MENJELASKAN PENGGUNAAN OPERATOR.

Operator adalah sebuah symbol yang digunakan untuk memberikan perintah kepada seseorang untuk mengerjakannya sesuai dengan jenis operator (simbol). Dalam matematika kita biasanya mengenal persamaan √2, dimana artinya √ adalah operator yang menyuruh seseorang untuk mencari nilai dari akar tersebut. Jika operator dalam mekanika kuantum sering dituliskan dalam bentuk symbol dan ditambah dengan tanda topi O. Urutan dalam penggunaan operator secara umum adalah operator ditulis dari arah kanan lalu dilanjutkan ke sebelah kiri. Kecuali operator bersifat commut satu dengan yang lain. Bersifat commut artinya urutan pengerjaan operator bisa dari sebelah kiri atau dari sebelah kanan. Suatu operator dikatakan commut jika: C'.G' - G'.C' = 0 atau C'.G' = G'.C'

Operator mekanika kuantum harus bersifat linear yaitu C' (f+g) = C' f + C' g

Operator mekanika kuantum harus bersifat hetermitian yaitu eigen valuenya berharga real. Operator bersifat hermitian jika memenuhi:

∫seluruh..ruang ᴪ.,O0 ᴪ,dt = ∫seluruh..ruang ᴪ.,O0 .ᴪ,dt

Beberapa operator pada mekanika kuantum.

Besaran Fisis Operator Operasi Matematikanyax x Dikalikan dengan xPi Pi -ihd/dqi

tE(t) (energi)

tE0

Dikalikan dengan tIhd/dt

E(q) (energi) H' -ih2 / 2m 2 + V(qi)

E(q) (energy untuk n partikel) H'

2

MENJELASKAN FUNGSI EIGEN DAN NILAI EIGEN

Jika sebuah operator,   bekerja pada suatu fungsi,  , dan hasilnya sama dengan fungsi tersebut dikalikan sebuah konstanta,  , maka persamaan ini memenuhi persamaan eigenvalue (nilai eigen)

Variabel   disebut fungsi eigen (eigenfunction) dan   disebut nilai eigen (eigenvalue).Ketika sebuah fungsi gelombang dikalikan dengan operator, maka biasanya fungsi itu akan berubah menjadi bentuk fungsi gelombang yang baru. Namun ada fungsi gelombang yang khusus yang walaupun telah dikalikan dengan sebuah operator, hasilnya adalah kelipatan dari fungsi gelombang itu sendiri. Fungsi gelombang inilah yang disebut dengan Eigenfunction (fungsi eigen) dan kelipatannya adalah eigenvalue(nilai eigen)

A adalah operator, maka ᴪa(x) adalah fungsi eigen dan a adalah nilai eigen. Jika A adalah operator hermitian yang menghubungkan suatu variable dinamika fisika, misalnya sebuah partikel dengan fungsi gelombang ᴪa maka fungsi eigen ᴪa adalah keadaan yang terkait dengan nilai dari variable dinamika yang berhubungan dengan operator A. nilai unik ini adalah nilai eigen.

MEMBUKTIKAN FUNGSI GELOMBANG TERNORMALISASI DAN ORTOGONAL

Suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu operasi hasil-kali dalam dinamakanruang hasil-kali dalam. Jika V suatu ruang hasil-kali dalam, norma suatu vector ϵ Vdidefinisikan sebagai bilangan tak-negatif dimana

√, .

Dua vektor V dikatakan ortogonal, jika <, > = 0. Bila himpunan S =1, 2 , ... , n beranggotakan vektor-vektor tak-nol yang sepasang-sepasang ortogonal dalam suatu ruang hasil-kali dalam, maka S bebas linear.

Pada ruang hasil-kali dalam V, vektor dikatakan ternormalisasi, jika 1.Himpunanvektor-vektor S = 1, 2 , ... , n n dalam ruang hasil-kali dalam V dikatakan ortonormal, jika setiap pasangan vektor i , j (i j, i,j = 1,2, ..., n) dan setiap vektor dalam Sternormalisasi. Setiap ruang hasil-kali dalam yang berdimensi hingga selalu mempunyai suatubasis yang ortonormal. Untuk mendapatkan basis ortonormal tersebut, biasa digunakan apayang biasa disebut proses Gram-Schmidt. Bila S suatu basis yang ortonormal bagi V, maka bisadiperlihatkan bahwa setiap V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear berbentuk, 1> 1 , 2> 2 ..., n> n .