makalah bab 6 pola bilangan

MAKALAH

POLA BILANGAN

Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Menengah 3

ANGGOTA KELOMPOK :

MUHAMMAD SHOLEH

(13184202132)

NAILUL MAGHFIROH

(131842021 23)

Pendidikan Matematika 2013 D

STKIP STIT PGRI PASURUANJalan Ki Hajar Dewantara 27-29 PasuruanPASURUAN

2014

KATA PENGANTARAssalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Alhamdulillahirabbilalamin, banyak nikmat yang Allah berikan, tetapi sedikit sekali yang kita ingat. Segala puji hanya layak untuk Allah Tuhan seru sekalian alam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tiada terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas makalah dengan judul POLA BILANGAN.

semoga semua ini bisa memberikan sedikit pengetahuan dan menuntun pada langkah yang lebih baik lagi. Meskipun penulis berharap isi dari makalah ini bebas dari kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar skripsi ini dapat lebih baik lagi. Akhir kata penulis berharap agar makalah ini bermanfaat bagi semua pembaca.

Pasuruan, 24 September 2014

Penulis

DAFTAR ISIKATA PENGANTARiDAFTAR ISI iiBAB I PENDAHULUAN1

A. Latar Belakang1

B. Rumusan Masalah1

C. Tujuan1

BAB II PEMBAHASAN2

A. Pengertian Pola Bilangan2B. Macam-Macam Pola Bilangan 3 Pola Garis Lurus3 Pola Persegi Panjang 4 Pola Persegi 4 Pola Segitiga5 Pola Bilangan Ganjil dan Genap 7 Pola Segitiga Pascal 10

BAB III PENUTUP14

A. Kesimpulan 14

B. Saran14

DAFTAR PUSTAKA 15

BAB I

PENDAHULUANA. Latar Belakang

Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan yang sangat penting dan sangat berperan dalam perkembangan dunia. Secara etimologi,pengertian matematika berasal dari bahasa latinmanthaneinataumathematayang berarti"belajar atau hal yang dipelajari" . Salah satu hal diantaranya yang dipelajari dalam pelajaran matematika adalah Pola Bilangan yang mana telah dipelajari pada kelas IX tingkat Sekolah menengah pertama (SMP),Kemudian daripada itu sebagai mahasiswa STKIP-STIT PGRI PASURUAN yang mengikuti program studi Pendidikan Matematika, adalah suatu kewajiban bagi kami untuk mempelajari dan memahami pelajaran matematika, hal tersebut yang kemudian mendorong kami untuk menyusun makalah tentang Pola bilangan ini, yang merupakan salah satu BAB yang di pelajari pada tingkatan SMP kelas IX, juga sebagai kewajiban kami untuk menyusun makalah ini sebagai salah satu tugas pada mata kuliah Matematika Sekolah Menengah 2 (MATSM2) agar menjadi manfaat bagi kami sebagai penyusun dan juga bermanfaat bagi mahasiswa lainnya serta masyarakat pada umumnya.

B. Rumusan Masalah

1. Apa itu pola bilangan?

2. Apa saja macam-macam pola bilangan?

3. Bagaimana rumus suku ke-n untuk masing-masing pola?

C. Tujuan

1. Memahami pengertian pola bilangan2. Mengetahui beberapa macam-macam pola bilangan3. Mengetahui rumus suku ke-n pola bilanganBAB IIPEMBAHASANA. Pengertian Pola Bilangan

Sebelum kita lebih jauh membahas polabilangan, alangkah lebih baik jika kita terlebih dahulu mengetahui apa itu pola dan apa itu bilangan.Dalam beberapa pengertian yang dikemukakanpara ahli tentang pola, dapat dirumuskan bahwa pola adalah sebuah susunan yang mempunyai bentuk yang teratur dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya.

Sedangkan bilangan adalah sesuatu yang digunakan untuk menunjukkan kuantitas (banyak, sedikit) dan ukuran (berat, ringan, panjang, pendek, luas) suatu objek. Bilangan ditunjukkan dengan suatu tanda atau lambang yang disebut angka.

Dalam matematika terdapat beberapa bilangan yang dapat disusun menjadi diagram pohon bilangan. Adapun diagram ,mpohon bilangan dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Gambar Diagram pohon bilangan

Dalam beberapa kasus sering kita temui sebuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu,maka yang demikian itu disebut pola bilangan.

B. Macam-Macam Pola BilanganSelanjutnya, Pernahkah kamu memperhatikan dadu? Pada umumnya, dadu memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan. Coba kamu perhatikan Gambar berikut.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa dadu memiliki bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik) di setiap sisinya. Noktah-noktah tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu noktah mewakili bilangan 1, dua noktah mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam noktah yang mewakili bilangan 6. Penggunaan noktah untuk mewakili suatu bilangan tertentu tersebut sebenarnya telah digunakan manusia pada zaman dahulu. Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang.

1. Pola Garis Lurus

Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya,

a.

mewakili bilangan 1

b.

mewakili bilangan 2.

c.


d. mewakili bilangan 4.

e. mewakili bilangan 5. dan seterusnya

Jika kita perhatikan angka-angka pada pola tersebut, maka kita dapatkan bahwa :

Bilangan ke 1 1

Bilangan ke 2 2

Bilangan ke 3 3

Bilangan ke 4 4

Bilangan ke n n

2. Pola Persegi Panjang

Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegi panjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegipanjang. Misalnya,

a.

mewakili bilangan 2, yaitu 2 x 1 = 2.

b.


c. mewakili mewakili bilangan 12, yaitu 3 x 4 = 12.

dan lain-lain

Perhatikan pola persegi panjang berikut :

2 6

12

20 ...dst


Bilangan ke 1 2 =

Bilangan ke 2 6 =

Bilangan ke 3 12 =

Bilangan ke 4 20 =

Bilangan ke n ... =

3. Pola Persegi Persegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut.

a.


b.


c.

mewakili bilangan 9, yaitu 3 3 = 9.

d.

mewakili bilangan 16, yaitu 4 4 = 16.

Jika dilanjutkan, bilangan-bilangan yang digambarkan mengikuti pola persegi adalah : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

Bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan kuadrat (pangkat dua). Jika kamu perhatikan, bilangan kuadrat memiliki pola sebagai berikut.

1491625364964...

+3 +5 +7 +9 +11 +13 +15

+2+2+2 +2 +2 +2


Bilangan ke 1

EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT Bilangan ke 2



EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT Bilangan ke n

EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT

4. Pola SegitigaSelain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan lima bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini.

a.


b.


c.


d.


Jadi, bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat dituliskan sebagai berikut.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Coba kamu perhatikan bilangan yang memiliki pola segitiga. Ternyata, bilangan-bilangan tersebut dibentuk mengikuti pola sebagai berikut.

1361015212836...

+2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

+1+1+1 +1 +1 +1


Bilangan ke 1




EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT Bilangan ke n

EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 5. Pola Bilangan Ganjil dan Genapa.Pola Bilangan Ganjil

Salah satu dari himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karena pembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli, maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3, 5, 7, 9, . . . }. Adapun susunan pola bilangan ganjil adalah sebagai berikut:

1 3 5 7

1 3

5 7

Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut.

1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal.

2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.

Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini.

1357 911 13 15...

+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2

Pola pada diatas adalah 2n - 1 dari mana 2n - 1 ? perhatikan bahwa :

Bilangan ke 11 = 2 x 1 - 1

Bilangan ke 23 = 2 x 2 - 1

Bilangan ke 35 = 2 x 3 - 1Bilangan ke 47 = 2 x 4 - 1

Bilangan ke n... = 2 x n - 1 atau 2n - 1Selanjutnya dari pola tersebut jika kita lakukan penjumlahan pada bilangan ganjil tersebut, maka kita akan dapatkan bahwa :

Penjumlahan dari 2 bilangan asli ganjil yang pertama

1 + 3 = 4

4 = 22

Penjumlahan dari 3 bilangan asli ganjil yang pertama

1 + 3 + 5 = 9

9 = 32Penjumlahan dari 4 bilangan asli ganjil yang pertama

1 + 3 + 5 + 7 = 16

16 = 42Penjumlahan dari 5 bilangan asli ganjil yang pertama

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 25 = 52Dari hasil penjumlahan bilangan-bilangan ganjil di atas, maka kita dapat menuliskan sebagai berikut :Penjumlahan dari 2 bilangan asli ganjil yang pertama

1 + 3 = 22Penjumlahan dari 3 bilangan asli ganjil yang pertama

1 + 3 + 5 = 32Penjumlahan dari 4 bilangan asli ganjil yang pertama

1 + 3 + 5 + 7 = 42Penjumlahan dari 5 bilangan asli ganjil yang pertama

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + .....+ n = n2 n bilanganContoh soal :

Berapakah hasil penjumlah bilangan ganjil antara 1-10.000?

Jawab :

Karna bilangan asli terdiri dari ganjil-genap-ganjil-genap maka bilangan ganjil diantara 1-10.000 ada 4999

Maka hasil jumlah bilangan ganjil antara 1-10.000 adalah

(4.999)2-1 (dikurangi 1 karna angka 1 tidak diikut sertakan) = 24.990.001-1=24.990.000

b.Pola Bilangan Genap

Selain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan genap, yaitu { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . }. Adapun pola-pola bilangan genap adalah sebagai berikut.

Gambar Pola bilangan genap

Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut.

1) Bilangan 2 sebagai bilangan awal.

2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.

Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini.

24681012 14 16...

+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2

Pola pada diatas adalah 2n dari mana 2n perhatikan bahwa :

Bilangan ke 12 = 2 x 1

Bilangan ke 24 = 2 x 2

Bilangan ke 36 = 2 x 3Bilangan ke 48 = 2 x 4

Bilangan ke n... = 2 x n atau 2nDari pola di atas, akan ditentukan jumlah berapa bilangan asli genap pertama. Untuk lebih jelas perhatikan uraian penjumlahan bilangan asli genap berikut.

Penjumlahan dari 2 Bilangan asli genap yang pertama2 + 4 =

6 = 2(2+1)

Penjumlahan dari 3 bilangan asli genap yang pertama

2 + 4 + 6 = 12

12 = 3(3+1)


2 + 4 + 6 +8 = 20

20 = 4(4+1)Dari hasil penjumlahan bilangan-bilangan genap di atas, kita dapat menuliskannya sebagai berikut.


2 + 4 = 2(2+1)


2 + 4 + 6 = 3(3+1)


2 + 4 + 6 + 8 = 4(4+1)

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + ... + n = n (n + 1)

n bilanganContoh soal :

Tentukan banyak bilangan asli genap yang pertama yang jumlahnya 14.762

Jawab :

n (n+1) = 14.762

n2 + n - 14.762 = 0

(n - 121) (n + 122) =0

n = 121 atau n = 122 (tidak memenuhi)

Jadi jawabannya adalah 121 bilangan asli genap

5. Pola Bilangan Segitiga Pascal

a.Mengenal Segitiga Pascal

Untuk mengetahui bagaimana susunan bilangan-bilanganpada segitiga pascal, maka perlu terlebih dahulu kita memperhatikan papan permainan berikut. Gambar berikut adalah sebuah permainan papan luncur,pada setiap titik dipasang sebuah paku yang akan digunakanuntuk meluncurkan sebuah kelereng yang dimulai dari titik A menuju ke titik-titik yang lain. Banyaknya lintasan yang dilalui oleh bola dari A ke titik-titik yang lain dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

Jika huruf-huruf pada gambar papan permainan tersebut diganti dengan angka-angka yang menunjukkan banyaknya lintasan dari A ke titik tertentu dan A sendiri diganti dengan angka 1, maka papan permainan tersebut menjadi:

Susunan bilangan-bilangan seperti pada gambar disebut segitiga pascal. Kata segitiga diberikan mengingat susunanbilangan-bilangan itu membentuk sebuah segitiga. Sedangkankata pascal diberikan untuk mengenang Blaise Pascal (1623-1662), seorang ahli matematika bangsa Perancis yang menemukan susunan bilangan-bilangan tersebut. Jika diperhatikan, ternyata terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah bilangan berdekatan yang terdapat pada baris yang ada tepat di atasnya.

b.Jumlah Bilangan-bilangan pada Setiap Baris pada Segitiga Pascal

Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan pada setiap baris pada segitiga pascal berikut.nBilangan Segitiga Pascal

1111=20

2111 + 1 = 22=21

31211 + 2 + 1 = 44=22

413311 + 3 + 3 + 1 = 88=23

5146411 + 4 + 6 + 4 +1 = 1616=24

.........

n.......=24

Dari jumlah bilangan-bilangan pada setiap baris dari bilangan segitiga pascal di atas, maka dapat dinyatakan bahwa:

Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n-1

c.Penerapan Bilangan Segitiga Pascal Pada Binomial Newton

Jika a dan b adalah variabel-variabel real yang tidak nol,maka bentuk aljabar (a + b) disebutsuku dua atau binomialdalam a dan b. Binomial (a + b) dipangkatkan dengan n (nadalah bilangan-bilangan asli ) dituliskan sebagai berikut.

Perhatikan uraian berikut ini :

dst

n1

111

2121

31331

semakin ke kanan pangkat a turun/berkurang dan pangkat b naik/bertambahDan perhatikan bahwa koefisien pada binominal newton tersebut sama dengan pada segitiga pascal .

BAB IIIPENUTUPA. Kesimpulan

Pola Bilangan adalah sebuah kumpulan bilangan yang mempunyai pola tertentu.

Terdapat banyak macam-macam pola bilangan diantaranya

Pola Bilangan Garis Lurus, Dimana suku ke-n

Pola Bilangan Persegi, Dimana suku ke-n

Pola Bilangan Persegi Panjang, Dimana suku ke-n

Pola Bilangan Segitiga, Dimana suku ke-n

Pola Bilangan Bilangan Ganjil dan Genap

Dimana suku ke-n bilangan ganjil

Dimana suku ke-n bilangan genap

Pola Bilangan Segitiga Pascal, Dimana jumlah baris ke-n

dan pola bilangan lainnya yang masih banyak lagi.

B. Saran

Matematika adalah ilmu pengetahuan dan ilmu pengetahuan perlu dipelajari dan diterapkan serta digunakan dalam kehidupan sehari-hari, maka marilah kita menjadi insan yang mempelajari dan mengamalkan ilmu dalam kehidupan sehari-hari.DAFTAR PUSTAKA

Utomo, I.B., dan Masduki. 2007. Matematika Untuk SMP & MTS Kelas IX . Jakarta : Departemen Pendidikan NasionalAgus, Nuniek Avianti. 1984. Mudah Belajar Matematika. Jakarta : Departemen Pendidikan Nasionalhttp://lavoisierthewinner.blogspot.com/2012/08/hubungan-pola-alam-dan-matematika.html (diakses tanggal 24 september 2014)

http://afifasukanulis.blogspot.com/2012/02/jenis-jenis-pola-bilangan-dalam.html (diakses tanggal 24 september 2014)ii

Jadi, Suku ke-n untuk pola garis lurus adalah :


...

Jadi, Suku ke-n untuk pola persegi panjang adalah :


...

Jadi, Suku ke-n untuk pola persegi adalah :


...

Jadi, Suku ke-n untuk pola Segitiga adalah :


...

Jadi, Suku ke-n untuk pola bilangan ganjil adalah :


...

Jadi, Suku ke-n untuk pola bilangan Genap adalah :


...

AE

CE

BE

F

EE

DE

JE

I

HE

GE

OE

NE

ME

LE

KE

Jadi, jumlah bars ke-n untuk pola bilangan segitiga pascal adalah :


i

_1234567921.unknown

_1234567937.unknown

_1234567945.unknown

_1234567953.unknown

_1234567957.unknown

_1234567961.unknown

_1234567963.unknown

_1234567965.unknown

_1234567967.unknown

_1234567968.unknown

_1234567966.unknown

_1234567964.unknown

_1234567962.unknown

_1234567959.unknown

_1234567960.unknown

_1234567958.unknown

_1234567955.unknown

_1234567956.unknown

_1234567954.unknown

_1234567949.unknown

_1234567951.unknown

_1234567952.unknown

_1234567950.unknown

_1234567947.unknown

_1234567948.unknown

_1234567946.unknown

_1234567941.unknown

_1234567943.unknown

_1234567944.unknown

_1234567942.unknown

_1234567939.unknown

_1234567940.unknown

_1234567938.unknown

_1234567929.unknown

_1234567933.unknown

_1234567935.unknown

_1234567936.unknown

_1234567934.unknown

_1234567931.unknown

_1234567932.unknown

_1234567930.unknown

_1234567925.unknown

_1234567927.unknown

_1234567928.unknown

_1234567926.unknown

_1234567923.unknown

_1234567924.unknown

_1234567922.unknown

_1234567905.unknown

_1234567913.unknown

_1234567917.unknown

_1234567919.unknown

_1234567920.unknown

_1234567918.unknown

_1234567915.unknown

_1234567916.unknown

_1234567914.unknown

_1234567909.unknown

_1234567911.unknown

_1234567912.unknown

_1234567910.unknown

_1234567907.unknown

_1234567908.unknown

_1234567906.unknown

_1234567897.unknown

_1234567901.unknown

_1234567903.unknown

_1234567904.unknown

_1234567902.unknown

_1234567899.unknown

_1234567900.unknown

_1234567898.unknown

_1234567893.unknown

_1234567895.unknown

_1234567896.unknown

_1234567894.unknown

_1234567891.unknown

_1234567892.unknown

_1234567890.unknown

makalah bab 6 pola bilangan

Documents