matematika i (fis 6111, wajib, 3...

1

MATEMATIKA I(FIS 6111, Wajib, 3 SKS)

Kompetensi UmumSistem bilangan real, fungsi, barisan dan deret bilangan real, Limit dan keontinuan,turunan dan penggunaannya, interpretasi derivatif. Teorema Rolle, Teorema Nilai rata-rata, Teorema L€Hospital, Teorema Taylor dan penggunaannya.

Acuan1.Purcell dan Varberg; Kalkulus dan Geometri Analitis (terjemahan), Erlangga 19922.Leithold; Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik (terjemahan), Erlangga 1992

18

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

Mata Kuliah : Matematika I

Kode : FIS 6111

Bobot SKS : 3 (Tiga)

Pokok Bahasan : Sistem bilangan real

Sub Pokok Bahasan: Aksioma lapanganAksioma urutanAksioma kelengkapanGaris bilanganSistem koordinatPetaksamaanNilai Mutlak

Alokasi Waktu : 3 x (3 x 50) Menit

I. Tujuan PembelajaranUmum

Mahasiswa diharapkan dapat :Memahami Sistem bilangan real serta mampu menerapkanya dalam masalah-masalah nyata

II. Tujuan Pembelajaran Khusus

Mahasiswa diharapkan dapat :a. Menjelaskan Sistem bilangan reala. Menjelaskan sifat-sifat bilangan nyatab. Menggunakan sifat-sifat bilangan nyata dalam teknik-teknik manipulasi

aljabarc. Mengurutkan dua bilangan nyata sebarangd. Menggunakan sifat urutan bilangan nyata untuk memanipulasi bentuk-

bentuk aljabare. Menyatakan himpunan bagian dari R dalam notasi selang atau sebaliknyaf. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksaman aljabar dengan garis

bilangang. Menentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan yang memuat nillai

mutlak dengan sifat-sifat nilai mutlakh. Menentukan himpunan penyelesaian nilai mutlak dengan pengkuadratan

III. Pokok-pokok materi

Sifat-sifat lapangan:

19

1. Sifat komutatif. x + y = y + x dan xy = yx2. Sifat Assosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z3. Sifat distributif. x(y + z) = xy + xz4. Elemen-elemen identitas. Elemen 0 memenuhi sifat 0 + x = x + 0 = x

untuk setiap bilangan x. 0 disebut identitas terhadap penjumlahan.Elemen 1 memenuhi sifat x.1 = 1.x = x untuk setiap bilangan x.Elemen 1 disebut elemen identitat terhadap perkalian.

5. Elemen balikan Setiap bilangan x mempunyai balikan aditif • x, yangmemenuhi sifat x + (-x) = 0. Juga setiap bilangan x kecuali 0mempunyai balikan perkalian x-1, yang memenuhi sifat xx-1 = 1.

Sifat-Sifat urutan :1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu

diantara yang berikut berlaku :X < y atau x = y atau x> y

2. Ketransitipan. x < y dan y < z x < z3. Penambahan. x < y x + z < y + z4. Perkalian. Bilangan z positif, x < y xz < yz : Bilangan z negatif, x

< y xzyz

Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan oleh x , didefinisikansebagai

x

xx

jikajika

00

xx

Nilai mutlak dikenalkan melalui konsep jarak pada garis bilangan. Sifat-sifat nilai mutlak

1. baab

2.ba

ba

3. baba (ketaksamaan segitiga)

4. baba

Ketaksamaan yang menyangkut nilai mutlak1. ax -a < x < a

2. ax x < -a atau x > a.

3. yx x2 < y2

IV. Strategi Pembelajaran

a. Metode : Ceramah, diskusi dan penugasan baik di kelas maupun dirumah yang hasilnya segera dikembalikan pada mahasiswa

b. Alat : Spidol, penghapus, papan tulis.c. Bahan/.acuan : Kalkulus dan Geomeri Analitik, Purcell, edisi kelima,

Bab I

20

d. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab I

V. Evaluasi

Tugas di kelas dan di rumah serta Quiz


Kode : FIS 6111


Pokok Bahasan : Fungsi

Sub Pokok Bahasan: Pengertian fungsi (Domain dan Range)Jenis-jenis fungsi (konstan, linear, polinom, rasional)Kesimetrian (fungsi ganjil dan genap)Aljabar fungsiGrafik fungsiFungsi komposisiFungsi inversFungsi Trigonometri

Alokasi Waktu : 2 x 3 x 50 Menit

I. Tujuan Pembelajaran Umum

Mahasiswa diharapkan dapat :Memahami fungsi dan grafiknya serta mampu menerapkannya dalammasalah-masalah nyata


Mahasiswa diharapkan dapat :a. Menjelaskan pengertian fungsib. Mengidentifikasi suatu fungsi melalui grafikc. Menentukan daerah definisi dan daerah hasil suatu fungsid. Menentukan rumus dari hasil jumlahan, pengurangan, perkalian

dan emagian fungsi-fungsi serta perpangkatan fungsi beserta daerahdefinisi dan daerah hasilnya

e. Menentukan rumus fungsi dari hasil perkalian fungsi dengan skalarbeserta daerah definisi dan daerah hasilnya

f. Menggambar grafik fungsi yang diberikan dengan cara merajah titik-titikyang memenuhi rumus fungsi yang diberikan

g. Menggambar grafik fungsi melalui konsep pergeseran, pencerminan danperbesaran

21


Suatu fungsi f adalah suatu aturan pengawanan yang menghubungkantiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengantepat satu nilai dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperolehsecara demikian disebut daerah nilai (jelajah) fungsi tersebut.

Fungsi genap dan fungsi ganjilJika f(-x) = f(x), maka garafik simetri terhadap sumbu y. Fungsi yangdemikian disebut fungsi genap. Jika f(-x) = -f(x), grafik simetri terhadaptitik asal. Fugsi yang demikian disebut fungsi ganjil

Grafik fungsiBilamana daerah asal dan daerah nilai sebuah fungsi merupakan bilanganreal, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkangrafiknya pada suatu bidang koordinat. Grafik fungsi f adalah himpunansemua titik (x,y) yang memenuhi persamaan y = f(x).Prosedur penggambaran grafik :1. Dapatkan kordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi

persamaan2. Rajah titik-titik tersebut di bidang3. Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus.

Pergeseran grafik melalui fungsi y = f(x-a) + b Yang perlu diperhatikan pada aljabar fungsi adalah daerah asal dari

fungsi-fungsi tersebut.



b. Alat : Spidol, papan tulis, penghapusc. Bahan/.acuan : Kalkulus dan geomeri analitik, Purcell, edisi kelima, Bab

II.d. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab II bagian 2.1 • 2.3.

V. Evaluasi


22


Kode : FIS 6111


Pokok Bahasan : Limit dan Kekontinuan

Sub Pokok Bahasan: Pengertian limit secara intuisiImit di satu titikLimit sepihakTeorema limitTeorema ApitLimit tak hingga dan di takhinggaKekontinuan fungsiFungsi-fungsi yang kontinu



Mahasiswa diharapkan dapat :a. Memahami pengertian limit fungsib. Memahami pengertian fungsi kontinu


Mahasiswa diharapkan dapat :a. Menjelaskan pengertian limit, termasuk limit-limit sepihak, secara intuisi

pada suatu titik melalui contohfungsi sederhana dengan memakai tabelnilai fungsi atau grafik fungsi

b. Menggunakan teorema limit untuk menentukan limit fungsic. Memeriksa eksistensi limit fungsi pada suatu titik dengan menggunakan

limit sepihakd. Menjelaskan pengertian kekontinuan fungsi di suatu titik dengan definisi

limit fungsie. Memeriksa kekontinuan fungsi di suatu titik dengan definisi limit fungsif. Menjelaskan kekontinuan suatu fungsi di suatu titik hasil dari operasi

fungsi • fungsi dengan teorema kekontinuan fungsig. Memeriksa kekontinuan suatu fungsi pada selang


Pengertian limit secara intuisi : Untuk mengatakan bahwa bahwa

cxLxf

)(lim berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c,

maka f(x) dekat ke L.

23

Limit sepihak.

cxLxf )(lim berarti bahwa bilamana x dekat dan di

sebelah kanan c, maka f(x) dekat ke L.

cxLxf )(lim berarti bahwa x

dekat dan di sebelah kiri c, maka f(x) dekat ke L.

cxLxf

)(lim jika dan hanya jika

cxxf )(lim =

cxLxf )(lim

Teorema limit utamaAndaikan n bilangan positif, k konstanta, dan fdan g adalah fungsi-fungsiyang mempunyai limit di c, maka1. kk

cx

lim

2. cxcx

lim

3. )(lim)(lim xfkxkfcxcx

4. )(lim)(lim)]()([limcx

xgxfxgxfcxcx

5. ))(lim)((lim()]()([limcx

xgxfxgxfcxcx

6.)(lim

)(lim

)()(lim cx

xg

xf

xgxf

cxcx

asalkan 0)(lim

xg

cx

7. n

cx

n

cxxfxf )](lim[)]([lim

8. ncx

ncx

xfxf )(lim)(lim

asalkan 0)(lim

xfcx

bilamana n genap.

Fungsi f dikatakan kontinu di c jika ada selang terbuka disekitar c yangterkandung dalam daerah asal f dan memenuhi

)c(f)x(flimcx

Teorema-teorema yang menyangkut kekontinuan fungsi, termasukkekontinuan fungsi sebagai hasil operasi fungsi-fungsi

Fungsi polinom, fungsi rasional kontinu disetiap bilangan real c dalamdaerah asalnya, kecuali dimana penyebutnya nol.



b. Alat : tidak adac. Bahan/.acuan : Kalkulus dan geomeri analitik, Purcell, edisi kelima, Bab

IId. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab II bagian 2.4 • 2.7.

24

V. Evaluasi


25


Kode : FIS 6111


Pokok Bahasan : Turunan

Sub Pokok Bahasan: Fenomena turunan (dua masalah dengan satu tema)Definisi turunan sekaligus notasi LeibnizTurunan sepihakTurunan pada selangAturan mencari turunanAturan rantaiTurunan tingkat tinggiTeorema nilai rata-rataTeorema L€HospitalTurunan fungsi implisitHampiranLaju yang berkaitan



Mahasiswa diharapkan dapat :Memahami pengertian turunan serta mampu menginterpretasikannya dalamberbagai masalah nyata


Mahasiswa diharapkan dapat :a. Menjelaskan konsep turunan dengan menggunakan fenomena laju

pertumbuhan populasi, gradien garis singgung dan kecepatan sesaatb. Menentukan turunan pertama, gradien garis singgung dan kecepatan

sesaat suatu fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi turunanpertama

c. Memeriksa kaitan antara turunan pertama dengan kekontinuan fungsi disuatu titik

d. Menggunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan turunan fungsi disuatu titik, termasuk aturan turunan fungsi eksponen dan logaritma asli,dan aturan turunan sinus dan kosinus uttuk menentukan fungsitrigonometri yang lain

e. Menyajikan aturan rantai baik dalam notasi fungsional maupun notasiLeibnitz untuk turunan fungsi komposisi

f. Menggunakan aturan rantai untuk menentukan turunan suatu fungsi yangdiperolehdari komposisi dua fungsi atau lebih

26

g. Menjelaskan pengertian turunan tigkat tinggi dari suatu fungsih. Menentukan turunan tingkat tinggi (kedua, ketiga, dst.) dari sutu fungsii. Menggunakan turunan tingkat tinggi dalam menentukan kecepatan dan

percepatan gerak suatu bendaj. Menjelaskan fungsi implisit dan eksplisitk. Menentukan turunan fungsi implisit dengan menngunakan aturan rantai


Fenomena turunan : Dua masalah satu tema (gradien garis singgung dankecepatan sesaat)

Definisi turunan : Turunan fungsi f adalah fungsi lain (dibaca ‚f aksenƒ)yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

hcfhcfcf

h

)()(lim)('0

asalkan limit ini ada. Aturan mencari turunan

1. Aturan fungsi konstanta2. Aturan fungsi identitas3. Aturan pangkat4. Aturan kelipatan konstanta5. Aturan jumlah6. Aturan selisih7. Aturan hasil kali8. Atturan hasil bagi(Yang sederhana boleh dibuktikan)

Turunan fungs-fungsi y = sin x, y = cos x, y = ex dan y = ln x langsungdiberikan tanpa pembuktian.

Aturan rantai : Andaika y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsikomposit y = f(g(x)) = (f·g)(x). Jika g terdifferensial di x dan fterdifferensialkan di u = g(x), maka fg terdifferensialkan di x dan(f·g)(x) = f€(g(x) g€(x)yakni,Dxy = Dyu Dxu



b. Alat : tidak adac. Bahan/.acuan : : Kalkulus dan geometri analitik, Purcell, edisi kelima,

Bab IIId. Tugas Terstruktur : Soal Bab III bagian 3.1 • 3.11

27

V. Evaluasi


28


Kode : FIS 6111


Pokok Bahasan : Penggunaan Turunan

Sub Pokok Bahasan: Keujudan maksimum dan minimumTeorema titik kritisKemonotonan fungsiKecekungan fungsiMaksimum dan minimum (lokal dan global)Limit-limit di ketakhinggaan, limit-limit tak hinggaMenggambar grafik canggih



Mahasiswa diharapkan dapat :Memahami penggunaan turunan


Mahasiswa diharapkan dapat :a. Menjelaskan pengertian maksimum dan minimum (lokal dan global) dari

suatu fungsib. Menentukan titik-titik kritis suatu fungsic. Menentukan nilai ekstrim global dengan membandingkan nilai fungsi di

titik-titik kritisnyad. Menjelaskan pengertian fungsi naik, turun dan monoton murnie. Menentukan selang kemonotonan suatu fungsi dengan memeriksa

turunan pertamanyaf. Menjelaskan pengertian kecekungan suatu fungsig. Menentukan selang kecekungan dan titik balik suatu fungsi dengan

memeriksa turunan keduanyah. Menjelaskan pegertian maksimum dan minimum lokal dari suatu contoh

masalah sederhanai. Menentukan nilai ekstrim lokal dari suatu fungsi dengan menggunakan

contoh ilustrasi sederhanaj. Menentukan nilai ekstrim lokal dari suatu fungsi yang diberikan dengan

menggunakan uji turunan pertama dan kedua

29

k. Menentukan limit-limit di ketakhinggaan dan limit takhingga untukfungsi-fungsi sederhana

l. Menggunakan limit di ketakhinggaan dan limit tak hingga untukmenentukan asimtot (datar, tegak, miring) suatu fungsi

m. Merumuskan dan menyelesaikan masalah-masalah praktis yang berkaitandengan masalah nilai ekstrim.


Andaikan S daerah asal f memuat titik c. Kita katakan bahwa :1. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jka f(c) f(x) untuk semua x di

S2. f(c) adalah nilai minimum f pada S jka f(c) f(x) untuk semua x di S3. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau

nilai minimum Keujudan maksimum dan minimum : jika f kontinu pada selang tertutup

[a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum Teorema titik kritis : Andaikan f didefinisikan pada selang I yang

memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslahsuatu titikkritis; yakni c berupa salah satu :1. Titik ujung dari I2. Titik stationer dari f (f€(c) = 0)3. Titik singular dari f (f€(c) tidak ada)

Teorema kemonotonan : Andaikan f kontinu pada selang I dan dapatdidefferensialkan pada setiap titik dalam dari I.1. Jika f€(x) > 0 untuk semua titik dalam I, maka f naik pada I.2. Jika f€(x) < 0 untuk semua titik dalam I, maka f turun pada I.

Teorema kecekungan : Andaikan f terdifferensial dua kali pada selangterbuka (a,b).1. Jika fƒ(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada

(a,b).2. Jika fƒ(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah

pada (a,b). Andaikan S daerah asal f yang memuat c. Kita katakan bahwa

1. f(c) nilai maksimum lokal f pada selang (a,b) yang memuat csedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada [a,b] S.

2. f(c) nilai minimum lokal f pada selang (a,b) yang memuat csedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada [a,b] S.

3. f(c) adalah nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokalatau minimum lokal

Limit tak hngga dan limit di tak hingga langsung dengan contoh-contoh.


30


b. Alat : tidak adac. Bahan/.acuan : Kalkulus dan geomeri analitik, Purcell, edisi kelima, Bab

IVd. Tugas Terstruktur : Soal-soal Bab IV bagian 4.1-4.9

V. Evaluasi


matematika i (fis 6111, wajib, 3...

Documents