matematika 2 ((haa))
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
1/52
Matematika 2
Harits Atika A., S.Si., M.Si.
WA: +62857367356
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
2/52
Materi Perkuliahan
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
3/52
Pengertian Integral
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
4/52
Pengintegralan fungsi f ( x ) terhadap x
dinotasikan sebagai berikut :
• notasi integral (yang diperkenalkan oleh
Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
• f ( x ) fungsi integran
• F ( x ) fungsi integral umum yang bersifat!( x) f ( x )
• c konstanta pengintegralan
( ) ( ) c x F dx x f +=∫ ∫
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
5/52
• Jika f "( x ) # x n, maka , n
≠ -1, dengan $ sebagai konstanta
( ) c xn x f n
++= +!
!!
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
6/52
Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F ( x ) yang dapat
didiferensialkan pada inter%al sedemikian
hingga maka antiturunan dari f ( x ) adalah
F ( x ) & c
• 'e$ara matematis, ditulis
( ) ( ) c x F dx x f +=∫
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
7/52
• di mana
• Lambang integral yangmenyatakan operasi antiturunan
• f ( x ) ungsi integran, yaitu fungsi yang
di$ari antiturunannya• c onstanta
∫ dx
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
8/52
Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ , maka
, c adalah konstanta*
+ontoh:
c xn
dx x nn ++
= +∫ !
!
!
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
9/52
Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka
( ) ( )∫ ∫ = dx x f k dx xkf
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
10/52
Teorema 3
• Jika f dan g fungsifungsi yang
terintegralkan, maka
( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +=+ dx x g dx x f dx x g x f
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
11/52
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
12/52
Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan
rasional tak nol maka
, dimana $ adalah konstanta dan r - *
( )( ) ( ) ( )( )∫ ++=
+c xu
r dx xu xu
t r !
!
!"
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
13/52
Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsifungsi yang dapat
didiferensialkan, maka
∫ ∫ −= vduuvudv
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
14/52
Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
• dimana $ adalah konstanta*
c x x
c x xdx
c x xdx
+=
+−=
+=
∫
∫
∫
tanc#s
!
c#ssin
sinc#s
2
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
15/52
∫ =+ ...$%&2.!52 dx x x
→ ⇒ x
dudx2
=
∫ ∫ ++=+== c xcuduu 62655 $%&
6
!
6
!
2'
du2'u
$...&!
2.2
3
2
latihanbuat x
dx x∫ =
+
M()*( S-))S
a/am m0n10/0saikan masa/ah int0grasi 0rtama tama kita
m0ngusahakan m0ngu4ahn1a m0nadi 40ntuk rumus dasar
d0ngan m0nggunakan aria40/ /ain & su4titusi $
#nt#h :
Jawab :u # ./ & 0 du # /. d.
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
16/52
∫ ∫ ∫ −= duvvud dvu .$.&.
∫ ∫ −= duvvudvu ...
∫ duv ∫ dvu.
1234567L P76'17L
Misalkan u dan % fungsi yang differensiabel
terhadap ., maka :
d(u*%) # %*du & u*d%
u*d% # d(u*%) %*du
harus lebih mudah dari
yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :()* 8agian yang terpilih sebagai d% harus mudah diintegral*
(/)*
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
17/52
∫ dx x /n
∫ dvu.
/n '=u dxdu
'
! =
∫ dx x /n ∫ − dx x x !
+ontoh :
#Jawab :
d% # d. % # .
Jadi :
# .ln .
# . ln . . & $
∫ ∫ −= duvvudvu ...
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
18/52
Integral Fungsi Trigonometri
Perlu diingat!!!!
'ifatsifat trigonometri yang biasa
dipakai di dalam fungsi integral
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
19/52
6umus dasar integral fungsi trigonometri
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
20/52
entuk Integral Trigonometri• 7pabila kita menggunakan metode penggantian dan disertai dengan
pemakaian kesamaan trigonometri yang tepat, maka kita dapat
mengintegralkan banyak bentuk trigonometri*• 3iga 9enis integral yang sering di9umpai :
ι. ∫ sin n x dx dan ∫ cos n x dx
ιι. ∫ sin m x cos n x dx
ιιι. ∫ sin mx cos nx dx, ∫ sin mx sin nx dx, ∫ cos mx cos nx dx
i "enis sin n # d# dan $os n # d#
;ntuk n # gan9il, digunakan kesamaan : sin2 x + cos2 x =1
+ontoh <
/=
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
21/52
;ntuk n # genap, digunakan kesamaan :
sin2 x # > (1 - cos 2x ) cos2 x # > (1 + cos 2x )
+ontoh ?*
∫ sin 2 x dx = ∫ > (1 - cos 2x ) dx # > ∫ dx @ ∫ cos 2x (2) dx
# > ∫ dx @ ∫ cos 2x d(2x)
= > x – @ sin 2x + c
ii "enis sin m # $os n # d#
;ntuk m atau n gan9il sedang eksponen lain merupakan bilangan
sembarang, maka dikeluarkan sin . atau $os . dan digunakan
kesamaan : sin2 x + cos2 x =1
+ontoh A*
/
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
22/52
• ;ntuk m dan n genap maka digunakan kesamaan :
sin2 x # > (1 - cos 2x ) cos2 x # > (1 + cos 2x )
+ontoh B*
//
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
23/52
iii "enis sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx
1ntegral 9enis ini banyak digunakan dalam teori arus bolakbalik, teori
perpindahan panas dan teoriteori yang menggunakan deret
ourier*
;ntuk menyelesaikan integral 9enis ini digunakan kesamaan
sebagai berikut* sin mx cos nx = ½ Csin (m+n) x+ sin (m - n) x D
sin mx sin nx = - ½ Ccos (m+n) x - cos (m - n) x D
cos mx cos nx # > Ccos (m+n) x+ cos (m - n) x D
+ontoh =*
/E
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
24/52
,222 xba − atau xba ,222 +222 a xb −
222 xba − z b
a x sin= z a xba c#s
222 =−
222 xba +
z tg b
a x = z a xba s0c222 =+
222 a xb − z ba
x s0c= z tg aa xb 222 =−
';8313;'1 3615F2FM4361
Jika 1ntegran mengandung salah satu dari bentuk :,
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat
ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan
menggunakan %ariabel baru :
8entuk 'ubtitusi Memperoleh
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
25/52
'ubsitusi trigonometri
;ntuk mensubtitusi bentuk
dan dengan dan
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
26/52
∫ =−
....%9
.!2
dx x
x
z x sin2
3= zdz dx c#s
2
3= c#s3%9 2 z x =−
∫ ∫ ∫ ==− dz z z
dz z
z
z dx
x
x
sin
c#s3$c#s
2
3&
sin2
3
c#s3%9 22
∫ ∫ − dz z dz z ec sin3c#s3
c x x
x+−+
−−= 2
2
%9:2
%93:/n3
$ontoh :
9awab :
→ ,
Jadi,
# E ln G$ose$ z $tg zG & E $os z & $
=
−
∫ dz z z
sin
sin!
3
2
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
27/52
∫ =+
....%
.222 x x
dx
z tg x 2= zdz dx 2s0c2= s0c2% 2 z x =+
∫ =+ 22 % x x
dx∫ =dz z z tg
z
$s0c2$&%&
s0c22
2
∫ dz z z 2sin%
c#s
=∫ z z d
2sin
$&sin
%
!c
z +−
sin%
!c
x
x++−=
%
% 2
9awab :
→ ,
Jadi,
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
28/52
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
29/52
3;57' 37M87H72
uat rangkuman rumus%rumus integral!!
ualifikasi:
* 3ugas indi%idu (3ulis 2ama, 2PM, elas)
/* Iitulis rapi di kertas folio maksimal lembar
(/ halaman)
E* 8uat selengkaplengkapnya (Modal ;3'
;7')
0* umpulkan copy annya sa9a minggu depan
//KEK=<
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
30/52
1ntegral ungsi 6asional
nnnnn a xa xa xa xa +++++ −−− !
22
!! ......
ungsi 6asional pembgin du po!inomi!
'ebuah polinom dalam . adalah sebuah fungsi berbentuk :
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
31/52
$&
$&$&
xQ
x P x H =
22
22$&
23
2
+−+
++=
x x x
x x x H
ungsi H(.) disebut fungsi rasional 9ika :
dimana P(.) dan (.) adalah polinom
Jika dera9at P(.) lebih rendah dari dera9at (.), maka H(.)
disebut “&asional 'e(ati”
+ontoh :
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
32/52
'edangkan 9ika dera9at P(.) lebih tinggi dari dera9at (.),
maka H(.) disebut “&asional Tidak 'e(ati”
+ontoh :
%
2336
%
!3!$&
2
2
2
2%
−
−+−=
−
++−=
x
x x
x
x x x x H
;ntuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
$&
$&
xQ
x P : ditulis sebagai 9umlah dari bagian yang lebih
sederhana dengan menguraikan (.) dalam hasil
kali faktorfaktor linier atau kuadratis, yaitu :
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
33/52
$$.....&$&&$& 2! na xa xa x xQ +++=
$&.....
$&$&$&
$&
2
2
!
!
n
n
a x
A
a x
A
a x
A
xQ
x P
+++
++
+=
1) Faktor *+# semua linier dan tak berulang,
, maka :
, misal :
, maka :
, sehingga :
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
34/52
na x xQ $&$& +=
nn
a x A
a x A
a x A
xQ x P
$&.....
$&$&$&$&
22!
+++
++
+=
2) Faktor *+# semua linier berulang,
, maka :
, misal :
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
35/52
-onto. lagi/
3 *+# adala. 0aktor kuadrat ang tak berulang
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
36/52
$$....&$&&$& 22222!!2! nnn c xb xac xb xac xb xa xQ ++++++=
$&....
$&$&$&
$&2
222
2
22
!!2
!
!!
nnn
nn
c xb xa
B x A
c xb xa
B x A
c xb xa
B x A
xQ
x P
++++
++++
+++=
3) *+# adala. 0aktor kuadrat ang tak berulang,
, maka :
, misal :
, dst))
, uktikan ba.a
4 *+# adala. 0aktor kuadrat ang berulang
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
37/52
mcbxax xQ $&$& 2 ++=
m
mm
cbxax
B x A
cbxax
B x A
cbxax
B x A
xQ
x P
$&....
$&$&$&
$&22
22
2
!!
+++++
++++
+++=
4) *+# adala. 0aktor kuadrat ang berulang,
, maka :
, misal :
, dst))
, uktikan ba.a
-onto. Integral 0ungsi rasional
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
38/52
-onto. Integral 0ungsi rasional
1.)
2.)
I = …?
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
39/52
'ubtitusi lain*
'ubtitusi lain
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
40/52
'ubtitusi lain*
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
41/52
3;57'
I t l T T t
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
42/52
• 1ntegral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilainilai %ariabel bebasnya (memiliki batasbatas)tertentu*
• Jika fungsi terdefinisi pada inter%al tertutup Ca,bD , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :• Iimana :
• f(.) : integrana : batas bawah
b : batas atas
Integral TerTentu
∫ b
a
dx x f $&
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
43/52
KAIDAH KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
[ ] $&$&$&$& a F b F x F dx x f b
a
b
a
−==∫ [ ] ( )
( ) 6,6!8323!255
!
25
5
!
5
!
5
555
2
5
5
2
5
2
5%
=−=
−==
=∫ x
xdx x
∫ =a
a
dx x f $& [ ] ( )
( ) 32325
!
225!
5!
5552
25
2
2
2
2
5
%
=−=
−==
=∫ x xdx x
∫ ∫ −=b
a
a
b
dx x f dx x f $&$& [ ] ( )
( ) 6,6!83!25325
!
525
!
5
!
5
552
5
5
2
5
2
5
5%
=−−=
−−=−=
−=− ∫ x x
dx x
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
44/52
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
45/52
3;57' /
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
46/52
1ntegral 3ak 'ebenarnya
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
47/52
asus
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
48/52
asus
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
49/52
asus
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
50/52
asus
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
51/52
asus /
-
8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))
52/52
;1NOOO