37228_dikttat matematika 2

8/17/2019 37228_Dikttat Matematika 2

1/129

DIKTAT PERKULIAHAN

MATEMATIKA II

UNTUK MAHASISWA TEKNIK TELEKOMUNIKASI SEMESTER DUA

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

POLITEKNIK NEGERI JAKARTAOKTOBER, 2009

1

Oleh:Ir. Su!"#,MT.

NIP. $%$ &'% (0%

D)*)!+!) De"!" : D!"! DIPAPe"+u-u"!" N!-!h B!h!" A/!r

N##r K#"r! : $1K3.AUP2AI2009


2/129

PRAKATA

Penulisan diktat ini bertujuan untuk memudahkan dan membantu mahasiswa program

studi Teknik Telekomunikasi semester dua dalam mempelajari, memahami dan mengaplikasikan

matakuliah matematika dalam bidang teknik telekomunikasi. Selain dari pada itu diktat ini jugasangat bermanfaat dalam memberikan bekal pada para mahasiswa sebagai bahan penunjang

matakuliah lain dan sebagai sarana pembantu dalam menyelesaikan persoalan keteknikan yang

membutuhkan matematika tingkat tinggi. Sebagaimana diketahui bahwa dalam bidang teknik

telekomunikasi sangat banyak persoalan yang penyelasaiannya sangat membutuhkan bantuan

matematika. Sebagai contoh perhitungan medan listrik, medan magnet , rangkaian listrik ,

pengolahan sinyal, otomatisasi system dan sebagainya. Berdasarkan penelusuran diperpustakaan

dan informasi dari dosen pengasuh masing-masing materi tersebut ternyata antara !" # $! "

penyelesaian persoalan hitungan sangat membutuhkan bantuan matematika.

%ateri yang akan dibahas dalam diktat ini antara lain persamaan deferensial dan cara

penyelesainnya, aplikasi persamaan deferensial, transformasi &aplace, aplikasi transformasi

&aplace, transformasi ', aplikasi transformasi ', deret (ourier dan aplikasi deret (ourier.

Pada kesempatan ini penulis sebelumnya mengucapkan terimakasih kepada)

1. *epala +P P/0 yang telah menyediakan pendanaan untuk penulisan diktat

. *etua 0urusan Teknik lektro dan *etua Program Studi Teknik Telekomuniksi P/0

yang telah memberi kepercayaan pada penulisan diktat ini.

2epok, 3 4ktober !!$

Penulis diktat

r. Sutanto,%T /P.1513657!5


3/129

DA4TAR ISI

8alaman2aftar isi 999999999999999999999999999. iiPrakata 9999999999999999999999999999. iiiPendahuluan 99999999999999999999999999. 1

1.1. :ambaran umum materi kuliah 999999999999999999 11.. Tujuan pembelajaran umum 999999999999999999. 11.5. :ambaran umum isi diktat 9999999999999999999 11.;. Proses pembelajaran 99999999999999999... 1Bab . Persamaan 2iferensial 9999999999999999999.. 5

.1. Pendahuluan 999999999999999999999... 5.. Persamaan diferensial order satu 9999999999999. ;.5. Persamaan diferensial order dua 99999999999999. 3.;. Penerapan persamaan diferensial 99999999999999. 6!.6. Persamaan diferensial simultan 99999999999999. 63

&atihan 999999999999999999999999. 7!

Bab . Transformasi &aplace 9999999 999999999999. 7.1. Pendahuluan 9999999999999999999999... 7.. Prinsip dasar transformasi &aplace9999999999999.... 7.;. n


4/129

%ateri yang akan dibahas dalam diktat %atematika ini terdiri atas pengantar umum

persamaan deferensial ?P2@, metoda penyelesaian pesamaan diferensial order satu,

metoda penyelesaian persamaan diferensial ?P2@ order dua, P2 simultan dan teknik

penyelesaiannya, penyusunan persamaan diferensial pada rangkaian listrik, aplikasi P2

order dua pada rangkaian listrik A dan 2A, transformasi &aplace, penyusunan tabel

transformasi &aplace, in


5/129

BAB I

PERSAMAAN DI4ERENSIAL

I.$.Pe"5!hulu!"

Persamaan diferensial atau disingkat dengan P2 adalah suatau persamaan yang memuat

sekurang-kurangnya satu deri


6/129

$.$.$.2. Per-!!!" D)8ere"-)!l P!r-))l. 0ika didalam persamaan diferensial terdapat dua atau

lebih peubah bebas ?independent


7/129

Pada bagian ini hanya akan dibatasi pada pembahasan persamaan diferensial ordiner order satu

dan dua saja yang dilengkapi dengan metoda penyelesaiannya.

I.2. Per-!!!" 5)8ere"-)!l #r5)"er #r5er -!u

da beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan diferensial order satu antara lain)

a. 2engan cara D separable equations”

b.2engan cara Dexact equationsE

c. 2engan cara “homogenous equations”

d.2engan cara mencari fungsi komplementer dan particular integral

e. 2engan cara deret

I.2.$. Pe"+ele-!)!" 7er-!!!" 5)8ere"-)!l #r5er -!u 5e"!" =!r! >-e7!r!*le e?u!)#"-@0ika persamaan % dF G /dy H ! dapat diubah menjadi If 1?F@dF G If ?y@dy H !,maka


8/129


9/129

dmdy H y

dmH y dy ydy H1 dm

I ?1du@?u-1@ G I ?1dm@?m-1@ H A

L ? u1 @G A1 G L ?m1 @ G A H A

u1 G A1 G m1 G A H A

? 1GF @1 G A1 G ?1G y@1GA H A

? 1GF @1 G ?1G y@1 H A- A1 - A

? 1GF @1 G ?1G y@1 H k , dengan k H A- A1 - A

L!)h!"

Selesaikan persamaan diferensial ?P2@ berikut dengan menggunakan cara Dseparable eCuationE)

1. $ y yMG ; F H ! kunci jawaban F$ G y; H A

. yM H 1G y kunci jawaban y H tg ?FG A@

5.

;. ?y G ;@ # ?F - @ yM H 7

6. ?y15G6@yMG H !

Aatatan) yM H dydF

I.2.2. Pe"+ele-!)!" 7er-!!!" 5)8ere"-)!l #r5er -!u 5e"!" =!r! >e!= e?u!)#"-@

2alam persamaan diferensial yang berbentuk) % dF G /dy H !, dikatakan eksak apabila

dipenuhi bentuk)

$


10/129


11/129

dN H ! 9999999999999 ?5@

ntegralkan dNdF terhadap F, sehingga didapat bentuk)

2iferensialkan secara parsiil persamaan ?7@ terhadap y)

Persamaan ?@ H Persamaan ?6@

Aos F G f M?y@ H Aos F Gyf M?y@ H y diintegralkan sehingga didapat

f?y@ H y G A 9999999999..?3@

%asukkan persamaan ?3@ ke persamaan ?7@)

N H O F; G y Aos F G f?y@

N H O F; G y Aos F G y G A 9999.?$@

2ari persamaan ?5@ ) d N H ! hasil integrasi berbentuk)

N H A1 9999999999...........?1!@2ari persamaan ?1!@ dan ?$@)

A1 H O F; G y Aos F G y G A

O F; G y Aos F G y H A1 - A

F; G ; y Aos F G ;y H ;?A1 - A@

F; G ; y Aos F G ;y H k, dengan k H ;?A1 - A@ sebagai tetapan baru

11


12/129

L!)h!"

Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan metoda persamaan eksak)

1. FyM G ?y G ;@ H !

. ?7yF G y5@ dF G ?7Fy G 7 yF G y@ dy H !

Aatatan) yM H dydF

Ku"=) J!!*!"

1. y H cF # ;

. 5FyG y5F G y GA H !

I.2.%. Pe"+ele-!)!" 7er-!!!" 5)8ere"-)!l #r5er -!u 5e"!" =!r! >h##e"#u- e?u!)#"-@

Persamaan )

merupakan persamaan diferensial homogen order satu dan dapat diselesaikan dengan subsitusi)

y H < F .........................................?@

Turunkan persamaan ?@ terhadap F, sehingga dihasilkan)

Subsitusi persamaan ?5@ ke persamaan ?1@)

Tetapi ingat bahwa y H < F atau yF H <

Sehingga)

1


13/129

Persamaan ?;@ diselesaikan dengan pemisahan


14/129

L!)h!"

Selesaikan persamaan diferensial ?P2@ berikut )

1. FyyM - y

G F

H !. ?F -;y G 6@yM G F -y G5 H !

?F-y@ G6Q yMG ?F-y@ G 5 H ! .......?1@

< G6Q yM G < G5 H ! .......... ?@

2engan < H F - y .......?5@

y H F # <

y H L ?F-


15/129

< # < d


16/129

5. y yM #yF H !

*unci jawaban)

1.

. F G 3y G ln ?;F - 3y G 11@ H !

Petunjuk penyelesaian)

1. Soal 1 bagilah FyyM - y G F H ! dengan F, sehingga didapat)

*emudian lakukan subsitusi < H yF

17


17/129

. &akukan subsitusi dengan < H F-y atau y H L ?F-


18/129

dydF G 6 y H 1! ......... ?1@

%isal 0awaban P2 ) y H yc G y p

tau y H u G <

dydF H dudF G d


19/129

b. Aara mencari harga yP

+ntuk mencari harga y p sangat tergantung pada harga f?F@, karena harga f?F@ dapat

berupa) - nilai ! ?nol@ mangakibatkan yP H !

-tetapan yang tidak sama dengan nol

-eksponensial

- fungsi trigonometri

- fungsi polinomial ?pangkat tinggi@


20/129

0adi jawaban P2 adalah) + C += +7 C += 0

C +=

Penyelesaian)Bentuk umum penyelesaian P2 adalah)

y H yc G y p

%encari harga yc)

+ntuk mencari yc, persamaan ?1@ dinyatakan dalam bentuk)

Selanjutnya dilakukan pemisalan)

yc H y H emF ..............................?5@

%asukkan persamaan ?5@ dan ?;@ ke persamaan ?@)

emF ?- ; m G7@ H !

!

-; m G7H ! -;m H - 7

m H 7; H 5

4leh karean itu ) yc H emF

%encari harga y p)

*arena ruas kanan pada persamaan ?1@ berharga 1 atau berupa tetapan, maka pemisalan y p

sebaiknya dengan suatu tetapan tertentu.

%isalkan )

!


21/129

y p H y H k ..................?6@

%asukkan persamaan ?6@ dan ?7@ ke persamaan ?1@)

P ?!@ G 7 k H 1

7 k H 1

k H

y p H k H

0adi jawaban P2 adalah ) y H yc G y p


y H yc G y p

%encari harga yc



yc H y H emF ..............................?5@


!

; m G5H ! ;m H - 5

m H - 5;

1


22/129


%encari harga y p)

*arena ruas kanan pada persamaan ?1@ berbentuk polinomial,maka pemisalan y p sebaiknyadengan suatu bentuk polinomial serupa dengan yang ada pada soal.

pangkat terakhir sesuaikan dengan ruas kanan persamaan ?1@

%isalkan y p H GBF GAF2 ..................?6@


&akukan e


23/129

B H -$

2ari persamaan ?3@) ;B G 5 H !

;?-$@ G 5 H !

-3$ G 5 H !

5 H 3$

H 3

y p H GBF GAF2

y p H 3 -$ F G15 F2

0adi jawaban P2 adalah ) y H yc G y p


y H yc G y p

%encari harga yc



yc H y H emF ..............................?5@


5


24/129

!

; m G5H ! ;m H - 5

m H - 5;


%encari harga y p)

*arena ruas kanan pada persamaan ?1@ berbentuk eksponensial, maka pemisalan y p sebaiknya

dengan suatu bentuk eksponensial serupa dengan yang ada pada soal.

%isalkan )

Bentuk eksponensial disamakan dengan ruas kanan persamaan ?1@

y p H y H e;F ..................?6@


H 1$

0adi jawaban P2 adalah)y H yc G y p

;


25/129


y H yc G y p

%encari harga yc



yc H y H emF ..............................?5@


!

; m G5H ! ;m H - 5

m H - 5;

4leh karena itu ) yc H emF

%encari harga y p)

*arena ruas kanan pada persamaan ?1@ berbentuk fungsi trigonometri, maka pemisalan y p

sebaiknya dengan suatu bentuk fungsi trigonometri gabungan dari Sin F dan Aos F..

%isal)

y p H y H sin F G B Aos F 999999.?6@

%asukkan persamaan ?6@ dan ?7@ ke persamaan ?1@

6


26/129

8arga dan B die


27/129

Kunci jawaban:


28/129

11. Belum ada jawaban ?silahkan dicari sendiri@

1. Belum ada jawaban ?silahkan dicari sendiri@

I.2.'. Pe"+ele-!)!" 7er-!!!" 5)8ere"-)!l #r5er -!u 5e"!" =!r! 5ere

Sebelum pembahasan dilakukan terlebih dahulu akan diperkenalkan berbagai bentuk deret yang

sering ditemukan pada penyelesaian soal-soal. Bentuk umum deret tersebut antara lain)

a. 2eret Binomial)

b. 2eret eksponensial

c. 2eret trigonometri

3


29/129

d. 2eret logaritma

Aatatan) log?1GV@ H 1?,5@ ln ?1G'@

e. 2eret hiperbolik

&angkah-langkah yang diperlukan dalam penyelesaian P2 dengan cara deret antara lain)

1. %emisalkan bentuk umum penyelesaian P2 adalah)

. %enentukan harga yM HdydF

5. Bila P2 sampai order dua, maka lanjutkan dengan mencari yEHdydF

;. %emasukkan langkah 1 dan ?bila P2 sampai order dua@ dalam soal, kemudian hasil

dicocokkan dengan deret yang tersedia


30/129

1. Selesaikan P2) yM # y H ! 999?1@

dimana yM adalah dydF

J!!*:

%isalkan bentuk umum penyelesaian P2 adalah)

%asukkan persamaan ?@ dan ?5@ ke persamaan ?1@

yM # y H !

?A1- A!@ G ?A -A1@ F G?5A5- A@ F G ?;A; - A5@ F5 G.... H !


31/129

A5 H 15W ?A!@ ........?1!@

2ari persamaan ?@) ;A; - A5H ! ; A; H A5

A; H1; A5A; H1; ?17A!@

A; H1; A!

A; H1;W ?A!@ ........?11

%asukkan persamaan ?3@ sd ?11@ ke persamaan ?@)

y H A! G A! F G L A! F G 17 A! F5 G 1; A! F; G .....

H A! X1G F G LW? F @G 15W ? F5 @G OW? F;@ G ....Y

H A! eF

. Selesaikan P2 ) ?1-F@ yZ -y H ! ..................?1@

J!!*:


%asukkan persamaan ?@ dan ?5@ ke persamaan ?1@

?1-F@ yZ -y H !

?1-F@ yZ -y H !


32/129

F 5A5- A #A !

F5 ;A; - 5A5 #A5 !

2idapat bentuk persamaan)

A1- A! H ! ................?;@ A -A1 -A1 H !

A -A1 H ! ..............?6@

5A5- A #A H !

5A5- 5A H ! ..............?7@

;A; - 5A5 #A5 H !

;A; - ;A5 H ! ...............?@

2ari persamaan ?;@) A1- A! H ! A1H A! ............?3@

2ari persamaan ?6@) A -A1 H ! A H A1

A H A1

A H A! ...............?$@

2ari persamaan ?7@) 5A5- 5A H ! 5A5 H 5A

A5 H A! ...............?1!@

2ari persamaan ?@) ;A; - ;A5 H ! ;A; H ;A5

A; H A5

A; H A! ....................?11@%asukkan persamaan ?3@ sd ?11@ ke persamaan ?@)

5. Selesaikan P2 ) yE G y H ! ..................?1@ merupakan P2 ordiner order dua sebagai

bahan pengembangan lebih lanjut dari P2 ordiner.


5


33/129

%asukkan persamaan ?@ dan ?;@ ke persamaan ?1@

yE G y H !


34/129

y H A! Aos F G A1 Sin F

L!)h!"

Selesaikan P2 berikut dengan cara deret)

1. ? F G 1 @ yM # ? F G @ y H !

. ? F G 1 @ yM # y H !

5. F yM # y H !

;. ;FyEG 7yM Gy H !

6. ?1G F@ yE G yMGy H !

Ku"=) /!!*!":

1. Belum ada

. y H A! ?1GF@ , A! H tetapan dan dapat diganti dengan A atau A1 atau A lain.

5. Belum ada

6. Belum ada jawban

I.%. Per-!!!" 5)8ere"-)!l #r5)"er #r5er 5u!

Persamaan diferensial ?P2@ ordiner order dua dikelompokkan menjadi)

a. /on linier, terbagi dalam)

- persamaan diferensial yang tidak mengandung y pada dydF

-persamaan tak mengandung F

-persamaan homogen

b. &inier, terbagi dalam)

-koefisien dalam persamaan konstan

-koefisien dalam persamaan merupakan fungsi F atau f?F@I.%.$. Per-!!!" 5)8re"-)!l #r5)"er #r5er 5u! "#" l)")er )5! e"!"5u" + 7!5! 5+5


35/129

0awab)Pada soal ini tidak terkandung dydF, sehingga penyelesaian persamaan adalah)

0awab)

%isal)

Persamaan berubah menjadi)

-ln? - p@H L F G lnA1

-ln ? -p@ # lnA1H L F

ln ? -p@ G lnA1H - L F

ln?-p@?A1@Q C - L F

?-p@?A1@ H e- L F

p H - e- L F

56


36/129

Aatatan)

erf H error function

0adi )

I.%.2. Per-!!!" 5)8ere"-)!l #r5)"er #r5er 5u! "#" l)")er )5! e"!"5u"


37/129

?1 G p@1 H A1y

?1 G p@H A y

p H [? A y-1@1, tetapi ingat bahwa

2engan demikian)

I.%.%. Per-!!!" 5)8ere"-)!l #r5)"er #r5er 5u! "#" l)")er 5e"!" 7er-!!!" h##e"

Bentuk umum persamaan adalah)

Bentuk penyelesaian persamaan adalah)

%isal ) y H


38/129

Selanjutnya dilakukan dengan subsitusi berikut)

atau

0ika dimasukkkan ke dalam persamaan ?5@, maka)

Persamaan ?;@ merupakan bentuk umum terakhir yang penyelesaiannya dilakukan dengan cara

pemisahan


39/129

0awab)

%isal ) y H


40/129

Persamaan ?3@ merupakan P2 order dua non linier dengan koefisien tidak mengandung t,

persamaan ini diselesaikan dengan cara sebagai berikut)

subsitusi)

Tetapi

%asukkan persamaan ?$@ dan ?1!@ ke persamaan ?3@

%asukkan persamaan ?11@ ke persamaan ?1@

;!


41/129

0adi jawaban P2 adalah)

I.%.1. Per-!!!" 5)8ere"-)!l #r5)"er #r5er 5u! 5e"!" #e8)-)e" 7!5! 7er-!!!" #"-!"

Bentuk umum

dengan ) P,R dan U H tetapan

J?F@ adalah suatu harga berupa)

- tetapan ! ?nol@

- tetapan tidak sama dengan nol ?!@- fungsi eksponensial, misal) eF , eF dsb

- fungsi polinomial, misal) F G F, F5G F G1 dsb

- fungsi trignometri, misal) Aos F, Sin F, Aos F G Sin F dsb

Subsitusi) y H u G


42/129

Berubah menjadi)

Bentuk umum penyelesaian persamaan adalah)

y H yc G y p

dengan)yc ) fungsi komplementer dan y p) integral partikular


43/129

;. m1 dan m berupa bilangan khayal

6. m1dan m berupa bilangan kompleks

a.0ika m1 m, maka penyelesaian persamaan adalah)

b.0ika m1 H m, maka penyelesaian persamaan adalah)

c.0ika)

maka penyelesaian persamaan adalah)

d.0ika)

m1 H b G- a H b G ?a@? ?-1@ H b G ai

m H b G- a H b - ?a@? ?-1@ H b - ai

maka penyelesaian persamaan adalah)

m H b G- a H b - ?a@? ?-1@ H b - ai

Penyelesaian y p adalah sebagai berikut)

;5


44/129


45/129

P G R G U H a e bF

5.U"u ;C8u"-) 7#l)"#)!l, )-!l: ;C!*=2 5e"!" !,* 5!" = !5!l!h e!7!"F 0


misal ) pangkat pada F harus sama ?jangan kurang dari @

%asukkan persamaan ?13@,?1$@ dan ?!@ persamaan ?;@

Berdasarkan persamaan ?1@ dapat die


46/129

2Qm+l R = b ………………………………. (23)

mR = c ……………………………………….. (24)

2ari persamaan ?;@) mR = c didapat:

2ari persamaan ?5@) 2Qm+l R = b

2ari persamaan ?@) 2Pm+Ql+kR = a

!n"an d!mikian:

2imana harga)

5.U"u ; C 8u"-) r)#"#er), )-!l: ; C S)" 2


%isal)

;7


47/129

%asukkan persamaan ?6@,?7@ dan ?@ ke persamaan ?;@

P(#4a $in2x#4b %&s 2x)+ Q(2a %&s 2x#2b $in2x)+R(a $in 2x+b %&s 2x)=$in

2x

'!rdasarkan p!rsamaan (2) ar"a a dan b dapat di!*aluasi:

Uuas kiri Uuas kanan

Aos F -;bP GaRGUb !

Sin F -;aP-bR GUa 1

2idapat persamaan) -;bP GaRGUb H ! 99999.?$@

-;aP-bR GUa H 1 999999.?5!@

2ari persamaan ?$@) -;bP GaRGUb H ! b?U-;P@ H -aR

-aRH b?U-;P@

2ari persamaan ?5!@) -;aP-bR GUa H 1 a ?-;P G U@ H 1G bR

bRH a ?-;P G U@ -1

!n"an d!mikian:

;


48/129

dengan)


49/129

%enentukan harga y p)

%isal)

%asukkan persamaan ?@ sd ?$@ ke persamaan ?7@


.Selesaikan pesamaan diferensial ?P2@)

0awab) y H yc Gy p

%enentukan harga yc)

%isal )

;$


50/129

%asukkan persamaan ?5@ sd ?6 ke persamaan ?@)


%isal)



6!


51/129

5.Selesaikan pesamaan diferensial ?P2@)

0awab)

y H yc Gy p


%isal )

%asukkan persamaan ?5@ sd ?6 ke persamaan ?@)


61


52/129

%isal)


8arga k,l dan m die


53/129


;.Selesaikan pesamaan diferensial ?P2@)

0awab) y H yc Gy p


%isal )

%asukkan persamaan ?5@ dan ?6 ke persamaan ?@)

65


54/129

%enentukan harga y p

%isal)

%asukkan persamaan ?@ dan ?$@ ke persamaan ?7@)


6.Selesaikan pesamaan diferensial ?P2@)

6;


55/129

0awab) y H yc Gy p


%isal )

%asukkan persamaan ?5@ dan ?6 ke persamaan ?@)

%enentukan harga y p

%isal)

%asukkan persamaan ?@ dan ?$@ ke persamaan ?7@)

66


56/129

8arga a dan b dicari dari e


57/129

&1 d1dt G 1U 1- U 1 - H!

H &1U 1 ?d1dt@ G 1- U 1 ........... ?1@

d?dt@ H ddt&1U 1 ?d1dt@ G 1- U 1Q

ddt H &1U 1 ?d1dt@ Gd1dt - !

ddt H &1U 1 ?d1dt@ Gd1dt ......... ?@

nalisis loop B(:AB)

& ddt G U G U 1 ? - 1 @ H! ......... ?5@

%asukkan persamaan ?1@ dan ?@ ke persaman ?5@)

& &1U 1?d1dt@Gd1dtQGU &1U 1?d1dt@G1- U 1QGU 1&1U 1 ?d1dt@ G 1 - U 1 - 1Q H !

&&1U 1?d1dt@G&d1dtGU &1U 1?d1dt@GU 1 - U U 1QGU 1&1U 1?d1dt@ - U 1U 1H !

&&1U 1?d1dt@G&d1dtGU &1U 1?d1dt@GU 1- U U 1G&1?d1dt@ - H !

?&&1U 1@d1dt G ?&GU &1U 1G&1 @d1dt G1U - U U 1- H ! ?&&1U 1@d1dt G ?&GU &1U 1G&1 @d1dt G1U H U U 1G ..........?;@


58/129

Penyelesaian persamaan adalah sebagai berikut)

1H 1?A@ G1?p@

%enentukan harga 1?A@)

%isal)


%enentukan harga 1?p@)

%isal)

%asukkan persamaan ?11@ sd ?15@ ke persamaan ?1!@)

k H 6

1?p @H 6

63


59/129

Persamaan untuk arus 1 adalah)


60/129

D!-!r e#r) r!"!)!" -er) L6R6<

) sumber tegangan A =Q

& U & ) kumparaninduktor 8enry H 8Q U) tahanan resistor 4hm H \Q A A) kapasitor (arad H (Q

) arus mper H Q

] = H!

& ddt G U G RA # H ! ........... ?1@

Tetapi ingat bahwa H dRdt

Sehingga persamaan ?1@ dapat diubah menjadi)

& ddt X dRdtY G UdRdt G RA # H !

& dRdt G U dRdt G RA # H !

dRdt G U& dRdt G R?A &@ # & H ! ........ ?@

Persamaan ?@ merupakan P2 ordiner order dua dan dapat diselesaikan dengan

mencari R1?c@ dan R1?p@. 0ika U, &, A dan diketahui besarannya, maka R ? besar muatan @

dapat dihitung dan selanjutnya ? arus yang dibangkitkan @ dapat dihitung dengan

persamaan H dRdt.


61/129

1 8 \ !,6 (

!

Pada saat awal ?tH!@ harga R?!@ H ! , ?!@ H dRdt H RM H !

Tentukan arus ?@ pada saat bekerja dalam waktu detik.

J!!*:

:unakan persamaan ?@ dari hasil analisis rangkaian yang telah dilakukan sebelumnya, yaitu)

dRdt G U& dRdt G R?A &@ # & H !

dRdt G 1 dRdt G R?!,6F 1@ # !1 H !

d

Rdt

G dRdt G R!,6 # !1 H !dRdt G dRdt G R # ! H !

dRdt G dRdt G R H ! ...........?1@

Penyelesaian umum P2 adalah) R H R1?c@ G R1?p@.

%encari R1?c@)

%isal)

%asukkan persamaan ?5@ sd ?6@ ke persamaan ?@

71


62/129

%encari harga R1?p@

%isal)


R1?p@H11!

999..?1!@

8arga dan B dicari pada kondisi t H !, R H ! dan H !

%asukkan t H !,R H ! ke persamaan?1!@)

! H 1?Aos !GB Sin !@G11!

! H 1 GB?!QG11!

H - 11!

%asukkan t H !, H ! ke persamaan?11@)

! H -1? Aos !G Bsin !@G 1?- Sin ! GB Aos ! @! H -1?@G ?1@B

B H H - 11!

2idapat)

He-t-11! Aos t G 11! Sin tQ G 11!

7


63/129

satuan Aoulomb atau A

L!)h!"

1. Selesaikan P2 berikut)a. yE G yM G y H ! kunci jawaban y H ?1GF@ e-F

b.

yE G yM G6 y H 5 kunci jawaban y H e-F

?cos FGB Sin F@ G 56c. yE G ;yM G 5y H Sin F kunci jawaban y H 1 e-F G e-5F G 11! Sin F -16 Aos Fd. yE G yM G y H eF kunci jawaban )

e. ;yE G 5yM G y H F kunci jawaban)

f. yE G 5yM G 6y H Aos Fg. yE G ;yM G 5y H Sin Fh. yE G ;yM G 5y H Sin F G Aos Fi. yE G ;yM G y H 5, pada saat t H !, y?!@Hodan yM?!@ H !

j. yE G 3yM G$y H F GF

k. ;yE - ;yM G y H e-F l. # yE G yM G y H !

2. : 8 B 1 (

1 \

! =

75


64/129

( 2 8 ; \

0ika pada keadaan awal ?tH!@, 1?!@H !, maka tentukan harga 1 pada waktu operional berjalan 6

detik.

B

5. :

; 8 \1

- 1!!= ;\

( 2 8 5 \


detik.

;.

; 8 6\ !,6 (

11!



Persamaan diferensial dikatakan simultan jika minimal ada dua P2 yang harus diselesaikan

secara bersamaan.

7;


65/129


66/129

Persamaan ?7@ diselesaiakan dengan mencari Fc dan F p

*arena ruas kanan persamaan ?7@ adalah nol ?!@, maka harga F p H !

%enentukan harga Fc)

2engan prinsip fungsi komplementer, maka persamaan ?7@ dapat dinytakan sebagai)

m - 6m G 7 H ! dan didapat akar-akar persamaan adalah m1H dan mH 5.

Sehingga FcH 1et G e5t

8arga F H Fc

F H 1et G e5t

%encari harga y)

2ari persamaan ?5@)

2engan demikian didapat bahwa harga) C A$e2 A2e%

L!)h!"

Selesaiakan P2 simultan berikut)

77


67/129

Saat t H !, F H , y H ! dan V H

Saat t H! , F H , y H -1! dan V H -

7


68/129

BAB II

TRANS4ORMASI LAPLA


69/129


70/129

H Io ?e - ? s G @ t dt

H - 1??sG@ e - ? sG @ t

!

= - 1??sG@ e - _ - e # ! Q

= - 1??sG@ !,!!!!!9.. - 1 Q

= - 1??sG@ ! - 1 Q

= 1??sG@c. Tentukan transformasi &aplace dari f?t@ H t

0awab) _ & f?t@ Q H (?s@ H Iof?t@F?e-st @dt

_

& t Q H Io ?t@?e-st @dt Penyelesaian integral menggunakan bantuan integral parsiil sebagai berikut)

%isal ) u H t dudt H 1 atau du H dt

d< H e-st dt Id< H I e-st dt< H -1s ? e-st @

_

& t Q H Io ?t@?e-st @dt

_ _ H u< ` - Io < du

o

_ _

H (t)(-1/s)?e-st` - I ! -1s ? e-st @ dt

o

= (∞)(-1/s)(e-∞)- (-1/s)(-1/s)(e-∞-e-0)

H !-1s?-1@

!


71/129

H1s

+ntuk fungsi t atau f?t@ yang lain hasil transformasi &aplace dapat dilihat pada tabel berikut)

T!*el I. H!-)l r!"-8#r!-) L!7l!=e *er*!!) *e"u 8u"-) !!u 8;

N# 8; L8;C 4-;1 1 1s k ks5 t 1s

; eat 1?s-a@6 e-at 1?sGa@&anjutan ............7 tn , dengan n! nWsnG1H ? 1..5.;.69.n@snG1

Sin at a?s G a@3 Aos at s?s G a@$ Sinh at a?s - a@

1! Aosh at s?s

- a

@11 t eat 1?s-a@

1 tn-1?n-1@WQeat 1?s-a@n

15 1?a-b@ eat- e btQ 1?s-a@?s-b@Q1; 1?a-b@ aeat-be btQ s?s-a@?s-b@Q16 1Sin tQ 1?s G @17 1Q eat Sin tQ 1?s-a@G Q1 e-at Aos t

eat Aos t

?sGa@?sGa@G Q

?s-a@?s-a@G Q13 1 1-Aos tQ 1s?sG Q

1$ 1 5

t-Sin tQ 1s

?s

G

Q! t Q Sin tQ s?sG Q

1 1 QSin t G t Aos tQ s?sG Q

1?b-a@QAos at-Aos btQ s?sGa@?sGb@Q,dengan ab

5 1;a5QSin at Aosh at- Aos at Sinh atQ 1s;G;a;Q; 1aSin at Sinh atQ ss;G a;Q6 1aAosh at- Aos atQ ss; - a;Q7 1t e bt- eatQ ln?s-a@?s-b@Q t1- Aos tQ ln?sG @sQ3 t1- Aosh tQ ln?s- a@sQ$ 1t Sin tQ arc tg ?s@

5! 1eat

Sinh tQ eat Sinh tQ

?s G a@? sGa@

-

Q?s G a@? sGa@ -

1


72/129

L!)h!"

Berdasarkan tabel atau dengan pinsip bahwa)

Buktikan bahwa)a. &tQ adalah s5

b. &Sinh atQ adalah a?s-a@, jika diketahui bahwa Sinh at H1 eat # e-atQc. &Aosh atQ adalah s?s-a@, jika diketahui bahwa Aosh at H1 eat G e-atQ

Berdasarkan tabel dapat juga dikembangkan lebih lanjut sebagai tabel pelengkap

transformasi &aplace seperti ditunjukkan pada tabel .

T!*el II. H!-)l 7e"e*!"!" r!"-8#r!-) L!7l!=e *er*!!) 8u"-)

N# 8; L8;C 4-;1 t e-at 1?sGa@

tn-1?n-1@WQe-at

tn-1Qeat1?sGa@n

?n-1@WQ 1?s-a@n

tn-1Qe-at ?n-1@WQ 1?sGa@nQ

tn-1Qeat ?n-1@WQ 1?s-a@nQ5 eat- e btQ ?a-b@?s-a@?s-b@Q; aeat-be btQ s?a-b@?s-a@?s-b@Q6 Sin t ?s G @7 eat Sin t ?s-a@G Q e-at Sin t ?sGa@G Q3 1 e-at Sin t 1?sGa@G Q$ e-at Aos t ?sGa@?sGa@G Q1! 1-Aos tQ s?sG Q11 t-Sin tQ 5s?sG Q1 t Sin tQ s?sG Q

15 Sin t G t Aos tQ s?sG Q1; Aos at-Aos btQ s?b-a@?sGa@?sGb@Q,dengan ab

16 Sin at Aosh at- Aos at Sinh atQ ;a5s;G;a;Q17 Sin at Sinh atQ ass;G a;Q1 Aosh at- Aos atQ ass; - a;Q13 1t e-bt- e-atQ ln?sGa@?sGb@Q&anjutan....

( )[ ] ( ) ( )∫ ∞ −×==!

dt et f s F t f L st


73/129

1$ 1t 1- Aos tQ 1 lnX?sG @sY! 1t 1- Aosh tQ 1 lnX?s- @sY1 eat Sinh tQ ?s G a@? sGa@ - Q

II.%.Pe"u"!!" !*el r!"-8#r!-) L!7l!=e

Tabel transformasi &aplace dan dapat langsung digunakan untuk menentukan hasiltransformasi &aplace dari suatu fungsi t atau f?t@ tanpa harus menggunakan atau melalui

rumus baku asalkan f?t@ terdefinisikan dengan jelas dan tersedia dalam tabel tersebut.

Terkecuali jika f?t@ tersebut tidak tersedia dalam tabel atau , maka pencarian hasil

transformasi &aplace harus menggunakan rumus baku )


74/129

&X Sin t Sinh t G ?et - e5t@t Y H &?Sin t Sinh t @ G &X?et - e5t@tY

H F ss;G ;Q G ln ?s-5@?s-@Q

H 3 ss;G ;Q G ln ?s-5@?s-@Q

Tabel nomor 16 Tabel nomor 7

L!)h!"Tentukan hasil transformasi &aplace dari fungsi berikut)

a. Xt et G t et G et Sin tY

b. X et - 5 e5Y

c. X et - 5 e5Y

d. X et Aosh 5t G Sin t G t Aos tY

e. X et

Aosh 5t G Sin t G t Aos tYf. 1t X1- Aos t G 1- Aosh tY

g. X1t ?e-t- e-5t G 1- Aosh 5t@ G Sin t G t Aos tY

h. X1t ?e t- e 5t G 1- Aosh 5t G Sin 5t G t Aos ;t@Y

Beberapa hal penting yang perlu diperhatikan dalam operasi matematis pada transformasi

&aplace antara lain)

$. L 8 $; 8 2;C L 8 $; L8 2;


75/129

C ln?sG5@?sG@Q - 5?s G @? sG@ # $Q

C ln?sG5@?sG@Q - 5?s G @ sG ;s G ; # $Q

C ln?sG5@?sG@Q - 5?s G @ sG ;s # 6Q

C ln?sG5@?sG@Q - ?5s G 7@ sG ;s # 6Q%. L 8 $; 8 2; F L 8 $; L8 2; e!7) e!7 5)ul)-!" -e*!!) : L 8 $; 8 2;


76/129

II.1. I"er- Tr!"-8#r!-) L!7l!=e

n


77/129

0awab)

&-1X?5s G@ ? s- s -5@YH &-1?5s G@X? s- 5@?s G1@YQ

Tabel dan tidak bisa dipakai langsung ?tidak tersedia@

lternatif penyelesaian menggunakan model pecahan sebagian dengan urutan sebagai berikut)

?5s G@ ? s- s -5@H ?5s G@X? s- 5@?s G1@Y

%isal ) ?5s G@X? s- 5@?s G1@YH ?s-5@ G B?sG1@, dimana dan B adalah tetapan yang

harus dicari dengan menggunakan sifat ekui


78/129

b. Tentukan &-1?5s G1@X?s-1@? sG1@Y

0awab)

%isal) ?5s G1@X?s-1@? sG1@Y H ?s-1@ G ?Bs GA@ ?sG1@

?5s G1@X?s-1@? sG1@YH ?sG1@G ?Bs GA@?s-1@Q ?s-1@? sG1@Q

?5s G1@X?s-1@? sG1@YH sGG ?Bs #Bc GAs-AQ ?s-1@? sG1@Q

*arena penyebut sama, maka akan nampak bahwa harga pembilang pada ruas kiri dan ruas

kanan persaman adalah ekui


79/129

H?s5-7sG1s-3@GBsGBGAs-As-cG2s5-52sG;2Q?sG1@? s-@ 5Q

?6s #16s-11@X?sG1@?s-@5Hs5?G2@Gs?A-7-52@Gs?1GB-A@G?;2-AGB-3@Q?sG1@?s-@ 5Q

*arena penyebut sama, maka akan nampak bahwa harga pembilang pada ruas kiri dan ruas

kanan persaman adalah ekui


80/129

II.'.Tr!"-8#r!-) L!7l!=e 5!r) uru"!" -u!u 8u"-)

%isalkan suatau fungsi y dinyatakan sebagai ) y H f?t@ dengan turunan pertama sebagai dydt atau

yM atau df?t@dt. Secara sederhana pernyataan matematis kondisis ini dapat dinyatakan sebagai)

y H f?t@

yM H dydt

H df?t@dt

Transformasi &aplace untuk setiap bentuk turunan dari suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai

berikut)

a. & Xdf?t@dtY H Io df?t@dt F ?e-st @dt bentuk transformasi &aplace turunan pertama darif?t@ atau df?t@dt

%isal ) u H e-st dudt H -se-st

d< H Xdf?t@dtYdt d< H df?t@

< H f?t@

& Xdf?t@dtY H uv -I


81/129

b. & Xd f?t@dtY H Io d f?t@dt F ?e-st @dt bentuk transformasi &aplace turunan kedua dari f?t@ atau df?t@dt

%isal ) u H e-st dudt H -se-st

d< H Xd

f?t@dt

Ydt < H df?t@dt& Xd f?t@dt Y H uv -I

persamaan deferensial, penyelesaian rangkaian listrik arus searah atau bolak balik, otomatisasi

sistem, pengolahan sinyal dan sebagainya.

31


82/129

II.(.$.Pe"er!7!" r!"-8#r!-) L!7l!=e u"u 7e"+ele-!)!" 7er-!!!" 5)8ere"-)!l PD;

#r5)"er

2alam pembahasan ini persamaan diferensial hanya akan dibatasi sampai pada order dua saja.

%engingat faktor kesulitan bakal muncul, kalau pembahasan melebihi order dua. Selain dari

pada itu pada umumnya bentuk persamaan diferensial pada rangkain listrik biasanya mempunyai

order tertinggi adalah order dua saja. 2engan demikian sebenarnya penerapan transformasi

&aplace pada penyelesaian persaman diferensial sekaligus dapat dipakai sebagai penunjang

untuk penerapan transformasi &aplace pada rangkaian listrik. Beberapa hal penting yang harus

diperhatikan pada penyelesaian persamaan deferensial antara lain pada saat tinjauan awal atau

waktu awal ?t H !@ harga y?!@ ?harga y awal@ dan harga yM ?!@ ?harga turunan awal dari y@ harus

diketahui secara pasti. *arena kalau kedua harga tersebut tidak tersedia atau tidak diketahui,

maka transformasi &aplace tidak akan mampu menyelesaikan persoalan.

II.(.$.$.Pe"+ele-!)!" 7er-!!!" 5)8ere"-)!l PD; #r5)"er #r5er -!u


83/129

1 H s ?GB@ G

8arga dan B diperoleh dengan menge


84/129

L!)h!"

Selesaikan persaman diferensial ?Pd@ berikut)

1. y # ; y H 5

Pada saat t H ! , y?!@ H

. y G y H !

Pada saat t H ! , y?!@ H

5. y G 1 y H !

Pada saat t H ! , y?!@ H !

;. 5 y # 15 y H

Pada saat t H ! , y?!@ H !

II.(.$.2. Pe"+ele-!)!" 7er-!!!" 5)8ere"-)!l PD; #r5)"er #r5er 5u!


85/129

0awab)

&?yE@ G 3 &?yM@ G 6&?y@ H 6! & ?Sin 5t@

Xs y?s@ - sy?!@ - yM?!@ YG 3Xsy?s@ - y?!@Y 6y?s@ H 6!X 5 ?s G5@Y

Xs y?s@ # s .! - !YG 3 Xsy?s@ - y?!@Y 6 y?s@ H 6!X 5 ?s G5@Y

Xs y?s@ # s .! - !YG 3 Xsy?s@ - !Y 6 y?s@ H 6!X 5 ?s G5@Y

s y?s@ G 3 sy?s@ 6 y?s@ H 16! ?s G $@

y?s@X s G 3 s 6 YH 16! ?s G $@

y?s@ H 16!X?s G $@ ?s G 3 s 6@Y

y?t@ H &-116!X?s G $@ ?s G 3 s 6@YQ

y?t@ H 16! &-11X?s G $@ ?s G 3 s 6@YQ

*arena pada tabel dan tidak tersedia in


86/129

Berdasarkan persamaan ?1@,?@,?5@ dan ?;@ didapat harga H -11!; , B H 1!; , A H

11!; dan 2 H 71!;.

4leh karena itu)

y?t@ H 16! &-1X s GB@?s G $@YG &-1 X?AsG 2@? s G 3 s 6@YQ

H 16! &-1X?-11!; sG 1!;@?s G $@YG&-1X?11!; sG 71!;@?sG3 s 6@YQ

H -16!1!; &-1Xs- @?s G $@YG&-1X?sG 7@?sG3 s 6@YQ

H -16!1!; &-1Xs?s G $@Y- &-1X ?s G $@YG &-1X?sG ; G@?sG3 s 6@YQ

tabel no 3 tabel no 16 tabel no $ tabel no 3

H -16!1!; Aos5t -5?Sin5t@G&-1X?sG ; @X?sG;@ 5 YG&-1X1X?sG;@ 5 YQ

H -16!1!; Aos5t - 5?Sin5t@G e-;t Aos5t G 5 e-;t Sin5t Q

H 66 Sin 5t - Aos5t QG 66 e

-;t

5 Aos5t G Sin5t Q

L!)h!"

2engan menggunakan transformasi &aplace selesaikan )

1. yE GyMG1 y H !

Pada saat t H !, y?!@ H ! dan yM?!@ H 1

. yEG y H Sin 5t

Pada saat t H !, y?!@ H ! dan yM?!@ H !

5. yE G5yMG y H e-t


;. yE G y H t


Aatatan) yE H dydt

yM H dydt

Ku"=) /!!*!"

1. y H 5e-t Sin ;t 5. y H H e-t ? t G e-t -1@. y H 13?5 Sint # Sin 5t@ ;. y H t - Sin t

37


87/129

II.(.2. A7l)!-) r!"-8#r!-) L!7l!=e 5!l! *)5!" 4)-)!


88/129


89/129


90/129

0adi waktu yang dibutuhkan untuk mencapai suhu 51!A adalah ,3 menit.

II.(.%. A7l)!-) r!"-8#r!-) L!7l!=e 5!l! *)5!" Te") Eler#

Salah satu aplikasi transformasi &aplace dalam bidang teknik elektro diantaranya untuk

menyelesaikan persolan rangkaian listrik seri, paralel atau kombinasinya baik yang berarus

searah atau bolak balik.

Prinsip dasar rangkaian dapat digambarkan sebagai berikut)

1.Uangkaian seri &-U-A

) sumber tegangan A =Q& U & ) kumparaninduktor 8enry H 8Q

U) tahanan resistor 4hm H \Q A A) kapasitor (arad H (Q ) arus mper H Q

] = H!

& ddt G U G RA # H ! ........... ?1@

Tetapi ingat bahwa H dRdt

Sehingga persamaan ?1@ dapat diubah menjadi)

& ddt X dRdtY G UdRdt G RA # H !

& dRdt G U dRdt G RA # H !

dRdt G ?U&@ dRdt G R?A &@ # & H ! ........ ?@

Persamaan ?@ merupakan P2 ordiner order dua dan dapat diselesaikan dengan

transformasi &aplace. 0ika U, &, A dan diketahui besaranya, maka R ? besar muatan @

dapat dihitung dan selanjutnya ? arus yang dibangkitkan @ dapat dihitung dengan

persamaan H dRdt.


91/129

1 8 \ !,6 (

! =



J!!*:

:unakan persamaan ?@ dari hasil analisis rangkaian yang telah dilakukan sebelumnya, yaitu)

dRdt G ?U&@ dRdt G R?A &@ # & H !

dRdt G 1 dRdt G R?!,6F 1@ # !1 H !

dRdt G dRdt G R!,6 # !1 H !

dRdt G dRdt G R # ! H !

dRdt G dRdt G R H !

&XdRdtYG &XdRdtY G & XR Y H &X !Y

Xs R?s@ - sR?!@ - RM?!@ YG XsR?s@ - R ?!@Y R?s@ H !s

Xs R?s@ # s F ! - ! YG XsR?s@ - !Y R?s@ H !s

s R?s@G s R?s@ R?s@ H !s

R?s@ s G s Q H !s

R?s@ s G s Q H !s

R?s@ H !sX?s G s G @Y

R?s@ H &-1 !sX?s G s G @YQ

R H ! &-1 1sX?s G s G @YQ

%isal ) 1Xs?s G s G @YH s G ?Bs GA@ ?s G s G @

1Xs?s

G s G @YH X?s

G s G @ G ?Bs GA@?s@YXs?s

G s G @Y1Xs?s G s G @YH Xs?GB@ G s? G A@ G YXs?s G s G @Y

/ampak bahwa harga pembilang adalah ekui


92/129

s! 1

s1 ! G A

s ! G B

2idapat bentuk persamaan)

H 1 .......... ?1@

G A H ! ...... ?@

G B H ! ....... ?5@

2ari persamaan ?1@ H1 H1

2ari persamaan ?@ GA H! A H -

A H - ?1@ H - 1

2ari persamaan ?5@ G B H! B H - H -1

2engan demikian ) R H ! &-1 1sX?s G s G @YQH ! &-1 1sX?s G s G @YQ

H ! &-1 XsY G &-1X?BsGA@?s G s G @YQ

H ! &-1 X1sY G &-1X?-1 s -1@?s G s G @YQ

H ! 1 G &-1X?-1 s -1@?s G s G @YQ

H ! 1 -1 &-1X?s G @ ?s G s G @YQ

H ! 1 -1 &-1X?s G@ ?s G 1@ G 1@YQ

H ! 1 -1 &

-1

X?s G1@?s

G 1@

G 1@Y G &

-1

X1 X? s

G 1@

G 1@YYQQ

H ! 1 -1 X e-at Aos t t G 1 e-at Sin tY Q

H ! 1 -1 X e-t Aos t G 11 e-t Sin tYQ

H ! 1 -1 X e-t Aos t G e-t Sin tYQ

H 11! - 11! e-t Aos t G 11! e-t Sin t

H 11!?1 - e-t Aos t G e-t Sin t@

0adi H dRdtH ddt11! - 11! e-t Aos t G 11! e-t Sin tQ

H ddt11! - 11! e-t Aos t G 11! e-t Sin tQ

H ! # 11! - e -t Aos t G ?- e-t Sin t@Q G 11! - e-t Sin t G e-t Aos tQ

H # 11! - e-t Aos t - e-t Sin t@Q - 11! - e-t Sin t G e-t Aos tQ

$


93/129

H 11! e-t Aos t G 11! e-t Sin t G 11!e-t Sin t - 11! e-t Aos t

H ! e-t Sin t

+ntuk t H detik, catatan 57!! H1menit H 7! detik artinya $ 5e) C (0

H 1!

H 1!

%aka H ! e-t Sin t

H ! e- Sin 1!

H !?!,1565@?!,1@

H 7,6

..Uangkaian kombinasi seri dan paralel &-U

B ( &1, &, U 1, ,U diketahui

&1 & ) sumber tegangan 2A 1

6 U 1

2 A : U

nalisis loop BA2) &1 d1dt G 1U 1- U 1 G H!

H &1U 1 ?d1dt@ G 1- U 1 ........... ?1@

d?dt@ H ddt&1U 1 ?d1dt@ G 1- U 1Q

ddt H &1U 1 ?d1dt@ Gd1dt - !

ddt H &1U 1 ?d1dt@ Gd1dt ......... ?@

nalisis loop B(:AB)

& ddt G U G U 1 ? - 1 @ H! ......... ?5@

%asukkan persamaan ?1@ dan ?@ ke persaman ?5@)

& &1U 1?d1dt@Gd1dtQGU &1U 1?d1dt@G1-U 1QGU 1&1U 1 ?d1dt@ G 1- U 1 - 1Q H !

&&1U 1?d1dt@G&d1dtGU &1U 1?d1dt@GU 1-U U 1QGU 1&1U 1?d1dt@ - U 1U 1H !

&&1U 1?d1dt@G&d1dtGU &1U 1?d1dt@GU 1-U U 1G&1?d1dt@ - H !

?&&1U 1@d1dt G ?&GU &1U 1G&1 @d1dt G1U -U U 1- H !

$5


94/129

?&&1U 1@d1dt G ?&GU &1U 1G&1 @d1dt G1U H U U 1G ..........?;@

Persamaan ?;@ merupakan bentuk persamaan diferensial ?P2@ ordiner order dua dan untuk

menghitung harga 1 dapat menggunakan bantuan transformasi &aplace asalkan pada keadaan

awal ?t H !@ harga 1 dan M1 atau turunan pertama 1 diketahui nilainya.


95/129

/ampak bahwa harga pembilang adalah ekui


96/129

H 7! 11 - !,1!! e-1,75 t G !,!5 e-1,5 tQ H 6 - 7,; e-1,75 t G 1,; e-,5 t Q

H &1U 1 ?d1dt@ G 1- U 1 ?dari hasil analisis sebelumnya@

H 1; ?d1dt@ G 1- 1;

H 1; ddt ?6 - 7,; e-1,75 t - 1,; e-,5 t@ G 6 - 7,; e-1,75 t G 1,; e-,5 t - 5

H O ! G 1!,;7;7 e-1,75 t G 1!,;76;e,5 t G 6 - 7,; e-1,75 t G 1,; e-,5 t - 5

H ,717 e-1,75 t G ,717; e-,5 t G 6 - 7,; e-1,75 t G 1,; e-,5 t - 5

H - 5,3!53 e-1,75 t G ;,!57; e-,5 t G

H - 5,3!53 e-1,75 t G ;,!57; e-,5 t Q


97/129

d1dt?U GU 1@?&U 1@QGd1dtU GU 1- U 1G?1A@? &U 1@QG1A?1@ H A ............................ ?6@

Persamaan ?6@ merupakan persamaan deferensial ?P2@ order dua dan dapat diselesaikan dengan

transformasi &aplace untuk menentukan persamaan 1, sedangkan persamaan dicari dengan

bantuan persamaan ?@ asalkan nilai U 1,U ,&, A dan diketahui serta pada keadaan awal ?t H !@

harga 1 dan turunannya diketahui.

. B

:

& U 5 1

- U 1 G

( 2 8 U

nalisis loop B2()

& d1dt G 1U 1- U 1 G H ! .......... ?1@

H &U 1 d1dt G 1 G .................. ?@

ddtH &U 1 d1dt G d1dt ...........?5@

nalisis loop B:82B)

U 5G U G U 1 # 1 U 1 H ! ?U 5G U G U 1@ # 1 U 1 H ! ................?;@

%asukkan persamaan ?@ ke persamaan ?;@)

?U 5G U G U 1@? &U 1 d1dt G 1 G @ # 1 U 1 H !

?U 5G U G U 1@? &U 1@ d1dt G?U 5G U G U 1 #U 1@ 1 G ??U 5G U G U 1@ H !

?U 5G U G U 1@? &U 1@ d1dt G?U 5G U G U 1 #U 1@ 1 H - ??U 5G U G U 1@ ............. ?6@

Persamaan ?6@ merupakan persamaan deferensial ?P2@ ordiner order satu dan dapat

diselesaiakn dengan transformasi &aplace untuk mendapatkan persamaan 1

$


98/129

L!)h!"

1. : 8 B 1 (

1 \

! =

( 2 8

; \

0ika pada keadaan awal ?tH!@, 1?!@H !, maka tentukan harga 1 pada waktu operasional

berjalan 6 detik.

B

. :

; 8 \1

- 1!!= ;\

( 2 8 5 \

0ika pada keadaan awal ?tH!@, 1?!@H !, maka tentukan harga 1 pada waktu operional berjalan 6 detik.

5.

; 8 6\ !,6 (

11! =



$3


99/129

BAB III

TRANS4ORMASI

III.$. Pe"5!hulu!"

Transformasi ' merupakan bentuk lain dari suatu model transformasi yang banyak digunakan

dalam bidang Tenik lektro. Penggunaan transformasi ' dalam bidang Teknik lektro antara lain

untuk pengolahan sinyal, penyelesaian rangkain listrik, penyelesaian persamaan diferensial,

pengaturan atau otomatisasi sistem dan sebagainya. ntara transformasi &aplace dan

transformasi ' ada suatu korelasi yang penampilannya dapat disajikan dalam bentuk tabel yang

saling berdampingan. 2engan demikian secara umum sebenarnya le


100/129

' F?t@Q H F ?'@ H Q F?t@Q ' -k

k =0

III.2.$.Be"u 5ere *!u 7!5! r!"-8#r-)

*arena hasil transformasi ' suatu fungsi merupakan bentuk penjumlahan yang bisa dinyatakan

sebagai bentuk deret, maka untuk mempermudah dalam membantu menuliskan hasil akhir

transformasi ', berikut ini akan ditampilkan berbagai model deret yang sering dijumpai antara

lain)

a. 1 G ' -1 G '- G '-5 G' -; G H 1?1- ' -1@ H ' ?'-1@

b. 1 G e-a T ' -1 G e- a T '- G e-5 a T '-5 G e-; a T ' -; G H ' ?' - e-a T@

c. ' -1 G e-aT '- G 5 e- a T '-5 G ; e-5 a T '-; G H ' ?' - e-a T@

d. ' -1 G e-aT '- G e- a T '-5 G e-5 a T '-; G H '-1 ?1 - '-1 e-a T@e. e-aT '- G e- a T '-5 G e-5 a T '-; G H ?'- e-a T@?1 - '-1 e-a T@

f. ' -1 G '- G 5'-5 G ;' -; G H ' ?'-1@

g. e- a T '-5 G e-5 a T '-; G e-; a T '-6G H ?'-5 e- a T@?1 - '-1 e-a T@

h. ' -1 G '- G '-5 G' -; G H ' -1 ?1- '-1@

i. '- G '-5 G ' -; G ' -6 G H ' - ?1- '-1@

j. '-5 G ' -; G ' -6 G H ' -5 ?1- '-1@

k. '-1

G'-

G'-5

G'-;

G H ?'-1

G '-

G '-5

G'- ;

@G .....H '-1

?1- '-1

@Aatatan untuk bentuk fungsi trigonometri)

Sin at H 1?j@ ?e jat # e -ja t @

Aos at H L ?e jat G e -ja t @

j H -1

III.2.2. Tr!"-8#r!-) -u!u 8u"-)

Aontoh)

1. Tentukan ' aQ0awab)

'aQ H Q a Q ' -k

k =0

_

H a ' #k H a'! G ' -1 G '- G '-5 G' -; G H a?1- ' -1@ H a' ?'-1@

1!!


101/129

k =0

. Tentukan ' t Q

0awab) 'tQ H Q t Q ' -k

k =0

H Q t Q ' -k

k =0

H Q kTQ ' -k

k =0

H ! T '! G 1 T ' -1 G T '- G 5 T '-5 G ; T ' -; G

H ! T '! G 1 T ' -1 G T '- G 5 T '-5 G ; T ' -; G

H ! G T ' -1 G T '- G 5 T '-5 G ; T ' -; G

H T ' -1 G '- G 5 '-5 G ; ' -; G @

H T ' ?'-1@

5. Tentukan ' Sin atQ0awab)

'Sin atQ H Q 1?j@ e jat - e-jat Q ' -k

k =0

H 1?j@ Q e jakT - e-jakT Q ' -k

k =0

H 1?j@?e! - e-! @' -! G ?e jaT - e-jaT Q' -1 ejaT - e-jaT Q' - G Q

H X1?j@?e! - e-! @' -! YG X?1j@ ?e jaT @-? 1j@ ?e-jaT @Y' -1 G

1!1


102/129

X?1j@?ejaT @- ?1j@?e-jaT Y' - G

HX1?j@G?1j@?e jaT@'-1G?1j@?ejaT@'-GY-X?1j@G?1j@?e-jaT@Y'-1

G ?1j@?e-jaT Y'- G

HX1?j@?1Ge jaT'-1G ejaT'-GY-X?1j@?1Ge-jaT'-1Ge-jaT'- G

HX1?j@YX' ?'-e jaT@ - ?' ?'- e-jaT@

HX1?j@YX'?'-e -jaT@ - '?'- e jaT@ X?'-e jaT@?'- e-jaT@

H X1?j@YX'?e jaT - e-jaT@ X?'- '?e jaT G e-jaT@G1

H 'X1?j@YX?e jaT - e-jaT@ X?'- '?e jaT G e-jaT@G1

H 'X1?j@YX?e jaT - e-jaT@ X?'- '?e jaT G e-jaT@G1

ngat Aos at H L ?e jat G e -ja t @, sehingga Aos aT H ?e jaT G e -jaT @

2an Sin at H 1?j@ ?e jat # e -ja t @, sehingga Sin aT H 1?j@ ?e jaT # e -jaT @

4leh karena itu 'Sin atQ H 'X1?j@YX?e jaT - e-jaT@ X?'- '?e jaT G e-jaT@G1

H ' Sin aT X'- ' Aos aT G1

;. Tentukan ' Aos atQ0awab)

'Aos atQ H Q 1@ e jat G e-jat Q ' -k

k =0

_

H Q 1@ e jakT G e-jakTQ ' -k

k =0

H 1?e! G e-! @' -! G ?e jaT G e-jaT @' -1 ejaT G e-jaT @' - G Q

H X1?e! G e-! @' -! YG X?1@ ?e jaT @ G ? 1@ ?e-jaT @Y' -1 G

X?1@?ejaT @ G ?1@?e-jaT Y' - G

H X1G?1@?e jaT@'-1G?1@?ejaT@'-GY GX?1@G?1@?e-jaT@Y'-1

G ?1@?e-jaT Y'- G

HX1?@?1Ge jaT'-1G ejaT'-GYGX?1@?1Ge-jaT'-1Ge-jaT'- G

HX1YX' ?'-e jaT@ G ?' ?'- e-jaT@

HX1YX'?'-e -jaT@ G '?'- e jaT@ X?'-e jaT@?'- e-jaT@

H X1YX' #'?e-jaT G 'e jaT@ X?'- '?e jaT G e-jaT@G1

1!


103/129

ngat Aos at H L ?e jat G e -ja t @, sehingga Aos aT H ?e jaT G e -jaT @

4leh karena itu 'Aos atQ H X1YX' # '? Aos aT@ X'- ' Aos aTG1

H X1YX ?' # ' Aos aT@ X?'- ' Aos aTG1

H X' # ' Aos aT X?'- ' Aos aTG1

H '?' # Aos aTX?'- ' Aos aTG1

8asil transformasi ' untuk fungsi lain dapat dilihat pada tabel .

Tabel . Transformasi ' dari berbagai fungsi

4u"-) ; ;a a'?'-1@

ak, dengan k H tT '?'-a@ak Aos k, dengan H13!! '?'Ga@

e6! '?' - e-aT@t T'?'-1@

2 T' ?1G'@?'-1@5Sin at ' Sin aT?' - ' Aos aT G1@Aos at '?' #AosaT@ ?' - ' Aos aT G1@

e6! T ' e-aT' - e-aT@

e6* S)"! ?' e-bT@ SinaT?' - ' e-bT Aos aTG'e-bT@e6*


104/129

t T' ?1G'@?'-1@5 s5

Sin at ' Sin aT?' ' Aos aT G1@ a?s G a@Aos at '?' #AosaT@ ?' - ' Aos aT G1@ s?s G a@

te-at T ' e-aT' - e-aT@ 1?sGa@

e-bt Sinat ?' e-bT@ SinaT?' - ' e-bT Aos aTG'e-bT@ a?sGb@ G aQ

e-bt

Aos at ?'

# ' e-bT

Aos aT?'

- ' e-bT

Aos aTGe-bT

@ ?sGb@?sGb@

G a

Qeat '?' - eaT@ 1?s-a@


105/129

( )

1...

1!3;6756!1!;1@1?

1...31161!751@1?

1...6;51@1?

1...1@1?

;7;11

551@1?

.......@?....@?@1?@!?

7766;;551;1

7766;;55151

;;5511

55111

;;551;1

55151

1

>+

+++++++=−

>+++++++=−

>+++++=−

>++++=−

+−+−=−

−+−=−

++++=

−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

−−−−−

−−−−

−−−

z

z a z a z a z a z a z aaz az

z z a z a z a z a z aaz az

z z a z a z aaz az

z z a z aaz az

z a z a z aaz az

z a z aaz az

z k x z x z x x K


106/129

maka didapat ) F?!@ H ! F?5@ H 13.;F?1@ H1! F?;@ H13.73F?@ H1

. Selesaikan ) @?

@?a

a

z

z z x

−

−

−

=ε

ε

0awab)

1. Tuliskan F?V@ dalam bentuk V-1 .

,,1

1@?

−−−−

−

+−=

z z z x

aa

a

ε ε

ε

. Pembagian )

F?V@ H ε-a V-1 G ε-a V- G 5ε-5a V-5 G9..

F?k@ H kε-ka ks H !, 1, ,9..

5. F?V@ H 1 G V-1 G 5V- G ;V-5 V ?V@ # V F ?!@ # V F ?1@ G 5 V ?V@ # V F ?!@Q G ?V@ H !

Tentukan n


107/129

?V # 1.V G !.@ F?V@ H ?1!V G 6@ u?V@

F?kG@- 1.F ?kG1@ G !.F ?k@ H 1!u ?kG1@ G 6u?k@

dengan u?!@ H1 dan u ?k@ untuk k H 1, , 5,9

data awal F?!@ dan F?1@ maka harus disubstitusikan k H -, didapat )

F?!@ # 1.F?-1@ G !.F?-@ H 1! u?-1@ G 6u?-@

F?-1@ H F?-@ H ! dan u?-1@ H u?-@ H !maka didapat F?!@ H !

substitusi k H -1 didapat

F?1@ # 1.F?!@ G !.F?-1@ H 1!u?!@ G 6u?-1@

didapat F?1@ H 1!

2engan menggunakan program BSA didapat sebagai berikut)

BASI<


108/129

1;! ( * ̂ 17 :o To 7!

16! /2

kH * F?n@ H F?k@ H% u?k@ H +* H /! ! 1

1 1! !

1 !

5 13.; !

; 13.73 !

6 13.57 !

7 13.; ! 13.;$6 !

3 13.;$$ !

$ 13.6 !

1! 13.6 !

11 13.6 !

1 13.6 !

15 13.6 !

1; 13.6 !

16 13.6 !

2ari hasil komputer di dapat nilai akhir F?n@ adalah 13.6, bila digunakan metode nilai akhir

&im F?k@ H lim ?1-V-1@ F?V@Q F ∞ V 1

H lim ?1-V-1@1

1

.!.11

61!−−

−−

+−

+

z z

z z

V 1

H lim 6.13.!1

61!1

1

=−

+−

−−

z

z z

V 1

1!3


109/129

III.'. A7l)!-) Tr!"-8#r!-) u"u Me"+ele-!)!" Per-!!!" D)8ere"-)!l

Prinsip transformasi ' untuk turunan atau diferensial dapat diperhatikan pada penjelasan berikut)

'dydtQ H ' y?V@ #'y?!@ # 'y?1@

'dydtQ H 'y?V@ #'y?!@

Z yQ H y?V@

dengan:

y?!@ H harga y saat t H !

y?1@ H harga yM atau dydt saat t H !


110/129

C ' -1@QTTQ

H T' ? ' -1@Q1TQ

y ?t@

H '

-1

X T' ? ' -1@

YX1TYQ H t X1TYQ H tT

H k

.Selesaikan persamaan diferensial ?P2@ berikut)

; dydt # y H

pada saat tH!, y?!@ H! dan yM?!@ H 1

0awab)

; 'dydtQ - 'yQ H' Q

; 'y?V@ #'y?!@Q- y?V@H '?'-1@

; 'y?V@ #'?!@Q- y?V@H '?'-1@

y?V@ ;'-QH '?'-1@

y?V@ H 'X?'-1@?;'-@Y

y?V@ H ';X?'-1@?'-1@Y

y?V@ H !,6 'X?'-1@?'-1@Y

y?V@ ' H !,6X?'-1@?'-1@Y

%isal)

0,'6$2;6$; CA6$; B6$2;

0,'6$2;6$; CA6$2;B 6$;6$;6$2;

/ampak bahwa) !,6 H ?'-1@GB ?'-1@

11!


111/129

H '?GB@ G ?-1 -B@

2idapat persamaan)

GB H ! ..............?1@

-1 - B H !,6 ..............?@ G

1 H !,6

H 1

GB H !

B H -H -1

0adi

y?V@ ' H ?'-1@ GB?'-1@

y?V@ ' H 1?'-1@ -1?'-1@

y?V@ H '?'-1@ - '?'-1@

y?k@ H '-1'?'-1@Q - '-1 '?'-1@Q

y?t@ H ?1 @k - ?1@k

y?t@ H ?$ ;T 6 $2;T

1.Selesaikan P2 berikut dengan menggunakan transformasi ')

1! ddt G 3 ddt G 17 H ;3

pada saat t H !, ?!@H !, M?!@H! dimana adalah kuat arus listrik

.Selesaiakan P2 berikut menggunakan transformasi ' )

dFdt - dFdt GF H !

111


112/129

pada saat tHo, F?!@ H1, dFdt?!@ H !

III.(. A7l)!-) r!"-8#r!-) 7!5! r!"!)!" l)-r)


113/129

' 1?V@ G $ ' 1?V@ G 1 1?V@ H 7!'?'-1@

1?V@ ' G $ ' G 1Q H 7!'?'-1@

1?V@ ' G $ ' G 1Q H 7!'?'-1@

1?V@ H 7!'?'-1@ ?' G $ ' G 1@Q

1?V@' H 7!?'-1@ ?' G 1,75@? ' G ,5@Q

%isal)

7!?'-1@ ?' G 1,75@? ' G ,5@Q H ?'-1@ G B?'G1,75@ G A?'G,5@

HX?'G1,75@?'G,5@ G B?'-1@?'G,5@GA?'-1@?'G1,75@YX?'-1@ ?' G 1,75@? ' G ,5@Y

/ampak bahwa)

7! HX?'G1,75@?'G,5@GB?'-1@?'G,5@GA?'-1@?'G1,75@Y

H 'G$'G1G B' G 7,5B' - ,5 B G A'G !,75A'-1,75A

H '?G B GA@ G '?$ G 7,5B G !,75A@ G ?1-,5B -1,75A@2ari e


114/129

( 2 8 ; \


detik.

B

. :

; 8 \1

- 1!!= ;\

( 2 8

5 \


detik.

5.

; 8 6\ !,6 (

11!



III.3. A7l)!-) r!"-8#r!-) 7!5! 7e"#l!h!" -)"+!l

III.3.$. Pr)"-)7 r!"-8#r!-) 7!5! 7e"#l!h!" -)"+!l:

a. F ?k G 1@ order satu yang berarti dFdt

b. F ?k G @ order dua yang berarti dFdt

c. F ?k@ berarti F bukan sebagai bentuk turunan

' F ?k G1@Q H V ?V@ # F ?!@Q

H V ?V@ # V F ?!@

11;


115/129

' F ?k G @Q H '

−∑

=

−1

!

@?@? K

K z k x z X

H V ?V@ # F ?!@ # F ?1@ V -1Q

H V ?V@ # V F ?!@ # V F ?1@

' F?k@Q H ?V@


116/129

* H 1

* 1 H -*

* 1 H - 1

z

z X @?H

1

1

1

++

+

−

Z Z

?V@ H -1, +

+

+ z

z

z

z

?V@ H,1 +

−

+ z

z

z

z

ngat ) '?ak@ Ha z

z

−

?V@ H @?@1? −−−

−− z z

z z

0adi F ?k@ H -1Qk # -Qk

k H !, 1, , 59

. Aarilah response F ?k@ dari sistem

F ?k G @ # 5 F ?k G 1@ G F ?k@ H u ?k@

F ?k@ H ! untuk k ̂ !

u ?k@ H ! untuk k ̂ !, k !

u ?k@ H 1 untuk k H !

δ?k@

0awab)

+ntuk k H -1, maka bentuk persamaan diferensial F ?-1G@ # 5 F ?-1G1@ G F ?-1@ H u ?-1@

F ?1@ # 5 F ?!@ G F ?-1@ H u ?-1@

F ?1@ # 5 ?!@ G ?!@ H 1

F ?1@ H !

V ?V@ # V F ?!@ # V F ?1@ # 5 V ?V@ # V F ?!@Q G ?V@ H ' +?k@QV ?V@ # V ?!@ # V ?!@ # 5 V ?V@ # V ?!@Q G ?V@ H ' +?k@Q

?V # 5VG @ ?V@ H ' u?k@Q

' u?k@Q H ∑=

−

!

@?k

k Z k u

H 1 G ! G ! G ! G ! G H1

117


117/129

?V # 5VG @ ?V@ H 1

?V@ H z z z +−5

1

H@1?@?

1

−− z z

H ?V -@ G B?V-1@, dengan

H

1

1

1

−+

−

−

z z

' F ?k G1@Q H V ?V@ # V F ?!@

' F ? k G 1@Q H V ?V@

H1 −

+−

−

z

z

z

z

F ?k G1@ H - ?1@k G ?@k

H -1 G k k H !, 1, , 9

F ?k@ H -1 G k-1 k H !, 1, , 5, 9

5. Selesaikan dengan menggunakan in


118/129

H1@1?

.1

−+

−−

−−

Z

Z

Z

Z

Z

Z

z

F ?k@ H K K k 1 +−−

V ?V@ - V F ?!@ - V F ?1@

-5 [' ?V@ - ' F ?1!@ ] G ?V@ H 'u?k@Q

?' - ' G@ ?V@ H 'u?k@Q

u ?'@ H ' u?k@Q H ∑=

−

!

@? K

K Z k u

H 1

?V@ H z z z +−5

1,

H@1@??

1

−− z z

H,

1

1

1

−+

− z z

' [F ?k G 1@ ] H V ?V@ - V F ?!@

F ?!@ H !

' [ F ?k G 1@ ] H V ?V@

H,1 −

+−

−

z

z

z

z

F ?k G 1@ H -?1@k G ?@k

H -1 G k k H !,1,, 9999

F ?k@ H -1 G k-1 k H !,1,,5 999..

113


119/129

BAB I

DERET 4OURIER

I.$.Pe"5!hulu!"

2eret (ourier umumnya dipakai untuk menganalisis suatu fungsi yang mempunyai sifat periodik

?perulangan nilai@. %isal) Sin F, Aos F dan sebagainya.

11$


120/129

I.2. U"u 8u"-) 5e"!" 7er)#5! *e*!- T, *e"u uu 5ere 4#ur)er 5!7! 5)"+!!!"

-e*!!) *er)u:

dengan)

(?t@ H (ungsi t

T H perioda

n H 1,,5,;,99.


121/129


122/129

*esimpulan)

dst

+ntuk n H genap harga an selalu nol ?!@

1


123/129

Aatatan)

0adi bentuk deret (ourier adalah)

L!)h!"Tentukan deret (ourier dari)a. (?t@ H t, -1^ t ^1

b. (?t@ H t, untuk ?-13@ ^ t ^ ?13@

1;? @ # t, untuk ?13@ ^ t ^ ?53@

c. (?t@ H Gt, ^ t ^ ;

15


124/129

I.%. U"u 8u"-) 5e"!" 7er)#5! 2, *e"u uu 5ere 4#ur)er 5!7! 5)"+!!!"

-e*!!) *er)u:

Contoh

Tentukan deret (ourier dari fungsi)

(?F@ H -k, untuk -^ F ^ !

k, untuk ! ^ F ^

J!!*:

1;


125/129

khir tinjauan F H V

4;

62V 6V 0 2V %V

-k

wal tinjauan F H -V

%enentukan perioda dengan kur


126/129

+ntuk nH1 b1H ?k@1-AosQH?k@1-?-1@QH;k

+ntuk nH bH?k@1-AosQH k ?1-1@H !

+ntuk nH5 b5H?k5@1-Aos5QH k5 ?1-?-1@QH ;k5

+ntuk nH; b;H?k;@1-Aos;QH k ?1-1@QH !+ntuk nH6 b6H?k6@1-Aos6QH k6 ?1-?-1@QH ;k6

2an seterusnya

+ntuk n genap harga bn selalu nol ?!@

Bentuk deret (ourier dari (?F@ adalah)

17


127/129

L!)h!"

Tentukan deret (ourier dari persamaan)

a.

b.

c.

4; 2

62V - 0 2V

-

62

d.

1 4; $ $

1


128/129

62V - 0 2V %V

6$ -1 -1

*unci)

e. (?F@

F

*unci) - - ! F

2(TU P+ST*

2ono


129/129

37228_dikttat matematika 2

Documents