Matematika Teknik Dasar-27 β SilinderSebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan β Universitas Brawijaya
Definisi dan Persamaan
Silinder adalah sebuah permukaan yang didapatkan dari sebuah garis yang hampir paralel pada sebuah garis tetap dan berpotongan pada sebuahkurva yang diberikan.
Kurva yang diberikan itu dinamakan kurva pembimbing/ guiding curvepada silinder dan sebarang garis paralel pada garis yang diberikan danberpotongan pada kurva yan diberikan disebut sebagai pembuat silinder
Definisi dan Persamaan
a
Definisi dan Persamaan
Untuk menemukan persamaan dari silinder yang mana pembangkitnyaadalah paralel terhadap garis.
π₯
π=
π¦
π=π§
π
Dan memotong sebuah kurva
ππ₯2 + 2βπ₯π¦ + ππ¦2 + 2ππ₯ + 2ππ¦ + π = 0, π§ = 0 (1)
Diambil (x1, y1, z1) adalah titik sebarang pada silinder sehingga persamaandari pembangkit yang melaluinya adalah
π₯βπ₯1
π=
π¦βπ¦1
π=
π§βπ§1
π(2)
Definisi dan Persamaan
Titik perpotongan dari garis (2) dengan bidang z=0 adalah
π₯1 βππ§1π, π¦1 β
ππ§1π
, 0
Titik akan berada pada kurva (1), jika
π π₯1 βππ§1π
2
+ 2β π₯1 βππ§1π
π¦1 βππ§1π
+ π π¦1 βππ§1π
2
+ 2π π₯1 βππ§1π
+ 2π π¦1 βππ§1π
+ π = 0
Definisi dan Persamaan
Atau bisa disederhanakan menjadiπ ππ₯1 β ππ§1
2 + 2β ππ₯1 β ππ§1 ππ¦1 βππ§1 + π ππ¦1 βππ§12
+ 2ππ ππ₯1 β ππ§1 + 2ππ ππ¦1 βππ§1 + ππ2 = 0
Lokus dari titik (x1, y1, z1) adalahπ ππ₯ β ππ§ 2 + 2β ππ₯ β ππ§ ππ¦ βππ§ + π ππ¦ βππ§ 2 + 2ππ ππ₯ β ππ§+ 2ππ ππ¦ βππ§ + ππ2 = 0
Dimana rumus tersebut di atas adalah rumus yang diperlukan dari silinder
Contoh - 1
Cari persamaan dari silinder dimana garis pembangkitnya memiliki arahkosinus (l, m, n) dan dimana melewati keliling lingkaran pada sebuahlingkaran tetap x2+z2=a2 pada bidang ZOX.
Jawaban:
Ambil (x1, y1, z1) pada titik sebarang pada silinder. Kemudian persamaanpembangkit yang melewati (x1, y1, z1) adalah:
π₯ β π₯1π
=π¦ β π¦1π
=π§ β π§1π
Contoh - 1
Garis berpotongan dengan lingkaran yang diberikan di:
x2+z2=a2 , y=0
Dengan memasang y=0 di persamaan pembangkit didapatkan:
π₯ = π₯1 βππ§1π, π§ = π§1 β
ππ¦1π
Menyubstitusi nilai dari x,z di x2+z2=a2 , kita bisa mendapatkan:
π₯1 βππ¦1π
2
+ π§1 βππ¦1π
2
= π2
Contoh - 1
Atau (mx1-ly1)2+(mz1-ny1)2=a2m2
Lokus dari (x1, y1, z1) berada di permukaan mx1-ly1)2+(mz1-ny1)2=a2m2
Contoh - 2
Cari persamaan silinder yang pembangkitnya adalah paralel dengan garis
π = βπ
ππ =
π
ππ dan kurva pembimbingnya adalah elips di x2+2y2=1, z=3
Jawaban:
Arah perbandingan dari pembangkitan adalah (1, -2, 3)
Persamaan pembangkitan melalui titik-titik (x1, y1, z1) pada silinder adalah:π₯ β π₯11
=π¦ β π¦1β2
=π§ β π§13
Garis pembangkit ini berpotongan dengan eliptikalnya
Contoh - 2
Dengan meletakkan z=3 pada persamaan sebelumnya bisa didapatkan
π₯ = π₯1 +3βπ§1
3dan π¦ = π¦1 β
6β2π§1
3
Substitusi nilai berikut pada x2+2y2=1 kita bisa mendapatkan
π₯1 +3 β π§13
2
+ 2 π¦1 β6 β 2π§1
3
2
= 1
lokus dari (x1, y1, z1) adalah π₯ β3βπ§
3
2+ 2 π¦ β
6β2π§
3
2= 1
Atau 3x2+6y2+3z2-2xz+6x-24y-18z+24=0
Silinder Lingkaran yang Tepat
Sebuah silinder lingkaran yang tepat adalah sebuah permukaan yang dibangkitkan dari sebuah garis yang berpotongan pada sebuah lingkarandan tegak lurus bidangnya.
Garis normal terhadap bidang dari lingkaran melalui pusatnya disebutsumbu silinder
Jarak dari titik pada silinder lingkaran tepat dari sumbunya adalah samadengan radius pada lingkaran pembimbingnya. Dimana kita dapatmenemukan persamaan dari tipe silinder ini dimana kita memberikan (i) persamaan sumbunya dan (ii) radius potongan melintang lingkaran.
Persamaan Silinder Lingkaran yang Tepat
Untuk menemukan persamaan dari silinder ini yang mana radius r dansumbu adalah garis
π₯ β πΌ
π=π¦ β π½
π=π§ β πΎ
π(1)
Diambil P(x,y,z) adalah titik sebarang dari silinder
Kemudian jarak tegak lurus P dari sumbu (1) adalah sama dengan radius r
Kuadrat dari jarak tegak lurus P dari garis (1) adalah
π₯ β πΌ 2 + π¦ β π½ 2 + π§ β πΎ 2 βπ π₯ β πΌ +π π¦ β π½ + π π§ β πΎ 2
π2 +π2 + π2
Persamaan Silinder Lingkaran yang Tepat
Dikalikan dengan r2 maka kita bisa mendapatkan persamaan sebagaiberikut:
π₯ β πΌ 2 + π¦ β π½ 2 + π§ β πΎ 2 βπ π₯ β πΌ +π π¦ β π½ + π π§ β πΎ 2
π2 +π2 + π2
= π2
Korelasi: persamaan dari silinder lingkaran yang tepat dimana sumbunya di sumbu Z dan radius r adalah:
π₯2 + π¦2 = π2
Contoh - 3
Tunjukkan bahwa koordinat dari kaki tegak lurus dari titik P (, , ) padagaris x=y=-z adalah
π
ππΆ + π· β πΈ ,
π
ππΆ + π· β πΈ ,β
π
ππΆ + π· β πΈ
Simpulkan persamaan silinder lingkaran yang tepat dengan radiusnyaadalah sebesar garis yang diberikan di atas.
Jawaban:
Diambilπ₯
1=
π¦
1=
π§
β1= π
Contoh - 3
Koordinat pada titik sebarang Q pada garis adalah (r, r, -r)
Arah rasio PQ adalahπ β πΌ, π β π½,βπ β πΎ
Jika Q adalah kaki dari tegak lurus yang bermula dari P ke garis yang diberikan maka..
π β πΌ + π β π½ + π + πΎ = 0
π =1
3πΌ + π½ β πΎ
Contoh - 3
Koordinat Q adalah1
3πΌ + π½ β πΎ ,
1
3πΌ + π½ β πΎ ,β
1
3πΌ + π½ β πΎ
Sekarang diambil P (, , ) adalah titik pada silinder lingkaran yang tepatmemiliki garis x=y=-z pada sumbunya. Tegak lurus PQ dari P menuju kesumbunya adalah sama dengan radisu a.
β΄ πΌ β1
3πΌ + π½ β πΎ
2
+ π½ β1
3πΌ + π½ β πΎ
2
+ πΎ +1
3πΌ + π½ β πΎ
2
= π2
Atau 2 πΌ2 + π½2 + πΎ2 β 2πΌπ½ + 2π½πΎ + 2πΎπΌ = 3π2
Contoh - 3
Lokus dari P (, , ) adalah persamaan dari silinder2 π₯2 + π¦2 + π§2 β 2π₯π¦ + 2π¦π§ + 2π§π₯ = 3π2
Contoh - 4
Temukan persamaan dari silinder lingkaran yang tepat dari radius 3 dimana sumbunya melewati (2,3,4) dan memiliki arah kosinusproporsional dengan 2, 1, -2
Jawaban:
Sumbu silinder adalah tepat di garis
π₯β2
2=
π¦β3
1=
π§β4
β2
Atauπ₯β22
3
=π¦β31
3
=π§β4β2
3
(1)
Contoh - 4
Diambil P (x1,y1,z1) adalah titik sebarang dari silinder
Kuadrat dari jarak sebarang titik (x1,y1,z1) dari garis (1) adalahπ₯1 β 2 2 + π¦1 β 3 2 + π§1 β 4 2
β2
3π₯1 β 2 +
1
3π¦1 β 3 β
2
3π§1 β 4
2
Menyelsaikan persamaan ini dengan kuadrat dari radiusnya makadidapatkan:
π₯1 β 2 2 + π¦1 β 3 2 + π§1 β 4 2 β1
92π₯1 + π¦1 β 2π§1 + 1 2 = 9
Contoh - 4
Maka lokus dari P adalah9 π₯ β 2 2 + π¦ β 3 2 + π§ β 4 2 β 2π₯ + π¦ β 2π§ + 1 2 = 81
adalah persamaan silinder yang dibutuhkan.
Jika disederhanakan akan menjadi5π₯2 + 8π¦2 + 5π§2 β 4π₯π¦ + 4π¦π§ + 8π₯π§ β 40π₯ β 56π¦ β 68π§ + 179 = 0