matematika ekonomi - pertemuan ke 9

8/20/2019 Matematika Ekonomi - Pertemuan Ke 9

1/151

Matematika Ekonomi 2013

MINGGU IX

Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier

Sub Pokok Bahasan :

1. Pendahuluan

2. Fungsi kuadrat

3. Fungsi pangkat tiga

4. Fungsi Rasional

5. Lingkaran

6. Ellips

Tujuan Instruksional Umum : Agar mahasiswa dapat memahami apa yang

dimaksud dengan fungsi non linier

Tujuan Instruksional Khusus : Agar mahasiswa mampu menjelaskan dan dapat

menyelesaikan masalah yang terkait dengan :1. Fungsi kuadrat

2. Fungsi pangkat tiga

3. Fungsi rasional

4. Lingkaran

5. Ellips

Jumlah Pertemuan : 1 (satu)


2/152


FUNGSI NON LINEAR

1. PENDAHULUAN

Setelah fungsi linier dipelajari, sekarang kita akan menyajikan jenis fungsi yang

kedua yaitu fungsi non linier. Fungsi non linier ini dapat berperan berupa fungsi

kuadrat dan fungsi rasional (fungsi pecah). Gambar dari fungsi ini bukanlah suatu

garis lurus, mlainkan suatu garis lengkung.

Dalam bab ini akan disajikan fungsi kuadrat yang gambarnya berupa suatu

parabola vertikal dan horizontal, fungsi rasional yang gambarnya berbentuk hiperbola, fungsi kubik, lingkaran dan elips.

2. FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat dengan satu variabel bebas adalah fungsi polinomial tingkat dua,

dimana fungsi ini mempunyai bentuk umum, Y = Fungsi (x) = a o + a 1x + a 2x2 atau

bila koefisien-koefisien diubah, maka bentuknya adalah :

Y = f (x) = ax2

+ bx + cDimana : Y = Variabel terikat

x = Variabel bebas

a, b, dan c = konstanta dan a ≠ 0

Bentuk ini bila digambarkan pada bidang koordinat akan mempunyai suatu

parabola vertikal. Hal ini ditunjukkan dalam gambar berikut :

Y Sumbu Simetri Y Sumbu Simetri

X X0 0

(a) Terbuka ke atas (b) Terbuka ke bawah


3/15

b

Pada gambar (

parabola terbuka kebawah dan disebut seb

Suatu parabola

titik dimana arah peru

naik. Dengan kata lai

parabola bilamana p

bilamana parabola terb

Koordinat titik puncak

Titik Puncak =2a

Dimana : a, b dan c ad

Suatu parabola

dengan sumbu Y. Sum

dan membagi parabola

Rumus Kuadarat (A

Jika Y = 0, ma

menjadi persamaan ku

juga di sebut akar-ak

memfaktorkan atau d

adalah:

X12 =2b

2a

Suku di tanda(D).Nilai diskriminan i

menyinggung atau tida

4ac adalah negatif ma

kuadrat ini hanya di gu

Matematika Ekono

4

a) parabola vertikal lengkung ke atas dan

tas. Sedangkan gambar (b) parabola vertagai parabola terbuka ke bawah.

mempunyai satu titik puncak. Titik punca

bahan fungsi dari naik ke menurun atau

, titik puncak adalah titik yang paling b

rabola terbuka ke atas, titik paling ata

uka ke bawah).

ari suatu parabola dapat diperoleh dengan r

(b 2 4ac ),

4a

lah parameter atau konstanta dalam persa

vertikal mempunyai sebuah sumbu sime

bu simetri adalah suatu garis lurus yang m

menjadi dua bagian yang sama bentuknya.

C)

a bentuk umum dari fungsi kuadrat Y = a

drat ax 2 + bx + c = 0. Nilai-nilai penyelesa

ar dari persamaan kuadrat dapat diperol

engan menggunakan rumus kuadrat. Ru

ac

akar pada persamaan yaitu b 2 – 4ac dis i akan menentukan apakah parabola ver

k memotong maupun menyinggung sumbu

a tidak terdapat titik potong dengan sumb

nakan bila nilai b2

– 4ac positif atau sama de

3

mi 2013

disebut sebagai

ikal lengkung ke

(vertex) adalah

ari menurun ke

wah (dasar dari

s dari parabola

umus :

aan

tri yang sejajar

lalui titik puncak

2 + bx + c akan

ian untuk X yang

eh dengan cara

mus kuadrat ini

ebut diskriminan tikal memotong,

X. Jika nilai b2 –

X. Jadi, rumus

ngan nol.


4/15

Macam-Macam Para

Tanpa melihat

ditentukan dengan me

ini terdapat 6 kemungk

1. Jika a > o dan D

sumbu X di dua titi

2. Jika a > 0 dan D

sumbu X di dua titi

3. Jika a > 0 dan D <maupun menyinggu

4. Jika a < 0 dan D

sumbu X di dua titi

5. Jika a < 0 dan D =

sumbu X di dua titi

6. Jika a < 0 dan D

memotong maupun

Contoh :

Jika fungsi kuadrat

gambarkanlah parabola

Penyelesaian :


Untuk X = 0, maka Y =

Titik potong sumbu X a

Untuk Y = 0, mak

Matematika Ekon

bola

gambar parabola, titik maksimum dan titik

lihat nilai parameter a dan nilai dari diskri

inan bentuk parabola :

> 0, maka parabola akan terbuka ke atas

yang berlainan.

0, maka parabola akan terbuka ke atas d

yang berhimpit.

0, maka parabola akan terbuka ke atas dan ng sumbu X.

0, maka parabola akan terbuka ke bawah

yang berlainan.

0, maka parabola akan terbuka ke bawah d

yang berhimpit.

< 0, maka parabola akan terbuka ke b

menyinggung sumbu X.

= X2 – 8X + 12, carilah koordinat ti

nya.

= b (b 2

,2a 4a

4ac )

8 (64= ,2 4

48)

= (4, -4)

12

dalah (0, 12)

X2 – 8X + 12 = 0

4

mi 2013

minimum dapat

inan, D. Berikut

dan memotong

n menyinggung

tidak memotong

dan memotong

n menyinggung

awah dan tidak

tik puncak dan


5/15

8X1,2 =

8X1 =

8X2 =

Titik potong sumbu X a

Berdasarkan nilai-nilai Y maka kurva parabola

Y

(0,12)

1210

8642 (2,0)0

2-2-4

Contoh :

Diketahui fungsi kuad

grafiknya.Penyelesaian :

Jika X = 0, maka

Jika Y = 0, maka 3

X2 – 2X – 3 = 0

(X-3) (X + 1) =

X1 = 3 sehingg

X2 = -1 sehingg

Matematika Ekono

84

64

24

64 8 16

2 2

2

2

dalah (2,0) dan (6,0)

enyelesaian dari titik puncak dan titik poto nya dapat digambarkan seperti berikut :

(8,12)

(6,0)

6

(4,4)

Y = X 2-8X + 12

X

rat Y = 2X-X2, carilah akar-akarnya da

= 3, sehingga titik koordinatnya (0,3)

+ 2X-X2 = 0 atau

0

titik koordinatnya (3,0)

a titik koordinatnya (-1, 0)

5

mi 2013

g sumbu X dan

gambarkanlah


6/15


Berdasarkan nilai-nilai

Y maka kurva parabola

4

3

2

1

(-1,0)

-1 0

3. FUNGSI PANGKAT

Polinomial tingkat 3 de

mempunyai bentuk um

Y = a 0 + a 1

Dimana : a 3 tidak sama

Matematika Ekon

(4

1

2

2

=

=

b (b 2,

2a 4a

2 (2 2,

4ac )

4( 1)(3)

2( 1) 4( 1)

= , 6 1,4)

enyelesaian dari titik puncak dan titik poto

nya dapat digambarkan seperti pada gambar

Y

(1,4)

(0,3)

(2,3)

1 2 3

(0,3)

TIGA

ngan satu variabel bebas disebut sebagai f

um :

X + a2X2 + a 3 X3

dengan nol

6

mi 2013

g sumbu X dan

berikut :

X

ungsi kubik dan


7/15

b

ag

a

Fungsi kubik i

kurvanya mempunyai d

ke bawah seperti tamp

Y

Y = a 0 +

a0

0

4. FUNGSI RASIONA

Suatu fungsi rasional m

(X)Y

a n X n

h (x) bm X 0

Dimana :

G (X) = Fungsi po

H (X) = Fungsi po

Fungsi rasional ini bilakan berbentuk hiper

asimtot adalah sumb

menyinggung.

Fungsi rasional yang i

berbentuk:

Y = a X

atau XY

Matematika Ekon

bb..11

aa..11 X

ni bila digambarkan dalam bidang koor

ua lengkung (concave) yaitu lengkung ke at

k pada gambar berikut :

a1X + a 2X2 + a 3X

3

X

empunyai bentuk umum :

n .... 1 X 0

X m .... 1 X 0

linomial tingkat ke-n

linomial tingkat ke-m dan tidak sama denga

digambarkan dalam bidang koordinat Ca bola dan mempunyai sepasang sumbu

yang didekati kurva hiperbola teta

timewa dan sering ditetapkan dalam ilmu

7

mi 2013

inat Catersius,

s dan lengkung

nol

rtesius kurvanya asimtot. Sumbu

pi tidak pernah

ekonomi adalah


8/15

Dimana : a > 0

Bentuk fungsimempunyai satu sum

sumbu asimtot datar y

kurva hiperbola akan

hiperbola akan mendek

Jika sumbu as

asimtot datar tidak b

rasional adalah :

(X-h) (Y – k) = C

Y

0

Dimana : h = Su

k = Su

(h, k) = Pu

C = Ko

Contoh :

Jika diketahui fungsi ra

Penyelesaian :

Jika X = 1, maka Y = 9

Jika X = 3, maka Y = 3

Matematika Ekon

0

rasional diatas kurvanya adalah hiperbolau asimtot tegak yang berimpit dengan su

ang berimpit dengan sumbu Y. jadi, bila n

mendekati sumbu Y dan bila nilai X

ati sumbu X. Hal ini ditunjukan dalam gamb

imtot tegak tidak berimpit dengan sumb

rimpit dengan sumbu Y, maka bentuk u

aY = (a )

X

mbu asimtot tegak

mbu asimtot datar

sat hiperbola

nstanta positif

sional Y =

9 , gambarkanlah kurva hiperbol X

, sehingga titik koordinatnya (1,9)

, sehingga titik koordinatnya (3,3)

8

mi 2013

segi empat dan mbu Y dan satu

ilai Y diperbesat,

iperbesar kurva

r berikut :

Y dan sumbu

um dari fungsi

X

anya ?


9/159


Jika X = 9, maka Y = 1, sehingga titik koordinatnya (9,1)

Kurva hiperbola ini ditunjukkan oleh gambar sebagai berikut :

Y

9(1,9)

8

7 9Y =

6 X 5

4(3,3)

3

2

1

(9,1)

0 X1 2 3 4 5 6 7 8 9

Contoh

Jika diketahui fungsi (X + 3) (Y + 4), gambarkanlah kurva hiperbolanya ?

Penyelesaian :

Sumbu asimtot tegak X = h = -3

Sumbu asimtot Y = k = -4

Jadi, titik pusat hiprbola (-3, -4)


Jika X = 0, maka Y = 4,5, sehingga titik koordinatnya (4,5,0)



10/1510


Berdasarkan nilai sumbu asimtot tegak dan datar serta titik-titik koordinat, maka

kurva hiperbola dapat digambarkan seperti gambar dibawah ini :

Y

X = 39

8

7

6

5

4

3

2

1

0

(1,9)

(2,2)

(41

,0 )2

X

-3 -2 -1 -1

-2

-3

-4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5. LINGKARAN

Secara geometri suatu lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan

titik-titik pada suatu bidang yang mempunyai jarak tertentu dari titik pusat. Jarak

titik-titik tersebut dari pusat disebut jari-jari lingkaran. Bentuk umum dari

persamaan lingkaran adalah :


11/1511


Y

AX2 + CY 2 + DX + EY + F = 0

Dimana : A = C dan tidak sama dengan nol A dan C mempunyai tanda yang sama

Persamaan lingkaran ini dapat diubah ke dalam bentuk standar persamaan

lingkaran menjadi :

(X-h)2 + (Y-k)2 = r 2

Dimana : (h, k) = pusat lingkaran

r = jari-jari lingkaran

Gambar persamaan lingkaran-lingkaran ini ditunjukan dalam gambar 7.12

Y

(X 1, Y1)1

k (h, k)(X – h)2 + (Y – k)2 = r2

X0 h X 1

Jika titik pusat lingkaran berimpit dengan titik asal (0,0) atau h = 0 dan k =

0 serta jari-jari (r) maka persamaan lingkaran dapat ditulis menjadi.

X2 – Y 2 = r 2

Gambar dari bentuk persamaan ini dapat dilihat pada gambar berikut :


12/15


12

Untuk mengetahui apakah suatu lingkaran ada atau tidak dapat diketahui pada jari-

jari lingkarannya (r2) yaitu :

Jika r2 < 0, tidak ada lingkaran (jari-jari imajiner)

Jika r2 = 0, terdapat lingkaran berupa satu titik (jari-jari nol)Jika r2 > 0, terdapat lingkaran

Contoh :

Jika bentuk umum lingkaran adalah X 2 + Y 2 – 6X – 8Y + 16 = 0(a) Ubahkan ke dalam bentuk standar

(b) Tentukanlah titik pusat dan jari-jari lingkaran !

(c) Gambarkanlah lingkaran tersebut !

Penyelesaian :

Bentuk standar lingkaran (X – h) 2 + (Y – k)2 = r 2

X2 + Y 2 – 6X – 8Y + 16 = 0

(X2 – 6X + 9) + (Y 2 – 8Y + 16) = -16 + 9 + 16

(X – 3)2 + (Y – 4)2 = 9

Jadi, titik pusat lingkaran (3,4) dan jari-jarinya r 2 = 9 atau √ 9 = 3Persamaan lingkaran ini ditunjukkan oleh gambar berikut :

Y

7

6(0,4)

5

43

2

(3,7)

(3,4)

(3,1)

X2 + Y2 – 6X – 8 Y + 1 6 = 0

(6,4)

1 X

X2

+ Y2

= r2

X

Y


13/15

(

6. ELLIPS

Secara geometri, elip

bidang yang jumlah ja

simetri yang saling te

sumbu pendek disebu

titik pusat elips.

Bentuk umum dari pers

AX2 + CY 2 +

Dimana : A = tidak sa

D dan C me

Bentuk umum elips ini

(X - h) 2

a 2

X

(h, k)

a

(b)

Matematika Ekon

1

didefinisikan sebagai tempat kedudukan

ak dua titiknya konstan. Suatu elips memp

ak lurus. Sumbu yang panjang disebut s

sumbu minor. Titik potong sumbu-sumbu

amaan elips adalah :

DX + EY + F = 0

ma dengan C

mpunyai tanda yang sama

apat diubah ke dalam bentuk standar elips

Y K ) 2

b 2

Y Y

0 (h, k)

a

(b)

0

13

mi 2013

titik-titik dalam

nyai dua sumbu

mbu utama dan

tersebut adalah

menjadi :

X


14/15

1(( x h)2

a 2 y k ) 2

b 2

(a) a > b

Dimana (h,k) a

apabila a > b dan

Gambarnya dapat dilih

Contoh :

Tentukanlah titik pusat

4X2 + 9Y 2 + 16X – 18Y

Penyelesaian :

4X2 + 9Y 2 + 16X – 18Y

4X2 + 16 X2 + 9Y 2 + 1

4 (X2

+ 4X) + 9 (Y 2 – 2

4 (X2 + 4X + 4) + 9 (Y

4 (X + 2) 2 + 9 (Y – 1) 2

Pusat elips (-2, 1)

Jari-jari panjang a 2 = 9

Jari-jari pendek b 2 = 4,

Persamaan elips ini dit

(-51)

-5 -4 -

Matematika Ekon

(( x h) 2a 2

y k ) 2b 2

a) a < b

alah pusat elips dan sumbu utama sejajar

sumbu utama sejajar dengan sumbu Y

t pada gambar diatas.

, jari-jari pendek dan panjang dari persamaa

– 11 = 0

– 11 = 0

X – 18Y – 11 = 0

Y) – 11 = 0 – 2Y + 1) = 11 + 16 + 9

= 36

, maka a = √9 = 3

maka b = √4 = 2

njukkan oleh gambar ini.

Y

(-2,3)

(-2,1)

4X 2 + 9Y + 16

(1,1)

3 -2 - 1 2 3

(-2,-1)

mi 2013

14

1

dengan sumbu X

apabila a < b.

n elips

– 8Y – 11 = 0

4


15/15


matematika ekonomi - pertemuan ke 9

Documents