Matematika Teknik Dasar-27 – SilinderSebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Definisi dan Persamaan

Silinder adalah sebuah permukaan yang didapatkan dari sebuah garis yang hampir paralel pada sebuah garis tetap dan berpotongan pada sebuahkurva yang diberikan.

Kurva yang diberikan itu dinamakan kurva pembimbing/ guiding curvepada silinder dan sebarang garis paralel pada garis yang diberikan danberpotongan pada kurva yan diberikan disebut sebagai pembuat silinder

Definisi dan Persamaan

a

Definisi dan Persamaan

Untuk menemukan persamaan dari silinder yang mana pembangkitnyaadalah paralel terhadap garis.

𝑥

𝑙=

𝑦

𝑚=𝑧

𝑛

Dan memotong sebuah kurva

𝑎𝑥2 + 2ℎ𝑥𝑦 + 𝑏𝑦2 + 2𝑔𝑥 + 2𝑓𝑦 + 𝑐 = 0, 𝑧 = 0 (1)

Diambil (x1, y1, z1) adalah titik sebarang pada silinder sehingga persamaandari pembangkit yang melaluinya adalah

𝑥−𝑥1

𝑙=

𝑦−𝑦1

𝑚=

𝑧−𝑧1

𝑛(2)

Definisi dan Persamaan

Titik perpotongan dari garis (2) dengan bidang z=0 adalah

𝑥1 −𝑙𝑧1𝑛, 𝑦1 −

𝑚𝑧1𝑛

, 0

Titik akan berada pada kurva (1), jika

𝑎 𝑥1 −𝑙𝑧1𝑛

2

+ 2ℎ 𝑥1 −𝑙𝑧1𝑛

𝑦1 −𝑚𝑧1𝑛

+ 𝑏 𝑦1 −𝑚𝑧1𝑛

2

+ 2𝑔 𝑥1 −𝑙𝑧1𝑛

+ 2𝑓 𝑦1 −𝑚𝑧1𝑛

+ 𝑐 = 0

Definisi dan Persamaan

Atau bisa disederhanakan menjadi𝑎 𝑛𝑥1 − 𝑙𝑧1

2 + 2ℎ 𝑛𝑥1 − 𝑙𝑧1 𝑛𝑦1 −𝑚𝑧1 + 𝑏 𝑛𝑦1 −𝑚𝑧12

+ 2𝑔𝑛 𝑛𝑥1 − 𝑙𝑧1 + 2𝑓𝑛 𝑛𝑦1 −𝑚𝑧1 + 𝑐𝑛2 = 0

Lokus dari titik (x1, y1, z1) adalah𝑎 𝑛𝑥 − 𝑙𝑧 2 + 2ℎ 𝑛𝑥 − 𝑙𝑧 𝑛𝑦 −𝑚𝑧 + 𝑏 𝑛𝑦 −𝑚𝑧 2 + 2𝑔𝑛 𝑛𝑥 − 𝑙𝑧+ 2𝑓𝑛 𝑛𝑦 −𝑚𝑧 + 𝑐𝑛2 = 0

Dimana rumus tersebut di atas adalah rumus yang diperlukan dari silinder

Contoh - 1

Cari persamaan dari silinder dimana garis pembangkitnya memiliki arahkosinus (l, m, n) dan dimana melewati keliling lingkaran pada sebuahlingkaran tetap x2+z2=a2 pada bidang ZOX.

Jawaban:

Ambil (x1, y1, z1) pada titik sebarang pada silinder. Kemudian persamaanpembangkit yang melewati (x1, y1, z1) adalah:

𝑥 − 𝑥1𝑙

=𝑦 − 𝑦1𝑚

=𝑧 − 𝑧1𝑛

Contoh - 1

Garis berpotongan dengan lingkaran yang diberikan di:

x2+z2=a2 , y=0

Dengan memasang y=0 di persamaan pembangkit didapatkan:

𝑥 = 𝑥1 −𝑙𝑧1𝑛, 𝑧 = 𝑧1 −

𝑛𝑦1𝑚

Menyubstitusi nilai dari x,z di x2+z2=a2 , kita bisa mendapatkan:

𝑥1 −𝑙𝑦1𝑚

2

+ 𝑧1 −𝑛𝑦1𝑚

2

= 𝑎2

Contoh - 1

Atau (mx1-ly1)2+(mz1-ny1)2=a2m2

Lokus dari (x1, y1, z1) berada di permukaan mx1-ly1)2+(mz1-ny1)2=a2m2

Contoh - 2

Cari persamaan silinder yang pembangkitnya adalah paralel dengan garis

𝒙 = −𝟏

𝟐𝒚 =

𝟏

𝟑𝒛 dan kurva pembimbingnya adalah elips di x2+2y2=1, z=3

Jawaban:

Arah perbandingan dari pembangkitan adalah (1, -2, 3)

Persamaan pembangkitan melalui titik-titik (x1, y1, z1) pada silinder adalah:𝑥 − 𝑥11

=𝑦 − 𝑦1−2

=𝑧 − 𝑧13

Garis pembangkit ini berpotongan dengan eliptikalnya

Contoh - 2

Dengan meletakkan z=3 pada persamaan sebelumnya bisa didapatkan

𝑥 = 𝑥1 +3−𝑧1

3dan 𝑦 = 𝑦1 −

6−2𝑧1

3

Substitusi nilai berikut pada x2+2y2=1 kita bisa mendapatkan

𝑥1 +3 − 𝑧13

2

+ 2 𝑦1 −6 − 2𝑧1

3

2

= 1

lokus dari (x1, y1, z1) adalah 𝑥 −3−𝑧

3

2+ 2 𝑦 −

6−2𝑧

3

2= 1

Atau 3x2+6y2+3z2-2xz+6x-24y-18z+24=0

Silinder Lingkaran yang Tepat

Sebuah silinder lingkaran yang tepat adalah sebuah permukaan yang dibangkitkan dari sebuah garis yang berpotongan pada sebuah lingkarandan tegak lurus bidangnya.

Garis normal terhadap bidang dari lingkaran melalui pusatnya disebutsumbu silinder

Jarak dari titik pada silinder lingkaran tepat dari sumbunya adalah samadengan radius pada lingkaran pembimbingnya. Dimana kita dapatmenemukan persamaan dari tipe silinder ini dimana kita memberikan (i) persamaan sumbunya dan (ii) radius potongan melintang lingkaran.

Persamaan Silinder Lingkaran yang Tepat

Untuk menemukan persamaan dari silinder ini yang mana radius r dansumbu adalah garis

𝑥 − 𝛼

𝑙=𝑦 − 𝛽

𝑚=𝑧 − 𝛾

𝑛(1)

Diambil P(x,y,z) adalah titik sebarang dari silinder

Kemudian jarak tegak lurus P dari sumbu (1) adalah sama dengan radius r

Kuadrat dari jarak tegak lurus P dari garis (1) adalah

𝑥 − 𝛼 2 + 𝑦 − 𝛽 2 + 𝑧 − 𝛾 2 −𝑙 𝑥 − 𝛼 +𝑚 𝑦 − 𝛽 + 𝑛 𝑧 − 𝛾 2

𝑙2 +𝑚2 + 𝑛2

Persamaan Silinder Lingkaran yang Tepat

Dikalikan dengan r2 maka kita bisa mendapatkan persamaan sebagaiberikut:

𝑥 − 𝛼 2 + 𝑦 − 𝛽 2 + 𝑧 − 𝛾 2 −𝑙 𝑥 − 𝛼 +𝑚 𝑦 − 𝛽 + 𝑛 𝑧 − 𝛾 2

𝑙2 +𝑚2 + 𝑛2

= 𝑟2

Korelasi: persamaan dari silinder lingkaran yang tepat dimana sumbunya di sumbu Z dan radius r adalah:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Contoh - 3

Tunjukkan bahwa koordinat dari kaki tegak lurus dari titik P (, , ) padagaris x=y=-z adalah

𝟏

𝟑𝜶 + 𝜷 − 𝜸 ,

𝟏

𝟑𝜶 + 𝜷 − 𝜸 ,−

𝟏

𝟑𝜶 + 𝜷 − 𝜸

Simpulkan persamaan silinder lingkaran yang tepat dengan radiusnyaadalah sebesar garis yang diberikan di atas.

Jawaban:

Diambil𝑥

1=

𝑦

1=

𝑧

−1= 𝑟

Contoh - 3

Koordinat pada titik sebarang Q pada garis adalah (r, r, -r)

Arah rasio PQ adalah𝑟 − 𝛼, 𝑟 − 𝛽,−𝑟 − 𝛾

Jika Q adalah kaki dari tegak lurus yang bermula dari P ke garis yang diberikan maka..

𝑟 − 𝛼 + 𝑟 − 𝛽 + 𝑟 + 𝛾 = 0

𝑟 =1

3𝛼 + 𝛽 − 𝛾

Contoh - 3

Koordinat Q adalah1

3𝛼 + 𝛽 − 𝛾 ,

1

3𝛼 + 𝛽 − 𝛾 ,−

1

3𝛼 + 𝛽 − 𝛾

Sekarang diambil P (, , ) adalah titik pada silinder lingkaran yang tepatmemiliki garis x=y=-z pada sumbunya. Tegak lurus PQ dari P menuju kesumbunya adalah sama dengan radisu a.

∴ 𝛼 −1

3𝛼 + 𝛽 − 𝛾

2

+ 𝛽 −1

3𝛼 + 𝛽 − 𝛾

2

+ 𝛾 +1

3𝛼 + 𝛽 − 𝛾

2

= 𝑎2

Atau 2 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 − 2𝛼𝛽 + 2𝛽𝛾 + 2𝛾𝛼 = 3𝑎2

Contoh - 3

Lokus dari P (, , ) adalah persamaan dari silinder2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 2𝑧𝑥 = 3𝑎2

Contoh - 4

Temukan persamaan dari silinder lingkaran yang tepat dari radius 3 dimana sumbunya melewati (2,3,4) dan memiliki arah kosinusproporsional dengan 2, 1, -2

Jawaban:

Sumbu silinder adalah tepat di garis

𝑥−2

2=

𝑦−3

1=

𝑧−4

−2

Atau𝑥−22

3

=𝑦−31

3

=𝑧−4−2

3

(1)

Contoh - 4

Diambil P (x1,y1,z1) adalah titik sebarang dari silinder

Kuadrat dari jarak sebarang titik (x1,y1,z1) dari garis (1) adalah𝑥1 − 2 2 + 𝑦1 − 3 2 + 𝑧1 − 4 2

−2

3𝑥1 − 2 +

1

3𝑦1 − 3 −

2

3𝑧1 − 4

2

Menyelsaikan persamaan ini dengan kuadrat dari radiusnya makadidapatkan:

𝑥1 − 2 2 + 𝑦1 − 3 2 + 𝑧1 − 4 2 −1

92𝑥1 + 𝑦1 − 2𝑧1 + 1 2 = 9

Contoh - 4

Maka lokus dari P adalah9 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 3 2 + 𝑧 − 4 2 − 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 1 2 = 81

adalah persamaan silinder yang dibutuhkan.

Jika disederhanakan akan menjadi5𝑥2 + 8𝑦2 + 5𝑧2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦𝑧 + 8𝑥𝑧 − 40𝑥 − 56𝑦 − 68𝑧 + 179 = 0