BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Math project adalah kegiatan pameran yang dilakukan sebagai ujian akhir

semester pelajaran Math Esential. Kelompok dan anggota dalam projek tersebut sudah

ditentukan oleh pihak dosen. Kegiatan ini serentak dilaksanakan pada hari Rabu, 4

Desember 2015, pada pukul 10.00-14.00 WIB. Semua anggota kelompok umumnya

berasal dari jurusan yang berbeda-beda, yakni dari Pendidikan Matematika, Pendidikan

Bahasa Inggris dan Pendidikan Biologi.

Kami adalah anggota kelompok 14 yang membahas sebuah tema besar tentang

pembuktian adalah bilangan irasional. Lalu, tema ini akan dipamerkan kepada para

pengunjung dalam bentuk pameran poster kreatif dan dilengkapi dengan games yang

berbuhungan dengan topik ini. Adapun topik ini tidak familiar dalam kehidupan sehari-

hari. Lagipula, tidak ada benda-benda sederhana yang dapat mewakili topik ini. Sehinga

kami berasumsi bahwa kami tidak dapat menjelaskan teori kami dalam wujud 3D. Kami

hanya dapat menjelaskan topik ini melalui penjabaran dalam poster saja. Oleh karena itu,

kami pun mencari cara agar para pengunjung dapat tertarik dengan penjelasan kami.

Kami menggunakan poster berupa sebuah buku besar yang menggunakan konsep

pop-up. Jadi, kami membuat sebuah buku yang apabila dibuka akan menampilan bentuk

3 dimensi dari penjabaran kami mengenai pembuktian bilangan irasional. Kelompok

kami juga membuat sebuah game yang terkait dengan bilangan irasional. Game tersebut

“Magic Box”, dimana terdapat berbagai bilangan irasional berjumlah 9 buah yang

menjadi patokannya. Inti dari permainan tersebut adalah bagaimana membentuk

penjumlahan sekelompok bilangan irasional di dalam kotak besar berukuran 3x3 kotak-

kotak kecil yang telah ditentukan. Dari 3 buah bilangan irasional, bila dijumlahkan maka

akan menghasilkan sebuah bilangan irasional dan begitu pula dengan bilangan irasional

yang lainnya. Jadi penjumlahan tiap 3 bilangan irasioanal dari ke-9 bilangan irasional

tersebut akan mengahasilkan jumlah bilangan irasional yang sama dari segala arah (baik

arah vertikal, horizontal, maupun diagonal).

1.2 Tujuan Eksisbisi

Tujuan dari eksebisi ini adalah untuk melatih kemampuan mahaiswa dalam

memikirkan dan membentuk sebuah karya yang terkait dengan topik Math Esential yang

telah didapatkan. Karya atau projek yang dibuat tersebut tentu memiliki manfaat

tersendiri, salah satunya adalah untuk memudahkan mahasiswa maupun orang lain dalam

memahami Math Esential lebih dalam lagi. Secara tidak langsung, hal ini juga merubah

pola pikir setiap mahasiswa dan orang lain bahwa ternyata konten-konten dalam mata

kuliah Math Esential bisa diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Begitu juga dengan

usaha dan kekompakkan mahasiswa akan dilatih dalam kelompok mereka masing-

masing. Kekompakkan dalam menentukan ide, dalam pengerjaanya, maupun dalam

komunikasi setiap anggota kelompok.

Khususnya untuk topik kami yaitu penjabaran bahwa adalah bilangan

irasional. Orang-orang pada umumya tidak menyukai penjabaran matematika ini. Oleh

karenanya dengan pameran ini membuat orang setidaknya mengerti tentang bilangan

irasonal.

1.3 Tujuan Melakukan Eksisbisi

Tujuan dari pelaksanaan pameran Math Project ini antara lain untuk memenuhi

penilaian UAS Math Essential. Lalu, melatih kemampuan mahasiswa dalam menjelaskan

projek yang telah mereka buat di depan pengunjung yang akan datang untuk melihat.

Kemudian pelaksanaan pameran ini juga akan memperlihatkan rasa partisipasi dan

kepekaan mahasiswa akan pentingnya berbagi informasi kepada orang lain. Dalam waktu

pelaksanaannya, hal ini juga akan meningkatkan rasa tanggung jawab mahasiswa akan

penjelasan dan jawaban mereka kepada setiap pengunjung yang datang. Mereka harus

berusaha menjelaskan dan meyakinkan pengunjung untuk dapat memahami tentang topik

yang mereka bahas, sehingga pesan dan pemahaman dari projek tersebut bisa didapatkan

oleh para pengunjung.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Landasan Teori Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional

Penjabaran adalah bilangan irasional tidak lepas dari penjabaran pengertian

tentang bilangan rasional dan bilangan irasional. Dalam bukunya (Yusup, 2007), bilangan

rasional dinotasikan dengan Q didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dinyatakan ke

dalam bentuk

dengan a, b € B (a,b merupakan bilangan bulat) dan b ≠ 0. Bilangan

rasional biasanya dapat dikenali dari beberapa ciri berikut:

1. Bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa, seperti 3, -1,

,

,

2. Bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal terbatas, seperti,

0,5; 0,6; 0,752

3. Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam desimal tak terbatas berulang,

seperti,

= 0,333… ;

= 0,2222....

Jika menemukan bilangan desimal berulang, kita dapat menentukan rasio dari

bilangan tersebut (Purcell, et.al, 2003). Artinya, kita menentukan nilai pecahan yang

mewakilkan bilangan desimal berulang dengan cara sebagai berikut.

CONTOH 1 (Desimal berulang adalah rasional). Tunjukkan bahwa x = 0,245245245…

dan y = 0,314141414… menyatakan bilangan-bilangan rasional.

Penyelesaian

Angka desimal berulang harus dihilangkan yaitu dengan mengurangkan x dari 1000x

dan kemudian selesaikan untuk x.

1000x = 245,245245…..

x = 0,245245…..

-

999x = 245 x =

Demikian pula,

100y = 31,4141414……

y = 0,3141414…..

-

99y = 31,1 y =

=

Bilangan irasional didefinisikan sebagai bilangan yang tidak dapat dinyatakan

dalam bentuk

dengan a, b € B (a,b merupakan bilangan bulat) dan b ≠ 0. Dengan kata

lain, bilangan irasional adalah bilangan rela yang bukan merupakan bilangan rasional.

Ciri-ciri bilangan irasional adalah sebagai berikut.

1. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa.

2. Jika ditulis dalam pecahan desimal merupakan desimal tak terbatas dan tak

berulang. Seperti = 1,7320508076

3. Bilangan irasional dapat dinyatakan ke dalam bentuk akar, seperti , ,

Namu, tidak sah rasanya jika kita tidak mengetahui bagaimana bilangan irasional

itu terbentuk hingga dikategorikan menjadi anggota kelompok bilangan tersendiri. Pada

perkembangan ilmu matematika, dulu bilangan irasional sangat ditentang. Manusia,

khusunya, sang ahli matematika Phytagoras sangat berpegang teguh bahwa semua

bilangan termasuk dalam bilangan rasional. Bilangan rasional adalah kelompok billangan

yang tertinggi. Hingga salah seorang murid Phytagoras dari Metapontum pada abad ke-5

menyatakan bahwa sisi miring segitiga siku-siku sama kaki tidak dapat ditentukan karena

bersifat ganjil sekaligus genap dan hal ini tidak mungkin dalam matematika. Oleh karena

itu, untuk membuktikan asumsinya ini, dia membuktikan melalui kontradiksi. Lalu,

penjabaran pembuktiannya adalah sebagai berikut.

1. Asumsikan bahwa adalah bilangan rasional. Artinya, bilangan ini harus

dapat dijabarkan dalam bentuk pecahan bilangan bulat paling sederhana.

2. Berdasarkan pernyataan pertama, oleh karena itu dapat dijabarkan dengan

persamaan =

.

3. Kuadratkan kedua sisi, baik pada sisi kiri dan sisi kanan, sehingga

menghasilkan persamaan 2 =

.

4. Lalu dikali silang sehingga menjadi 2b2 = a

2.

5. Dari persamaan tersebut dapat ditentukan bahwa berapa pun bilangan bulat b,

a akan bernilai genap.

6. Jika melihat asumsi poin pertama, a : b harus berupa perbandingan bilangan

bulat terkecil, b pastilah ganjil.

7. Karena a adalah angka bilangan bulat, a pasti dapat dinyatakan dalam a = 2k.

8. Jadi dapat dihitung bahwa a2 = 4k

2 = 2b

2.

9. Lalu dapat ditulis menjadi b2 = 2k

2. Ini artinya, dapat ditentukan bahwa berapa

pun bilangan bulat k, b akan bernilai genap.

10. Ini membatah asumsi poin pertama dan poin ke-enam, bahwa a dan b adalah

bilangan genap, artinya dapat disederhanakan menjadi bagian yang lebih

sederhana. Selain itu tidak mungkin nilai b bisa berupa ganjil dan genap.

11. bukanlah bilangan rasional karena tidak dapat dijabarkan dalam rasio a : b

berupa bilangan bulat yang paling sederhana, dan b berupa bilangan ganjil dan

genap yang merupakan sifat irasional. Jadi, adalah bilangan irasional.

Menurut sejarah, karena bilangan ini (irasional) mengguncangkan keyakinan

ajaran Phytagoras yang menyatakan semua fenomena di alam semesta dapat dinyatakan

dalam angka dan rasionya, Hippasis akhirnya dihukum mati dengan dilemparkan ke laut.

Berdasarkan cerita ini, dapat disimpulkan bahwa memang sepintar-pintarnya

manusia, tetapi tidak dapat menyelami pengetahuan Allah. Hal ini sesuai dengan

Pengkhotbah 8 : 17 yamg berbunyi “maka nyatalah kepadaku, bahwa manusia tidak dapat

menyelami segala pekerjaan Allah, yang dilakukan-Nya di bawah matahari.

Bagaimanapun juga manusia berlelah-lelah mencarinya, ia tidak akan meyelaminya.

Walaupun orang yang berhikmat mengatakan, bahwa ia mengetahuinya, namun ia tidak

dapat menyelaminya.” Artinya, manusia tidak dapat men-klaim bahwa teorinya sudah

mutlak benar, karena Allah memiliki pengetahuan yang lebih dari manusia.

2.2 Teori Permainan

Pada dasarnya dalam pembuatan permainan ini kami menggunakan pola tertentu.

Pertama kita menyiapkan 3 angka, misalkan diwakilakn dengan a, b, dan c. Lalu kita

dapat memasukkan huruf tersebut dalam magic box dengan pola sebagai berikut.

Dengan pola ini lalu kita dapat menentukan a, b, dan c lalu menjumlahkannnya dengan

pola tersebut. Lalu, kita juga menghubungkannya dengan menggunakan bilangan

irasional. Jadi kita dapat menggantikan dengan a = 1 b == 2 dan c = 3 .

Selanjutnya kita masukkan angka-angka tersebut mengikuti pola yang ada, dan kita

jumlahkan.

Akhirnya, kita telah membuat kotak ajaib, yang mana jika kita jumlahakan angka setiap baris,

kolom, dan diagonalnya akan berjumlah 9 . Agar membuat permainan tampak lebih susah,

maka kami mewakilkan angka-angka tersebut dalam bentuk sebagai berikut.

0

c-b C+a+b C-a

C-a+b C C+a-b

C+a C-a-b C+b

3 - 2 3 + 1 + 2 3 - 1

3 -1 + 2 3 . 3 + 1 -2

3 + 1 3 - 1 - 2 3 + 2

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Pembuatan Poster dan Games

Adapun bahan-bahan yang kami pakai dalam pembuatan buku besar pop-up,

yakni 4 lembar karton asturo ukuran A2 yang berbeda warna, 1 lebar kertas buffalo hitam

dan 1 pak kertas buffalo biru, 1 pak kertas origami, 1 pak kertas hvs warna kuning, tali

ungu, kertas bergerigi. Lalu alat-alat yang kami gunakan untuk membantu proses

pembuatan poster berupa gunting, double-tip, staples, dan alat-alat tulis.

Proses pembuatan

Pertama, kami membuat buku dengan menggunakan karton sebagai sampul buku

dan kertas bergelombang sebagai isi bukunya. Sampul buku kami buat dengan karton

yang sudah dilipat menjadi 2 bagian. Bagian depan sampul terdapat judul buku yang juga

sekaligus menjadi judul projek kami, yaitu “The story of square root”. Konsep ini kami

buat karena kami buat tema ini sebagai rangkaian cerita agar mempemudah pemahaman

pengunjung.

Lalu, kami membuat isi buku dengan menggunakan kertas bergelombang sebagai

penyusunnya. Terdapat 3 lembar dalam buku pop-up ini. Kami tidak memakai halaman

pertama dan kedua pada isi buku, karena pada halaman pertama berupa kertas karton

asturo, sedangkan pada halaman kedua adalah kertas bergelombang. Jadi, kami

memulainya pada halaman 3 dan 4. Halaman ini berisi tentang pengertian bilangan

irasional dan rasional, macam-macam bilangan irasional, dan kegunaan bilangan irasional

dalam kehidupan sehari-hari. Dalam menjabarkan definisinya, kami menggunakan

konsep pop-up.

Pada halamam 5 dan 6 dilanjutkan dengan mebuat konsep pop-up dengan isinya

yaitu sejarah bilangan irasional dan pandangan alkitabiah tentang proses bilangan

irasional. Lalu, pada halaman terakhir yaitu halam 7 dan 8 adalah penjabaran tentang

proses akar dua adalah bilangan irasional dengan kontradiksi.

Peralatan dan bahan untuk pembuatan games juga hampir sama dengan

pembuatan pop-up book. Yaitu dengan menggunakan kertas asturo sebagai area

permainan magic box. Lalu terdapat kotak kosong untuk meletakkan angka rasional.

Adapun angka rasional kami buat dengan potongan berupa semacam kartu.

3.2 Kondisi saat Eksibisi

Pameran dilmulai serentak pada pukul 10.00 di TC Hall lantai 6 Gedung B

Universitas Pelita Harapan dan selaesai pada pukul 14.00. Pengunjung pertama kami

adalah seorang mahasiswa jurunsan Pendidikan Biologi angkatan 2012. Adapun alur

pameran kami yaitu deimulai dengan menjelaskan buku besar pop-up dahulu dilanjutkan

dengan bermain games.

Pengunjung pertama kami tidak memiliki pertanyaan apapun seputar permainan

kami, hanya saja kesulitan saat memainkan gamesnya, sehingga dia tidak dapat

menyusun susunan angka dengan benar dalam waktu 5 menit. Hal seperti juga sama

terjadi pada pengunjung kedua, ketiga, keempat kami. Mereka tidak dapat menyelesaikan

magic box. Mereka terlihat kesulitan untuk menyederhanakan angka dan menyusunnya.

Berdasarkan kejadian tersebut, kami memutuskan untuk mengganti angka

terseubut ke dalam pola . Yang terjadi setelah kami mengubah polanya seperti ini

adalah ternyata ada pengunjung akhirnya dapat menyelesaikn magic box dalam waktu

kurang 5 menit, meskipun ada juga yang tidak dapat menyelesaikannya.

Secara keselruhan, total pengunjung kami adalah 32 pengunjung, yang mana satu

penugnjungnya adalah dosen penilai pameran kami. Dalam pameran kami, tidak ada

pertanyaan dari khusus seputar pameren kami. Akan tetapi, pada saat penilain, dosen

penilai kami sanagat jeli memperhatikan setiap penjelasan kami, sehingga menanyakan

pertanyaan yang kami tidak bisa menjawabnya, yaitu seputar pembuktian.

Pada saat kami menjelaskan tahap a. adalah bilangan genap, karena 2b2 = a

2. Dia

menanyakan bagaimana jika saya mengganti b dengan 0.5, yang berarti nilai a2 adalah

1.25, apakah akan membuktikan permyataan tersebut. Kami tidak dapat menjawab

sanggahan tersebut pada saat pameran. Lalu, setelah kami membaca ulang lagi

pembuktian tersebut, kami tahu bahwa yang dimaksudkan b delam pembuktian ini

hanyalah berupa bilangan bulat. Jadi, setiap bilangan bulat apapun sebagai angka untuk b

ke dalam persamaan 2b2 = a

2, maka nilai a adalah genap. Angka b hanya berupa bilangan

bulat.

Meskipun tidak ada pertanyaan khusus dari para pengunjung, tetapi, terdapat

komentar dari para pengunjung kami, meliputi kelebihan dan kekurangan projek kamu.

Kelebikan pameran kami, yaitu bahwa games kami sanagt megasah otak, poster kami

menarik dan berbeda dari yang lain (hanya kelompok kami yang menggunakan pop-up

book), rewardnya juga menarik (berupa chocolatos dan permen). Hanya saja kami juga

memliki kekurangan, yaitu bahwa pembuatan pop-up book kami belum rapi. Selanjutnya,

kami terlihat kerepotan saat menampilkan pop-up book nya, sehingga pengunjung kurang

begitu nyaman dengan penjelasan kami.

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Dari pembahasan dalam bab-bab sebelumnya dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai

berikut:

1. Math Project melatih kemampuan berpikir kritis mahasiswa dan memperdalam

pemahaman mengenai Math Essential

2. Pelaksanaan Ekshibisi melatih kemampuan mahasiswa dalam menjelaskan sejarah,

teori, dan pengaplikasian projek tersebut

3. Pembuktian sebagai bilangan irasional memberikan pemahaman kepada

pengunjung mengenai cara mengetahui apakah suatu bilangan itu irasional atau tidak

4. Game Magic Box menumbuhkan rasa ingin tahu dari mahasiswa untuk memahami

tentang bilangan irasional

4.2 Saran

Berdasarkan komentar dari para pengunjung serta pengalaman pameran terdapat

beberapa saran yang dapat kami berikan, yaitu

1. Saat menggunakan pop-up book sebaiknya menggunakan meja kecil untuk meletakkn

pop-up book, sehingga tidak kewalahan dalam menjelaskan.

2. Kuasai setiap detail materi yang akan dibahas, posisikan kita juga sebagai

pengunjung, dan buatla pertanyaan yang kira-kira akan ditanyakan kita.

LAMPIRAN

LAMPIRAN

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, E.J, et.al. (2003). Kalkulus Jilid 1 (8nd ed). Jakarta : Penerbit Erlangga

Yusup, M. (2007). Matematika Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi untuk

Sekolah Menengah Kejuruan Kelas X. Jakarta : Penerbit Grafindo