Menurut Wikipedia, kepingan kon adalah lokus dari semua titik yang membentuk lengkungan dua-dimensi, yang terbentuk oleh kepingan sebuah kon dengan sebuah bidang. Tiga jenis lengkungan yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan hiperbola.

Apollonius dari Perga adalah pakar pengukur tanah. Karya-karyanya membawa impak yang besar dalam perkembangan matematik. Buku karyanya yang terkenal, Conics (kerucut) memperkenalkan istilah-istilah seperti parabola,elips dan hiperbola.

Dalam memahami geometri kepingan kon, sebuah kon dianggap memiliki dua kulit yang terbentang sehingga tidak berhingga di kedua-dua arah. Sebuah penjana adalah sebuah garis yang dapat dibuat melalui kulit kon, dan semua penjana saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.

Jika sebuah bidang kepingan kon sejajar dengan satu dan hanya satu penjana, maka keamatannya adalah parabola. Jika bidang keamatan sejajar dengan dua penjana, maka kepingannya akan memotong kedua-dua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang keamatan tidak sejajar dengan penjanaan mana pun. Bulatan adalah hal khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang kepingan memotong semua penjanaan dan tegak lurus paksi kon.

Definisi ParabolaDiberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai direktriks.

Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat dituliskan sebagai (x, –p).

Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa d1 = d2, kita mendapatkan,

Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks dari suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah y² = 4px.

Persamaan Parabola dalam Bentuk Fokus-DirektriksSuatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: x² = 4py, yang memiliki fokus di (0, p) dan dengan direktriks: y = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke atas. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke bawah.Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: y² = 4px, yang memiliki fokus di (p, 0) dan dengan direktriks: x = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke kiri.

Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan berjari-jari r memiliki persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Dengan membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan r2, kita akan memperoleh

Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.

Pusat dari grafik persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusi y = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)2 = 9, sehingga diperoleh y = –5 dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari suatu elips.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.

Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.

Dari pengamatan kita di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut.

Bentuk Standar dari Persamaan ElipsDiberikan persamaan,

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.

Hyperbola

Definisi HiperbolaDiberikan dua titik f1 dan f2 pada suatu bidang, hiperbola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga selisih jarak antara f1 ke (x, y) dan f2 ke (x, y) merupakan suatu konstanta positif. Apabila disimbolkan,

Dua titik f1 dan f2 disebut sebagai fokus-fokus hiperbola, dan titik-titik (x, y) berada pada grafik hiperbola.

Untuk lebih memahami definisi hiperbola di atas, perhatikan gambar hiperbola berikut.

Seperti halnya pada definisi analitis dari elips, dapat ditunjukkan bahwa nilai dari konstanta k adalah 2p (untuk hiperbola horizontal). Untuk menentukan persamaan hiperbola dalam bentuk p dan q, kita gunakan pendekatan yang serupa dengan elips, yaitu dengan menggunakan rumus jarak.

Dengan f adalah jarak fokus ke titik pusat hiperbola. Selanjutnya kita manipulasi persamaan di atas.

Dari definisi hiperbola, kita mendapatkan 0 < p < f, sehingga f2 > p2 dan f2 – p2 > 0. Agar persamaan di atas menjadi lebih sederhana, kita dapat memisalkan q2 = f2 – p2 kemudian kita substitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan hiperbola di atas. Diperoleh,

Perbezaan anatara Parabola, Eclips dan Hyperbola

Pemalar nisbah boleh dikenali sebagai kon eksentrisitet dan boleh diganti sebagai huruf ‘e’.

(a) Apabila e = 1, maka kon itu merupakan parabola(b) Apabila 0 < e < 1, maka kon itu diketahui sebagai eclips(c) Apabila e > 1, kon itu ialah hyperbola

Persamaan umum tentang ketiga-tiga geometri

Parabola Eclips Hyperbolay2=4ax x2

a2 + y2

b2 = 1 x2

a2 - y2

b2 = 1