KONTROL OPTIMAL UPAYA PENGOBATAN PENYAKIT CAMPAK MENGGUNAKAN

MODEL ENDEMI SIR

Ida Ayu Putu Ari Utari, S.Si, M.Si

Prodi Matematika, FMIPA

Universitas Udayana

2019

PENDAHULUAN

• Penyakit campak adalah suatu penyakit akut yang

sangat yang disebabkan oleh virus campak golongan

Paramyxovirus.

• Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang

matematika juga turut memberikan peranan penting

dalam mencegah meluasnya penyakit campak.

PENDAHULUAN

• Kejadian penularan wabah penyakit campak yang

terjadi pada suatu populasi dapat dimodelkan ke

dalam model matematika.

• Salah satunya adalah model SIR (Susceptible,

Infected,Recovered).

PENDAHULUAN

• Model SIR ini menjelaskan pengobatan penyakit

campak dapat direpresentasikan sebagai sistem

persamaan diferensial biasa nonlinear dengan variabel

tak bebas yang meliputi :

1. Susceptible (S)

2. Infected (I)

3. Recovered (R)

PENDAHULUAN

• Penelitian ini akan mengaplikasikan teori kontol

optimal yang tepat dan dapat digunakan untuk

menekan laju pertambahan individu yang terinfeksi

penyakit campak.

DATA DAN METODE

• Model matematika SIR diambil dari penelitian

Kurniawan, dkk.

• Model matematika SIR dapat digambarkan sebagai

berikut :

Susceptible (S)

Infected (I)

Recovered (R)

(1 − 𝜎)𝜃

𝜇

𝛽 𝛼 𝛾

𝜇 𝜇

𝜎𝜃

DATA DAN METODE

Hubungan antara S, I dan R dapat dibentuk dalam

persamaan diferensial sebagai berikut :

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= 1 − 𝜎 𝜃 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛼𝐼(𝑡) − 𝜇𝐼(𝑡) (1)

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜎𝜃 + 𝛼𝐼 𝑡 − 𝛾𝑅 𝑡 − 𝜇𝑅 𝑡

dengan 𝑆 + 𝐼 + 𝑅 = 1

DATA DAN METODE

• Langkah-langkah menentukan sistem kontrol optimal pengobatan

penyakit campak :

1. Memodifikasi persamaan (1) dengan melibatkan variabel kontrol

optimal yang dinyatakan dengan 𝑢(𝑡).

2. Menentukan fungsi tujuan.

3. Untuk mendapatkan kontrol optilmal maka dibentuk fungsi

Hamilton.

4. Menurut prinsip Pontryagin, fungsi Hamilton mencapai solusi

optimal jika persamaan state, costate dan kondisi stasioner

terpenuhi .

HASIL DAN PEMBAHASAN

• Pada penelitian ini akan diaplikasikan teori kontrol

optimal pada sistem persamaan diferensial dari model

matematika SIR yang terbentuk dari persamaan (1).

• Laju pengobatan (treatment) dimodifikasi dengan

melibatkan variabel kontrol optimal yang dinyatakan

dengan 𝑢(𝑡).

HASIL DAN PEMBAHASAN

• Secara matematis, model deterministik penyakit

campak yang mengandung variabel kontrol dapat

ditulis :

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= 1 − 𝜎 𝜃 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝜇𝐼(𝑡) (2)

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜎𝜃 + 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝛾𝑅(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡)

HASIL DAN PEMBAHASAN

• Secara matematis, model deterministik penyakit

campak yang mengandung variabel kontrol dapat

ditulis :

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= 1 − 𝜎 𝜃 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝜇𝐼(𝑡) (2)

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜎𝜃 + 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝛾𝑅(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡)

HASIL DAN PEMBAHASAN

• Koefisien 1 − 𝑢 𝑡 adalah usaha pengontrolan

terhadap kemungkinan timbulnya penderita penyakit

campak yang baru.

• Kontrol 𝑢 𝑡 menunjukkan tingkat efisiensi dari

pengobatan yang diberikan pada penderita campak

yang terinfeksi.

HASIL DAN PEMBAHASAN

• Jika 𝑢 𝑡 = 1 maka pengobatan yang diberikan sangat

efektif.

• Sebaliknya, jika 𝑢 𝑡 = 0 maka pengobatan yang diberikan

sama sekali tidak efektif.

• Jadi akan dicari bentuk 𝑢 𝑡 optimal, dimana 0 ≤ 𝑢∗ 𝑡 ≤

1 sehingga upaya pengobatan yang dilakukan dapat

maksimal.

HASIL DAN PEMBAHASAN

• Teori kontrol optimal pada model penyakit SIR

bertujuan untuk meminimumkan jumlah individu yang

terinfeksi campak dengan fungsi tujuan

𝐽 𝑢 = 𝐼 𝑡 +1

2𝐶𝑢2(𝑡) 𝑑𝑡

𝑇

0 (3)

• Koefisien 𝐶 ≥ 0 adalah koefisien bobot untuk

meminimumkan jumlah individu yang terinfeksi dari

pengobatan yang dilakukan.

HASIL DAN PEMBAHASAN

• Selanjutnya akan ditentukan 𝑢∗ sehingga berlaku :

𝐽 𝑢∗ = min 𝐽 𝑢 : 𝑢 ∈ 𝑈 (4)

dengan 𝑈 = 𝑢 𝑡 : 0 ≤ 𝑢 𝑡 ≤ 1, ∀𝑡 ∈ [0, 𝑇]

• Selanjutnya untuk mendapatkan kontrol optimal maka

dibentuk fungsi Hamilton yaitu

𝐻 = 𝐻(𝑆 𝑡 , 𝐼 𝑡 , 𝑅 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3)

HASIL DAN PEMBAHASAN

𝐻 = 𝐼 𝑡 +1

2𝐶𝑢2 𝑡 + 𝜆1(𝑡) 1 − 𝜎 𝜃 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)

+𝜆2(𝑡) 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝜇𝐼(𝑡)

+𝜆3(𝑡) 𝜎𝜃 + 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝛾𝑅(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡) (5)

• Menurut prinsip Pontryagin, fungsi Hamilton mencapai

solusi optimal jika persamaan state dan costate serta

kondisi stasioner terpenuhi.

HASIL DAN PEMBAHASAN

i. Persamaan State

𝜕𝐻

𝜕𝜆1= 1 − 𝜎 𝜃 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)

𝜕𝐻

𝜕𝜆2= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛼𝐼(𝑡) + 𝛼𝐼(𝑡) 𝑢(𝑡) − 𝜇𝐼(𝑡)

𝜕𝐻

𝜕𝜆3= 𝜎𝜃 + 𝛼𝐼 𝑡 − 𝛼𝐼 𝑡 𝑢(𝑡) − 𝛾𝑅(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡)

HASIL DAN PEMBAHASAN

ii. Persamaan Costate

−𝜕𝐻

𝜕𝑆= − 𝜆1 𝑡 −𝛽𝐼 𝑡 − 𝜇 + 𝜆2(𝑡) 𝛽𝐼 𝑡

−𝜕𝐻

𝜕𝐼= − 1 + 𝜆1 𝑡 −𝛽𝑆 𝑡 + 𝜆2 𝑡 𝛽𝑆 𝑡 − 𝛼 + 𝛼 𝑢 𝑡 − 𝜇

+ 𝜆3(𝑡) 𝛼 − 𝛼 𝑢 𝑡

−𝜕𝐻

𝜕𝑅= −𝜆3 −𝛾 − 𝜇

dengan syarat batas (kondisi tranvesal) 𝜆𝑗 𝜖𝑓 = 0, ∀𝑗 = 1,2,3

HASIL DAN PEMBAHASAN

iii. Kondisi Stasioner

−𝜕𝐻

𝜕𝑢= 0

𝐶𝑢 𝑡 + 𝜆2𝛼𝐼 𝑡 − 𝜆3𝛼𝐼 𝑡 = 0

𝑢 (𝑡) =𝜆2𝛼𝐼 𝑡 −𝜆3𝛼𝐼 𝑡

𝐶

Karena 0 ≤ 𝑢 ≤ 1, diperoleh

𝑢∗ = 0, 𝑢 ≤ 0

𝑢 , 0 < 𝑢 < 11, 𝑢 ≥ 0

HASIL DAN PEMBAHASAN

Jadi diperoleh bentuk kontrol optimal 𝑢∗ untuk

mengoptimalkan fungsi tujuan yang diberikan sebagai

berikut :

𝑢∗ = min 1,max 0, 𝑢

atau

𝑢∗ = min 1,max 0,𝜆2𝛼𝐼 𝑡 −𝜆3𝛼𝐼 𝑡

𝐶

SIMPULAN

• Pada penelitian ini telah diaplikasikan teori kontrol optimal

pada model endemi SIR penyakit campat untuk menentukan

bentuk kontrol optimal yang dapat menekan laju

pertambahan jumlahindividu yang terinfeksi.

• Bentuk kontrol optimal yang diperoleh sebagai berikut :

𝑢∗ = min 1,max 0, 𝑢 atau 𝑢∗ = min 1,max 0,𝜆2𝛼𝐼 𝑡 −𝜆3𝛼𝐼 𝑡

𝐶

SIMPULAN

• Dari bentuk persamaan di atas bahwa kontrol optimal

yang diperoleh bergantung pada beberapa parameter

diantaranya :

a. Parameter rata-rata pengobatan penyakit campak

b. Jumlah individu yang terinfeksi

c. Nilai bobot C

SIMPULAN

• Jika jumlah individu yang terinfeksi campak cukup besar

maka diperlukan usaha yang cukup besar untuk

mengoptimalkan usaha pengobatan penyakit campak

yang dilakukan.

SARAN

• Pada penelitian ini, ada parameter vaksinasi yang

mempengaruhi jumlah individu yang terinfeksi penyakit

campak, sehingga penelitian kedepannya diharapkan

melakukan kontrol optimal untuk pencegahan campak

dengan vaksinasi.

DAFTAR PUSTAKA

[1] S.K. Widoyono, “Penyakit Tropis Epidemiologi, Penularan, Pencegahan & Pemberantasannya”.Jakarta : Erlangga,2005

[2] H. Castellini, and L.Romanelli, On the Propagation of Social Epidemic in Social, Networks under SIR Model, 70:40-53,2009.

[3] M.A. Kuniawan, dan F. Yuli, “Analisis Kestabilan Penyebaran Penyakit Campak (Measles) dengan Vaksinasi Menggunakan Model Endemi SIR”, Universitas Negeri Yogyakarta,2012.

[4] C. Dewi,”Kontrol Optimal Model Pertumbuhan Kanker Kandung Kemih dengan Imunoterapi BCG”,Universitas Brawijaya,2014.

DAFTAR PUSTAKA

[5] Sulfayanti, S. Toaha, dan Khaeruddin, “Aplikasi Kontrol Optimal pada Perubahan Perilaku Manusia”, Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi, Vol. 8,No.1,12-24,2011.

[6] Kasbawati, “Kontrol Optimal Upaya Pencegahan Infeksi Virus Flu Burung H5N1 dalam Populasi Burung dan Manusia”, Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi, Vol. 8,No.1,12-24,2011.

TERIMA KASIH