2,3} P Q = {1,2,3,4,6,8}


27

1. Rajah di bawah menunjukkan gamabarajah Venn yang menunjukkan bilangan elemen bagi set H, set K dan set L. K

Diberi bahawa dan , cari nilai bagi y

A 1 B 2 C 3 D 4

2 Rajah 2 menunjukkan gambarajah Venn dengan . Di antara 4 kawasan, A, B, C, dan D, yang manakah mewakili set P / R / ?

RAJAH 2

3.

28

A

BC D

P

Q

R

5 11

y+ 3

y

H Ln(H’) = n(HK)y + y + 3 = 112y + 3 = 11 2y = 11 - 3 2y = 8 y = ; y = 4

4. Diberi bahawa = { x : 20 < x < 30 , x ialah integer } , set K = {x : x ialah x < 26 }

dan set L = { x : x ialah nombor perdana} .Cari n( K L ) .

A 1B 2C 3D 4

29

7. Diberi = { x : x ialah integer , } dan

T = { x : x dimana hasiltambah digit-digit ialah kurang dari 5 } . Cari

A 3

B 7

C 10

D 11

In Rajah 14 , ialah universal set.

Set ialah

A{d , e , f , g , h}

B{d , e , f }

C{g , h}

D{k}

30

ab d

fg

PQ

RAJAH 14

SETS – PAPER 2 (ALTERNATELY, 2004/06,…)


Rajah menunjukkan set semesta , set P dan set Q. lorekkan kawasan yang mewakili set :i. . ii.

[3 marks]

2. Gambarajah Venn menunjukkan set A, B dan C. lorekkan (a) set [3 marks](b) set

3. Gambarajah Venn menunjukkan set A, B dan C. lorekkan [ 3 marks]a. b.

4. Gambarajah Venn menunjukkan set P, Q dan R. lorekkan [ 3 marks]

P Q P Q

AB

C

A

B

C

31

Set P = bukan QBukan P gabung dgn (P = Q)

A

A B C B C

a. B.

TRIGONOMETRY – PAPER 1 SAHAJA

Nota :

1. Unit circle / bulatan unit – satu bulatan dengan jejari 1 unit pada satah Cartesian.

2. melibatkan sudut dari 0 – 360 darjah.

Q R

P

32

Q R

P

3. Sudut-sudut khusus

Sukuan I Sukuan II Sukuan III Sukuan IVY 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360Sin 0 0.5 0.866 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866 -1 -.866 -0.5 0Cos 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.87 -1 -0.87 -0.5 0 0.5 0.866 1Tan 0 0.58 1.732 -1.73 -0.58 0 0.58 1.73 - -1.7 -0.58 0

4. Graf trigonometri

CONTOH DAN LATIHAN – PAPER 1

1. Diberi bahawa tan x = , cari nilai bagi sin x - kos x .

Y 90˚ 1

Sukuan sukuan II I Sin +ve Semua +ve180˚ 180- 0˚ -1 1 x 360˚ 180 + 360 - Sukuan III Sukuan IV Tan +ve Kos +ve

-1

270˚

33

Sin = y Cos = x Tan = “SINYU COSEC TANYX”

Tan x = : lukialah 24 7Guna Teorem Phythagoras, 7, 24, 25Maka sin x = , kos x = ,Jadi sin x – kos x = - ,

=

INGAT TEOREM IBNU HAITHAM..!

3, 4, 55, 12, 136, 8, 107, 24, 258, 15, 17

2

3 Dalam Rajah 6, PTQ ialah garis lurus. Diberi sin .

Cari nilai bagi sin STQ .A

C

B D

5 Di antara garaf yang berikut, yang manakah mewakili y = tan x?

34

Q

T

R

PS

5 cm

3 cm

8 cm

RAJAH 6

A B

C D

6. Dalam rajah, GHEK ialah garis lurus dan GH = HE.

13 cm

25 cm7 cm

GK

F

J

EH

Cari nilai bagi tan x.

A B C D

5. CIRCLES – PAPER 1 SAHAJA

Nota :

35

0 90 270

y

x

y

x0 90º 180º0 45º 90

y

x

0 180º 360

y

x

Circles in lower forms :

sudut di pusat sudut yg di sudut di lilitan Hasiltambah= 2x sudut di cangkum = 90˚ bagi semi sudut berten- lilitan. oleh lengkok bulatan. tangan = 180˚. yg sama adalah sama saiz.

Tangen kepada bulatan :- Berserenjang dengan jejari.

- sudut antara tangen dengan perentas = dengan sudut pedalaman bertentangan


1.

P Q R

Dalam rajah 2, PQR ialah tangent kepada bulatan di Q. Cari nilai bagi y.

A 30 0 B 45 0 C 55 0 D 75 0

2. In rajah di bawah, RST ialah a tangent kepada circle pusat O, at point S.

36

RAJAH 2

750

y

S

100

55

y

OR

T

Q

S

P

nilai bagiy ialahA 45 B 60 C 70 D 125

4Dalam Rajah 3, JKL ialah a tangen kepada bulatan berpusat O, di K. MOL ialah

garis lurus.

Jika JKM = 70º , cari nilai bagi x.

A 30 B 40 C 50 D 70

SUDUT DONGAKAN DAN SUDUT TUNDUK – PAPER 1

37

xº

M

J

K

L

O

70º

RAJAH 3

Sudut tunduk

sudut dongak

NOTA : 1. Cara menentukan sudut ialah dengan melihat perkataan ‘dari / dari’ dalam

soalan. 2. Dialahitulah terletak anak mata dan keluar garialah mengufuk serta arah

cerapan. 3. Sekiranya arah cerapan ke bawah, maka sudut tunduk dan sekiranya arah

cerapan ke atas, maka sudut yang terbentuk ialah sudut dongak.4. Kemahiran ‘SOH CAH TOA’ dalam trigonometri adalah penting dalam

mencari sudut yang dikehendaki.


1. Rajah 7, P, Q dan R aadalah tiga titik di atas permukaan rata. PT dan RS adalah dua tiang tegak. sudut dongakan bagi T dari Q ialah 50 0 manakala sudut tunduk bagi Q dari S ialah 43 0 . Cari jarak, dalam m , diantara dua tiang itu.

A 3.4 B 6.4 C 9.8 D 11.8

Maka, PQR = PQ + QR = 3.36 + 6.43 = 9.79 = 9.8 m

2 Rajah 8 menunjukkan dua tiang tegak, AB dan CD , di atas satah mengufuk. sudut tunduk bagi puncak C dari puncak A ialah 35 0 dan AB=2 CD.

38

4 m

T

P Q R

S

6 m

T dari Q ialah 50 0 ,

= 3.36 m

Q dari S ialah 43 0

= 6.43 m

RAJAH 8Cari jarak bagi BD, dalam cm.

A 1.2B 1.4C 1.6D 2.0

3.

4.Dalam Rajah 9, P dan Q adalah dua tiang bendera di atas tanah rata. Diberi

39

C

D B

1.4 cm

bahawa sudut dongakan bagi puncak Q dari P ialah 35°.

Cari tinggi P, dalam m.

A 21.01

B 39.62

C 52.30

D 58.99

5. Dalam rajah, TS dan UV adalah dua tiang tegak di atas tanah mengufuk. sudut dongakan bagi V dari S ialah 42.

Hitung nilai bagi h.A 10.4 B 12.0 C 14.1 D 17.9

6. Dalam rajah di bawah, MN dan PQR adalah dua tiang tegak di atas satah mengufuk.

Q

P

M

N R

sudut dongakan bagi titik P dari M ialah

40

Q

F

P80 m

30 m

RAJAH 9

V S

3 m h m

10 m

A MPQ B PMQC PMR D PNR

GARIS LURUS – PAPER 1 DAN PAPER 2

NOTA :

1. KECERUNAN / KECERUNAN

2. INTERCEPT / PINTASAN

3. PERSAMAAN

4. Garis-garis selari

KONSEP : Kecerunan bagi garis-garis selari adalah sama. m1 = m2

CONTOH DAN LATIHAN – PAPER 1 :

41

i. Kecerunan (m) = tan ,ii. m =

m bagi pintasan = pintasan-y

pintasan-x

Bentuk Am bagi persamaan ialah : Membentuk persamaan garialah lurus dengan mencari nilai m (kecerunan/kecerunan) dan c (pintasan-y)

a. kecerunan dan pintasan-y diberi : Conkepadah : m = 3 dan c = -7,

Maka persamaannya : b. kecerunan dan satu titik diberi

Conkepadah : m= -2 melalui A(2,3)cari c dengan menggunakan

3 = -2(2) + c 3 + 4 = c c = 7

ii. Maka persamaannya ialah : y = -2x + 7

c. dua titik diberi – cari nilai m dan c, dan bentukkan persamaan

1. Rajah di bawah menunjukkan satu garis lurus PQ pada satah Cartesian .

RAJAH 15

Kecerunan bagi PQ ialahA - 4 B - 3 C 3 D 12

2. kecerunan bagi garis lurus 2x – 7y = 14 ialah

A B

C -2 D 7

3 Dalam Rajah 16, TV ialah garis lurus.

Diberi kecerunan bagi garis lurus TV ialah . Cari nilai bagi k.

A 3 B 4 C 6 D 9

42

30

12

y

x

P

Q

Kecerunan bagi pintasan :

mPQ

Kecerunan bagi

y

x

6

k

T

VRAJAH 16

O

4. .

5. Cari pintasan-y bagi 3x – 4y = 12.

A -3 B -4 C 3 D 4

6 Dari persamaan garis lurus berikut, garis lurus manakah selari dengan paksi-x

A B y = 2 C x = y D x = 2

CONTOH DAN LATIHAN – PAPER 2

1. Rajah 3 menunjukkan garis lurus AB dan garis lurus CD dilukis pada satah Cartesian. AB selari dengan CD .

43

B

y

xO

C (0,6)

A(3,5)

D(2,0)

AB selari dengan CD ;i. mAB = mCD = = - 3ii. m = -3, at A(3,5) y = mx + c 5 = -3(3) + c c = 5 + 9 c = 14iii. persamaan bagiAB ialah

RAJAH 3 Cari

(a) persamaan bagi garis lurus AB, (b) pintasan-x bagi garis lurus AB.

2. Dalam rajah di bawah, graf yang menunjukkan PQ, QR, dan RS ialah garis lurus. P terletak di atas paksi- y. OP selari dengan QR dan PQ selari dengan RS.

Persamaan PQ ialah 2x + y = 5.(a) Nyatakan persamaan bagi garis lurus QR.(b) Cari persamaan bagi garis lurus RS dan seterusnya, nyatakan pintasan-y.

[5 marks]

2. Rajah di bawah menunjukkan garis lurus EF dan yang selari.

y R

P

O Q x

S (8,-7)

44

mAB = -3,pintasan- y = 14 pintasan-x, bila y = 0

RAJAH 2Cari

(a) persamaan bagi EF.[ 3 marks ]

(b) Pintasan-y dan pintasan-x bagi EF.

[ 2 marks ]

3. Rajah di bawah menunjukkan STUV ialah sebuah trapezium.

RAJAH 3Diberi bahawa kecerunan bagi TU ialah -3, cari

(a) koordinat T.

[2 marks ]

(b) persamaan bagi garis lurus TU.[ 1 mark ]

45

(c) nilai bagi p, jika persamaan bagi garis lurus TU ialah

[ 2 marks ]

5. Rajah di bawah menunjukkan EFGH ialah segi empat selari.

RAJAH 5Cari

(a) persamaan bagi garis lurus GH.

[ 3 marks ]

(b) Pintasan-x bagi garis lurus FG.

[2 marks ]

GARIS DAN SATAH DALAM 3 MATRA – PAPER 1 DAN PAPER 2Nota :

46

1. Sudut antara garis dan satah

A BC D

E F G H

2. Sudut antara dua satah

CONTOH DAN LATIHAN A. PAPER 1

1. R

RAJAH 6

Rajah 6 menunjukkan sebuah kuboid. Namakan sudut antara satah HRK dan HKLM.

A PHQ B PLMC QKL D RKL

47

1. Kenalpasti garialah dan satah yang dikehendaki. Contoh : Cari sudut antara garis BG dengan satah EFGH.

2. Garis : BG sudutnya Satah : EFGH ialah G

3. Dari titik B, B jatuh tegak atas satah pada titik F, maka sudut dikehendaki ialah BGF

Kenalpasti dua satah yang dikehendaki – lorek jika perlu.Contoh : Cari sudut antara satah ABCD dan BDFH.Kenalpasti garis persilangan antara 2 satah BD.Maka sudut akan terletak pada titik B atau D.Bagi abjad yang tinggal, tengok yang dekat.

Contoh : AC DAN FH Maka sudut ABF atau CDH

H K

LM

PQ

SSudut antara HRK dan HKLM.1. Kenalpasti garis persilangan HK.2. Dari R, dekat dengan K atau H RK3. RK dekat dengan ..? L atau M ?4. Jadi sudutnya ialah RKL.

2. Rajah 8 menunjukkan pyramid tegak dengan tapak segiempat ABCD. P dan Q adalah titik tengah bagi BC dan AD,masoing-masing.

Namakan sudut antara satah BCE dan satah BCF.

A EPF

B EPQ

C PEF

D PEQ

48

A

E

C

F

BP

Q DA

E

C

F

BP

QD

3.

4. Rajah di bawah menunjukkan sebuah pyramid dengan tapak segitiga sama kaki PQR. M dan N adalah titik tengah bagi SU dan RQ masing-masing.

SU

QR

P

T

M

N

Namakan sudut antara satah PQR dan satah PUS.

A UPT B NPTC QPN D MPN

49

1. Line PM & PSTU., maka sudut di P.2. Dari garialah PM, tinggal M, maka sudut ialah MPO (katakan titik tengah TU ialah O ).3. Maka,

= 47.97

5.

E

F

K

JL

G

M

H

Rajah di atas menunjukkan sebuah kuboid dengan EFGH sebagai tapak mengufuk. sudut antara garis LE dan satah EFGH ialah A LEH B MEHC LEG D MEL

6.

NP Q

RS

T

rajah di atas menunjukkan a pyramid with a mengufuk segi empat sama base PQRS. vertex T ialah tegakly di atas pusat bagi base N. sudut antara line TQ dan satah TPR ialah A TQN B QTRC QTN D STQ

7.

13 cm

5 cm

12 cm

E

F G

H

J K

rajah di atas menunjukkan sebuah prisma dengan tapak mengufuk EFGH. Sudut antara satah FGK dan satah EFGH ialah A KFH B FKHC KGH D KGF

50

B. PAPER 2

1 Rajah 2 menunjukkan suatu prisma tegak dengan tapak KLMN. Trapezium PQLK ialah keratan rentas seragam bagi prisma itu.

RAJAH 2Kenalpasti dan hitung sudut antara satah SLN dan satah SRMN .

[4 marks]

51

K L

MQ

8cm

6cm

12cm

N

R

S

P 1. SLN & SRMN , garis perslgn di SN, maka sudut di titik S atau N.2. Pada satah SLN, tinggal L, maka sudut LN ke M atau R, mana dekat?3. Maka sudut LNM diambil.

3. Rajah 1 menunjukkan prisma tegak dengan tapak mengufuk JKLM. Trapezium JKQP ialah keratan rentas seragam bagi prisma dan satah QRLK ialah satah condong.

Hitung sudut antara satah RSJ dan tegak satah RSML.[4 marks]

52

RAJAH 1

5 cmS R

Q

P

M L

KJ

8 cm

12 cm

2. PENAAKULAN MATEMATIK – PAPER 2 SAHAJA.

NOTA :

1. PERNYATAAN AYAT YANG MAKSUDNYA JELAS BENAR ATAU PALSU.

2. PENGKUANTITI ALL / SEMUA --- UNTUK SEMUA KES SOME --- BENAR BAGI BEBERAPA KES SAHAJA.

3. OPERASI - a. Not / bukan – mengubah maksud pernyataanb. menggabung (compound) 2 pernyataan dgn :

P q P dan q P or qBenar / true Benar / true Benar / true Benar / truePalsu / false Benar / true Palsu / false Benar / trueBenar / true Palsu / false Palsu / false Benar / truePalsu / false Palsu / false Palsu / false Palsu / false

4.IMPLIKASI / IMPLICATION “Jika P, maka Q” / “Jika p, n q”

a. Satu implikasi sahaja :

Antecedent / sebab: m > n Implikasi : Jika m > n, n m - n > 0. Consequent / akibat : m – n > 0 Akas : Jika m – n > 0, n m > n.

b. 2 implikasi -- “p jika dan hanya jika q”Implication 1 : Jika p, n qImplication 2 : Jika q, n p.

5. HUJAH / ARGUMENTS – TIGA BENTUKP1 : ALL A IALAH B P1 : JIKA P, N Q P1 : JIKA P, N QP2 : C IALAH B P2 : P P2 : ~

PKESIMPULAN: C IALAH A

KESIMPULAN : Q KESIMPULAN : ~ Q

6. MEMBUAT KESIMPULAN

53

ARUHAN / ARUHAN

Dari beberapa kes formula Eg.

. . . . . . . . .3n + 2, n = 1,2,3,…

DEDUKSI / DEDUKSI

Formula guna dalam beberapa kes

Eg. luas bagi bulatan ialah .ABCD ialah bulatan dengan jejari 7 cm. luas bagi bulatan ABCD ialah =154cm


1 (a) Lengkapkan kotak di ruang jawapan dengan “dan” / “atau”

(i) Pernyataan BENAR.3 4 = 7 3 + 4 = 7

(ii) Pernyataan PALSU.3 4 = 7 3 + 4 = 7

(b) (i) Lengkapkan KESIMPULAN bagi hujah berikut: Premis 1: Semua garis selari mempunyai kecerunan yang sama. Premis 2: PQ dan RS adalah garis-garis selari. KESIMPULAN:………………………………………………

(ii) buat KESIMPULAN secara aruhan bagi 5, 17, 37, 65, … yang memenuhi paten di bawah :

5 = 1 + 4(1)2

17 = 1 + 4(2)2

37 = 1 + 4(3)2

65 = 1 + 4(4)2

.…………………………………………………………………. [5 marks]

2. (a) Nyatakan sama ada ayat berikut merupakan pernyataan atau bukan pernyataan .

“ 7 bukan fackepadar bagi 40 “

(b) Tulis dua implikasi bagi pernyataan berikut.

“ P R jika dan hanya jika P R = P ”

Implikasi 1 : ............................................................................................

Implikasi 2 : ................................................................................

(c) buat KESIMPULAN umum secara aruhan bagi senarai di bawah. 5 = 4(1) + 13

16 = 4(2) + 23

37 = 4(3) + 33 80 = 4(4) + 43

……………… [5 marks]

KESIMPULAN : ...............................................................................................................

54

3

...............................................................................................

4(a) Nyatakan sama ada ayat berikut pernyataan ataupun bukan pernyataan.?

(b) Lengkapkan hujah berikut .Premis 1 : Semua faktor bagi 12 adalah fackepadar bagi 24.Premis 2 : 3 ialah faktor bagi 12.KESIMPULAN :________________________________________________

(c) Buat KESIMPULAN umum secara aruhan bagi senarai nombor di bawah : 5 = 3(2) – 110 = 3(22) – 221 = 3(23) – 360 = 3(24) – 4………………

__________________________________________________________

55

x + y = 2

5. (a) Nyatakan sama ada setiap yang berikut pernyataan benar atau palsu.

(i) 23 = 6 or = 3.5

(ii) ( -4 ) x ( -5 ) = 20 dan -4 > -2

(b) Lengkapkan premis bagi hujah berikut:

Premis 1 : Jika penentu bagi suatu matriks = 0, maka matriks itu tiada songsangan.

Premis 2 : _______________________________________________

KESIMPULAN : Matriks A tiada songsangan.

(c) Tulis dua implikasi berdasarkan ayat berikut .

A B jika dan hanya jika A B = A’

(i)_________________________________________________________

(ii)________________________________________________________

5. (a) Nyatakan sama ada setiap yang berikut pernyataan benar atau palsu.

b. Tulis dua implikasi berdasarkan ayat berikut:

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

(c) Lengkapkan premis bagi hujah berikut:

Premis 1 :_______________________________________________Premis 2 : x 3KESIMPULAN : 9

56

P3 = 8 jika dan hanya jika p = 2

STATISTIK IIIPAPER 2 – SECTION B – 12 MARKS

NOTA :

JENIS GRAF :1. HISTOGRAM2. KEKERAPAN POLYGON / POLIGON KEKERAPAN3. KEKERAPAN LONGGOKAN – OGIF

SUKATAN SERAKAN

Q2 - MEDIAN – SECOND QUARTILE

Q1 - FIRST QUARTILE --> RUJUK KEPADA X JUMLAH KEKERAPAN

Q3 - THIRD QUARTILE RUJUK KEPADA X JUMLAH KEKERAPAN

INTERQUARTILE RANGE / JULAT ANTARA KUARTIL = Q3 – Q1 GROUPED DATA / DATA TERKUMPUL – DATA DIKELASKAN DALAM JADUAL KEKERAPAN MENGIKUT KELAS TERTENTU.

CONTOH :

BERAT PELAJAR (KG) TINGKATAN 4 SMK AGAMA BALING

KELAS KEKERAPAN30 – 39 1040 – 49 2550 – 59 3760 – 69 2370 – 79 1480 – 89 790 – 99 3

57


1. Data dalam rajah di bawah menunjukkan bilangan bagi panggilan telefon oleh 40 murid dalam sebulan.

28 22 34 26 22 37 35 3823 20 22 33 39 17 45 2821 39 35 14 38 24 27 3519 34 31 26 40 32 28 4430 32 29 27 32 40 33 30

(a) Menggunakan data dalam rajah 7 dan selang kelas bagi 5 panggilan telefon, lengkapkan Jadual 3 dalam ruang jawapan.

[4 marks](b) Dengan menggunakan skala bagi 2 cm kepada 5 panggilan telefon pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 5 murid pada paksi menegak , lukis polygon KEKERAPAN berdasarkan Jadual 3.

[4 marks]

© Cari kelas modal dan min anggaran bagi data. [4 marks]

Bilangan bagi panggilan telefon

Sempadan atas

KEKERAPAN Titik tengah

6 – 10 10.5 0

11 – 15

16 – 20

58

59

Graf

2. Data dalam rajah di bawah menunjukkan derma, bagi 40 keluarga kepada badan kebajikan sekolah.

40 24 17 30 22 26 35 19 23 2833 33 39 34 39 28 27 35 45 2138 22 27 35 30 34 31 37 40 3214 28 20 32 29 26 32 22 38 44

(a) Menggunakan data dalam rajah di atas, dan selang kelas bagi RM5, lengkapkan jadual berikut. [4 marks]

Derma KEKERAPAN Kekerapan longgokan

11 – 15

16 - 20

(b) Dengan Menggunakan skala 2 cm kepada RM5 pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 keluarga pada paksi-y, lukis ogif berdasarkan data. [4 marks]

(c) Dari ogif dalam (b), (i) cari median dan kuartil ketiga.

Median = …..……………… , kuartil ketiga = ………………….

(ii) Seterusnya, terangkan secara ringkas apa maksud kuartil ketiga berkenaan.

…………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………

60

61

Graf

3 data di bawah menunjukkan jisim dalam kg, bagi bagasi sekumpulan pelancong. . Setiap pelancong mempunyai satu bagasi.

27 10 22 28 21 14 29 2529 18 22 13 20 21 24 2727 25 16 19 16 24 26 2729 19 33 25 23 24 26 31

(a) Berdasarkan data di atas, dan dengan menggunakan selang kelas 3, lengkapkan jadual di bawah. [4 marks]

Selang KELAS KEKERAPAN Titik tengah

10 – 12

13 - 15

(b) Berdasarkan kepada jadual dalam (a), hitung min anggaran jisim bagi bagasi-bagasi tersebut. [3 marks]

(c) Dengan Menggunakan skala bagi 2 cm kepada 3 kg pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 bagasi pada paksi-y, lukis histogram bagi data [3 marks]

(d) Nyatakan satu maklumat berdasarkan kepada histoggram dalam (c). [2 marks]

62

63

Graf

ASAS NOMBOR – PAPER 1 SAHAJA

Asas nombor adalah dari nombor indeks masing-masing.

1. Asas 2 / Base 2

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

2. Asas 5 / Base 5

625 125 25 5 1

3. Asas 8 / Base 8

512 64 8 1

4 Asas 10/ Base 10

1000000 100000 10000 1000 100 10 1

1.

2.

3.

101012 – 10012 =

A 10002

B 10102

C 11002

D 11102

Apakah nilai bagi digit 3 dalam asas 5 bagi nombor 49 32810 ?

A 1200

B 2020

C 2200

D 2220

64

TUKAR KEPADA ASAS 10:16 8 4 2 1 8 4 2 11 0 1 0 12 – 1 0 0 12

16+4+1 – 8+1 = 21 - 9 = 12TUKAR 12 KE ASAS 28 4 2 11 1 0 0 C

NOMBOR DLM ASAS 10- DIGIT 3 = 3 X 100 = 300 JADI , DLM ASAS 5125 25 5 1

2 2 0 0 C = 2 X 125 + 2 X 25

JADI DIGIT 3 DLM ASAS 5 IALAH 3 X 25 = 75

5

Apakah nilai bagi digit 3,dalam asas sepuluh, dalam nombor 432015.

A 125B 375C 500D 1900

65

ASAS 5 ASAS 10 ASAS 825 + 5 + 1 = 31 = 3 X 8 + 7 = 37 D

GRAF FUNGSI II – PAPER 2/ SECTION B (12 marks)

(a)

Lengkapkan jadual di atas bagi persamaan . [2 marks]

(b) Dengan Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf bagi bagi 25 x 4.

[4 marks](c) Dari graf, cari

(i) nilai bagi x bila y = 5

(ii) nilai bagi y bila x = 3.3 [2 marks]

(d) Lukis satu garis lurus pada graf untuk mencari nilai positif x yang memuaskan persamaan bagi – 25 x 4.

Nyatakan nilai bagi x [4 marks]

Answer :

c) i x = ..................................................

ii. y = .................................................

d) x = ................... x = .........................

x 2.5 2 1 0.5 1 2 3 4

y 2 1 – 3.9 5 13 46

66

Selesaikan persamaan : ( 1 ) ( 2 )

Plot nilai bagix dan y pada graf untuk mencari nilai.

nilai bagi x pada titik persilangan antara y = 6x -5 dan

Latihan :

67

(a) Lengkapkan Jadual 2 bagi persamaan . [2 marks]

(b) Dengan Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf bagi for – 3 ≤ x ≤ 4 .

[4 marks](c) Dari graf, cari

(i) nilai bagi y bila x = 2.5 ,(ii) nilai negative bagi x bila y = 7 .

[2 marks]

(d) Lukis satu garis lurus pada graf untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan for – 3 ≤ x ≤ 4 . Nyatakan nilai-nilai bagi x.

[4 marks]

Answer :

(a)

-3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 4

8 16 2 -8 -12 4.4 22

JADUAL 2

(b) RUJUK graf

(c) (i) y = ……………………….

(ii) x = ………………………

(d) x = ………………………… , ……………………………

68

x

y

2. a) Lengkapkan Jadual 2 di ruang jawapan bagi persamaan y = x2 – 5x + 4.

b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf bagi y = x2 – 5x + 4 bagi 0 ≤ x ≤ 8.

69

c) Dari graf, caria. nilai bagi y bila x = 4.5,b. nilai bagi x bila y = 21.75

d) Lukis satu garis lurus pada graf untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan x2 – 7x + 3 = 0 for 0 ≤ x ≤ 8.

Nyatakan nilai-nilai bagi x.

Answer:

a)

X 0 1 2 2.5 3 4 5 6 7 8Y 4 0 -2 -2 4 10 18 28

Jadual 2

c) i) y =

ii) x =

d) x =

70

Graf RAJAH 5

KETAKSAMAAN DALAM GRAF FUNGSI – PAPER 2 - 2009, 2007, 2005, 2003

NOTA :

71

Y ≥ - KE ATAS GARISAN, Y ≤ - KE BAWAH GARISAN X ≥ - KE KANAN, X ≤ - KE KIRI

GARIS PUTUS-PUTUS UNTUK > ATAU <, GARIS TERUS UTK ≤ DAN ≥

1 Di ruang jawapan, lorek kawasan yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan y ≥ −2x + 12 , y < 12 dan x ≤ 6 [3 marks]Answer :

2. Di ruang jawapan, lorek kawasan yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan

2y x – 4, y 2x + 1 dan y 1. [3 marks]

2y = x - 4

y = 2x + 1

Ox

y

3. Di ruang jawapan, lorek kawasan yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan dan .

72

x

y

0

4.

PENJELMAAN

Y

y = 2x – 4

y = - x + 6

0 2 6 x

- 4

73

Penjelmaan Jenis Imej Contohi. Translasi Tiada perubahan

kecuali kedudukan

ii. Pantulan Terbalik / songsang

iii. Putaran berputar

74

6 units ke kanan A 1 unit ke bawah

A’ Translasi

P B

B’

Paksi pantulan Q

B’ ialah imej bagi B di bawah pantulan pada garis PQ

B ikut arah jam A’ B’ A C C’

O C’ C’ A’ B’ A’ B’ Lawan arah jam

A’B’C’ ialah imej bagi segitiga ABC di bawah putaran ikut arah jam bagi 90˚,180˚ dan 270˚ pada pusat O.

iv. Pembesaran Lebih besar, lebih kecil atau sama dengan

PQRST ialah imej bagi ABCDE di bawah pembesaran dengan faktor skala 2 berpusat O.

CONTOH :

1. Rajah di bawah menunjukkan tujuh titik pada segi empat sama grid. L ialah imej bagi K di bawah satu pantulan. Paksi pantulan ialah garis lurus yang menyambungkan titik P dan ..........................................................

6. Rajah di bawah menunjukkan beberapa titik di atas satah Cartesian. Di antara titik A, B, C atau D, yang manakah imej bagi titik M di bawah putaran 270 0 arah lawan jam pada pusat (3,-2)?

Q R P S B C A D T EO

75

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

123

-1

-2-3-4

.A

.D .C

.B

- 5

.M

.P

.L

.K. Q

T..R .S

Paksi pantulan ialah pembahagi dua sama serenjang antara imej.

Pusat putaran sentiasa sama jarak dari objek dan imej.

3. Dalam rajah di bawah, N ialah imej bagi M di bawah translasi . Jarak bagi MN

ialah 5 units.

y

xO

N

M(-3,6)

translasi ialah

A B

C D

4. Rajah di bawah menunjukkan dua segi empat sama, R dan S, dilukis pada grid segi empat sama.

S

RA B

CD

S ialah imej bagi R di bawah pembesaran. Di antara titik-titik A, B, C atau D, yang manakah pusat bagi pembesaran itu?

LATIHAN :

76

1. Rajah di bawah menunjukkan lima segitiga yang dilukis pada grid segi empat sama

H

B

C D

A

O

Di antara empat segitiga A, B, C dan D, yang manakah imej bagi H di bawah a putaran 180 berpusat O?

2.

3. Rajah 4 menunjukkan lima segitiga yang dilukis pada grid segi empat sama.

773

2B

A

Q

y

Segitiga yang manakah di antara A, B, C atau D ialah imej bagi segitiga Q di bawah putaran 90° arah lawan jam berpusat (1,1) ?

4. Rajah 5 menunjukkan lima polygon dilukis pada grid segi empat sama.

B A D P C

Polygon yang manakah antara A, B, C atau D ialah imej bagi P di bawah pantulan ?

78

RAJAH 5

2

-2-4 0 2 4

-2

-4

4. Rajah di bawah menunjukkan dua segi empat sama, PQRS dan KLMN dilukis pada grid segi empat sama. PQRS ialah imej bagi KLMN di bawah pembesaran berpusat O. Cari faktor skala bagi pembesaran.

A B C 2 D 3

PENJELMAAN III – PAPER 2

GABUNGAN PENJELMAAN – PT BERMAKNA PENJELMAAN T DIIKUTI PENJELMAAN P.

LUAS BAGI IMEJ = k2 x luas objek.

1. (a) Rajah 1 menunjukkan dua titik, M dan N, pada satah Cartesian. y

N

x

M

79

P

K

S N O L Q

M

R

Penjelmaan Y ialah a translasi . Penjelmaan P ialah a pantulan in x-axialah.

(i) Nyatakan koordinat bagi imej bagipoint N di bawah penjelmaan Y. (ii) Nyatakan koordinat bagiimej bagipoint M di bawah berikut penjelmaan:

(a) Y2

(b) YP [3 marks]

(b) Rajah 2 menunjukkan tiga trapezium ABCD, EFGH dan PQRS di atas satah cartesian.

6

4 2

O 2 4 6 8 10

RAJAH 2

Trapezium ABCD ialah imej bagi trapezium PQRS di bawah penjelmaan M. Trapezium EFGH ialah imej bagi trapezium ABCD di bawah penjelmaan N.

(i) Huraikan selengkapnya penjelmaan : (a) M

(b) N [6 marks]

(ii) Hitung luas bagi trapezium EFGH, jika luas bagi trapezium ABCD ialah 25 unit2. [3 marks]

80

A B

CD

P Q

R

S F G

HE

2. (a) Rajah 3 menunjukkan titik K pada satah Cartesian.

Penjelmaan R mewakili putaran 90 lawan arah jam pada titik (3, 2). Penjelmaan T

mewakili a translasi . Nyatakan koordinat bagi imej bagi point K di bawah

penjelmaan berikut.

(i) R (ii) RT [3 marks]

(b) Rajah 4 menunjukkan tiga segiempat EFGH, ABCD dan OFJK pada satah Cartesian . EFGH ialah imej bagi ABCD di bawah penjelmaan U dan OFJK ialah imej bagi EFGH di bawah penjelmaan V .

81

y

xO

4

2

2 4 6

-2

-4

-2-4

A

B

C

D

H

E F

G

JK

y

x0

4

2

2 4 6

-2

-4

-2-4

K

(i) Huraikan selengkapnya penjelmaan ,

(a) U,

(b) V. [6 marks]

(ii) Diberi bahawa luas kawasan berlorek ialah 120 unit , cari luas bagi ABCD. [3 marks]

3. (a) Rajah 5 menunjukkan titik F pada satah Cartesian.

RAJAH 5

Penjelmaan S ialah a translasi . Penjelmaan T ialah a pantulan pada garis x = 9.

(i) Nyatakan koordinat bagi imej bagi titik F di bawah penjelmaan S. (ii) Nyatakan koordinat bagi imej bagi titik F di bawah penjelmaan TS. [3 marks]

82

x

y

2 4 6 8 10 12 14 166

2

4

6

8

10

0

F

(b) Rajah 6 menunjukkan tiga segitiga PQR, ACG dan EFG pada satah Cartesian.

i. Segitiga ACG ialah imej bagi segitiga PQR di bawah penjelmaan V. Trapezium EFG ialah imej bagi segitiga ACG di bawah penjelmaan W. Huraikan selengkapnya penjelmaan:

(a) V (b) W [3 marks]

(ii) Diberi bahawa luas bagi segitiga EFG mewakili kawasan dengan luas 72 unit2. Hitung luas, dalam unit2, bagi kawasan diwakili dengan segitiga PQR.

4. (a) Rajah 7 menunjukkan titik M pada satah Cartesian.

83

x

y

E

2 4 6 8 10

12

14

166

2

4

6

8

10

O

F

C

A

GP

RQ

y

-12 42O-2-4-6-8-10x

2

4

6

8

10

M

Penjelmaan P ialah pantulan pada garis x= -3. Penjelmaan R ialah putaran 90o ikut arah jam pada asalan.

Nyatakan koordinat bagi imej bagi titik M di bawah penjelmaan berikut:

(i) P (ii) RP [3 marks]

(b) Rajah 8 menunjukkan tiga trapezium ABCD, RSTU dan WSYX pada satah Cartesian.

WSYX ialah imej bagi ABCD di bawah gabungan penjelmaan UV.

(i) Huraikan selengkapnya penjelmaan:

(a) U

(b) V [5 marks]

(ii) Diberi bahawa luas bagi kawasan berlorek WXYTUR ialah 150 cm2. Hitung luas, in cm2, bagi kawasan diwakili oleh RSTU. [4 marks]

84

42O-2-4-6-8-10x

2

4

6

8

10

6

C

BA

D

SRW

UT

YX

y

MATRIKS – PAPER 1 DAN PAPER 2

PAPER 1

Tambah dan tolak - tambah dan tolak bagi unsur-unsur yang sepadan sahaja.

1. – + =

A.B.C.D.

Multiplication – darab -“mayat x batu nisan”.

2. Diberi bahawa = ( 18 ), cari nilai bagix.

A. 9B. 4C. -3D. -6

3. =

A.

B.

C.

D.

4. Diberi persamaan matriks 2 + k = , cari nilai bagi h+ k

A. 4 B. 8 C. 10 D. 11

5. 2 - =

85

[ 5-(-4)+(6) 8 – 3 + (8) ]= [ 9 + 3 5 + 4]= [ 12 9 ]

3x + x(-1) = 183x - x = 182x = 18x = 9

= =

A. B. C. D.

6. Diberi = , hitung nilai bagik

A. 8 B. 3 C. -1 D. -12

7. Diberi matriks persamaan 3 - k = , cari nilai bagi h – k.

A. 5 B. 9 C. 25 D. 45

8. =

A. B. C. D.

9. Diberi bahawa 2 + = , hitung nilai bagi k.

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

10. Diberi = , hitung nilai bagi x dan y.

A. x = - , y = -5

B. x = , y = -5

C. x = 5, y = -

D. x = 5, y =

Paper 2 ---- CERITA DUIT DAN CUKAI Matriks Songsang

,

86

“ada duit, bayar cukai,Jadi : songsangannya ialah :1 per ada duit kepadalak bayar cukai,Duit ada, kepadalak bayar kepadalak cukai ”

maka

Penyelesaian persamaan serentak dengan kaedah matriks ax + by = h

cx + dy = k ,maka :

x = p dan y = q.

latihan :

1 M ialah matriks 2 2 dengan keadaan :

(a) Cari matriks M

(b) Tulis persamaan berikut dalam bentuk matriks

Seterusnya , menggunakan matriks, hitung nilai bagi x dan bagi y.[6 marks ]

Answer:

(a) (1)

(b) (1)

87

(1)

(2)

Remarks

1. tidak boleh diberi markah penuh

2 . Murid mesti selesaikan dengan menggunakan kaedah matriks.

2 (a) Diberi

Cari nilai bagi p, q, r, dan s.

(b) Seterusnya, menggunakan matriks, hitung nilai bagi x dan bagi y.

[6 marks]

88

3 P ialah matriks 2 x x dan Q = . Diberi bahawa PQ = I

a) Cari matriks P.

b) Tulis persamaan serentak dibawah dalam bentuk matriks. 6x + 4y = 0

5x + 3y = 1 Seterusnya menggunakan matriks, hitung nilai bagi x dan bagi y. 6 marks

3. (a) Diberi bahawa G = dan inverse matriks bagiG ialah

cari nilai bagi m dan bagi n.

(b) Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai bagi p dan bagi q yang memuaskan persamaan berikut :

3. (a) Diberi bahawa cari matriks A.

89

(b) Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, cari nilai bagi r dan s yang memuaskan persamaan serentak di bawah.

-r + 2s = -4-3r + 5s = -9

4. Diberi matriks P = dan matriks PQ =

(a) Cari matriks Q.

(b) Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai bagi m dan n yang memuaskan persamaan :

4m + 5n = 76m + 8n = 10

5. Diberi matriks P ialah ,

(a) Cari matriks Q supaya PQ =

90

(b) Seterusnya, hitung nilaisbagi h dan k, yang memuaskan persamaan matriks:

Kebarangkalian – PAPER 1 DAN PAPER 2

NOTA : 1. Kebarangkalian satu peristiwa/ kebarangkalian of an events : P(A) = n(A)

n(S)2. Kebarangkalian peristiwa pelengkap ;

3. Kebarangkalian peristiwa bergabung : - keb. memilih A atau B => = P(A) + P(B)

- keb memilih A dan B => = P(A) X P(B)

LATIHAN :1.

91

2. satu huruf dipilih secara rawak dari perkataan EASYMATHS. Senaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi peristiwa mendapat huruf vocal.

3 Rajah 16 menunjukkan sebilangan kad.

6 13 14 27 35

RAJAH 16

Sekeping kad dipilih secara rawak. Nyatakan kebarangkalian bahawa kad yangdipilih ialah kad nombor genap.

5 Shafik mempunyai koleksi duit syiling dari Britain, Indonesia dan filipina. Dia memilih sekeping syiling secara rawak. kebarangkalian bagi memilih syiling

92

S = Sample Space N(S) = 25 Prob. Student does not wear spectacle = P (A)n(A) = 25 – 10 = 15

Indonesia ialah dan kebarangkalian bagi memilih syiling Filipina ialah .

Shafik mempunyai 10 syiling British. Hitung JUMLAH bilangan syiling dalam simpanannya.

A 70

B 45

C 35

D 30

6 Sebuah beg mengandungi 3 keping kad hitam, 7 keping kad merah dan 5 keping kad biru. Satu kad dipilih secara rawak dari bag. Nyatakan kebarangkalian bagi memilih sekeping kad yang bukab berwarna hitam.

A

B

C

D

KEBARANGKALIAN – PAPER 2

LATIHAN :

1. Jadual 1 menunjukkan bilangan bagi pelajar dalam KELAS 5 Maju yang memilih 2 jenis persatuan.

Murid Persatuan Matematik

Persatuan Sejarah

Lelaki 5 2Perempuan 3 6

JADUAL 1(a) Jika 2 murid dipilih secara rawak dari kumpulan lelaki., hitung

kebarangkalian bahawa kedua-duanya dadalah dari persatuan yang sama.

93

(b) Jika 2 murid dipilih secara rawak dari persatuan Matematik, hitung kebarangkalian bahawa kedua-dua murid adalah sama jantina.

[5 marks]

3. Rajah di bawah menunjukkan laluan bagi sebuah van yang membawa sekumpulan pelajar yang terdiri dari 5 lelaki dan 4 perempuan yang secara rawak diturunkan di beberapa ‘check point’

permulaan check point 3

penamat check point 1 check point 2

a) Jika dua pelajar diturunkan di check point 1, hitung kebarangkalian bahawa kedua-duanya perempuan.

b) Dua students yg berlainan jantina diturunkan di check point 1. Jika dua orang pelajar lagi diturunkan di check point 2, hitung kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya seorang dari mereka ialah perempuan.

94

3. Rajah di bawah menunjukkan 10 kad berlabel dalam dua buah kotak.

Sekeping kad dipilih secara rawak dari setiap kota. dengan menyenaraikan semua kesudahan, cari kebarangkalian bahawa

a) kedua-dua kad berlabel dengan nombor,

b) satu kad label dengan nombor atau satu kad berlabel dengan huruf.[ 5 marks ]

KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH A GRAF

1 Rajah 1 menunjukkan graf laju-masa bagi suatu zarah dalam jangkamasa 15 s.

95

A 2 B C D 3 E 4 F G

laju (ms-1)

masa (s)

23

k

5

0 6 10 15

TENGOK KEPADA JENIS GRAF1. GRAF JARAK /MASA 2. GRAF LAJU / MASAJarak – RUJUK kepada paksi-y # laju – RUJUK kepada paksi-yMasa – RUJUK kepada paksi-x # Masa– RUJUK kepada paksi-xLaju = # Kadar perubahan laju = kecerunan

# Jarak = Luas di bawah graf

RAJAH 1

(a) Nyatakan jarak, dalam m, zarah itu bergerak dengan laju seragam.(b) Hitung kadar perubahan laju, dalam ms-2, bagi 6 s yang pertama.(c) Hitung nilai bagi k, jika jumlah jarak yang dilalui bagi 15 s yang pertama ialah 139m.

[6 marks] Answer: (a)

(b)

(c)

2. Rajah 2 menunjukkan graf laju-masa bagi dua zarah, dan bagi jangkamasa 8s.

RAJAH 2

Graf OKNM mewakili pergerakan zarah dan graf JKL mewakili pergerakan zarah . Kedua-duanya mula bergerak pada waktu yang sama.

(a) Nyatakan jangka masa , dalam s, zarah bergerak dengan laju seragam.

96

masa (s)

laju (ms-1)

O

4

8

K

N M

8

L

6

J

3

(b) Hitung kadar perubahan laju, dalam ms-2, bagi zarah dalam 6 s yang pertama.

(c) Hitung perbezaan jarak, dalam m, bagi zarah dan zarah bagi jangka masa 8 s.

[6 marks] Answer: (a)

(b)

(c)

3. Rajah 3 menunjukkan graf jarak-masa bagi perjalanan Ali dan Fuad.

RAJAH 3

Garis lurus OB mewakili perjalanan Ali dari bandar X ke Bandar Y, manakala garis lurus FG mewakili perjalanan Fuad dari Bandar Y ke bandar X. Ali dan Fuad menggunakan laluan yang sama.

97

jarak (km)

masa

105

60

O0700 0730 0800 0830 0900 0930

F

G

B

(a) Nyatakan jarak, dalam km, dari bandar Y ke bandar X.(b) Cari masa Ali dan Fuad bertemu dalam perjalanan itu.(c) Cari jarak bila mereka bertemu dari Bandar Y.(d) Hitung kelajuan Fuad.

[6 marks] Answer:

(a)

(b)

(c)

(d)

4. Rajah 4 menunjukkan graf laju-masa bagi penunggang motorsikal dalam jangkamasa 30 Saat. Diberi bahawa JUMLAH jarak yang dilalui ialah 525 m.

Hitung,

(a) Kadar perubahan laju bagi 5 s yang terakhir.

(b) Jangkamasa bagi laju seragam,

98

masa (s)

laju (m s-1)

20

v

10 25 30RAJAH 4

(c) nilai bagi v.

[6 marks]

Answer: (a)

(b)

(c)

PELAN DAN DONGAKAN

1 (a) Rajah 1(i) menunjukkan sebuah pepejal gabungan dengan tapak QRXW terletak di atas satah mengufuk .Pentagon PQRST ialah keratan rentas seragam bagi prisma itu. segiempat STUY ialah satah mengufuk manakala segiempat PTUV ialah satah condong. Manakala sisi PQ dan SR adalah tegak.

99

2 cm

8 cm

RX

YS

Q

PV

TUW

8 cm

5 cm

3 cm

RAJAH 1(i)

PELAN – pdanangan dari atasDONGAKAN – pdanangan dari sialahi – depan

- kiri / kanan- pepenjuru

3. Lukialahan mesti berdasarkan ukuran sebenar, abaikan label

Lukis dengan skala penuh, pelan bagi prisma tegak itu.

8 cm

2 cm

3 cm(b) Satu prisma tegak yang lain dengan keratan rentas seragam ABC digabungkan

kepada prisma dalam Rajah 1(i) pada satah EFUYXW seperti dalam Rajah 1(ii).Diberi bahawa BX = 3 cm dan AB = 5 cm.

100

8 cm

RX

YS

Q

PV

TUW

8 cm

5 cm

RAJAH 1(ii)

4 cm BC

A

F E

G

H

Lukis dengan skala penuh,(i) dongakan bagi gabungan pepejal pada satah yang selari dengan XR

sebagaimana dilihat dari G.

(ii) dongakan bagi gabungan pepejal pada satah yang selari dengan RQ sebagaimana dilihat dari H.

101

2. (a) Rajah 2(i) menunjukkan sebuah prisma tegak.Heksagon ABCDEF ialah keratan rentas seragam bagi prisma itu dengan tapak

ALGF. Sisi BA, CD dan EF adalah tegak manakala sisi BC dan DE adalah mengufuk.

102

FG

H E

DI

J

K B

C

AL

2 cm

4 cm

4 cm

4 cm

8 cm

5 cm

RAJAH 2(i)

Lukis dengan skala penuh, pelan bagi pepejal itu.

(b) Satu pepejal dengan segitiga AFM sebagai keratan rentas seragam digabungkan dengan satah ABCDEF membentuk pepejal gabungan seperti Rajah 2(ii).

103

6 cm

Y

M

FG

H E

DI

J

K B

C

AL

2 cm

4 cm

4 cm

X

Q N

4 cm

Lukis dengan skala penuh,(iii) dongakan bagi gabungan pepejal yang selari dengan satah GF

sebagaimana dilihat dari X.(iv) dongakan bagi gabungan pepejal yang selari dengan satah AF sebagaimana

dilihat dari dari Y.

3. (a) Rajah 3(i) menunjukkan sebuah prisma tegak. Trapezium ABCD ialah keratan rentas seragamnya dengan tapak ADEF.

Lukis dengan skala penuh, dongakan bagi pepejal yang selari dengan AF sebagaimana dilihat dari X.

104

RAJAH 2(ii)

F

E

A

B G

HC

D

6 cm

4 cm

RAJAH 3(i)

4 cm

7 cm

X

(b) Sebuah separuh silinder dengan jejari 3 cm dan tinggi 6 cm digabungkan kepada pepejal seperti Rajah 3(i) pada satah ABLKD membentuk pepejal gabungan seperti ditunjukkan dalam Rajah 3(ii).

Lukis dengan skala penuh,(i) pelan bagi gabungan pepejal itu,(ii) dongakan bagi gabungan pepejal itu yang selari dengan satah EF

sebagaimana dilihat dari Y.

105

F

E

A

B G

HC

D

6 cm

4 cm

RAJAH 3(ii)

7 cmM

K

6 cm

Y

4. (a) Rajah 4(i) menunjukkan sebuah prisma tegak dengan tapak dengan tapak BCDFsebagai satah mengufuk. Segitiga ABC ialah keratan rentas seragamnya.

Lukis dengan skala penuh, dongakan bagi pepejal itu yang selari dengan BF sebagaimana dilihat dari X.

106

Rajah 4(i)

E

A

C

B

F

D

8 cm

6 cm7 cm

10 cm

X

(b) Suatu kuboid digabungkan kepada pepejal pada Rajah 4(i) pada satah tegak APGC membentuk gabungan pepejal seperti ditunjukkan dalam rajah 4(ii).

107

E

A

C

B

F

D

3 cm7 cm

Rajah 4(ii)

G

H

M

L

I

N

K

J

11 cm

6 cm

10 cm

Y

lukis dengan skala penuh,(i) pelan bagi gabungan pepejal itu,(ii) dongakan bagi gabungan pepejal yang selari dengan HM sebagaimana

dilihat dari Y.

6. Rajah 11 menunjukkan sebuah pepejal yang mengandungi separa silinder dan dua kuboid pada satah mengufuk.

jejari bagi separa silinder itu adalah 1 cm. Ketinggian bagi separa silinder itu adalah sama dengan ketinggian kuboid pada tapak BCDE.

Rajah 11Lukis dalam skala penuh,(a) pelan pepejal itu. [4 markah](b) dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan ABC sebagaimana dilihat

dari X. [4 markah](c) dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan CD sebagaimana dilihat

dari Y. [4 markah]

108

BUMI SEBAGAI SFERA – PAPER 1 DAN PAPER 2

109

NOTA :

LONGITUD (GARIS BUJUR) – (0 – 180 TIMUR / BARAT)

LATITUD (GARIS LINTANG) – (0 – 90 UTARA / SELATAN) BEZA ANTARA SUDUT :

SAMA ARAH – TOLAKARAH BERBEZA – TAMBAH

KEDUDUKAN TEMPAT / LOCATION ( LATITUD , LONGITUD)

5. JARAK ANTARA 2 TEMPAT : - SEPANJANG LONGITUD /MERIDIAN/ JARAK TERPENDEK

= x 60 - IALAH BEZA LATITUD

- SEPANJANG LATITUD = x 60 x COS LAT - IALAH BEZA LONGITUD

6. CARA MENJAWAB SOALAN – CUBA GAMBARKAN TITIK-TITIK DI ATAS BUMI DENGAN MELUKIALAH GAMBARAJAH

AVERAGE SPEED / PURATA LAJU = JUMLAH JARAK JUMLAH MASA

CONKEPADAH :

G (50S, 110W) F (50S, 70E)

1. F(50ºS, 70ºE), G, H dan K adalah empat titik di atas permukaan bumi. F, G dan H berada pada latitude yang sama dengan FG sebagai diameter. Longitud bagi H ialah 45ºW.

(a) Cari longitude bagi G. G (50S, 110W) -----longitud G ialah 1100 B

(b) Sebuah kapalterbang terbang ke barat dari F kepada H. Ia kemudian terbang 4800 batu nautika ke utara kepada K. Diberi bahawa purata laju bagi keseluruhan perjalanan itu ialah 680 knot, hitung

(i) latitude bagi K,jarak bagi K (along long / due north) = 4800 B.N.

x 60 = 4800 = 4800

60 = 80

LATITUDE BAGI K = 80 – 50 = 30 U.

110

50

(i) Jarak dalam batu nautika, dari F kepada H, (DUE WEST – ALONG LAT)Jarak bagi KH = x 60 x Cos Lat

= (45 + 70) x 60 x cos 50 = 4435.23 n.m.

(iii) masa diambil bagi keseluruhan perjalanan.

Average Speed =

9235.23 = 13.58 jam 680

2 Jadual 1 menunjukkan latitud dan longitud bagi empat titik P, Q, R, dan V pada permukaan bumi.

Titik Latitud LongitudP 20°S 30°T

Q x°U 30°T

R 20°S m°B

V 30°U m°B

Jadual 1(a) Y ialah titik pada permukaan bumi dengan keadaan PY ialah diameter bumi. Nyatakan

kedudukan Y. [2 markah](b) Hitungkan

(i) nilai x, jika jarak P ke Q diukur di sepanjang longitude ialah 6 000 batu nautika,(ii)nilai m, jika jarak dari P arah ke barat ke R diukur di sepanjang selarian latitud

sepunya ialah 4 200 batu nautika.[7 markah]

(c) Sebuah kapal terbang berlepas dari P ke arah barat ke R mengikut selarian latitud sepunya dan kemudian terbang ke arah utara ke V. Jika purata laju seluruh penerbangan ialah 900 knot, hitungkan masa yang diambil untuk seluruh penerbangan itu.

[2 markah]

111

3 Rajah 1 menunjukkan empat titik A, B, C, dan D permukaan bumi. C terletak pada longitud 65°B. AB ialah diameter selarian latitud 38°U. D terletak 6 530 batui nautika ke selatan C.

Rajah 1(a) Cari kedudukan bagi A. [3 markah](b) Hitungkan jarak terpendek, dalam batu nautika, dari B ke A diukur sepanjang permukaan

bumi. ` [2 markah](c) Cari latitud bagi D. [3 markah](d) Sebuah kapal terbang berlepas dari C pada pukul 10.30 a.m. hari Selasa dan terbang arah

ke barat ke A mengikut selarian latitud sepunya dengan purata laju 540 knot. Cari masa dan hari kapal terbang itu sampai ke A. [4 markah]

112

4 A(50°S, 35°B), B(50°S, 50°T), C, dan D ialah empat titik pada permukaan bumi. AC ialah diameter selarian latitud 50°S.(a) Nyatakan kedudukan bagi C. [1

markah](b) Hitungkan jarak terpendek, dalam batu nautika, dari A ke C diukur di sepanjang

permukaan bumi. [3 markah](c) D terletak ke utara B dan jarak BD diukur di sepanjang permukaan bumi ialah 6 000 batu

nautika. Hitungkan latitud bagi D. [3 markah](d) Sebuah kapal terbang berlepas dari A arah ke timur ke Q dan kemudian ke arah utara ke D.

Purata laju bagi seluruh penerbangan kapal terbang ialah 450 knot. Hitungkan(i) jarak, dalam batu nautika, yang dilalui oleh kapal terbang itu dari A ke B diukur

sepanjang selarian latitud sepunya,(ii) jumlah masa, dalam jam, yang diperlukan bagi seluruh penerbangan itu. [5 markah]

113

UBAHAN – PAPER 1 SAHAJANota : UBAHAN LANGSUNG p q

UNAHAN SONGSANG p

UBAHAN GABUNGAN p

1. Jika p q2 dan q = 3 bila p = 36, nilai bagi q bila p = 64 ialahA ½ B 3 C 4 D 6

2. Jika R berubah secara langsung dengan dan R = 10 bila S = 25, cari nilai bagi R bila S = 9.

A 2 B 3 C 5 D 6

3. Diberi bahawa M dan M = 4 bila P = 6 dan T = 3, ungkapkan M dalam sebutan P

dan T.

114

6 CARA MUDAHi. p q

ii. p = kq iii. jika p = 2 dan q = 5, maka 2 = 5k iv. . v. p =qvi. Cari nilai p jika q = 10, P=(10)Maka p = 4

A M = B M = C M = 3PT2 D M =

4. Diberi bahawa E dan E = bila F = 12 dan G = 16, cari nilai bagi G bila E = 4

dan F = 8.

A B C 2 D 4

5. Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan punca kuasa dua bagi x dan y = 6 bila x = 9. Hitung nilai bagi x bila y = 10.

A 5 B 10 C 15 D 25

6. P berubah secara langsung dengan kuasa tiga bagi q dan secara songsang dengan r. Hubungan antara P, q dan r ialah

A P B P C P D P

7. Jadual 1 menunjukkan sebilangan nilai bagi pembolehubah m, n dan h di mana m berubah secara langsung dengan punca kuasa dua bagi n dan secara songsang dengan h.

M 3 3N 36 81H 10 15

Jadual 1

Cari hubungan antara m, n dan h.

A m = B m = C m = D m =

8. Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan xm dan y = 8 bila x =1. Hitung nilai bagi m bila y = 72 dan x = 3.

A 1 B 2 C 3 D 49. Jadual 2 menunjukkan hubungan antara tiga pembolehubah w, t dan h.

W t H2 2 44 m 9

Jadual 2

115

Diberi bahawa w , hitung nilai bagi m.

A 3 B 6 C 12 D 18

10.P 1 2Q 12 3

Jadual 3Berdasarkan pada Jadual 3, jika q berubah secara songsang dengan kuasa dua bagi p. Cari hubungan antara q dan p.

A q = 12p2 B q = p2 C q = D q =

BEARING - PAPER 1 SAHAJA

NOTA :1. Cari perkataan ‘Dari’ / ‘dari’2. Lukialah paksi utara / north pada titik ‘dari’3. bearing sudut dari paksi utara ’dari titik ke laluan’ – dibaca ikut arah

jam.

1Dalam Rajah 1, P dan Q ialah dua titik pada suatu satah mengufuk.

Rajah 1

Bearing P dari Q ialahA 065°B 115°C 205°D 295°

2 Dalam Rajah 2, T dan U ialah dua titik pada suatu satah mengufuk.

Rajah 2

116

Cari bearing T dari U.A 060° C 180°B 120° D 240°

3 Titik J dan titik K terletak pada suatu satah mengufuk. Bearing J dari K ialah 040°. Antara rajah yang berikut, manakah menunjukkan kedudukan bagi M dan N?A

B

C

D

4 Rajah 3 menunjukkan titik G dan titik H pada suatu satah mengufuk.

Rajah 3

Cari bearing G dari H.A 028°B 062°C 152°D 208°

117

5 Rajah 4 menunjukkan dua titik, X dan Y pada suatu satah mengufuk.

Rajah 4

Bearing X dari Y ialah 040°. Cari bearing Y dari X.A 040°B 130°C 220°D 240°

6 Dalam Rajah 5, titik G dan titik H terletak pada suatu satah mengufuk.

Rajah 5

Cari bearing H dari G.A 080°B 100°C 260°D 280°

7 Dalam Rajah 6, X, Y, dan Z ialah tiga titik pada suatu satah mengufuk.

Rajah 6

Diberi XZ = YZ, cari bearing X dari Z.A 050°B 095°C 150°D 275°

118

8 Rajah 7 menunjukkan tiga titik, X, Y, dan Z yang terletak pada suatu satah mengufuk.

Cari bearing Y dari Z.A 045°B 075°C 135°D 315°

9 P, Q, dan R ialah tiga titik pada suatu satah mengufuk di mana P berada di utara P. Bearing R dari Q ialah 150° dan bearing P dari R ialah 285°. Antara rajah yang berikut, manakah menunjukkan kedudukan bagi P, Q, dan R?A

B

C

D

119

10 Dalam Rajah 8, J, K, dan L ialah tiga titik pada suatu satah mengufuk.

Diberi bahawa L berada ke timur J. Cari bearing K dari L.A 120°B 150°C 210°D 330°

120

modul ulangkaji matematik spm 2014

Documents