ii - eprints.ulm.ac.ideprints.ulm.ac.id/7788/1/1.b.2-buku.pdf · ii kata pengantar puji syukur...
TRANSCRIPT
i
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, penulis
dapat menyelesaikan buku yang berjudul Statistika Inferensial: Teori dan
Praktik. Statistika inferensial mempunyai tujuan untuk penarikan kesimpulan.
Sebelum menarik kesimpulan dilakukan suatu dugaan yang dapat diperoleh dari
statistika deskriptif. Statistika inferensial (induktif) adalah metode yang
digunakan untuk mengetahui populasi berdasarkan sampel dengan menganalisis
dan menginterpretasikan data menjadi sebuah kesimpulan.
Statistika merupakan ilmu yang mempelajari bagaimana mengumpulkan,
mengolah, menyajikan, menganalisis data, dan membuat kesimpulan. Statistika
berfungsi hanya sebagai alat bantu. Peranan statistika dalam penelitian tetap
diletakkan sebagai alat. Artinya, statistika bukan menjadi tujuan yang menentukan
komponen penelitian lain. Oleh sebab itu, yang berperan menentukan tetap
masalah yang dicari jawabannya dan tujuan penelitian itu sendiri.
Buku ini membahas tentang: konsep statistik dan statistika; teori peluang;
distribusi probabilitas normal; distribusi sampel dan teorima limit pusat;
pengujian asumsi klasik; pengujian hipotesis; pengujian hipotesis komparatif
sampel besar; pengujian hipotesis komparatif sampel kecil; menguji hipotesis
tentang proporsi; analisis varians; scheffe’s test; analisis korelasi; analisis regresi;
analisis kovarian; analisis jalur (path analysis); analisis faktor; cluster analysis,
dan structural equation modelling.
Berbagai contoh soal-soal permasalahan atau kasus yang dikemukakan
dalam buku ini bersifat terbatas, dengan harapan dalam bidang ilmu-ilmu lain
dapat dicarikan analoginya. Contoh-contoh kasus tersebut dipilih yang mudah
dipahami oleh kita semua, sehingga diharapkan dapat dikembangkan lebih lanjut.
Akhirnya buku ini mudah-mudahan dapat bermanfaat bagi pembaca dan
berkontribusi konstruktif bagi perkembangan ilmu, khususnya dalam bidang
statistika.
Banjarmasin, September 2018
Tim Penulis
iii
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR .................................................................................. i
DAFTAR ISI ................................................................................................. ii
DAFTAR TABEL ......................................................................................... v
DAFTAR GAMBAR .................................................................................... vii
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................. x
BAB I PENDAHULUAN
A. Statistik dan Statistika ......................................................... 2
B. Data Statistik ....................................................................... 6
C. Statistik Deskriptif dan Inferensial ...................................... 8
D. Memilih Teknik Statistika ................................................... 15
BAB II TEORI PELUANG
A. Pengertian Peluang .............................................................. 22
B. Pengertian Peristiwa dalam Teori Peluang ......................... 25
C. Beberapa Aturan Peluang .................................................... 30
D. Ekspektasi ........................................................................... 31
E. Kaidah-kaidah Peluang ....................................................... 32
F. Permutasi dan Kombinasi ................................................... 42
G. Distribusi Peluang ............................................................... 43
BAB III DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL
A. Ciri-ciri Distribusi Normal .................................................. 66
B. Keluarga Distribusi Probabilitas Normal ............................ 68
C. Daerah Kurva Normal ......................................................... 69
D. Daerah di Bawah Kurva Normal ......................................... 70
E. Distribusi Probabilitas Normal Standar .............................. 70
BAB IV DISTRIBUSI SAMPEL DAN TEORIMA LIMIT PUSAT
A. Pengertian Sampel Probabilitas ........................................... 78
B. Kesalahan Pengambilan Sampel ......................................... 83
BAB V PENGUJIAN ASUMSI KLASIK
A. Uji Normalitas ..................................................................... 92
B. Uji Homogenitas ................................................................. 96
C. Uji Linearitas ....................................................................... 98
D. Uji Autokorelasi .................................................................. 100
E. Uji Multikolinearitas ........................................................... 102
F. Uji Heteroskedastisitas ........................................................ 103
iv
BAB VI PENGUJIAN HIPOTESIS
A. Pengertian Hipotesis ............................................................ 107
B. Prinsip Menyusun Hipotesis ............................................... 108
C. Jenis dan Contoh Hipotesis ................................................. 111
D. Dua Tipe Kesalahan dalam Pengujian Hipotesis ................ 112
E. Langkah-langkah Pembuktian Hipotesis ............................ 114
F. Statistik untuk Menguji Hipotesis ....................................... 115
BAB VII PENGUJIAN HIPOTESIS KOMPARATIF SAMPEL BESAR
A. Pengujian Hipotesis tentang Mean Populasi
(Sampel Besar) .................................................................... 120
B. Pengujian Rata-rata Dua Populasi (Sampel Besar) ............. 125
BAB VIII PENGUJIAN HIPOTESIS KOMPARATIF SAMPEL KECIL
A. Karakteristik Distribusi t .................................................... 130
B. Pengujian Hipotesis Mean Satu Populasi ............................ 131
C. Membandingkan Dua Mean Populasi ................................. 138
D. Pengujian Observasi Berpasangan ...................................... 144
BAB IX MENGUJI HIPOTESIS TENTANG PROPORSI
A. Pengujian Proporsi Populasi ............................................... 150
B. Pengujian Dua Proporsi Populasi ........................................ 153
BAB X ANALISIS VARIANS
A. Distribusi F ......................................................................... 158
B. Membandingkan Varians Dua Populasi .............................. 159
C. Pengujian Hipotesis Perbedaan Dua Mean atau Lebih ....... 163
BAB XI SCHEFFE’S TEST
A. Pengertian Scheffe’s Test ..................................................... 170
B. Scheffe’s Test untuk Anava Satu Jalur ................................ 171
C. Scheffe’s Test untuk Anava Dua Jalur ................................. 175
BAB XII ANALISIS KORELASI
A. Jenis-jenis Hubungan .......................................................... 183
B. Diagram Pencar (Scatter Plot) ............................................ 188
C. Korelasi Point Biserial ........................................................ 189
D. Korelasi Kontingensi ........................................................... 190
E. Korelasi Phi ......................................................................... 192
F. Korelasi Spearman Rank ..................................................... 194
G. Korelasi Product Moment Pearson ...................................... 196
BAB XIII ANALISIS REGRESI
A. Kegunaan Analisis Regresi ................................................. 203
v
B. Analisis Regresi Sederhana ................................................. 206
C. Analisis Regresi Ganda ....................................................... 216
BAB XIV ANALISIS KOVARIAN
A. Pengertian Analisis Kovarian .............................................. 235
B. Proses Analisis Kovarian .................................................... 236
BAB XV ANALISIS JALUR (PATH ANALYSIS)
A. Pengertian Analisis Jalur ..................................................... 243
B. Model-model Analisis Jalur ................................................ 255
C. Analisis Jalur Dua Variabel Eksogen .................................. 257
D. Analisis Jalur Tiga Variabel Eksogen ................................. 260
BAB XVI ANALISIS FAKTOR
A. Pengertian Analisis Faktor .................................................. 283
B. Proses Analisis Faktor ......................................................... 288
C. Model Analisis Faktor ......................................................... 293
BAB XVII CLUSTER ANALYSIS
A. Pengertian Analisis Cluster ................................................. 325
B. Tipe-tipe Analisis Cluster ................................................... 328
C. Ukuran Kemiripan ............................................................... 332
D. Proses Analisis Cluster ....................................................... 334
E. Metode Pengelompokan Analisis Cluster ........................... 340
BAB XVIII STRUCTURAL EQUATION MODELING
A. Pengertian Structural Equation Modeling .......................... 362
B. Mengapa Menggunakan Structural Equation Modeling ..... 364
C. Keunggulan Structural Equation Modeling ........................ 365
D. Tujuh Langkah Structural Equation Modeling ................... 366
E. Langkah-langkah Analisis Structural Equation Modeling
dengan Menggunakan AMOS ............................................. 369
DAFTAR RUJUKAN .................................................................................. 388
DAFTAR RIWAYAT PENULIS ................................................................ 436
vi
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1.1 Jenis Data Statistik .............................................................................. 7
1.2 Jenis Statistika .................................................................................... 9
1.3 Pembagian Statistik ............................................................................ 11
1.4 Model Parametrik dan Nonparametrik ............................................... 14
1.5 Menggunakan Statistik Nonparametrik .............................................. 15
2.1 Diagram Venn ..................................................................................... 24
2.2 Peristiwa Komplementer .................................................................... 33
2.3 Peristiwa Saling Eksklusif .................................................................. 34
2.4 Peristiwa Saling Inklusif ..................................................................... 36
2.5 Peluang Bersyarat dalam Ruang Sampel Asli (a) dan
Subpopulasi (b) ................................................................................... 39
2.6 Peristiwa Saling Bebas ....................................................................... 41
2.7 Kurva Chi Square ............................................................................... 60
2.8 Luas Daerah Kurva Chi Square .......................................................... 61
2.9 Kurva Distribusi F .............................................................................. 62
3.1 Kurva Normal ..................................................................................... 67
3.2 Tiga Distribusi Normal dengan Deviasi Standar Sama tetapi Mean
Berbeda ............................................................................................... 68
3.3 Dua Distribusi Normal dengan Mean Sama tetapi Deviasi Standar
Berbeda ............................................................................................... 68
3.4 Dua Distribusi Normal dengan Mean dan Deviasi Standar Berbeda . 69
3.5 Daerah Kurva Normal ......................................................................... 69
3.6 Daerah di Bawah Kurva Normal ........................................................ 70
3.7 Daerah z-score –2,22 .......................................................................... 72
3.8 Daerah z-score 1,28 ............................................................................ 72
3.9 Daerah Nilai 5% ................................................................................. 74
3.10 Daerah Persentase Jumlah Siswa yang Mendapatkan Nilai 6 sampai
dengan 7 .............................................................................................. 74
3.11 Wilayah Proporsi Siswa yang Mampu Melewati Batas 6 .................. 75
4.1 Tabel Bilangan Acak .......................................................................... 80
4.2 Sampel Acak Tandan .......................................................................... 82
5.1 Distribusi Data Normal (Expected) .................................................... 93
5.2 Macam-macam Hubungan Variabel Penelitian .................................. 100
6.1 Hipotesis Sudut Pandang Statistik ...................................................... 110
6.2 Dua Tipe Kesalahan dalam Pengujian Hipotesis ................................ 112
7.1 Aturan Pengambilan Keputusan ......................................................... 122
7.2 Daerah Penolakan 1% ......................................................................... 124
7.3 Daerah Penolakan 5% ......................................................................... 126
8.1 Perbandingan Nilai t dan Nilai z ......................................................... 131
8.2 Daerah Penolakan ............................................................................... 133
8.3 Uji Pihak Kiri ...................................................................................... 136
vii
8.4 Uji Pihak Kanan .................................................................................. 137
8.5 Uji Dua Pihak ..................................................................................... 138
8.6 Daerah Penolakan ............................................................................... 140
8.7 Uji Dua Pihak ..................................................................................... 143
8.8 Daerah Penolakan ............................................................................... 147
9.1 Daerah Penolakan ............................................................................... 152
9.2 Daerah Penolakan ............................................................................... 154
10.1 Tiga Buah Distribusi F dengan dk Berbeda ........................................ 159
12.1 Hubungan Searah (Korelasi Positif) ................................................... 185
12.2 Hubungan Berlawanan Arah (Korelasi Negatif) ................................ 186
12.3 Hubungan Resiprokal (Timbal Balik) ................................................ 187
13.1 Grafik Garis Regresi ........................................................................... 205
13.2 Hubungan Konseptual Variabel X dengan Variabel Y1 dan Y2 ........ 211
13.3 Diagram Persentase Sumbangan Efektif Variabel Penelitian (X1
dan X2) dan Variabel Lain terhadap Variabel Y ................................ 231
15.1 Model Konseptual Analisis Jalur ........................................................ 250
15.2 Jalur-jalur Penyebab Analisis Jalur .................................................... 251
15.3 Model Jalur ......................................................................................... 252
15.4 Model Jalur X1, X2, dan X3 terhadap Y ............................................ 253
15.5 Tipe Regresi Berganda (Model Satu Jalur) ........................................ 256
15.6 Model Mediasi (Model Dua Jalur) ..................................................... 257
15.7 Model Kompleks (Model Lebih dari Dua Jalur) ................................ 257
15.8 Model Jalur Dua Variabel Eksogen .................................................... 258
15.9 Model Jalur Struktur I ......................................................................... 259
15.10 Model Jalur Struktur II ..................................................................... 259
15.11 Model Empirik Hubungan Antarvariabel ......................................... 260
15.12 Model Jalur Tiga Variabel Eksogen ................................................. 261
15.13 Model Jalur Struktur I ...................................................................... 261
15.14 Model Jalur Struktur II ..................................................................... 261
15.15 Model Jalur Struktur III .................................................................... 261
15.16 Model Empirik Hubungan Antarvariabel ......................................... 263
15.17 Model Jalur Tiga Variabel Eksogen ................................................. 265
15.18 Model Jalur Struktur I ...................................................................... 266
15.19 Model Jalur Struktur II ..................................................................... 266
15.20 Model Jalur Struktur III .................................................................... 266
15.21 Model Empirik Hubungan Kausal Variabel ..................................... 277
15.22 Diagram Persentase Sumbangan Efektif Variabel Penelitian
(X1, X2, dan X3) dan Variabel Lain terhadap Variabel Y .............. 280
16.1 Proses Analisis Faktor ...................................................................... 289
16.2 Jabaran Variabel, Subvariabel, dan Indikator .................................. 299
16.3 Analisis Faktor Ekspolaratori ........................................................... 300
16.4 Analisis Faktor Konfirmatori ........................................................... 311
17.1 Prinsip Clustering ............................................................................. 329
17.2 Beberapa Cara Menentukan Cluster bagi Dataset yang Sama ......... 329
viii
17.3 Tiga Well-Separated Cluster ............................................................ 330
17.4 Empat Center-Based Cluster ............................................................ 330
17.5 Contiguity-Based Cluster ................................................................. 331
17.6 Density-Based Cluster ...................................................................... 331
17.7 Dua Overlapping Circles ................................................................. 331
17.8 Metode Pengelompokan Analisis Cluster ........................................ 342
17.9 Tampilan Clustering Kota pada Data View IBM SPSS
Statistics 20 ...................................................................................... 359
18.1 Model Penelitian dengan Analisis Structural Equation Modeling ... 369
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Halaman
1 Alfabet Yunani ...................................................................................... 393
2 Tabel Distribusi Binomial ..................................................................... 394
3 Tabel Distribusi Poisson ....................................................................... 408
4 Tabel Distribusi Normal ....................................................................... 413
5 Tabel Chi Square ................................................................................... 422
6 Tabel Wilcoxon ..................................................................................... 423
7 Tabel Z .................................................................................................. 424
8 Tabel Mann Whitney U Test ................................................................. 426
9 Tabel t ................................................................................................... 427
10 Tabel r Product Moment ....................................................................... 428
11 Tabel Rho Spearman ............................................................................. 429
12 Tabel F .................................................................................................. 430
x
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1.1 Penggunaan Statistik untuk Menguji Hipotesis .................................. 17
1.2 Pemilihan Uji Statistik ........................................................................ 19
2.1 Empat Cara Munculnya Jumlah 5 dari Pelemparan Dua Dadu .......... 27
2.2 Penentuan Peristiwa ............................................................................ 35
2.3 Data Pelamar Sekretaris ...................................................................... 37
2.4 Data Selera Konsumen terhadap Sabun .............................................. 40
2.5 Kombinasi Angka Pelemparan Dua Buah Dadu ................................ 41
2.6 Harga-harga P(X) ................................................................................ 44
2.7 Harga-harga P(X) ................................................................................ 45
2.8 Hasil Pengamatan Banyak Mobil yang Lewat .................................... 45
4.1 Lama Pelayanan dari Enam Pekerja ................................................... 83
4.2 Sampel Empat Pekerja dan Rata-rata Waktu Pelayanan .................... 84
4.3 Distribusi Sampel dari Rata-rata Sampel ............................................ 85
5.1 Data Penelitian Kemampuan Berpikir Kreatif dan Prestasi
Belajar Siswa ...................................................................................... 94
5.2 Kriteria Pengujian Autokorelasi ......................................................... 100
6.1 Contoh Rumusan Hipotesis Penelitian dan Hipotesis Statistik .......... 111
6.2 Analisis Kesalahan Uji Hipotesis ....................................................... 113
6.3 Penggunaan Statistik untuk Menguji Hipotesis .................................. 116
7.1 Waktu Tanggapan terhadap Pasien ..................................................... 125
8.1 Data Kemampuan Mengajar Guru ...................................................... 134
8.2 Banyaknya Jawaban Benar dari 10 Item Soal .................................... 139
8.3 Banyaknya Jawaban Benar (Menghitung Deviasi Standar) ............... 141
8.4 Data Kinerja Pegawai Swasta dan Pegawai Negeri ............................ 142
8.5 Hasil Uji Mesin Ketik Portable .......................................................... 145
8.6 Hasil Perhitungan Perbandingan Efisiensi Kedua Mesin Ketik ......... 146
9.1 Jumlah Sampel Penduduk Hippies ..................................................... 155
10.1 Nilai Hasil Ujian Statistik ................................................................... 162
10.2 Nilai Matematika ................................................................................ 163
10.3 Format Tabel Analisis Varians ........................................................... 165
10.4 Menghitung Anava Skor Matematika ................................................. 166
10.5 Perhitungan Anava Skor Matematika ................................................. 167
11.1 Hasil Prestasi Belajar Mahasiswa (Kasus Anava Satu Jalur) ............. 172
11.2 Ringkasan Hasil Anava Satu Jalur ...................................................... 174
11.3 Hasil Prestasi Belajar Mahasiswa (Kasus Anava Dua Jalur) .............. 176
11.4 Harga-harga Statistik untuk Praktikum (A) ........................................ 176
11.5 Harga-harga Statistik untuk Pekerjaan Rumah (B) ............................ 176
11.6 Ringkasan Hasil Anava Dua Jalur ...................................................... 178
12.1 Interpretasi Koefisien Korelasi ........................................................... 187
12.2 Data Keaktifan dalam Organisasi Kemahasiswaan dan Kepekaan
Sosial Mahasiswa ................................................................................ 189
xi
12.3 Pemilahan Kasus ................................................................................. 190
12.4 Data Sikap Agresif Demonstran Mahasiswa dengan Perilaku
Politiknya ............................................................................................ 191
12.5 Tabel Kerja Korelasi Kontingensi ...................................................... 192
12.6 Data Jenis Kelamin Siswa dan Pemilihan Program Studi .................. 193
12.7 Data Nilai Tes Masuk Jenis Bahasa Inggris dan UAS ....................... 195
12.8 Data Iklim Sekolah dan Kepuasan Kerja Guru ................................... 197
13.1 Data Berpikir Kritis dan Prestasi Belajar Mahasiswa ......................... 207
13.2 Data Supervisi Pengajaran, Kepuasan Kerja, dan Kemampuan
Mengajar Guru .................................................................................... 210
13.3 Data Kemampuan Kerja, Kepemimpinan Direktif Kepala Sekolah,
dan Kinerja Guru ................................................................................ 216
13.4 Data Supervisi Pengajaran dan Kemampuan Mengajar Guru
terhadap Prestasi Belajar Siswa .......................................................... 220
14.1 Data Skor Kemampuan Berbahasa Arab ............................................ 237
14.2 Data Penelitian Prestasi Belajar Siswa Antarmetode Mengajar ......... 241
15.1 Perbandingan Analisis Korelasi, Regresi, dan Analisis Jalur ............. 246
15.2 Ringkasan Koefisien Path .................................................................. 275
15.3 Signifikansi tiap Koefisien Path ......................................................... 276
15.4 Hubungan Langsung dan Tidak Langsung Variabel .......................... 278
15.5 Indeks Determinasi tiap Variabel Eksogen terhadap Endogen ........... 279
16.1 Menguji Konsep Liberal ..................................................................... 288
16.2 Data Penelitian Karakteristik Anak Jalanan ....................................... 303
16.3 Data Variabel Konstruks Karakteristik Anak Jalanan ........................ 307
16.4 Data Penelitian Karakteristik Karyawan ............................................ 313
16.5 Data Variabel Konstruks Karakteristik Karyawan ............................. 319
16.6 Data Faktor Internal dan Eksternal Penjualan Produk X .................... 322
17.1 Data Penelitian Pengelompokan Kota ................................................ 349
17.2 Hasil Perhitungan Z-score .................................................................. 350
17.3 Data Penelitian Pengelompokan Sekolah Dasar ................................. 360
18.1 Kriteria Goodnes of Fit ....................................................................... 367
18.2 Jumlah Item Instrumen Penggali Data ................................................ 370
18.3 Ikon-ikon AMOS serta Fungsinya ...................................................... 371
18.4 Nama dan Label Variabel ................................................................... 374
18.5 Goodness of Fit Model Awal .............................................................. 383
18.6 Modification Indices ........................................................................... 383
18.7 Goodness of Fit Model Modifikasi ..................................................... 386
xii
BAB I
PENDAHULUAN
TOPIK PEMBAHASAN
❖ Statistik dan Statistika
❖ Data Statistik
❖ Statistik Deskriptif dan Inferensial
❖ Memilih Teknik Statistika
xiii
Bagi mahasiswa, guru, dan dosen istilah statistik bukanlah istilah yang
asing, karena hampir sepanjang karier mereka, bergulat dengan statistik. Misalnya
guru dan dosen menggunakan angka-angka dalam mengevaluasi keberhasilan
siswa atau mahasiswa dalam belajar dan dalam menentukan kelulusan pada akhir
semester. Berkaitan dengan perannya sebagai peneliti, baik mahasiswa dan dosen
seringkali harus berhubungan dengan data empirik yang berupa angka-angka.
Namun, walaupun setiap hari bergulat dengan angka-angka, seringkali tidak
menyadari bagaimana mengolah dan mengelola angka tersebut dengan benar, agar
menghasilkan informasi yang bermafaat. Sesungguhnya kalau mau bekerja lagi
untuk mengolah data tersebut, akan banyak informasi yang diperoleh dan akan
banyak rekomendasi yang masuk akal dapat disampaikan.
Mengolah data statistik secara benar, tidak mesti harus menggunakan
perhitungan yang rumit. Justru kemampuan menggunakan teknik atau prosedur
yang benar sesuai dengan fenomena yang diamati akan memberikan informasi
yang bermanfaat. Pada mulanya, orang memahami statistik sebagai kumpulan
angka-angka tentang keadaan suatu negara, seperti jumlah penduduk, volume
perdagangan, banyaknya barang keluar dan masuk, pendapatan peduduk, dan
besar pajak yang harus dibayar penduduk kepada negara. Jadi istilah statistik
dipahami sebagai konsep yang berhubungan dengan negara atau state. Dari kata
state inilah dikenal istilah statistik yang digunakan hingga sekarang.
A. STATISTIK DAN STATISTIKA
Apakah statistik dan statistika itu sama? Pada umumnya orang tidak
membedakan antara statistik dan statistika. Berdasarkan hal tersebut, perlu adanya
elaborasi tentang statistik dan statistika. Hal ini dimaksudkan agar tidak
menimbulkan kesalahan penafsiran pengertian statistik dan statistika. Kata
statistik berasal dari kata Latin yaitu status yang berarti “negara” (dalam bahasa
Inggris adalah state). Pada awalnya kata statistik diartikan sebagai keterangan-
keterangan yang dibutuhkan oleh negara dan berguna bagi negara (Widyantini,
2004). Misal keterangan mengenai jumlah keluarga penduduk suatu negara,
keterangan mengenai usia penduduk suatu negara, keterangan, dan mengenai
pekerjaan penduduk suatu negara. Perkembangan lebih lanjut menunjukkan
xiv
bahwa pengertian statistik merupakan suatu kumpulan angka-angka. Misalnya
statistik kelahiran, statistik hasil pertanian, dan statistik penduduk.
Segala sesuatu yang dinyatakan atau dicatat dalam bentuk angka dapat
disebut statistik. Misalnya, jumlah pengeluaran mahasiswa dalam sehari,
keuntungan yang diperoleh pedagang, liter minyak tanah yang laku terjual, jumlah
warga dalam satu desa, dan banyaknya penonton bioskop. Informasi yang berupa
angka-angka tersebut dapat disusun atau disajikan dalam bentuk tabel atau
dilengkapi dengan gambar yang disebut diagram atau grafik. Cara mengolah dan
menyajikan data itulah yang disebut dengan statistik. Jadi, statistik adalah
kumpulan data, bilangan, maupun nonbilangan yang disusun dalam tabel dan atau
diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan.
Agar pengertian statistik sebagai kumpulan angka-angka, tidak
mengaburkan perbedaan pengertian antara kumpulan angka-angka dengan
metode, sehingga kumpulan angka tersebut “berbicara”. Dalam arti kumpulan
angka tersebut disajikan dalam bentuk tabel atau diagram, selanjutnya dianalisa
dan ditarik kesimpulan. Ini semua ternyata merupakan pengetahuan tersendiri
yang disebut statistika. Jadi pengertian statistika adalah ilmu pengetahuan yang
berhubungan dengan cara-cara pengumpulan, penyajian, pengolahan, analisis data
serta penarikan kesimpulan.
Sehingga dapat disimpulkan, statistik dalam arti sempit dimaknai sebagai
sebuah data, yakni semua fakta yang berwujud angka tentang sesuatu kejadian.
Statistik dalam arti luas dimaknai sebagai sebuah metode, yakni cara ilmiah untuk
mengumpulkan, menyusun, menganalisis, menyajikan data yang berwujud angka,
dan membuat kesimpulan. Hal ini dipertegas oleh Supangat (2007) yang
berpendapat statistik digunakan untuk menyatakan kumpulan data, bilangan
maupun nonbilangan (fakta) yang disusun dalam tabel atau diagram yang
melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan. Statistik adalah kata yang
digunakan untuk menyatakan sekumpulan fakta, umumnya berbentuk angka-
angka yang disusun dalam tabel atau diagram yang melukiskan atau
menggambarkan suatu kumpulan data yang mempunyai arti.
Statistik juga mempunyai arti lain, yaitu ukuran yang menggambarkan
karakteristik suatu sampel (sebagian kumpulan objek atau individu yang diambil
xv
dari populasinya). Misalnya, menghitung rata-rata nilai mahasiswa dalam ujian
suatu matakuliah diperoleh nilai 67, maka angka rata-rata 67 itu disebut statistik.
Demikian pula misalnya dari 80 orang mahasiswa, ada 20% yang mendapatkan
nilai A, maka angka 20% itu disebut statistik. Jadi, statistik adalah besaran atau
ukuran yang menggambarkan karakteristik suatu sampel. Dalam hal ini yang
membedakannya ialah dengan parameter, yaitu besaran atau ukuran yang
menggambarkan karakteristik populasi.
Peneliti dalam suatu penelitian kuantitatif, bekerja dengan data yang
berupa angka-angka. Data tersebut dikumpulkan, diolah, kemudian dianalisis
untuk membuat kesimpulan terhadap fenomena yang diselidiki. Proses tersebut
tentu harus dilakukan secara benar, karena menyangkut sesuatu yang akan
digeneralisasikan pada kelompok yang lebih luas. Ilmu yang memelajari
bagaimana proses tersebut dilakukan disebut statistika. Jadi, statistika ialah ilmu
yang memelajari bagaimana mengumpulkan, mengolah, menyajikan, dan
menganalisis data, serta membuat kesimpulan.
Statistika menunjukkan suatu pengetahuan yang berhubungan dengan
cara-cara pengumpulan fakta, pengolahan, penganalisisan, dan penarikan
kesimpulan serta pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta
yang ada. Statistika berfungsi hanya sebagai alat bantu! Peranan statistika dalam
penelitian tetap diletakkan sebagai alat. Artinya, statistika bukan menjadi tujuan
yang menentukan komponen penelitian lain. Oleh sebab itu, yang berperan
menentukan tetap masalah yang dicari jawabannya dan tujuan penelitian itu
sendiri.
Statistika dapat berguna dalam penyusunan model, perumusan hipotesis,
pengembangan alat pengambil data, penyusunan rancangan penelitian, penentuan
sampel, dan analisis data, yang kemudian data tersebut diinterpretasikan sehingga
bermakna. Hampir semua penelitian ilmiah dilakukan terhadap sampel kejadian,
dan atas dasar sampel itu ditarik suatu generalisasi. Suatu generalisasi pasti
mengalami error, di sinilah salah satu tugas statistika bekerja atas dasar sampel
bukan populasi. Dengan demikian pengujian hipotesis dapat dilakukan dengan
teknik-teknik statistika. Dari hasil analisis statistika yang diperoleh berdasarkan
perhitungan yang berbentuk angka-angka tersebut, sebenarnya belum mempunyai
xvi
arti apa-apa tanpa dideskripsikan dalam bentuk kalimat atau kata-kata di dalam
penarikan kesimpulan. Jika tidak, maka hasil analisis tersebut tidak akan
bermakna dan hanya tinggal angka-angka yang tidak “berbunyi”. Lebih lanjut
statistika merupakan cara untuk analisis data dan menarik kesimpulan dari analisis
data tersebut.
Menurut Gunawan (2013:2) kegunaan statistika adalah dapat: (1)
membantu dalam mengambil keputusan yang tepat; (2) alat untuk mengendalikan
kualitas; dan (3) memungkinkan untuk mengetahui peluang suatu kejadian di
masa mendatang. Statistika sering digunakan oleh pegiat pendidikan, bidang
keuangan, manajemen, akuntansi, dan bidang lainnya. Ilmu statistika berguna
untuk membantu dalam pengambilan keputusan atas masalah tertentu. Pada
prinsipnya statistika dapat diartikan sebagai kegiatan untuk: (1) mengumpulkan
data dan pengukuran data; (2) meringkas dan menyajikan data; (3) menganalisis
data dengan metode tertentu; (4) menginterpretasikan hasil analisis data; dan (5)
menyimpulkan hasil analisis untuk pengambilan keputusan.
Berdasarkan uraian di atas, diketahui tiga ciri-ciri pokok statistika, yaitu:
1. Bekerja dengan angka-angka. Angka-angka tersebut dalam statistik
memiliki dua arti, yaitu sebagai penunjuk jumlah (frekuensi) dan sebagai
penunjuk nilai (harga). Sebagai penunjuk jumlah misalnya banyaknya
pelamar suatu pekerjaan, banyaknya orang yang meninggal dalam suatu
kecelakaan. Sedangkan sebagai penunjuk nilai, misalnya nilai yang diperoleh
seorang siswa dalam tes matapelajaran biologi, nilai jual sebuah lukisan.
2. Bersifat objektif. Kerja statistik menutup pintu bagi masuknya unsur-unsur
subjektivitas yang dapat menyulap keinginan menjadi kenyataan. Statistik
sebagai penyaji fakta tidak dapat berbicara lain kecuali sebagaimana adanya,
tantang bagaimana fakta tersebut diinterpretasikan dan digunakan bukan
merupakan bagian dari tugas statistik.
3. Bersifat universal. Ruang lingkup dan bidang garapan statistik berlaku untuk
semua bidang kajian. Statistik dapat digunakan dalam semua bidang
penelitian, baik itu penelitian murni maupun terapan. Dalam pengembangan
ilmu pengetahuan, seperti fisika, kimia, biologi, dan psikologi semuanya
dapat menggunakan statistik dengan keyakinan penuh.
xvii
Statistika merupakan perangkat teknik mengumpulkan, mengorganisasi,
menganalisis, dan menginterpretasi data angka. Hal ini dipertegas oleh Diekhoff
(1992:4) yang menyatakan statistics are means of organized, condensed, and
analyzed numerical data in ways that find order in chaos.
B. DATA STATISTIK
Data adalah bentuk jamak dari datum, yang artinya kumpulan angka, fakta,
fenomena atau keadaan lainnya, merupakan hasil pengamatan, pengukuran, atau
pencacahan terhadap objek, yang berfungsi dapat membedakan objek yang satu
dengan lainnya pada variabel yang sama. Statistika berhubungan dengan
pengolahan data atau yang menjadi input dalam proses statistika adalah data. Data
merupakan kumpulan angka, fakta, fenomena, peristiwa, dan keadaan dari hasil
pengamatan, pengukuran, atau pencacahan terhadap variabel suatu objek, yang
berfungsi membedakan objek yang satu dengan lainnya pada variabel yang sama.
Data memiliki berbagai wujud seperti angka tinggi badan, angka
penjualan, jumlah produksi, dan jumlah mahasiswa. Sedangkan informasi
merupakan kumpulan data yang lebih berarti atau bermakna setelah melalui suatu
proses pengolahan. Pengetahuan adalah memilih dan mengorganisasikan
informasi yang menyediakan pengertian, rekomendasi, dan dasar keputusan. Data
dapat juga diartikan sebagai keterangan atau ilustrasi mengenai sesuatu hal.
Keterangan atau ilustrasi tersebut dapat berupa kategori, misalnya rusak, baik,
senang, puas, berhasil, gagal, setuju, sering, dan jarang, atau bisa berbentuk
bilangan. Kesemuanya itu dinamakan data atau lengkapnya data statistik
(Sudjana, 2002). Data yang berbentuk bilangan disebut data kuantitatif. Dari
nilainya, data ini terbagi menjadi dua, yaitu data diskrit dan data kontinum.
Perhitungan terhadap sesuatu variabel akan menghasil data diskrit. Sedangkan
pengukuran terhadap suatu variabel akan menghasilkan data kontinum.
Data diskrit (kategorik/nominal) adalah gejala yang hanya dapat dibagi
(dikelompokkan) menurut jenisnya. Angka yang dilekatkan pada variabel diskrit
adalah angka kuantitatif yang dihasilkan dari penghitungan (penjumlahan). Angka
yang mewakili kuantitas disebut frekuensi atau jumlah, diberi simbol f atau N.
xviii
Data statistik
Diskrit (nominal)
Kontinum
Ordinal
Interval
Rasio
Data diskrit adalah data yang diperoleh dari hasil membilang atau menghitung,
misalnya jumlah akseptor Keluarga Berencana dalam suatu kelurahan; jumlah
anak usia 6 sampai dengan 12 tahun yang tidak dapat masuk sekolah; jumlah
penerima Beasiswa Bantuan Mahasiswa di Jurusan Administrasi Pendidikan; jenis
kelamin; dan jenis pekerjaan. Data diskrit contohnya: pria berjumlah 10 orang,
wanita berjumlah 20 orang. Data diskrit juga disebut data nominal.
Data kontinum adalah data yang hanya dapat dibagi (dikelompokkan)
menurut tingkatan besar kecilnya. Data kontinum adalah data yang diperoleh
melalui pengukuran. Data kontinum dapat dikelompokkan menjadi tiga, yaitu data
ordinal, interval, dan rasio. Angka yang dilekatkan pada variabel kontinum
biasanya angka kualitatif yang diperoleh dari suatu pengukuran. Dalam statistik
angka ini biasa disebut skor, nilai, atau harga, diberi simbol X, Y, atau huruf
lainnya. Misalnya penghasilan, kecerdasan, rasa keadilan; IQ 120.
Gambar 1.1 Jenis Data Statistik
Data ordinal adalah data berjenjang atau berbentuk peringkat. Dalam hal
ini, jarak antara satu data dengan lainnya tidak harus sama. Misalnya, Juara I, II,
dan III, tidak bisa disimpulkan bahwa Juara I memiliki skor 100 lebih tinggi dari
Juara II, dan Juara II memiliki skor 100 lebih dari Juara III. Contoh data ordinal
yang lain adalah Golongan I, II, III, dan IV.
Data interval adalah data yang jaraknya sama, tetapi tidak memiliki nilai
nol absolut. Misalny, pada suhu 0 derajat Celcius, bukan berarti tidak ada nilainya
(tidak bisa diterjemahkan sebagai keadaan tidak panas dan tidak dingin). Nilai 0
derajat Celcius pada pengukuran suhu hanya menjelaskan tentang titik beku air.
Data rasio adalah data yang jaraknya sama dan memiliki nilai nol absolut.
Dalam hal ini data 0 diterjemahkan tidak ada. Misalnya, panjang 0 meter, artinya
xix
tidak ada panjang; atau berat 0 kg artinya tidak ada berat. Pada data interval
berlaku operasi hitung matematika, misalnya 15 cm + 10 cm = 25 cm. Sementara
untuk data yang lain tidak berlaku, misalnya Golongan I + Golongan II tidak sama
dengan Golongan III.
Data secara statistik dapat dibagi menjadi dua, yaitu data metrik dan data
nonmetrik. Data metrik adalah data yang didapat dengan cara mengukur dan
bisa mempunya desimal. Sedangkan data nonmetrik adalah data yang didapat
dengan cara menghitung, tidak mempunyai desimal, dan dilakukan dengan
kategorisasi. Seorang peneliti sebelum menganalisis data penelitian, harus
memahami terlebih dahulu ciri-ciri dari data yang didapatkannya. Hal ini karena
analisis statistik mengharuskan atau mensyaratkan ciri-ciri data tertentu.
C. STATISTIK DESKRIPTIF DAN INFERENSIAL
Berdasarkan kegiatan yang dilakukan dalam mengolah data, dapat
dibedakan menjadi dua. Pertama, kegiatan mengumpulkan data dan mengolahnya
agar mudah dibaca orang, misalnya dalam bentuk grafik, tabel, dan diagram, atau
dalam bentuk tampilan angka-angka yang menggambarkan karakteristik gejala
yang diamati. Kedua, kegiatan yang dilakukan dimaksudkan untuk menarik
kesimpulan. Data dalam hal ini diambil dari sebagian anggota populasi kemudian
dianalisis dan kesimpulan yang diambil dikenakan kepada populasi. Kegiatan
yang pertama disebut statistik deskriptif, dan kegiatan yang kedua disebut statistik
inferensial atau statistik induktif.
Sebagai ilustrasi, misalnya peneliti tertarik mengetahui nilai yang
diperoleh mahasiswa dalam suatu matakuliah. Dalam hal ini ingin diketahui nilai
mahasiswa yang bekerja dan yang tidak bekerja. Berdasarkan data yang diperoleh
diketahui ada 80 mahasiswa yang tidak bekerja dan 30 mahasiswa yang bekerja.
Dari 80 mahasiswa yang tidak bekerja nilai rata-ratanya adalah 70. Sementara itu
rata-rata mahasiswa yang bekerja adalah 62. Apabila kegiatan pengolahan data
sampai di sana, maka kegiatan ini disebut statistik deskriptif. Tetapi boleh jadi
peneliti tertarik untuk menganalisis apakah perbedaan nilai tersebut signifikan.
Yaitu apakah benar mahasiswa yang bekerja mempunyai nilai rata-rata lebih
rendah daripada mahasiswa yang tidak bekerja. Maka kegiatan untuk
xx
STATISTIKA
Statistika Deskriptif
Statistika Inferensial
Materi:
• Penyajian data
• Pengukuran tendensi sentral
• Pengukuran variabilitas
• Angka indeks
• Deret berkala
Materi:
• Probabilitas
• Metode sampel
• Pengujian hipotesis
• Statistika parametrik (korelasi dan regresi)
• Statistika nonparametrik
menganalisis perbedaan itu disebut statistik inferensial. Lebih jauh, dengan
statistik inferensial peneliti akan mengetahui besarnya pengaruh pekerjaan
terhadap nilai yang diperoleh mahasiswa dalam suatu matakuliah.
Statistik deskriptif bertujuan mengubah kumpulan data mentah menjadi
mudah dipahami dalam bentuk informasi yang lebih ringkas. Sedangkan statistik
inferensial bertujuan untuk menyediakan dasar peramalan dan estimasi yang
digunakan untuk mengubah informasi menjadi pengetahuan.
Gambar 1.2 Jenis Statistika
Pada proses pengumpulan data, tentu saja tidak bisa dilakukan secara
sembarangan tetapi ada tahapan-tahapan dan cara-cara atau teknik-teknik tertentu
sebagai pedomannya yang disebut sebagai metode. Metode ini dikenal sebagai
statistika. Dalam statistika, ada metode-metode tertentu sebagai pedoman untuk
menyajikan data sehingga secara ringkas dapat dengan mudah dipahami. Misalnya
membuat tabel atau grafik rata-rata luas lahan yang dimiliki oleh petani
berdasarkan jenis lahan dan status ekonomi petani. Metode penyederhanaan data
sehingga mudah dipahami dikenal sebagai statistika deskriptif.
Statistika deskriptif pada awalnya merupakan bidang kajian yang sangat
penting, walaupun saat ini bukan merupakan bidang kajian pokok dalam statistika.
Tujuan utama statistika saat ini adalah menginterpretasikan atau menafsirkan
(inference) data, yang dikenal dengan istilah statistika inferensial. Misalnya
xxi
dengan melihat grafik rata-rata pemilikan lahan berdasarkan status sosial ekonomi
petani, melalui angka-angkanya bisa melihat bahwa rata-rata pemilikan lahan
petani dengan tingkat sosial ekonomi tertentu lebih luas dibandingkan dengan
status ekonomi lainnya. Tapi untuk melakukan interpretasi lebih jauh, harus
menyadari bahwa statistik yang tersaji berasal dari suatu sampel bukannya
populasi, sehingga belum tentu menggambarkan kondisi yang sebenarnya, atau
dengan kata lain masih berada dalam suatu kondisi ketidakpastian.
Jenis statistika dalam pengertian sebagai ilmu dibedakan menjadi dua
(Gambar 1.2), yaitu: (1) statistika deskriptif; dan (2) statistika inferensial.
Statistika deskriptif (perian) mempunyai tujuan untuk mendeskripsikan atau
memberi gambaran objek yang diteliti sebagaimana adanya tanpa menarik
kesimpulan atau generalisasi. Dalam statistika deskriptif ini dikemukakan cara-
cara penyajian data dalam bentuk tabel maupun diagram, penentuan rata-rata
(mean), modus, median, rentang, serta simpangan baku. Statistik deskriptif ialah
statistik yang berfungsi untuk mendeskripsikan atau memberi gambaran terhadap
objek yang diteliti melalui data sampel atau populasi sebagaimana adanya, tanpa
melakukan analisis dan membuat kesimpulan yang berlaku untuk umum
(Sugiyono, 2007:21). Statistik deskriptif bersifat menguraikan gejala kuantitatif
secara numeris dari gejala tersebut dapat ditafsirkan lebih jauh informasi apa
dibalik data. Misalnya mahasiswa baru angkatan 2014 berumur rata-rata 18,5
tahun.
Statistika inferensial (induktif) mempunyai tujuan untuk penarikan
kesimpulan. Sebelum menarik kesimpulan dilakukan suatu dugaan yang dapat
diperoleh dari statistika deskriptif. Statistika inferensial (induktif) adalah metode
yang digunakan untuk mengetahui populasi berdasarkan sampel dengan
menganalisis dan menginterpretasikan data menjadi sebuah kesimpulan (Hatani,
2008). Statistik inferensial digunakan untuk menarik kesimpulan dari beberapa
orang, kejadian, dan waktu untuk keseluruhan (generalisasi). Sifat statistik
inferensial, yaitu: (1) data yang dianalisis berasal dari random sampling (acak);
(2) menggeneralisasikan dan meramalkan baik tentang ciri penting suatu variabel
maupun hubungan antarvariabel; (3) generalisasi dan ramalan yang dibuat
diberlakukan bagi keseluruhan populasi atas dasar hasil analisis data dari sampel;
xxii
Mulai
Jumlah
Variabel?Satu Dua / lebih Analisis MultivariatAnalisis Univariat
Jenis Data?Statistik
Nonparametrik
Statistik
Parametrik
Interval
Rasio
Nominal
Ordinal
Mulai
Jumlah
Variabel?Satu Dua / lebih Analisis MultivariatAnalisis Univariat
Jenis Data?Statistik
Nonparametrik
Statistik
Parametrik
Interval
Rasio
Nominal
Ordinal
dan (4) generalisasi dan ramalan dilaksanakan dengan uji hipotesis atau
pengecekan asumsi.
Statistika inferensial terbagi lagi menjadi dua, yakni parametrik dan
nonparametrik (Gambar 1.2). Statistika parametrik berguna menarik kesimpulan
atas beberapa gejala yang dapat disimpulkan ke keseluruhan bobotnya paling
tinggi (populasi). Misalnya semua mahasiswa tidak suka menyontek. Statistika
parametrik menggunakan asumsi mengenai populasi dan membutuhkan
pengukuran kuantitatif dengan level data interval atau rasio. Karakteristik dari
statistika parametrik ialah: (1) analisis yang didasarkan atas asumsi bahwa data
memiliki sebaran tertentu (diskrit / kontinum dan normal / tidak normal) dengan
parameter yang belum diketahui; (2) jenis data kuantitatif dan harus diambil
secara acak / random; (3) sampel harus mempunyai jumlah tertentu dengan
standar keterwakilannya (representatif); (4) distribusi data yang terkumpul harus
normal sesuai dengan kurva normal; dan (5) homogen, variasinya rendah.
Gambar 1.3 Pembagian Statistik (Santoso, 2006)
Statistika nonparametrik dari indikator beberapa gejala yang hanya berlaku
kesimpulan saja pada beberapa bagian dari suatu keseluruhan. Misalnya Super
Famili kebenarannya hanya berlaku pada 100 orang saja. Statistika nonparametrik
menggunakan lebih sedikit asumsi mengenai populasi (atau bahkan tidak ada
xxiii
sama sekali) dan membutuhkan data dengan level serendah-rendahnya ordinal
(ada beberapa metode untuk nominal). Karakteristik dari statistika nonparametrik
ialah: (1) jenis data kualitatif; (2) tidak didasarkan atas asumsi distribusi pada
data; (3) analisis statistika bebas distribusi (distribution free statistical anaysis);
(4) kondisi ini biasanya diberlakukan pada data dengan ukuran kecil dan dengan
skala pengukuran yang jauh dari skala interval; dan (5) ukuran pemusatan yang
menjadi fokus tidak lagi rata-rata tetapi median.
1. Statistika Parametrik
Proses sosial merupakan pengaruh timbal balik antara berbagai sisi
kehidupan, di antaranya sektor pendidikan dengan kehidupan ekonomi, segi
kehidupan politik, sektor kehidupan hukum, dan kehidupan agama. Lebih lanjut
cara-cara sosial mempelajari lingkup permasalahannya, secara prinsip terdapat
dua cara atau pendekatan yaitu dengan cara penyelesaian yang bersifat kualitatif
dan metode penyelesaian yang bersifat kuantitatif. Metode kuantitatif atau
dikatakan juga sebagai metode parametrik merupakan metode yang bersifat atau
berlandaskan asumsi-asumsi dalam pendugaan parameter, penentuan selang
kepercayaan dan pengujian hubungan antara dua sifat atau lebih. Pokok bahasan
ini akan menyajikan pengertian statistika parametrik; prosedur pengolahan data;
kelebihan dan kekurangan statistika parametrik; serta rancangan pemodelan
statistika.
Statistika parametrik (metode kuantitatif) adalah metode statistika yang
menyangkut pendugaan parameter, pengujian hipotesis, pembentukan selang
kepercayaan, dan hubungan antara dua sifat (peubah) atau lebih bagi parameter-
parameter yang mempunyai sebaran (distribusi normal) tertentu yang diketahui.
Metode statistika parametrik berlandaskan pada anggapan-anggapan tertentu yang
telah disusun terlebih dahulu, jika anggapan-anggapan tersebut tidak sesuai
dengan keadaan sebenarnya, apalagi jika menyimpang jauh maka keampuhan
metode ini tidak dapat dijamin atau bahkan dapat menyesatkan. Pengolongan
statistika parametrik, antara lain: korelasi, regresi, path analysis (analisis jalur),
structural equation modeling (SEM), analisis faktor, deskriminan, regresi logistik,
dan analisis multivariat.
xxiv
Prosedur penggunaan statistika parametrik harus mempertimbangkan: (1)
penentuan hipotesis; (2) pemilihan uji statistika (alat analisis); (3) penentuan taraf
kesalahan (α) dan ukuran cuplikan (n); (4) menentukan sebaran cuplikan
(sampling distribution); (5) penentuan daerah penolakan Ho; dan (6) pengambilan
keputusan dan penarikan kesimpulan. Penggunaan metode statistika tidak terlepas
dari berbagai kelebihan dan kekurangan.
Kelebihan statistika parametrik adalah: (1) dapat digunakan untuk
menduga atau meramal; (2) hasil analisis dapat diperoleh dengan pasti dan akurat
apabila digunakan sesuai aturan-aturan yang telah ditetapkan; (3) dapat digunakan
untuk mengukur interaksi hubungan antara dua atau lebih variabel (peubah); dan
(4) dapat menyederhanakan realitas permasalahan yang kompleks dan rumit
dalam sebuah model sederhana. Kekurangan statistika parametrik adalah: (1)
berdasarkan pada anggapan-anggapan (asumsi); (2) asumsi tidak sesuai dengan
realitas yang terjadi atau menyimpang jauh maka kemampuannya tidak dapat
dijamin bahkan menyesatkan; (3) data harus berdistribusi normal dengan skala
pengukuran data yang harus digunakan adalah interval dan rasio; (4) dapat
digunakan untuk menganalisis data yang populasi / sampelnya sama; dan (5) tidak
dapat dipergunakan untuk menganalisis dengan cuplikan (sampel) yang
jumlahnya sedikit (> 30).
Model adalah suatu konsep yang digunakan untuk menyatakan sesuatu
keadaan (permasalahan) ke dalam bentuk simbolik, ikonik, atau analog. Pada
hakikatnya model adalah perwakil realitas, oleh karena itu wujudnya harus lebih
sederhana. Pemodelan statistika adalah upaya memodelkan permasalahan ke
dalam konsep statistika dengan prosedur: (1) ubah pernyataan ke dalam lambang
statistika; (2) pemilihan metode analisis yang tepat; dan (3) aplikasi metode secara
benar. Agar memudahkan dalam memahami secara empiris pemodelan statistika,
berikut ini disajikan gambar model parametrik dan nonparametrik (Gambar 1.4).
2. Statistika Nonparametrik
Metode nonparametrik merupakan metode yang bersifat historis,
komparatif, dan case study. Sehingga analisis dari data yang bersifat kualitatif
tersebut perlu dilakukan tahapan tersendiri dalam melakukan langkah perhitungan
xxv
Nominal
Ordinal
Interval
Rasio
Tidak normal
Periksa normal
Tidak normal
Transformasi
Mendekati normal
PARAMETRIK
NONPARAMETRIK
dan pengujiannya. Statistika nonparametrik merupakan statistik yang tidak
memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk distribusi atau bebas distribusi,
sehingga tidak memerlukan asumsi terhadap populasi yang akan diuji. Pokok
bahasan statistika nonparametrik secara khusus mengenai data yang berskala
ordinal (jenjang) dimana data tersebut mempunyai arti berdasarkan urutan tingkat
kepentingan.
Hal ini dipertegas oleh Riduwan (2006:39) yang menyatakan statistik
nonparamerik tidak menganut asumsi bahwa data popuasi atau sampel harus
berdistribusi normal, dipilih secara acak, memiliki hubungan yang linear, dan data
bersifat homogen. Oleh karena itu, statistik nonparametrik disebut juga dengan
statistik bebas distribusi. Statistik nonparametrik lebih banyak bekerja dengan
data nominal dan ordinal.
Gambar 1.4 Model Parametrik dan Nonparametrik
Sebagaimana pendapat Hatani (2008) statistika nonparametrik adalah
statistika yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk distribusi atau
bebas distribusi. Sehingga tidak memerlukan asumsi terhadap populasi yang akan
diuji. Kelemahan statistika nonparametrik: (1) bila asumsi sebaran normal dapat
dipenuhi, maka kesimpulan analisis yang diperoleh kemungkinan akan membias;
(2) tidak dapat dipergunakan untuk mengukur interaksi; dan (3) tidak dapat
dipakai sebagai alat untuk menduga atau meramal. Manfaat statistika
nonparametrik: (1) nilai peluang hasil analisis dapat diperoleh dengan pasti karena
tidak berdasarkan pada anggapan (asumsi); (2) dapat dipergunakan untuk
xxvi
Kapan dapat menggunakan statistika nonparametrik?
Apabila ukuran sampel sedemikian kecil sehingga distribusi sampel atau populasi tidak mendekati normal, dan tak ada asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber populasi.
Apabila hasil pengukuran menggunakan data ordinal atau data berperingkat. Data ordinal hanya menyatakan lebih baik, lebih buruk atau sedang atau bentuk ukuran lainnya. Data ini sama sekali tak menyatakan ukuran perbedaan.
Apabila hasil pengukuran menggunakan data nominal. Data nominal hanya merupakan “kode” dan tak mempunyai implikasi atau konsekuensi apa-apa. Jenis kelamin diberikan kode “pria” dan “wanita”, pengodean tersebut tak berimplikasi lebih rendah atau lebih tinggi, hanya sekedar kode.
menganalisis dengan cuplikan (populasi) yang sedikit; (3) dapat menganalisis data
yang populasinya atau sampelnya berbeda; (4) dapat dipergunakan untuk
menganalisis data yang ukurannya menurut skala ordinal dan nominal; (5) metode
analisis relatif mudah dengan hanya mempergunakan aljabar yang sederhana; dan
(6) mudah dipelajari dan diaplikasikan.
Pengolongan statistika nonparametrik, yaitu: chi square; anova; Wilcoxon
Matched-Pairs Signed Rank Test (uji tanda); run test; Goodnes of Fit Test; dan
Kruskal Wallis. Selanjutnya dalam menggunakan statistik nonparametrik ada
beberapa alasan yang mendasar dan yang harus dipahami, sebagaimana yang
disajikan pada Gambar 1.5.
Gambar 1.5 Menggunakan Statistik Nonparametrik
D. MEMILIH TEKNIK STATISTIKA
Statistik dalam praktiknya berhubungan dengan banyak angka, sehingga
bisa diartikan numerical description. Analisis merupakan tindakan mengolah data
hingga menjadi informasi yang bermanfaat dalam menjawab masalah statistik.
Dalam desain riset, perlu direncanakan dengan baik alat analisis yang akan
diterapkan untuk menganalisis data. Secara umum dalam memilih teknik statistik
xxvii
yang digunakan dalam penelitian, khususnya dalam melakukan analisis data,
harus memerhatikan jenis data (apakah nominal, ordinal, interval, atau rasio),
variabel (apakah related atau independen), dan bentuk hipotesis yang digunakan.
Hal ini dipertegas oleh Gunawan (2013:94) yang menyatakan bahwa
teknik statistik mana yang akan digunakan untuk pengujian tergantung pada
interaksi dua hal yaitu: macam data yang akan dianalisis, dan bentuk hipotesisnya.
Berkaitan dengan bentuk hipotesis, dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu deskriptif,
komparatif, dan asosiatif. Perhatikan contoh hipotesis berikut ini:
Ho: Rata-rata gaji pegawai X = Rp. 1.600.000,00
Ha: Rata-rata gaji pegawai X ≠ Rp. 1.600.000,00
Pada contoh di atas rata-rata gaji pegawai merupakan variabel yang
dibandingkan dengan suatu ukuran atau besaran tertentu. Hipotesis demikian
disebut hipotesis deskriptif. Dapat diketahui gaji (Rp. 1.600.000,00) merupakan
data rasio. Dengan demikian teknik statistik yang tepat digunakan adalah t-test
satu variabel. Perhatikan contoh hipotesis berikut ini:
Ho: Rata-rata gaji pegawai laki-laki = pegawai perempuan
Ha: Rata-rata gaji pegawai laki-laki ≠ pegawai perempuan
Hipotesis di atas membandingkan dua variabel, yaitu gaji pegawai
berdasarkan jenis kelamin. Hipotesis yang membandingkan dua variabel atau
lebih disebut hipotesis komparatif. Datanya (gaji) juga berupa data rasio, sehingga
teknik statistik yang sesuai adalah t-test. Perhatikan contoh hipotesis berikut ini:
Ho: Tidak ada hubungan kinerja pegawai dengan gaji yang diperoleh
Ha: Ada hubungan kinerja pegawai dengan gaji yang diperoleh
Hipotesis di atas menyatakan hubungan kinerja dengan gaji, sehingga
termasuk dalam kategori hipotesis asosiatif. Untuk hipotesis asosiatif, khususnya
apabila datanya berbentuk interval atau rasio, salah satu teknik statistik yang bisa
digunakan adalah Korelasi Product Moment Pearson.
Sebagaimana diketahui bahwa analisis data penelitian dapat dilakukan
secara statistik dan nonstatistik. Learning about statistics is learning about
xxviii
research design (Diekhoff, 1992:13). Rancangan penelitian merupakan rangkaian
konsekuensi operasional penelitian (Setyadin, 2005a:1). Penelitian adalah usaha
sistematis dan objektif untuk mencari ataupun mengembangkan dan menguji
kebenaran suatu ilmu pengetahuan melalui penerapan prosedur atau metode
ilmiah. Berdasarkan konsep tersebut rancangan penelitian merupakan proses yang
diperlukan dalam perencanaan dan pelaksanaan yang dapat berupa proses
pengumpulan dan analisis data. Bentuk hipotesis dan teknik analisis yang sesuai
disajikan pada Tabel 1.1.
Tabel 1.1 Penggunaan Statistik untuk Menguji Hipotesis
Macam Data
Bentuk Hipotesis
Deskriptif (satu
variabel)
Komparatif (dua sampel)
Komparatif (lebih dari dua sampel)
Asosiatif (hubungan)
Related Independen Related Independen
Nominal
Binomial X2 one sample
McNemar
Fisher exact probability X2 two sample
X2 for k sample Cochran Q
X2 for k sample
Contingency coefficient
Ordinal Run test
Sign. test Wilcoxon matched pairs
Median test Mann-whitney U test Kolmogorov smirnov Wald woldfowitz
Friedman two way anova
Median extension Kruskal wallis one way anova
Spearman Rank Correlation Kendall Tau
Interval Rasio
t-test* t-test of related*
t-test independent*
One way anova * Two way anova *
One way anova * Two way anova*
Product Moment Pearson* Partial correlation* Multiple correlation*
* Statistika Parametrik
Tabel 1.1 merupakan pedoman seorang peneliti dalam memilih teknik
analisis data yang digunakan berdasarkan jenis data yang diperolehnya dalam
penelitian. Analisis data dengan menggunakan uji statistik digunakan dalam
xxix
penelitian kuantitatif. Prinsip penelitian kuantitatif adalah deductive-inductive
verificatio. Jadi realitas empirik terbangun dari struktur teori, sehingga dalam
penelitian kuantitatif, teori menjadi landasan utamanya. Teori ini yang mengurai
dalam menjelaskan fenomena (secara teoritik). Untuk menguji teori dimaksud
apakah cocok dengan kenyataan (empirik), harus dijembatani oleh hipotesis.
Statistika merupakan ilmu yang mempelajari bagaimana mengumpulkan,
mengolah, menyajikan, menganalisis data, dan membuat kesimpulan. Statistika
berfungsi hanya sebagai alat bantu. Peranan statistika dalam penelitian tetap
diletakkan sebagai alat. Artinya, statistika bukan menjadi tujuan yang menentukan
komponen penelitian lain. Oleh sebab itu, yang berperan menentukan tetap
masalah yang dicari jawabannya dan tujuan penelitian itu sendiri. Statistik
hanyalah alat yang membantu peneliti untuk memudahkan memahami dan
memberikan makna dari data penelitian yang diperoleh. Tugas peneliti adalah
memberikan interpretasi terhadap data yang diperoleh dan membahasnya lebih
lanjut secara lebih mendalam dan komprehensif berdasarkan teori-teori yang
mendukung serta fakta yang terjadi di lapangan. Pada ruang “interpretasi hasil
analisis data” inilah karya monumental seorang peneliti diperoleh.
Fenomena atau realitas empirik itu bila ditilik dari kacamata penelitian
kuantitatif dapat diterangkan secara: (1) deskriptif; (2) komparatif; (3) asosiatif;
dan (4) kausalitas. Suatu penelitian deskriptif tidak memerlukan hipotesis, karena
tidak ada uji statistiknya untuk menyimpulkan signifikansi hasil deskriptif.
Penelitian komparatif, asosiatif, dan kausalitas sudah barang tentu memerlukan
hipotesis untuk diuji signifikansinya melalui teknik statistik. Akan tetapi di dalam
ilmu-ilmu sosial ada riset deskriptif yang mencantumkan hipotesis, tetapi tidak
diuji secara statistik, melainkan diuji melalui fakta-fakta dan bukti-bukti (facts
and evidences) yang tidak terbantahkan. Tabel 1.2 merupakan pedoman memilih
teknik analisis data yang digunakan berdasarkan rancangan penelitian kuantitatif.
Apa tujuan pengujian hipotesis? Pengujian hipotesis bertujuan untuk
menggambarkan, menguji perbedaan, atau asosiasi (hubungan) dari suatu variabel
penelitian. Bila untuk menguji perbedaan, ada berapa kelompok sampel yang akan
diuji? Satu, dua, atau n sampel. Bila untuk uji perbedaan, apakah kelompok
berasal dari satu populasi yang sama atau kelompok yang saling independen?
xxx
Pertanyaan-pertanyaan tersebut merupakan contoh pertanyaan untuk memilih
teknik analisis yang tepat dalam suatu penelitian. Selain itu, peneliti juga harus
memerhatikan skala pengukurannya, apakah nominal, ordinal, interval, atau rasio?
Skala pengukuran juga memengaruhi dalam ketepatan pemilihan suatu teknik
analisis yang digunakan.
Tabel 1.2 Pemilihan Uji Statistik
Tujuan Analisis
Jumlah Sampel /
Kelompok
Bebas / Berhubungan
Statistika Parametrik
Statistika Nonparametrik
Analisis Data Semikuantitatif
Analisis Data Kualitatif (Kategori)
Komparasi
1
Uji t satu sampel
(goodness of fit t test)
Kolmogorov-Smirnov satu
sampel
Chi Square satu sampel
2
Bebas Uji t 2 sampel
bebas
Wilcoxon-Mann Whitney
Test
Chi Square Fisher’s Exact
test
Berpasangan Uji t data
berpasangan (paired t test)
Wilcoxon Signed Rank
Test
McNemar Test
> 2 Bebas
Anova satu arah (oneway
anova)
Kruskal Wallis Test
Chi Square
Berpasangan Anova sama
subjek Anova
Friedman Cochran’s
Hubungan Simetris
Product Moment Pearson
Korelasi Spearman
Uji Asosiasi:
• Koefisien
• Kontingensi
• Koefisien Phi
• Koefisien Kappa
• Koefisien Lambda
Sebab – Akibat Regresi Linear
Regresi Ordinal
Regresi Logistik
xxxi
LATIHAN SOAL
1. Apakah yang dimaksud dengan statistik dan statistika?
2. Jelaskan perbedaan data diskrit dengan data kontinum?
3. Jelaskan perbedaan statistika deskriptif dengan statistika inferensial?
4. Apa yang dimaksud dengan statistika parametrik? Dan kapan seorang peneliti
dapat menggunakan statistika parametrik?
5. Apa yang dimaksud dengan statistika nonparametrik? Dan kapan seorang
peneliti dapat menggunakan statistika nonparametrik?
6. Apakah yang harus diperhatikan oleh seorang peneliti dalam memilih teknik
statistika yang akan digunakannya?
7. Data statistik yang disebarluaskan ke masyarakat adakalanya dapat
memberikan pengertian kepada masyarakat dan ada pula yang justru dapat
meresahkan masyarakat. Bagaimana sikap seseorang sebagai ilmuwan?
BAB II
TEORI PELUANG
TOPIK PEMBAHASAN
❖ Pengertian Peluang
❖ Pengertian Peristiwa dalam Teori Peluang
❖ Beberapa Aturan Peluang
xxxii
❖ Ekspektasi
❖ Kaidah-kaidah Peluang
❖ Permutasi dan Kombinasi
❖ Distribusi Peluang
xxxiii
Sebagian besar peristiwa yang terjadi di alam ini, baik yang berupa
peristiwa-peristiwa yang sifatnya alami maupun yang dirancang oleh manusia,
seperti terjadinya hujan di hari-hari tertentu pada suatu bulan tertentu, munculnya
bintang berekor di langit, terjadinya badai, demikian pula mahasiswa yang
memperoleh nilai A, B, atau C dari suatu matakuliah, merupakan peristiwa-
peristiwa yang tidak memiliki ketidakpastian. Terhadap peristiwa-peristiwa
tersebut, hanya mungkin dilakukan pendugaan-pendugaan berdasarkan pada
peristiwa-peristiwa yang sebelumnya.
Pendugaan yang paling mendekati ketepatan, apabila mendasarkan pada
penyelidikan terhadap semua peristiwa untuk seluruh kasus nampaknya tidak
mungkin. Oleh karena itu, pada umumnya dasar pendugaan dilakukan hanya
terhadap sebagian peristiwa saja dan juga sebagian kasus saja. Dengan demikian
dimungkinkan terdapat ketidaktelitian dalam melakukan pendugaan tersebut.
Proporsi besarnya ketepatan pendugaan tersebut disebut sebagai peluang.
A. PENGERTIAN PELUANG
Ada tiga lingkungan dalam proses pengambilan keputusan yang telah
dijadikan dalil, yakni: pasti, ketidakpastian, dan risiko. Risiko adalah suatu
keadaan dimana nilai-nilai peluang dapat diberikan kepada setiap hasil atau
peristiwa. Sampai seberapa jauh keputusan diambil dalam suatu risiko, tergantung
pada siapa yang akan mengambil keputusan tersebut, apakah para pegiat
pendidikan, pebisnis, industriawan, atau tingkatan menajerial dalam suatu
organisasi. Akan tetapi, meskipun keputusan semacam ini boleh dibilang langka,
namun tetap perlu menjadi bahan pertimbangan. Sebagai contoh industri asuransi
tetap mempercayai nilai-nilai peluang yang diambil dari data aktuaria. Kesalahan
yang dilakukan organisasi tertentu dalam menggunakan nilai-nilai peluang untuk
membuat keputusan, dapat berakibat fatal bagi organisasi tersebut. Dalam kasus
lain, masalah yang dihadapi oleh para manajer dalam mengambil keputusan
adalah bagaimana menggunakan nilai-nilai peluang dalam situasi yang sebenarnya
dan bagaimana menarik simpulan dari hasil yang didasarkan pada teori peluang.
Kapan tepatnya teori peluang masuk ke dalam dunia statistika belum
diketahui secara pasti. Meskipun teori peluang sudah dikenal sejak abad 17 oleh
xxxiv
para matematikawan, tetapi masih diragukan kapan teori ini berhubungan dengan
statistika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, gabungan antara
matematika peluang dengan data yang dikumpulkan oleh negara-negara di
berbagai penjuru dunia akhirnya melahirkan ilmu baru yaitu statistika. Tidak
dapat dipungkiri lagi berkembangnya teori peluang diawali oleh kesenangan
orang untuk mengadu untung di meja judi. Lahirnya berbagai teori peluang yang
dilandasi dari kesenangan ini telah banyak mempengaruhi perkembangan ilmu
statistika itu sendiri. Seseorang tidaklah mungkin untuk memahami statistika
secara sempurna tanpa memahami apa arti peluang itu sendiri. Oleh karena itu
dapatlah dikatakan bahwa teori peluang adalah fondasi dari statistika.
Penggunaan teori peluang dalam bidang bisnis sudah cukup lama dikenal
oleh para pebisnis. Meski banyak di antara mereka tidak memiliki latar belakang
matematika namun istilah peluang, disadari atau tidak, banyak berperan ketika
mereka menjalankan aktivitas organisasi, khususnya dalam proses pengambilan
keputusan. Oleh karena itu, untuk memberikan gambaran tentang peluang yang
dimaksud, pada bab ini hanya membahas dasar-dasar teori peluang sebagai dasar
pengetahuan untuk memahami analisis statistika selanjutnya. Peluang menurut
Soedibjo (2010:1) adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya
suatu peristiwa. Secara kualitatif, peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata
sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu keadaan seperti: baik,
lemah, kuat, miskin, dan sedikit. Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai
nilai-nilai numeris, baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1.
Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi, sedangkan
peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi.
Lazimnya orang dalam kehidupan sehari-hari, sering mendengar perkiraan
terjadinya hujan dalam bentuk peluang baik secara kualitatif, seperti
kemungkinannya kecil akan terjadi hujan esok hari, atau dalam bentuk kuantitatif,
seperti kemungkinan hujan esok hari sekitar 30%. Jelas di sini bahwa jika
membahas tentang peluang, maka akan dihadapkan pada suatu kondisi yang tidak
pasti, akan tetapi seseorang hanya diberikan suatu petunjuk atau gambaran
seberapa besar keyakinan seseorang bahwa suatu peristiwa bisa terjadi. Semakin
besar nilai peluang yang dihasilkan dari suatu perhitungan, maka semakin besar
xxxv
S
Hujan 30%
Tidak hujan
keyakinan seseorang bahwa peristiwa itu akan terjadi. Dewasa ini, perkiraan
tentang akan terjadinya suatu gejala alam, bukanlah sesuatu pekerjaan sederhana,
akan tetapi telah melalui suatu proses perhitungan yang sangat kompleks.
Gejala sebuah peristiwa tidak hanya dikaji dari satu sisi saja, misalnya
pengaruh waktu, akan tetapi juga melibatkan banyak variabel yang terkait dengan
peristiwa tersebut. Oleh karena itu, peluang yang didasarkan pada latar belakang
ilmiah, dapat memberikan tingkat keyakinan yang lebih tinggi bagi orang yang
memerlukannya. Salah satu cara untuk menyatakan peluang dari suatu peristiwa
adalah penggunaan Diagram Venn, yang ditampilkan pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Diagram Venn
Meski konvensional, tetapi cara ini ternyata lebih mudah dipahami oleh
masyarakat luas, khususnya bagi orang-orang yang bukan berlatar belakang
matematika. Diagram Venn berbentuk persegi panjang untuk menyatakan semua
peristiwa yang bisa terjadi dan lingkaran untuk menggambarkan peluang
terjadinya peristiwa tertentu. Penggambaran diagram umumnya tidak
menggunakan skala yang sesungguhnya, artinya jika peluang terjadi peristiwa
hujan 30% bukan berarti bahwa lingkaran yang dimaksud luasnya harus 30% dari
luas persegi panjang. Peluang adalah dua peristiwa atau lebih yang dinamakan
saling eksklusif atau saling asing, jika terjadinya peristiwa yang satu menutup
kemungkinan terjadinya peristiwa yang lain.
Jika E menyatakan suatu peristiwa terjadi, maka Eꞌ menyatakan peristiwa
itu tidak terjadi. Peristiwa-peristiwa E dan Eꞌ dapat dikatakan saling eksklusif.
Berdasarkan contoh di atas dapat diketahui terdapat dua macam definisi peluang,
yaitu definisi klasik dan definisi empirik. Adapun pada subbab selanjutnya akan
diuraikan tentang macam-macam peluang, yaitu (1) peluang logis; (2) peluang
xxxvi
empiris; dan (3) peluang subjektif. Secara klasik peluang didefinisikan sebagai
perbandingan antara banyaknya peristiwa E yang terjadi (n) dengan banyaknya
kemungkinan terjadinya seluruh peristiwa (N) yang saling eksklusif.
P(E) = 𝑛
𝑁
Misalnya kotak berisi 32 kelereng yang identik dalam segala hal kecuali
warnanya. Kelerang tersebut terdiri dari 16 kelereng berwarna merah, 8 kelereng
berwarna kuning, dan siswanya 8 kelereng berwarna biru. Selanjutnya kelereng
dalam kotak tersebut diaduk dan diambil satu kelerang dari dalam kotak. Peluang
kelerang terambil masing-masing warna ialah:
P(merah) = 16
32 = 0,5
P(kuning) = 8
32 = 0,25
P(biru) = 8
32 = 0,25
Secara empirik peluang didefinisikan sebagai limit dari frekuensi relatif n
terhadap N apabila jumlah pengamatan diperbanyak sampai tak terhingga.
Misalnya produksi barang diperiksa 1000 dan terdapat barang yang rusak
sebanyak 44. Frekuensi relatif kersakan produksi sebesar 0,044. Selanjutnya
diperiksa 3000 dan terdapat barang yang rusak sebanyak 125. Frekuensi relatifnya
sebesar 0,0416667. Dan bila proses demikian dilanjutkan terus untuk seluruh
produksi, akan diperoleh hasil bahwa dari setiap 1000 barang yang dihasilkan,
terdapat 44 barang yang rusak.
B. PENGERTIAN PERISTIWA DALAM TEORI PELUANG
Istilah peristiwa yang lazim sehari-hari berbeda makna jika membahas
tentang teori peluang. Biasanya orang berpikir bahwa peristiwa adalah suatu
kejadian layaknya peristiwa seperti sejarah, gejala-gejala fisik, dan pesta. Dalam
statistika, pengertian ini diperluas dengan memasukkan unsur-unsur kesempatan
atau peluang atas terjadinya suatu peristiwa yang didasarkan pada hasil sebuah
percobaan atau eksperimen yang dilakukan secara berulang-ulang. Sebagai contoh
peristiwa terambilnya kartu As dari setumpuk kartu bridge, jumlah cairan yang
xxxvii
disaring dari mesin pengisi, jumlah kendaraan niaga yang melalui jalan protokol,
jumlah barang yang cacat dalam satu lot, dan karakteristik lainnya yang secara
umum tidak dapat disebutkan sebagai peristiwa.
Untuk keperluan penentuan peluang ada gunanya untuk membagi
peristiwa ke dalam dua jenis peristiwa, yakni peristiwa sederhana dan peristiwa
majemuk (Soedibjo, 2010:2). Peristiwa sederhana tidak dapat dibagi lebih lanjut
lagi ke dalam komponen-komponen peristiwa, sedangkan peristiwa majemuk
selalu memiliki dua atau lebih komponen peristiwa sederhana. Peristiwa Kartu
Sekop secara definisi adalah peristiwa sederhana, karena hanya ada satu jenis
kartu sekop dalam setumpuk kartu bridge. Akan tetapi peristiwa As Sekop dapat
dianggap sebagai peristiwa majemuk, karena kartunya haruslah berisikan
keduanya yakni kartu As dan kartu Sekop. Namun definisi ini tergantung dari
pandangan si pelaku percobaan. Bisa saja seseorang mengatakan bahwa As Sekop
sebagai suatu peristiwa sederhana, jika dia mengganggap hal ini sebagai suatu
kesatuan. Pembagian jenis peristiwa ini dimaksudkan untuk kemudahan dalam
mempelajari teori peluang selanjutnya.
Contoh penggunaan terori peluang misalnya mengundi dengan suatu mata
uang logam atau sebuah dadu, membaca temperatur udara pada tiap hari dari
termometer, menghitung banyaknya barang rusak yang dihasilkan tiap hari oleh
mesin penghasil barang tertentu, dan mencatat banyaknya orang yang melewati
sebuah jembatan penyeberangan untuk setiap jam, merupakan eksperimen yang
dapat diulang-ulang. Berdasarkan seperti contoh-contoh tersebut, untuk semua
hasil yang mungkin terjadi dapat dicatat. Segala bagian yang mungkin diperoleh
dari pencatatan tersebut disebut peristiwa.
Misalnya mencatat hasil eksperimen mengambil mata uang logam lima
ratus rupiah. Uang logam lima ratus rupiah terdiri dari dua muka, yaitu satu muka
bergambar burung garuda diberi simbol G dan satu muka bergambar bunga melati
diberi simbol M. Kemungkinan yang diperoleh dari melempar satu kali uang
logam tersebut ke atas adalah muka G atau muka M. Bila satu kali uang logam
tersebut ke atas adalah muka G atau muka M. Bila muncul G maka muka M tidak
tidak muncul, dan sebaliknya bila yang muncul M maka G tidak muncul.
xxxviii
Untuk peristiwa sederhana, peluang dapat diturunkan baik secara logis,
melalui pengamatan empiris maupun secara subjektif (Soedibjo, 2010:3). Ketiga
bentuk peluang ini mempunyai implikasi yang penting bagi para manajer atau
pimpinan organisasi, khususnya dalam proses pengambilan keputusan.
1. Peluang Logis
Semua proses yang bisa diprediksi dan didefinisikan secara lengkap
memungkinkan peneliti secara deduktif menentukan peluang dari hasil yang
terjadi. Sayangnya banyak orang yang tidak masuk dalam kategori ini.
Sebenarnya penurunan peluang logis adalah sesuatu yang berharga untuk dikaji,
karena kemampuan memprediksi proses sederhana kerapkali bisa memberikan
petunjuk bagi para manajer atau pimpinan organisasi untuk memperbaiki
tindakan-tindakan dalam menghadapi situasi yang kompleks atau tidak dapat
diprediksi. Peluang logis didasarnya pada pertimbangan logika, bukan
berdasarkan hasil percobaan. Tetapi hasil ini bisa diuji melalui suatu percobaan.
Pelemparan dua buah dadu yang merupakan salah satu upaya keras tertua
dalam pengembangan teori peluang, bisa diambil sebagai contoh dari penurunan
peluang logis ini. Pada pelemparan dua buah dadu dapat diketahui bahwa jumlah
angka dari kedua dadu yang bisa muncul adalah 2, 3, 4, 5, … , 12; atau ada 11
peristiwa yang berbeda. Berapa peluang munculnya jumlah 5? Meski peristiwa
jumlah 5 ada 1 dari 11 peristiwa, tidak berarti bahwa peluangnya adalah 1/11.
Mengapa demikian? Karena dalam hal ini tidak mempertimbangkan bagaimana
berbagai peristiwa bisa dihasilkan. Perhatikan Tabel 2.1 yang merupakan matriks
dari semua kombinasi peristiwa yang mungkin terjadi dalam pelemparan dua buah
dadu. Berdasarkan Tabel 2.1 nampak bahwa ada 36 kombinasi yang mungkin.
Peristiwa jumlah 5 adalah hasil dari kombinasi 4 peristiwa. Berarti peluang
munculnya jumlah 5 pada pelemparan dua buah dadu adalah 4/36 (sekitar 0,11).
Tabel 2.1 Empat Cara Munculnya Jumlah 5 dari Pelemparan Dua Dadu
Angka pada dadu kedua
Angka pada dadu pertama 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9
xxxix
Angka pada dadu kedua
Angka pada dadu pertama 1 2 3 4 5 6
4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
Berdasarkan ilustrasi contoh tersebut, dapat didefiniskan bahwa peluang
logis dari sebuah peristiwa adalah rasio antara jumlah peristiwa yang bisa terjadi
dengan jumlah semua hasil yang bisa terjadi, dimana hasil ini dapat diturunkan
dari sebuah eksperimen.
2. Peluang Empiris
Banyak kasus di mana para manajer atau pimpinan organisasi kurang
mengikuti pola-pola peluang seperti yang dijelaskan di atas. Kemungkinan besar
hal ini disebabkan tidak dipahaminya apa sebenarnya peluang itu. Untuk kasus
seperti ini, yang lebih cocok untuk diacu adalah peluang yang didasarkan pada
data pengamatan atau data empiris. Misalnya dalam memproduksi sebanyak
10.000 unit integrated circuit (IC) merek tertentu, diperoleh 25 unit diantaranya
cacat (bengkok). Berdasarkan hasil ini maka dapat dikatakan bahwa peluang IC
yang cacat adalah 25/10.000 = 0,0025. Nilai ini juga merupakan peluang
terambilnya secara acak 1 unit IC yang cacat. Demikian pula rata-rata persentase
barang cacat dalam suatu batch diperkirakan sebesar 0,0025. Jika ada pesanan
sebanyak 2.000 unit IC dari perusahaan ini, maka ada harapan 0,0025.(2000) = 5
unit IC yang cacat.
Peluang empiris atau ada pula yang menyebutnya sebagai peluang objektif,
hanya bisa diperoleh melalui percobaan atau eksperimen yang dilakukan secara
berulang-ulang, dalam kondisi yang sama dan diharapkan dalam jumlah yang
besar. Dari eksperimen ini akan dihasilkan informasi berupa frekuensi relatif yang
sangat berguna, khususnya untuk keperluan perbaikan sebuah sistem. Misalnya
dalam proses pengemasan susu, ingin diketahui berapa persen kemasan yang
berisikan lebih dari 150 ml. Dari proses pengisian yang cukup lama, maka bisa
dibuat distribusi frekuensi volume susu yang terisi ke dalam kotak atau susu yang
tercecer pada setiap pengisian. Dari sini maka akan akan diperoleh informasi yang
sangat berguna untuk melakukan penyesuaian terhadap sistem kerja mesin pengisi
xl
susu tersebut. Meski konsep peluang ini sama seperti peluang logis, akan tetapi
peluang empiris lebih mudah dimengerti dan dipahami.
Berdasarkan ilustrasi contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa definisi
peluang empiris (atau peluang objektif) adalah jika sebuah eksperimen dilakukan
sebanyak N kali dan sebuah peritiwa A terjadi sebanyak n(A) kali dari N
pengulangan ini, maka peluang terjadinya peristiwa A dinyatakan sebagai
proporsi terjadinya peristiwa A ini. Secara matematik, peluang empiris dapat
ditulis:
N
n(A)P(A) =
3. Peluang Subjektif
Masalah yang umum dihadapi oleh seorang manajer atau pimpinan
organisasi adalah ketika dia tidak mampu memprediksi proses sebuah peristiwa
ditambah lagi dengan tidak tersedianya data yang memadai. Untuk memecahkan
masalah seperti ini biasanya seorang manajer atau pimpinan organisasi akan
memberikan nilai peluang tertentu kepada peristiwa tersebut yang didasarkan pada
faktor-faktor kualitatif, pengalaman dengan situasi yang serupa atau bahkan
intuisi. Peluang subjektif muncul ketika seorang pengambil keputusan dihadapkan
oleh pertanyaan-pertanyaan yang tidak bisa dijawab berdasarkan peluang empiris
atau frekuensi empiris.
Misalnya berapa peluang penjualan barang X bulan depan akan melebihi
50.000 unit jika dilakukan perubahan kemasan? Sudah barang tentu eksperimen
tentang pengaruh perubahan kemasan terhadap volume penjualan dengan
pengulangan yang sangat besar jarang dilakukan bahkan tidak pernah dilakukan.
Meski menggunakan data penjualan bulanan bukan sesuatu yang mustahil, akan
tetapi tidaklah efisien jika perusahaan selalu merubah kemasan setiap bulannya
hanya untuk meningkatkan volume penjualan. Oleh karena itu, biasanya seorang
manajer atau pimpinan organisasi menggunakan intuisi atau perasaannya dalam
menentukan nilai peluang ini. Jadi tidaklah heran jika seorang manajer atau
pimpinan organisasi menyatakan peluang terjualnya barang X melebihi 50.000
unit pada bulan depan adalah 0,40. Apa artinya pernyataan ini?
xli
Peluang subjektif dapat didefinisikan adalah sebuah bilangan antara 0 dan
1 yang digunakan seseorang untuk menyatakan perasaan ketidakpastian tentang
terjadinya peristiwa tertentu. Peluang 0 berarti seseorang merasa bahwa peristiwa
tersebut tidak mungkin terjadi, sedangkan peluang 1 berarti bahwa seseorang
yakin bahwa peristiwa tersebut pasti terjadi. Definisi ini jelas merupakan
pandangan subjektif atau pribadi tentang peluang. Meski peluang subjektif tidak
didasarkan pada suatu eksperimen ilmiah, namun penggunaannya tetap bisa
dipertanggungjawabkan. Dalam menentukan nilai peluang ini, seorang pengambil
keputusan tetap menggunakan prinsip-prinsip logis yang didasarkan pada
pengalaman yang diperolehnya.
Seorang pengambil keputusan sudah mengetahui secara nyata, apa faktor-
faktor yang mempengaruhi keputusannya, sehingga dia bisa memprediksi apa
kira-kira yang bakal terjadi dari keputusan yang diambilnya. Hal yang masih
menjadi pertanyaan adalah apakah peluang subjektif dapat digunakan untuk
keperluan analisis statistika selanjutnya? Kelompok statistika objektif menolak
penggunaan peluang subjektif ini. Bab ini tudak bertujuan untuk membahas
perdebatan ini, kecuali bahwa penggunaan peluang subjektif tampak sesuai dalam
pengambilan, khususnya keputusan bisnis. Berbeda halnya dengan penelitian
kimia, pertanian, farmasi, kedokteran atau ilmu eksakta lainnya yang memang
harus menggunakan peluang objektif sebagai dasar analisisnya. Sampai saat ini
pengambilan keputusan berdasarkan peluang subjektif masih dibilang sebagai
salah satu tehnik manajerial yang baik.
C. BEBERAPA ATURAN PELUANG
Berdasarkan definisi klasik peluang, telah diketahui bahwa besar peluang
untuk peristiwa E adalah P(E) = 𝑛
𝑁. Harga P(E) tersebut memiliki batas-batas,
yaitu 0 ≤ P(E) ≤ 1. Jika P(E) = 0 maka diartikan peristiwa E pasti tidak terjadi,
sedangkan jika P(E) = 1 diartikan peristiwa E pasti terjadi. Hal yang sering terjadi
dalam kenyataan adalah harga P(E) berada antara 0 dan 1. Lebih lanjut bila Eꞌ
menyatakan bukan peristiwa E, maka didapat P(E) = -P(E) + P(Eꞌ) = 1. PeristiwaE
dan Eꞌ dikatakan saling berkomplemen.
xlii
Misalnya enam peristiwa mata dadu ketika melakukan undian merupakan
peristiwa yang saling eksklusif. Maka P(mata 1) = P(mata 2) = P(mata 3) =
P(mata 4) = P(mata 5) = P(mata 6) = 1/6. Sehingga P(mata 1 atau mata 2 atau ...
atau mata 6) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 +
1/6 + 1/6 = 1.
Hubungan dua peristiwa lainnya adalah hubungan bersyarat. Dua peristiwa
dikatakan memiliki hubungan bersyarat bila terjadi peristiwa yang satu, setelah
peristiwa kedua terjadi. Hubungan A atau B menyatakan bahwa peristiwa A
terjadi setelah peristiwa B terjadi. Secara matematik hubungan terjadi ditulis:
P(A/B) = P(A).
Bila terjadianya atau tidak terjadinya peristiwa B tidak memengaruhi
terjadinya peristiwa A, maka A dan B disebut peristiwa yang independen. Bila A
dan B merupakan peristiwa independen, maka peristiwa A dan B kedua-duanya
terjadi, sehingga peluangnya dinyatakan dalam peluang bersyarat P(A atau B) =
P(B).P(A/B).
Bila A dan B independen, maka P(A/B) = P(A). Sehingga A dan B
independen, maka P(A/B) = P(A), dan diperoleh P(A dan B) = P(B).P(A/B) =
P(B).P(A). Selanjutnya untuk k peristiwa dapat ditulis P(E1 dan E2 dan ... Ek) =
P(E1).P(E2). ... . P(Ek).
Misalnya A menyatakan Yuli akan hidup dalam tempo 70 tahun lagi dan B
menyatakan Romi akan hidup dalam tempo 90 tahun lagi. Diketahi bahwa P(A) =
0,75 dan P(B) = 0,35 maka peluang Yuli dan Romi kedua-duanya akan hidup
dalam tempo 70 tahun dan 90 tahun, P(A dan B) = (0,75).(0,35) = 0,26625.
Hubungan terakhir antara peristiwa adalah hubungan inklusif. Untuk dua
peristiwa A dan B yang memiliki hubungan inklusif, berlaku A atau kedua-duanya
A dan B bersama-sama terjadi. Secara matematik hubungan tersebut dapat ditulis
P(A dan atau B) = P(A) + P(B).P(A dan B).
D. EKSPEKTASI
Misalkan ada sebuah eksperimen yang menghasilkan k peristiwa dapat
terjadi. Peluang terjadinya setiap peristiwa masing-masing P1, P2, ... , Pk dan
untuk setiap peristiwa dengan peluang tersebut, satuan-satuan D1, D2, ... , Dk.
xliii
Satuan-satuan ini bisa nol, positif, ataupun negatif, dan tentu P1 + P2 + ... + Pk =
1. Maka ekspektasi eksperimen itu ditulis E, yang didefinisikan:
E = P1D1 + P2D2 + ... + PkDk
Hubungan tersebut menyatakan bahwa jika setiap peristiwa diberi nilai,
maka dapat diketahui rata-rata yang diharapkan terdapat nilai sejumlah ΣP1D1.
Misalnya Ali dan Bimo bertaruh dengan membuat undian menggunakan sebuah
dadu satu kali lemparan dengan perjanjian, jika dadu yang dilempar itu
menghasilkan titik ganjil maka Bimo harus membayar kepada Ali sebesar Rp.
1.500,00 dan apabila dihasilkan titik enam maka Ali harus membayar Bimo Rp.
3.000,00. Ekspektasi Ali dan Bimo pada permainan tersebut dapat dihitung:
Untuk Ali : X1 = 1500 dengan P(X1) = 3/6 = 1/2
X2 = –3000 dengan P(X2) = 1/6
Untuk Bimo : X1 = –1500 dengan P(X1) = 3/6 = 1/2
X2 = 3000 dengan P(X2) = 1/6
Maka E(X) = (1/2)( –1500) + (1/6)(3000)
= –250
E. KAIDAH-KAIDAH PELUANG
Semua nilai peluang yang dibahas dalam analisis statistika selalu
dinyatakan dalam bentuk pecahan atau desimal. Sedangkan setiap peristiwa
dinyatakan dalam bentuk huruf besar, baik menggunakan indeks maupun tidak,
seperti A, B, E, … Ai, Bi, dan seterusnya.
Contoh: A = munculnya angka 1 pada pelemparan 1 buah dadu
E = jumlah barang yang cacat
K = jumlah konsumen yang menyukai kemasan plastik
Berkaitan dengan uraian di atas, Soedibjo (2010:9-10) mengemukakan
kaidah-kaidah peluang, yaitu: (1) peluang sebuah peristiwa; (2) peluang peristiwa
sederhana; dan (3) peluang peristiwa majemuk. Berikut akan diuraikan ketiga
kaidah-kaidah peluang tersebut.
xliv
1. Peluang sebuah Peristiwa
Untuk mempermudah penjelasan dalam menghitung peluang ini, ambil
contoh tentang sebuah keluarga yang merencanakan untuk memiliki 3 anak.
Berapakah peluang sebuah keluarga memiliki paling sedikit 2 anak laki-laki?
Untuk menjawabnya perlu diketahui jumlah peristiwa yang bisa terjadi. Misal E =
paling sedikit dua anak laki-laki. Sehingga dapat diketahui bahwa P = (LLL, LLP,
LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, PPP). Dari P ini dapat diketahui bahwa E adalah
kumpulan dari titik-titik (LLL, LLP, LPL, PLL) di mana jumlah titik sampelnya =
4. Dengan menggunakan rumus:
2
1
8
4
N
n(E)P(E) ===
Contoh lain misalnya berapa peluang munculnya angka ganjil pada
pelemparan 1 buah dadu? Jawabnya adalah P = (1, 2, 3, 4, 5, 6) di mana N = 6.
Seandainya A = peristiwa munculnya angka ganjil, maka:
A = (1, 3, 5) → n(A) = 3
2
1
6
3
N
n(A)P(A) ===
2. Peluang Peristiwa Sederhana
Jika peristiwa E menghindarkan terjadinya peristiwa Eꞌ, maka P(Eꞌ) = 1 –
P(E). Peristiwa ini disebut juga sebagai peristiwa komplementer. Peluang
peristiwa sederhana diilustrasikan seperti pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Peristiwa Komplementer
Misalnya berapa peluang munculnya bukan angka genap pada pelemparan
sebuah dadu? Jawabnya adalah misal G adalah peristiwa munculnya angka genap
S
Eꞌ
E
xlv
S
A
B
→ G = (2, 4, 6), maka P(G) = 3/6 = 1/2. Dengan menggunakan rumus, maka
diperoleh: 1/21/21P(G)1)P(G' =−=−= .
3. Peluang Peristiwa Majemuk
Ada empat jenis peristiwa dalam peluang peristiwa majemuk menurut
Soedibjo (2010:10) yang dapat dijelaskan, yaitu: (1) peristiwa saling eksklusif; (2)
peristiwa saling inklusif; (3) peristiwa bersyarat; dan (4) peristiwa bebas.
a. Peristiwa Saling Eksklusif
Dua peristiwa A dan B dikatakan saling eksklusif, jika kedua peristiwa ini
tidak memiliki titik sampel yang sama atau tidak ada irisan antara kedua
peristiwa. Peristiwa saling eksklusif (saling asing) diilustrasikan pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3 Peristiwa Saling Eksklusif
Peristiwa saling eksklusif menggunakan kaidah penjumlahan untuk
perhitungan peluangnya dan menggunakan istilah atau untuk menghubungkan
keduanya. Untuk itu berlaku aturan bahwa peluang terjadinya dua peristiwa A
atau B (secara notasi himpunan AB) adalah jumlah dari peluang tiap peristiwa
tersebut. Secara matematis aturan ini dituliskan:
P(A atau B) = P(B)P(A)B)P(A += ............................. (Rumus 2.1)
Rumus ini juga berlaku bagi k buah peristiwa A1, A2, …, Ak dengan
mengambil bentuk:
)P(A...)P(A)P(AA...AP(A k21k21 +++= ............ (Rumus 2.2)
Contoh Soal
Atas prestasinya seorang manajer pemasaran memperoleh penghargaan
untuk mengunjungi 3 negara. Dia memutuskan untuk memilih secara acak 3 dari 5
xlvi
negara yang tersedia (Amerika, Belanda, China, Denmark, dan Ekuador) dengan
mengambil inisial dari nama negara tersebut. Berapa peluang Amerika dan
Belanda selalu terpilih bersamaan, atau China dan Ecuador selalu terpilih, atau
Belanda, China dan Denmark?
Jawab: Ruang sampel dari kombinasi pilihan adalah: P = (ABC, ABD,
ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE), dengan N = 10. Selanjutnya
menentukan peristiwa-peristiwa yang dimaksud oleh soal, seperti pada Tabel 2.2.
Tabel 2.2 Penentuan Peristiwa
Deskripsi Verbal Peristiwa n
Amerika dan Belanda selalu terpilih China dan Ekuador selalu terpilih Belanda, China, dan Denmark terpilih
A1 = (ABC, ABD, ABE) A2 = (ACE, BCE, CDE) A3 = (BCD)
3 3 1
Karena pemilihan dilakukan secara acak, maka setiap kombinasi pilihan
mempunyai nilai peluang yang sama yaitu 1/10 = 0,1. Selain itu, dari ketiga
peristiwa di atas, tidak ada satu pun yang memiliki titik sampel yang sama, hal ini
berarti bahwa peristiwa di atas adalah peristiwa yang saling eksklusif. Dengan
menggunakan Rumus 2.2 diperoleh:
P(A1 atau A2 atau A3) = )A()A()A( )AA( 321321 PPPAP ++=
= 0,3 + 0,3 + 0,1
= 0,7
b. Peristiwa Saling Inklusif
Jika dua peristiwa memiliki titik yang sama atau terdapat irisan antara
kedua peristiwa, maka hubungan kedua peristiwa ini disebut saling inklusif.
Hubungan inklusif sebenarnya adalah perluasan dari hubungan eksklusif. Dalam
peristiwa ini berlaku hubungan: A atau B atau keduanya. Secara matematis
hubungan ini dirumuskan:
P(A atau B atau keduanya) = B)P(AP(B)P(A)B)P(A −+= ....... (Rumus 2.3)
Di mana AB menunjukkan irisan antara peristiwa A dan B. Irisan ini
berisikan titik yang sama yang ada dalam peristiwa A dan B. Sedangkan nilai
xlvii
S
AB
A
B
peluangnya, P(AB), selain dapat dilihat dari ruang sampelnya, juga dapat
diperoleh dari perkalian antara tiap peluang. Hubungan peristiwa saling inklusif
diilustrasikan seperti pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Peristiwa Saling Inklusif
Contoh Soal
Mengacu pada percobaan pelemparan dua buah dadu seperti yang
disajikan dalam Tabel 2.1, berapa peluang munculnya jumlah 7 atau angka 2 pada
dadu pertama atau keduanya?
Jawab: Misal E = peristiwa munculnya jumlah 7 dan F = peristiwa
munculnya angka 2 pada dadu pertama. Dari Tabel 2.1 dapat ditentukan:
E = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}, di mana n = 6
F = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}, di mana n = 6
Perhatikan bahwa dari kedua peristiwa di atas ada 1 titik yang sama di
dalamnya, yakni (2,5). Hal ini berarti bahwa P(EF)= 1/36. Sehingga dengan
menggunakan Rumus 2.3 akan diperoleh:
36
11
36
1
36
6
36
6B)P(AP(B)P(A)B)P(A =−+=−+=
c. Peristiwa Bersyarat
Lazimnya peneliti berhubungan dengan peluang dari sebagian ruang
sampel. Peneliti jarang bekerja dalam ruang lingkup populasi. Peluang seorang
konsumen yang dipilih secara acak dari populasi masyarakat berpenghasilan
tinggi, tidak sama dengan peluang seorang berpenghasilan tinggi yang dipilih
secara acak dari populasi konsumen. Peluang seorang konsumen yang menyukai
produk A yang dipilih secara acak dari suatu komunitas, akan berbeda dengan
xlviii
peluang terpilihnya seorang pemakai produk A dari komunitas lainnya. Hal ini
adalah beberapa contoh bagaimana peneliti harus memilah suatu peristiwa yang
ada dalam suatu populasi ke dalam subpopulasi. Dalam teori peluang hal
semacam ini penting untuk diketahui, karena peluang dalam sebagian ruang
sampel bisa berbeda dengan peluang pada ruang sampel secara keseluruhan.
Subpopulasi didefinisikan secara khusus dalam populasi ini dan peluang-
peluang yang berhubungan dengan setiap peristiwa dalam subpopulasi dikenal
dengan nama peluang bersyarat. Peluang bersyarat banyak digunakan dalam dunia
bisnis dan ekonomi. Untuk mempermudah pemahaman tentang peluang bersyarat
ini, berikut ini contoh peluang bersyarat. Sebuah perusahaan membuka lowongan
kerja untuk mengisi pekerjaan sekretaris perusahaan. Ada 100 orang pelamar yang
terdiri atas berpengalaman lebih dari tiga tahun dan kurang dari tiga tahun serta
dengan status menikah dan tidak menikah. Secara rinci jumlahnya diberikan
dalam Tabel 2.3.
Tabel 2.3 Data Pelamar Sekretaris
Pengalaman Menikah Tidak Menikah Jumlah
Pengalaman > 3 tahun 12 24 36 Pengalaman < 3 tahun 18 46 64
Jumlah 30 70 100
Karena tidak ada waktu untuk melakukan penyaringan, maka seluruh
peserta dianggap memiliki peluang yang sama untuk terpilih sebagai sekretaris.
Misal E = peristiwa pelamar yang dipilih memiliki pengalaman lebih tiga tahun
dan M = peristiwa pelamar yang dipilih statusnya menikah. Berdasarkan Tabel 2.3
maka dapat dihitung:
Jumlah titik dalam ruang sampel P = 100
P(E) = 36/100 = 0,36
P(M) = 30/100 = 0,30
P(EM) = 12/100 = 0,12
Anggaplah karena ada sesuatu hal maka pelamar dibatasi pada pendaftar
yang statusnya telah menikah. Selanjutnya perusahaan ingin mengetahui peluang
terpilihnya pelamar dengan pengalaman lebih dari tiga tahun dari pembatasan
xlix
tersebut. Dalam notasi peluang bersyarat, peluang yang demikian dituliskan
sebagai P(E | M) atau peluang terjadinya E bersyarat M. Dengan membatasi
pelamar yang hanya menikah, hal ini berarti ruang sampel atau populasi telah
berubah menjadi ruang sampel yang lebih kecil atau menjadi subpopulasi.
Subpopulasi yang dipilih dalam hal ini adalah pelamar yang menikah atau
M. Berdasarkan Tabel 2.3 dapat diketahui bahwa subpopulasi M ini memiliki titik
sampel 30. Disini telah terjadi pengurangan jumlah titik sampel dari 100 menjadi
30. Dengan mengganggap setiap pelamar masih memiliki peluang yang sama,
maka peluang terpilihnya pelamar yang memiliki pengalaman lebih dari 3 tahun
dengan syarat telah menikah adalah:
P(E | M) = 12/30 = 0,40
Dari hasil ini terlihat bahwa 12 adalah titik sampel irisan antara E dan M
populasi (EM), sedangkan 30 adalah titik sampel subpopulasi atau ruang sampel
untuk syarat M dengan peluang P(M) Apabila hasil ini dituliskan dalam notasi
peluang, maka diperoleh bentuk:
P(E | M) = P(M)
M)P(E
Peluang bersyarat juga bisa dihitung dari pendekatan subpopulasi.
Perhatikan subpopulasi pelamar yang telah menikah. Jumlah peluang yang ada
pada subpopulasi tetap harus memenuhi aturan peluang yakni sama dengan satu,
yakni dari: P(M) = 12/30 + 18/30 = 1.
Perhatikan bahwa P(EM) pada ruang sampel awal adalah 12/100 = 0,12;
akan tetapi setelah menjadi subpopulasi P(EM) menjadi 12/30 = 0,40.
Sedangkan peluang terpilihnya pelamar menikah P(M) pada ruang sampel awal
adalah 30/100 = 0,30; sekarang menjadi 18/30 = 0,60. Mengapa menjadi 18
bukannya 30? Karena yang 12 ada pada ruang sampel irisan (EM). Dengan
demikian P(E | M) berdasarkan subpopulasi adalah: P(E | M) = 0,40/1,00 = 0,40.
Jadi hasil perhitungan peluang bersyarat, baik dengan menggunakan ruang
sampel asli maupun pendekatan subpopulasi, akan memberikan hasil yang sama.
l
0,18 EM
0,12 0,24
M
E
0,46
0,60 0,40
EM M
(a) (b)
Peluang bersyarat untuk kedua keadaan yang dijelaskan di atas, secara visual
dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 2.5.
Gambar 2.5 Peluang Bersyarat dalam Ruang Sampel Asli (a) dan Subpopulasi (b)
Berdasarkan contoh yang dipaparkan di atas, maka definisi peluang
bersyarat dapat didefinisikan jika A dan B adalah dua peristiwa dalam ruang
sample S, maka peluang terjadinya A bersyarat B adalah:
P(A | B) = P(B)
B)P(A; P(B) ≠ 0 ...................................... (Rumus 2.4.1)
atau
P(A | B) = )(
)(
AP
ABP ; P(A) ≠ 0 ....................................... (Rumus 2.4.2)
Sebagai konsekuensi dari kedua rumus di atas, yakni Rumus 2.4.1 dan
Rumus 2.4.2, maka diperoleh:
P(AB) = P(B).P(AB); P(B) 0 .................................. (Rumus 2.5.1)
atau
P(BA) = P(A).P(BA); P(A) 0 ................................. (Rumus 2.5.2)
Contoh Soal
Survai dilakukan oleh MarketPlus Kota Hastina terhadap 700 responden
untuk mengetahui selera konsumen terhadap sabun yang diberi aroma dan tidak
beraroma, menghasilkan data seperti yang ditampilkan pada Tabel 2.4. Angka
dalam kurung adalah frekuensi relatif atau peluang. Berapakah peluang
li
terpilihnya seseorang yang dipilih secara acak tidak menyukai sabun beraroma
dengan syarat dia adalah seorang pria?
Tabel 2.4 Data Selera Konsumen terhadap Sabun
Jenis Kelamin Tanpa Aroma Dengan Aroma Jumlah
Pria 35 (35/700 = 0,05)
315 (315/700 = 0,45)
350 (350/700 = 0,50)
Wanita 70 (70/700 = 0,10)
280 (280/700 = 0,40)
350 (350/700 = 0,50)
Jumlah 105 595 700
Jawab: Misal A = peristiwa terpilihnya pria; B = peristiwa terpilihnya
yang menyukai sabun beraroma; dan BA = peristiwa terpilihnya seseorang yang
menyukai aroma dan seorang pria. Dengan mengunakan Rumus 2.4.2 akan
diperoleh:
P(B | A) = 0,10,50
0,05
P(A)
A)P(B==
d. Peristiwa Bebas
Pengertian bebas di sini sebenarnya bukanlah bebas dalam pengertian
umum, akan tetapi bebas secara statistik. Meski pengertian bebas secara umum
hampir sama dengan bebas secara statistik, akan tetapi pada dasarnya keduanya
tidak identik. Peristiwa A dikatakan bebas dari peristiwa B jika salah satu
peristiwa tidak dipengaruhi oleh peristiwa lainnya. Sebagai contoh jika seseorang
mengambil kartu dari setumpuk kartu bridge secara berurutan di mana setiap
pengambilan kartu selalu dikembalikan lagi, maka semua hasil dari peristiwa ini
dikatakan bebas antara yang satu dengan lainnya.
Peluang terambilnya kartu As pada setiap pengambilan akan selalu 4/52.
Jika pengambilan kartu tidak dengan pengembalian, maka hasil yang diperoleh
akan bersifat tidak bebas atau saling tergantung. Peluang terambilnya kartu As
pada pengambilan pertama adalah 4/52, pengambilan kedua 3/51, pengambilan
ketiga 2/50, dan seterusnya. Dua peristiwa yang saling bebas dinyatakan dalam
hubungan A dan B atau secara notasi himpunan AB adalah perkalian antara
kedua peluang tersebut. Secara simbolik:
lii
S
A1
A2
A4
A3
Ak
P(A dan B) = P(A).P(B)B)P(A = ................................. (Rumus 2.6)
Konsekuensi rumus ini terhadap rumus peluang bersyarat (Rumus 2.4.1
dan Rumus 2.4.2) adalah:
P(AB) = P(A) dan P(BA) = P(B) .................................. (Rumus 2.7)
Untuk k buah peristiwa yang saling bebas maka Rumus 2.6 dapat diperluas
menjadi: P(A1 A2… Ak)= P(A1).P(A2)…P(Ak). Guna menggambarkan
peristiwa bebas ini, dapat dilihat dalam Diagram Venn yang diilustrasikan pada
Gambar 2.6.
Gambar 2.6 Peristiwa Saling Bebas
Contoh Soal
Mengacu pada percobaan pelemparan dua buah dadu seperti yang
disajikan dalam Tabel 2.1. Tabel tersebut diubah dengan menggantikan angka
jumlah yang muncul menjadi kombinasi angka seperti tertera pada Tabel 2.5.
Berapa peluang dadu kedua memunculkan angka 6 bersyarat dadu pertama
memunculkan angka 4. Apakah A bebas dari B?
Tabel 2.5 Kombinasi Angka Pelemparan Dua Buah Dadu
Angka pada dadu kedua
Angka pada dadu pertama 1 2 3 4 5 6
1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
liii
Angka pada dadu kedua
Angka pada dadu pertama 1 2 3 4 5 6
4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
Jawab: Misal B peristiwa munculnya angka 6 pada dadu kedua dan A
peristiwa munculnya angka 4 pada dadu pertama.
A = {(4,1),(4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}
B = { (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6), (6,6)}
AB = {(4,6)}
P(A) = 1/6; P(AB) = 1/36 ; P(B) = 1/6
P(B | A) = 6
1
1/6
1/36
P(A)
A)P(B==
Hasil di atas ternyata sama dengan P(B) = 1/6, sehingga dapat ditarik
simpulan bahwa A bebas dari B. Perlu dicermati bahwa peristiwa saling bebas
tidak sama dengan peristiwa eksklusif. Dalam konsep teori himpunan, peristiwa
saling eksklusif tidak mempunyai ruang sampel yang mengandung titik yang sama
(irisan), sedangkan dalam peristiwa saling bebas dua peristiwa A dan B akan
memiliki titik yang sama jika A dan B mempunyai peluang yang tidak nol.
F. PERMUTASI DAN KOMBINASI
Permutasi adalah susunan yang dibentuk oleh seluruh atau sebagian dari
sekumpulan objek. Suatu permutasi dari N objek yang bervariasi dan setiap kali r
objek adalah susunan dari r objek itu tanpa memerhatikan urutan pengambilan.
Nilai permutasi dinyatakan sebagai NPr atau P(N,r). Jadi banyaknya permutasi
adalah:
P(N,r) = N(N-1)(N-2) ... (N-r+1)
= 𝑁!
(𝑁−𝑟)!
Dimana N! = N(N-1)(N-2) ... 3, 2, 1. Dan didefinisikan 0! = 1.
liv
Misalnya banyaknya permutasi dari kelompok barang yang terdiri dari
empat barang A, B, C, dan D yang setiap kali diambil adalah 4P3 = 4 x 3 x 2 = 24.
Kelompok-kelompok barang tersebut adalah:
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
ABD ADB BAD BDA DAB DBA
ACD ADC CAD CDA DAC DCA
BCD BDC CBD CDB DBC BCD
Kombinasi adalah cara bagaimana peneliti mengetahui banyaknya cara
mengambil r objek dari n objek tanpa memperhatikan urutannya. Suatu kombinasi
dari N objek yang bervariasi dan setiap kali diambil r objek adalah susunan r
objek itu dengan memerhatikan urutan pengambilan. Nilai kombinasi dinyatakan
sebagai NCr atau C(N,r). Misalnya banyaknya kombinasi dari kelompok barang
yang terdiri dari empat barang A, B, C, dan D yang setiap kali diambil tiga adalah:
4C3 = 4!
3!(4−3)!
= 4
Kelompok-kelompok barang tersebut adalah:
ABC ABD
ACD BCD
Dalam hal ini berlaku suatu sampel yang anggotanya diambil dari populasi
dengan sifat bahwa setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama
untuk terambil menjadi anggota sampel.
G. DISTRIBUSI PELUANG
Distribusi peluang merupakan alat bagi seorang peneliti untuk menentukan
apa yang dapat peneliti harapkan, apabila asumsi-asumsi yang dibuat oleh peneliti
benar. Distribusi peluang memungkinkan para pembuat keputusan untuk
memperoleh dasar logika yang kuat di dalam keputusan, dan sangat berguna
sebagai dasar pembuatan ramalan berdasarkan informasi yang terbatas atau
pertimbangan-pertimbangan teoritis, serta berguna pula untuk menghitung
probabilitas terjadinya suatu kejadian. Setiap kejadian yang dapat dinyatakan
lv
sebagai perubahan nilai suatu variabel, umumnya mengikuti suatu distribusi
peluang tertentu dan apabila sudah diketahui jenis distribusinya, maka peneliti
akan dengan mudah dapat mengetahui besarnya nilai probabilitas terjadinya
kejadian tersebut. Misalnya bila dilakukan undian menggunakan mata uang logam
lima ratus rupiah, akan diperoleh kemungkinan hasil:
P(muka G) : P(muka M) = 1/2
Bila dipandang muka G yang nampak, maka muka M = 0 G, dan muka G
= 1G. Bila banyak muka G yang muncul diberi simbol, maka bila muncul M
berlaku X = 0, dan bila muncul muka G, X = 1, atau dapat ditulis:
P(X = 0) = 1/2
P(X = 1) = 1/2
Lebih lanjut kalau eksperimen dikerjakan dengan dua mata uang lima ratus
rupiah, maka peristiwa yang terjadi adalah: GG, GM, MG, dan RR. Ditulis
P(GG), P(GM), P(MG), dan P(RR). Bila X menyatakan banyaknya kali muka G,
maka:
X = 0, untuk (RR) diperoleh P(X = 0) = 1/4.
X = 1, untuk (GR) diperoleh P(X = 1) = 1/4 + 1/4 = 1/2.
X = 0, untuk (GG) diperoleh P(X = 2) = 1/4.
Berdasarkan harga-harga tersebut, dapat ditampilkan dalam bentuk tabel,
seperti yang ditampilkan pada Tabel 2.6.
Tabel 2.6 Harga-harga P(X)
X P(X)
0 1 2
1/4 1/2 1/4
Jumlah 1
Bila dilanjutkan dengan tiga mata uang lima ratus rupiah, maka akan
diperoleh delapan periswa, yaitu GGG, GGR, GRG, RGG, RRG, RGR, GRR, dan
RRR. Peluang untuk masing-masing peristiwa adalah 1/8 maka dari X = 0, 1, 2, 3.
lvi
Diperoleh harga-harga P(X = 0) = 1/8; P(X = 1) = 3/8; P(X = 2) = 3/8; dan P(X =
3) = 1/8. Jika hasil disusun dalam sebuah tabel, maka dapat dilihat pada Tabel 2.7.
Tabel 2.7 Harga-harga P(X)
X P(X)
0 1 2 3
1/8 3/8 3/8 1/8
Jumlah 1
Proses ini dapat diteruskan untuk undian dengan menggunakan empat
mata uang, lima mata uang, dan seterusnya. Notasi X di atas hanya memiliki
harga 0, 1, 2, 3, dan seterusnya, disebut variabel acak diskrit. Untuk variabel acak
dapat ditentukan nilai ekspektasinya, yaitu:
E(X) = ΣXi . P(Xi) ............................................................. (Rumus 2.8)
Misalnya pengamatan memerhatikan bahwa banyak kendaraan yang
melalui sebuah tikungan setiap menit mengikuti distribusi peluang berikut:
Tabel 2.8 Hasil Pengamatan Banyak Mobil yang Lewat
Jumlah kendaraan
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Peluang 0,01 0,05 0,1 0,28 0,22 0,18 0,08 0,05 0,03
Berdasarkan Tabel 2.8 mobil yang lewat melalui tikungan itu sebanyak:
= 1 – (0,01 + 0,05 + 0,1) = 0,84.
Selanjutnya dengan rumus: E(X) = ΣXi . P(Xi), diperoleh:
E(X) = (0)(0,01) + (1)(0,05) + (2)(0,1) + (3)(0,28) + (4)(0,22) + (5)(0,18) +
(6)(0,08) + (7)(0,05) + (8)(0,03)
= 3,94
Sehingga dapat ditarik simpulan bahwa terdapat 394 mobil yang lewat
setiap 100 menit. Variabel acak yang diskrit disebut juga variabel acak kontinu.
Salah satu ciri dari variabel acak kontinu adalah bahwa peristiwa variabel ini
lvii
memiliki harga sebarang, dapat pula berupa pecahan atau bentuk desimal. Berikut
ini akan diuraikan macam-macam distribusi, yaitu distribusi binomial, distribusi
multinomial, distribusi poisson, distribusi hipergeometrik, distribusi normal,
distribusi student, distribusi chi square, dan distribusi fisher (F).
1. Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah suatu distribusi peluang yang menggunakan
variabel acak diskrit, yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti
sukses-gagal, baik-cacat. Suatu eksperimen yang menghasilkan dua kemungkinan
peristiwa A dan bukan A (atau Aꞌ) yang bersifat dikotomi dengan P(A) = π serta
memiliki harga tetap untuk peristiwa A. Jika eksperimen tersebut diulang-ulang
akan didapatkan distribusi Bernoulli.
Lazimnya suatu eksperimen dapat dikatakan sebagai eksperimen binomial,
apabila memenuhi syarat, yaitu: (1) setiap percobaan menghasilkan dua kejadian,
seperti kelahiran anak yakni laki-laki – perempuan, transaksi saham jual-beli, atau
perkembangan suku bunga yakni naik-turun; (2) setiap eksperimen mempunyai
dua hasil yang dikatagorikan menjadi sukses dan gagal; (3) probabilitas suatu
kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. Misalnya
P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q) = 1; (4) probabilitas
sukses sama pada setiap eksperimen; (5) eksperimen tersebut harus bebas satu
sama lain, artinya hasil eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil
eksperimen lainnya; dan (6) data yang dihasilkan adalah data perhitungan.
Percobaan Bernoulli sebanyak N kali secara independen, sehingga X
diantaranya menghasilkan peristiwa A dan sisanya (N-X) peristiwa Aꞌ. Jika π =
P(A) untuk tiap percabaan, maka 1 – π = P(Aꞌ), sehingga peluang terjadinya A
sebanyak X = x kali diantara N, yaitu:
P(X) = P(X = x) = (𝑃𝑥𝑁) πx(1 – π) (1 – π)N-x ....................... (Rumus 2.9)
Dimana:
Nilai = 0, 1, 2, ... , N; 0 < π < 1
𝑃𝑥𝑁 =
𝑁!
𝑥!(𝑁−𝑥)!
lviii
Hubungan yang dinyatakan dalam Rumus 2.8 merupakan distribusi dengan
variabel acak diskrit dan dinamakan distribusi binomial, dengan koefisien
binomial pada Rumus 2.9. Distribusi binomial memiliki dua parameter μ dan σ
yang persamaannya adalah:
μ = Nπ
σ = √𝑁𝜋(1 − 𝜋)
Misalnya menghitung peluang untuk memeroleh 6 kali muka G (mata uang
logam lima ratus rupiah), bila dilakukan 10 lemparan.
P(X = 6) = (𝑃610) 1/26(1 – 1/2)10 – 6
= 0,205
Contoh Soal
Suatu eksperimen binomial, yang terdiri dari pengambilan satu bola secara
acak dari kotak yang berisi 30 bola merah (30M) dan 70 bola putih (70P). Y
adalah variabel acak dengan nilai sebagai berikut.
=terambilyangputihbolakalau0,
terambilyangmerahbolakalau1,Y
P(M) = p = probabilitas untuk mendapat bola merah (sukses)
= 10030
= 0,30
P(P) = q = probabilitas untuk mendapat bola putih (gagal)
= 10070
= 0,70
E(Y) = 1(p) + 0(q)
= 1(0,3) + 0(0,7)
= 0,3
Bila dilakukan eksperimen empat kali. Pengambilan bola dilakukan
dengan pengembalian bola yang terambil. Hal ini untuk menjaga agar eksperimen
yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen yang lain. Eksperimen ini akan
menghasilkan 24 = 16 hasil, yakni:
lix
MMMM MPMM PMMM PPMM
MMMP MPMP PMMP PPMP
MMPM MPPM PMPM PPPM
MMPP MPPP PMPP PPPP
Setiap hasil eksperimen terdiri dari empat kejadian yang bebas satu sama
lain, sehingga probabilitas terjadinya setiap hasil eksperimen merupakan hasil kali
probabilitas masing-masing kejadian, misalnya P(MMPM) = ppqp =
(0,3)(0,3)(0,7)(0,3) = 0,0189. Aturan perkalian untuk kejadian-kejadian bebas dan
aturan penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan, yang sudah
dibahas sebelumnya dapat diterapkan di sini dan perhitungannya ialah:
P(3M dan 1P) = P(MMMP) + P(MMPM) + P(MPMM) + P(PMMM)
= ((0,3) (0,3) (0,3) (0,7)) + ((0,3) (0,3) (0,7) (0,3)) + ((0,3) (0,7)
(0,3) (0,3)) + ((0,7) (0,3) (0,3) (0,3))
= 0,0756
Tanpa memperhatikan urutan dari masing-masing kejadian, setiap suku
dalam penjumlahan tersebut mempunyai probabilitas sebesar pppq = p3q. Dengan
cara yang sederhana ini, dapat menghitung probabilitas untuk mendapatkan
sejumlah bola merah tertentu sebagai hasil eksperimen. Dapat ditunjukkan bahwa
apabila eksperimen dilakukan sebanyak 4 kali, maka X = 0, 1, 2, 3, 4. Sedangkan
untuk n kali, ialah X = 0, 1, 2, … , n. Apabila semua nilai probabilitas X sebagai
hasil suatu eksperimen dihitung, akan diperoleh distribusi probabilitas X dan
disebut distribusi probabilitas binomial.
P(X = 0) = P(PPPP) = (0,7)(0,7)(0,7)(0,7) = (0,7)4 = 0,2401
P(X = 1) = pq3 + qpq2 + q2pq + q3p
= (0,3)(0,7)3 + (0,7)(0,3)(0,7)2 + (0,7)2(0,3)(0,7) + (0,7)3(0,3)
= 0,4116
P(X = 2) = p2q2 + pqpq + pq2p + qp2q + qpqp + q2p2
= (0,3)2(0,7)2 + (0,3)(0,7)(0,3)(0,7) + (0,3)(0,7)2(0,3) + (0,7)(0,3)2(0,7)
+ (0,7)(0,3)(0,7)(0,3) + (0,7)2(0,3)2
= 0,2646
P(X = 3) = p3q + p2qp + pqp2 + qp3
= (03)3(0,7) + (0,3)2(0,7)(0,3) + (0,3)(0,7)(0,3)2 + (0,7)(0,3)3
lx
= 0,0756
P(X = 4) = P(MMMM) = p4 = (0,3)4
= 0,0081
Berdasarkan contoh soal di atas, dapat disimpulkan bahwa dalam distribusi
probabilitas binomial, dengan n percobaan, berlaku rumus:
Pr(x sukses, dalam n percobaan) = px qn-x
Dimana:
x = 0, 1, 2, 3, …, n
p = probabilitas sukses
q = (1 – p) = probabilitas gagal
Aturan umum permutasi dapat digunakan untuk memperoleh banyaknya
kemungkinan urutan yang berbeda, dimana masing-masing urutan terdapat x
sukses, misalnya x = 3 (3 sukses), sehingga: MMMP, MMPM, MPMM, PMMM.
Apabila suatu himpunan yang terdiri dari n elemen dibagi dua, yaitu x sukses dan
(n – x) gagal, maka banyaknya permutasi dari n elemen yang diambil x setiap kali
dapat dihitung berdasarkan rumus kombinasi:
( ) ( ) xCn!xnx!
!nxnn,Pn =
−=−
Disebut koefisien binomial (merupakan kombinasi dari n elemen yang
diambil x setiap kali). Masing-masing probabilitas pada distribusi binomial
dihitung dengan rumus:
( )( )
xnqxp!xnx!
!nxrp −
−=
Dimana x = 0, 1, 2, …, n.
pr(x) dari rumus tersebut merupakan fungsi probabilitas, karena:
a. pr(x) 0, untuk semua x, sebab ( )!xnx!
!n
− 0 dan px qn-x 0.
b. ( )x
xrp = 1, untuk semua x.
lxi
2. Distribusi Multinomial
Kalau pada distribusi binomial hasil sebuah percobaan hanya
dikatagorikan 2 macam, yaitu sukses dan gagal, maka dalam distribusi
multinomial, sebuah percobaan akan menghasilkan beberapa kejadian (lebih dari
2) yang saling meniadakan atau saling lepas. Misalkan ada sebanyak k kejadian
dalam sebuah percobaan, misalnya kejadian B1, B2, …, Bk. Jika percobaan diulang
sebanyak n kali dan peluang terjadinya setiap kejadian B konstan dari setiap
percobaan dengan P(Bi) = Pi untuk i = 1, 2, 3, …, k, dan X1, X2, X3, …Xk
menyatakan jumlah terjadinya kejadian Bi ( i = 1, 2, …, k dalam n percobaan).
Fungsi distribusi multinomial, adalah:
( ) kx
k
xxx
k
k ppppxxxx
nxxxxp .....
!!.........!!
!,.......,,, 321
321
321
321
=
untuk nilai-nilai
X1 = 0, 1, 2, ……; Xk = 0, 1, 2, … dan nxk
i
i ==1
Dimana:
X1, X2, ……, Xk menyatakan jumlah dari kejadian B1, B2, ….…Bk
n menyatakan jumlah percobaan.
P1, p2, ..,pk adalah probabilitas terjadinya kejadian B1, B2, ….Bk
Contoh Soal
Proses pembuatan pensil dalam sebuah pabrik melibatkan banyak buruh
dan proses tersebut terjadi berulang-ulang. Pada suatu pemeriksaan terakhir yang
dilakukan telah memperlihatkan bahwa 85% produksinya adalah “baik”, 10%
ternyata “tidak baik tetapi masih bias diperbaiki” dan 5% produksinya “rusak dan
harus dibuang”. Jika sebuah sample acak dengan 20 unit dipilih, berapa peluang
jumlah unit “baik” sebanyak 18, unit “tidak baik tetapi bisa diperbaiki” sebanyak
2 dan unit “rusak” tidak ada?
Misalkan: X1 = banyaknya unit “baik”
X2 = banyaknya unit yang “tidak baik tetapi bias diperbaiki”
X3 = banyaknya unit yang “rusak dan harus dibuang”
lxii
X1 = 18, X2 = 2, dan X3 = 0 (syarat x1 + x2 + x3 = n = 20)
dan p1 = 0,85, p2 = 0,1 dan p3 = 0,05 maka:
p(18, 2, 0) = ( ) ( ) ( )021805,01,085,0
!0!2!18
!20
= 190 (0,85)18 (0,01)
= 0,102
Jadi peluangnya sebesar 0,102.
3. Distribusi Poisson
Distribusi poisson adalah pengembangan dari distribusi binomial yang
mampu mengkakulasikan distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses (p)
sangat kecil dan jumlah eksperimen (n) sangat besar. Karena distribusi poisson
biasanya melibatkan jumlah n yang besar, dengan p kecil, distribusi ini biasanya
digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian dalam suatu selang
waktu dan daerah tertentu.
Distribusi Poisson memiliki ciri-ciri, yaitu: (1) banyaknya hasil percobaan
yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak
tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau
daerah lain yang terpisah; (2) probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu
interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan
panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak tergantung pada
banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah
tersebut; dan (3) probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam
interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.
Variabel acak diskrit X mengikuti distribusi poisson, jika fungsi peluangnya
berbentuk:
P(X) = P(X = x) = 𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
Dimana:
Nilai x = 0, 2, 3, 4, ... , N.
e = sebuah bilangan konstan yang besarnya e = 2,7183 dan λ = konstan.
lxiii
Ternyata distribusi poisson merupakan parameter: μ = λ dan σ = ϒλ.
Distribusi poisson digunakan untuk menentukan peluang suatu peristiwa dalam
kesempatan tertentu yang terjadinya sangat jarang. Misalnya pada setiap semester
jarang ada mahasiswa yang lupa membayar UKT (Uang Kuliah Tunggal).
Distribusi poisson juga dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distirbusi
binomial. Jika dalam distribusi binomial N cukup besar, sedangkan π = peluang
terjadinya A, sangat dekat dengan nol sedemikian hingga λ = Np harganya tetap,
maka distribusi binomial sangat baik didekati oleh distribusi poisson untuk
penggunaannya sering dilakukan pendekatan ini.
Contoh Soal 1
Misalnya peluang seseorang akan dapat reaksi buruk setelah minum satu
butir obat penenang besarnya 0,0005. Dari 4000 orang yang minum obat
penenang tersebut, dapat ditentukan peluang yang mendapatkan reaksi: (a) tidak
ada; (b) ada dua orang; dan (c) lebih dari dua orang.
Untuk menentukan peluang tidak ada orang yang mendapat reaksi buruk
(dalam hal ini x = 0), dengan menggunakan pendekatan distribusi poisson λ = p =
0,0005 = 2. Jika x = banyaknya orang yang mendapatkan rekasi buruk, maka:
P(0) = 𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
= 2,7183−220
0!
= 0,1353
Untuk menentukan peluang 2 orang yang mendapatkan reaksi buruk
(dalam hal ini x = 2), sehingga:
P(0) = 𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
= 2,7183−220
2!
= 0,2706
Untuk menentukan peluang lebih dari 2 orang yang mendapatkan reaksi
buruk (dalam hal ini x = 3, 4, 5, dan seterusnya). Diketahui P(0) = P(1) = P(2) =
P(3) + ... + P(n) = 1 = –P(0) – P(1) – P(2), maka:
lxiv
P(1) = 𝑒−1𝜆0
1!
= 2,7183−220
1!
= 0,2706
Sedangkan peluang yang dicari adalah: 1 – (0,1353 + 0,2706 + 0,2706) =
0,3235.
Contoh Soal 2
Seorang yang akan menjual mobil mewahnya memasang iklan pada suatu
surat kabar yang dapat mencapai 100.000 pembaca. Dengan anggapan nilai
probabilitas bahwa seorang yang membaca iklan tersebut berminat akan membeli
mobilnya sebesar p = 1/50.000. Jika dari 100.000 pembaca ada dua orang yang
berminat membeli mobil tersebut (p = 0,00002) dan X = banyaknya pembaca
yang berminat pada mobil tersebut, berapakah P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X
= 3), P(X = 4)?
Persoalan ini sebetulnya dapat dipecahkan dengan menggunakan fungsi
Binomial, karena persoalannya hanya mencari probabilitas x “sukses” dari n =
100.000 eksperimen, dimana probabilitas sukses p = 1/50.000. Akan tetapi karena
n terlalu besar dan p terlalu kecil, fungsi poisson dapat digunakan sebagai suatu
pendekatan yang lebih sederhana. Apabila = rata-rata distribusi = E(X) = np =
100.000
50.000 = 2, (secara rata-rata dapat diharapkan dua orang pembaca yang
menanyakan keadaan mobil), maka setelah dilakukan perhitungan, akan
memperoleh:
Pr(X = 0) = !0
2 20 −e= 0,1353 Pr(X = 5) =
!5
2 25 −e = 0,0361
Pr(X = 1) = !1
2 21 −e= 0,2707 Pr(X = 6) =
!6
2 26 −e = 0,0120
Pr(X = 2) = !2
2 22 −e = 0,2707 Pr(X = 7) =
!7
2 27 −e = 0,0034
Pr(X = 3) = !3
2 23 −e = 0,1804 Pr(X = 8) =
!8
2 28 −e = 0,0009
lxv
Pr(X = 4) = !4
2 24 −e = 0,0902 Pr(X = 9) =
!9
2 29 −e = 0,0002
Perhitungan ini dapat juga dilihat pada Tabel Poisson, dimana x = 0, 1, 2,
…, 9. Misalnya ingin melihat distribusi probabilitas bahwa 5 orang pembaca
berminat pada mobil tersebut p(5) dengan λ atau rata-rata distribusi = 2,
perhatikan potongan Tabel Poisson berikut.
x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
0 0,3679 0,1353 0,0498 0,0183 0,0067 0,0025
1 0,3679 0,2707 0,1494 0,0733 0,0337 0,0149
2 0,1839 0,2707 0,2240 0,1465 0,0842 0,0446
3 0,0613 0,1804 0,2240 0,1954 0,1404 0,0892
4 0,0153 0,0902 0,1680 0,1954 0,1755 0,1339
5 0,0031 0,0361 0,1008 0,1563 0,1755 0,1606
6 0,0005 0,0120 0,0504 0,1042 0,1462 0,1606
Perhatikan kolom 2, dengan λ = 2,0, telusuri ke bawah sampai ke baris x =
5. Berdasarkan Tabel Poisson akan ditemukan angka 0,0361. Artinya probabilitas
5 orang berminat dari 100.000 pembaca adalah 0,0361; probabilitas 6 orang
berminat adalah 0,0120; dan seterusnya. Distribusi Poisson juga dapat digunakan
untuk menghitung probabilitas dari x “sukses” dalam n eksperimen, yang terjadi
dalam satuan luas tertentu, satuan isi tertentu, interval waktu tertentu, atau satuan
panjang tertentu.
4. Distribusi Hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik sangat erat kaitannya dengan distribusi
binomial. Perbedaan antara distribusi hipergeometrik dengan binomial adalah
bahwa pada distribusi hipergeometrik, percobaan tidak bersifat independen.
Artinya antara percobaan yang satu dengan yang lainnya saling berkait. Selain itu
probabilitas “sukses” berubah (tidak sama) dari percobaan yang satu ke percobaan
lainnya. Untuk mencari probabilitas x sukses dalam ukuran sample n, peneliti
harus memperoleh x sukses dari r sukses dalam populasi, dan n – x gagal dari N –
r gagal. Sehingga fungsi probabilitas hipergeometrik dapat dituliskan:
( ) rxC
CCxp
n
N
xn
rN
x
r
= −
−
0,
lxvi
Keterangan:
p(x) = probabilitas x sukses (jumlah sukses sebanyak x) dalam n percobaan
n = jumlah percobaan
N = Jumlah elemen dalam populasi
r = jumlah elemen dalam populasi berlabel “sukses”
x = Jumlah elemen berlabel “sukses” diantara n elemen percobaan
Terdapat dua persyaratan yang harus dipenuhi oleh sebuah distribusi
hipergeometrik, yaitu: (1) percobaan diambil dari suatu populasi yang terbatas,
dan percobaan dilakukan tanpa pengembalian; dan (2) ukuran sampel n harus
lebih besar dari 5% dari populasi N. Dari rumus di atas, perhatikan bahwa:
( )!!
!
xrx
rCx
r
−=
( )( )( )!
!
xnrNxn
rNC xn
rN
+−−−
−=−
−
( )!!
!
nNn
NCn
N
−=
Contoh Soal
Sebuah anggota komite terdiri dari 5 orang, dimana 3 adalah wanita dan 2
laki-laki. Misalkan 2 orang dari 5 orang anggota komite tersebut dipilih untuk
mewakili delegasi dalam sebuah konvensi. Berapa probabilitas bahwa dari
pemilihan secara acak didapat 2 orang wanita? Berapa probabilitas dari 2 orang
yang terpilih adalah 1 laki-laki dan 1 wanita?
Jawab: Penyelesaian soal ini dapat menggunakan distribusi
hipergeometrik, dengan n = 2; N = 5; r = 3; dan x = 2, x = jumlah wanita terpilih.
Soal 1 p(2) = 3,010
3
!3!2
!5
!0!2
!2
!1!2
!3
2
5
0
2
2
3
==
=C
CC
Jadi probabilitas 2 orang wanita terpilih adalah 0,3.
lxvii
Soal 2 p(1) = 6,010
6
10
2.3
!3!2
!5
!1!1
!2
!2!1
!3
2
5
1
2
1
3
===
=C
CC
Jadi probabilitas terpilih 1 orang wanita dan 1 laki-laki = 0,6.
5. Distribusi Normal
Distribusi normal sering juga disebut Distribusi Gauss. Distribusi normal
merupakan salah satu distribusi yang paling banyak digunakan dalam praktik
penelitian di lapangan. Beberapa ciri-ciri distribusi normal adalah: (1) grafiknya
selalu berada di atas sumbu mendatar X; (2) memiliki bentuk simetris terhadap X
= μ; (3) ujung-ujung grafiknya berasimtut terhadap sumbu mendatar X, dimulai
dari X – 3σ ke kiri dan X + 3σ ke kanan; dan (4) luas daerah grafik selalu sama
dengan satu satuan luas. Bila harga σ semakin kecil maka kurvanya semakin
menjulang tinggi (leptokurtik) dan sebaliknya bila harga σ semakin besar maka
kurvanya semakin menjulang bawah (platikurtik).
Distribusi normal merupakan distribusi teoritik dari variabel random
kontinum. Distibusi normal adalah distribusi kontinu yang sangat penting dalam
statistik dan banyak dipakai memecahkan persoalan. Misalnya hitung P (X < 1,25)
pada taraf signifikansi 0,05? Cara penyelesaian adalah lihat pada Tabel Distribusi
Normal (Lampiran 4), carilah angka 1,2 pada kolom paling kiri. Selanjutnya,
carilah angka 0,05 pada baris paling atas. Sel para pertemuan kolom dan baris
tersebut adalah 0,8944. Dengan demikian P (X < 1,25) adalah 0,8944.
6. Distribusi t (Student Distribution)
Bentuk grafik distibusi t mirip dengan distribusi normal baku, hanya saja
bentuknya lebik leptokurtik, distribusi t yang memiliki derajat kebebasan (db) = n
– 1. Bila jumlah populasi N ≥ 30, distribusi t dapat didekati dengan distribusi
normal. Untuk menghitung setiap bagian di bawah kurva telah disediakan tabel
distribusi t sebagaimana pada Lampiran 9. Distribusi t selain digunakan untuk
menguji suatu hipotesis, juga untuk membuat pendugaan interval. Lazimnya
distribusi t digunakan untuk menguji hipotesis mengenai nilai parameter, paling
lxviii
banyak dari 2 populasi (lebih dari 2, harus digunakan F), dan dari sampel yang
kecil, misalnya n < 100, bahkan seringkali n ≤ 30. Untuk n yang cukup besar (n ≥
100, atau mungkin cukup n > 30) dapat digunakan distribusi normal, maksudnya
tabel normal dapat digunakan sebagai pengganti tabel t. Kalau Z = N(0,1) =
variabel normal dengan rata-rata 0 dan simpangan baku 1, dam = kai-kuadrat
dengan derajat kebebasan , maka variabel t dapat diperoleh dengan rumus:
2
Zt =
Artinya, fungsi mempunyai distribusi t dengan derajat kebebasan sebesar
. Variabel t dapat mengambil nilai negatif maupun positif, oleh karena pada
dasarnya variabel t ini berasal dari variabel normal (variabel normal selain
mengambil nilai positif, juga negatif). Variabel t juga mempunyai kurva yang
simetris terhadap t = 0. Tabel t, seperti tabel distribusi normal, dapat digunakan
untuk mencari nilai variabel t apabila nilai probabilitas α sudah diketahui, atau
sebaliknya. Untuk menggunakan tabel t harus ditentukan terlebih dahulu besarnya
nilai α dan . Oleh karena kurva t simetris, maka peneliti boleh hanya mencari
nilai t sebelah kanan titik 0. Jika sampel kecil (n < 30), maka S2 akan berfluktuasi
cukup besar dari sampel ke sampel, sehingga perlu statistik yang lebih baik. Jika
sampel kecil akan tetapi berasal dari distribusi normal, maka rumus statistik t
ialah:
𝑡 = �̅� − 𝜇
𝑆√𝑛
⁄
Contoh Soal
Seorang peneliti menyatakan rata-rata hasil panen setelah diberi pupuk
adalah 500 gram per mm pupuk yang diberikan. Dia kemudian mengambil sampel
25 batch panen, dan memutuskan akan puas dengan klaimnya jika ternyata nilai t
dari sampel terletak antara –t0,05 s.d. t0,05. Peneliti mengasumsikan bahwa bobot
hasil panen mengikuti distribusi normal. Ternyata sampelnya memiliki rata-rata
lxix
518 gram dengan deviasi standar sampel 40. Apakah dia akan puas dengan
klaimnya?
Jawab: Hal ini adalah persoalan distribusi t. Ukuran sampel n = 25,
sehingga derajat kebebasan ν = n – 1 = 25 – 1 = 24. Dari tabel diketahui bahwa
untuk v = 24, maka t0,05 = 1,711, sedangkan hasil sampelnya adalah:
t = �̅�− 𝜇𝑆
√𝑛⁄
= 518−50040
√25⁄
= 2,25
Berdasarkan hasil perhitungan dapat diketahui bahwa ttabel = 1,711 < thitung
= 2,25. Sehingga dapat disimpulkan peneliti memiliki cukup bukti bahwa dia
dapat merasa puas dengan hasil panennya.
7. Distribusi Chi Square
Distribusi chi square merupakan distribusi variabel acak kontinu. Grafik
distribusi chi square lazimnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke kanan.
Distribusi chi square sangat berguna sebagai kriteria untuk pengujian hipotesis
mengenai varians dan juga untuk uji ketepatan penerapan suatu fungsi apabila
digunakan untuk data hasil observasi atau data empiris. Dengan demikian, peneliti
dapat menentukan apakah distribusi pendugaan berdasarkan sampel hampir sama
atau mendekati distribusi teoritis, sehingga peneliti dapat menyimpulkan bahwa
populasi dari mana sampel yang dipilih mempunyai distribusi yang dimaksud
(misalnya, suatu populasi mempunyai distribusi binomial, poisson, atau normal).
Untuk perhitungan luas setiap bagian kurva telah disediakan tabelnya
sebagaimana terlampir pada Lampiran 5. Misalnya mencari luas di bawah kurva Z
untuk α = 0,05 dan N = 14, dapat diketahui bahwa koefisien chi square tabel
sebesar 23,685.
Contoh Soal
Misalnya sebuah dadu yang mempunyai 6 mata (mata 1, 2, 3, 4, 5, 6)
dilemparkan ke atas sebanyak 300 kali. Dalam jangka panjang, diharapkan untuk
lxx
melihat masing-masing mata tersebut muncul dengan frekuensi yang sama, yaitu
masing-masing muncul 50 kali. Dalam praktiknya, frekuensi mata dadu yang
muncul sekitar 50, walaupun dadu itu termasuk “fair dice”. Dengan menggunakan
chi square, dapat menentukan apakah suatu dadu dapat dikatakan “fair” setelah
membandingkan frekuensi dari masing-masing mata dadu tersebut. Apabila Zi =
N(0,1) = variabel normal dengan rata-rata 0 dan variens sama dengan 1, atau E(Z)
= 0, 2Z = 1, maka jumlah 22
2
2
1 kZZZ +++ sama dengan 2k dengan derajat
kebebasan sebesar k.
= 22
ik Z
Kalau suatu himpunan yang terdiri n variabel acak X = {Xi}, dimana Xi
n(, 2) untuk semua i (i = 1, 2, …, n), maka dapat diperoleh variabel Z seperti
yang dimaksud di atas, dengan rumus:
−= i
i
XZ N (90, 1); i = 1, 2, …., n.
−=
2
2
i
n
x
=2n chi square dengan derajat kebebasan sebesar n.
Apakah yang dimaksud dengan derajat kebebasan? Misalnya peneliti
diminta untuk menentukan 5 nilai X, yaitu X1, X2, X3, X4, X5, dimana syaratnya
sudah ditentukan bahwa rata-ratanya. X = 5. Jadi jumlah kelima nilai X tersebut
adalah 25. Kalau nilai x1, x2, x3, dan x4 ditentukan, misalnya x1 = 4, x2 = 5, x3 = 6,
dan x4 = 7, maka nilai x5 tidak bebas lagi untuk menentukannya. Nilai x5 harus
membuat jumlah kelima nilai x tersebut menjadi 25. Dengan demikian X5 = 25 –
(X1 + X2 + X3 + X4) = 25 – (4 + 5 + 6 + 7) = 3. Jadi X5 = 3. Sehingga mempunyai
4 kebebasan (satu kali tidak) di antara 5 pilihan, dengan kata lain hanya
mempunyai derajat kebebasan sebanyak 4 yaitu (5 – 1).
Kalau harus memilih dari n elemen derajat kebebasannya = n – 1. Di
dalam soal hanya memperkirakan satu penduga (X), sehingga derajat kebebasan
ada (n – 1). Apabila harus memperkirakan k penduga, maka derajat kebebasan ada
lxxi
(n – k). Kalau k = 2, yaitu a dan b (a penduga dari A dan b penduga dari B), dalam
persoalan regresi Ŷ = A + BX + , maka derajat kebebasannya (n – 2). Bentuk
kurva chi square sangat dipengaruhi oleh besar kecilnya nilai derjat kebebasan.
Makin kecil nilai derajat kebebasan, bentuk kurvanya makin menceng kekanan
dan makin besar nilai derajat kebebasan (n → ), bentuk kurvanya makin
mendekati bentuk funsi normal. Chi square merupakan fungsi kontinu dan
nilainya tidak pernah negatif. Nilai rata-ratanya makin meningkat kalau nilai
derajat kebebasan juga makin meningkat. Kurva chi square dengan derajat
kebebasan ( )2
xx = .
Gambar 2.7 Kurva Chi Square
Berdasarkan Gambar 2.7 ( )2
E = = ; rata-rata chi square dengan
derajat kebebasan sebesar adalah sama dengan ; dan ( )2
Var = 2 = 2. Untuk
keperluan perhitungan nilai 2, tabel chi square telah dibuat menurut berbagai
nilai derajat kebebasan. Dalam tabel, derajat kebebasan sering diberi simbol , r,
atau n dan sering disingkat dof atau df. Dalam membaca tabel chi square, agar
diperhatikan simbol (notasi) di bagian atas yang digunakan dalam tabel tersebut.
Tabel chi square memuat nilai 2, dan bukan nilai probabilitas seperti halnya tabel
distribusi normal. Untuk > 100, distribusi chi square mendekati distribusi
normal, di mana variabel Z sebagai variabel normal baku dapat diperoleh dengan
cara:
lxxii
Z = 122 2 −−
Nilai 2 dengan nilai derajat kebebasan yang berbeda dan tingkat
probabilitas yang berlainan dapat dilihat dalam tabel 2. Cara membaca Tabel Chi
Square, misalkan = probabilitas bahwa chi square mengambil nilai sama atau
lebih besar dari nilai yang terdapat pada tabel chi square dengan derajat
kebebasan sebesar . Nilai chi square dari tabel diberi simbol 2
, .
P ( ) = 2,
2
Kalau = 10, dan = 10% maka luas daerah dari kurva chi square
berdasarkan tabel chi square terletak di sebelah kanan dari ( ) ( )2
,10,0 n = 16,00.
= 0,1 (atau 10%)
P(2 ≥ 16) = 0,10
16
Gambar 2.8 Luas Daerah Kurva Chi Square
Sebagian dari tabel chi square ditampilkan pada tabel berikut.
90%
(0,90) 50%
(0,50) 10%
(0,10) 5%
(0,05)
1 0,01 0,45 2,71 3,84
5 1,61 4,35 9,24 11,10
10 4,87 9,34 16,00 18,30
20 12,40 19,30 28,40 31,40
30 20,60 29,30 40,30 43,80
40 29,10 39,30 51,80 55,80
Tabel chi square memuat nilai hasil perhitungan kumulatif. Misalnya dari
tabel di atas, untuk derajat kebebasan sebesar = 10, luas kurvanya sebesar 90%
terletak disebelah kanan titik di mana 2 = 4,87.
lxxiii
0
6 dan 24 dk
6 dan 10 dk
f
8. Distribusi Fisher (F)
Distribusi F juga merupakan distribusi dari variabel acak kontinu.
Distribusi F memiliki dua derajat kebebasan, yaitu N1 = derajat kebebasan
pembilang dan N2 = derajat kebebasan penyebut. Bentuk grafik distribusi F tidak
semitris, tetapi agak positif. Untuk perhitungan Tabel F seperti pada Lampiran 12.
Misalnya berapa nilai F untuk α = 0,05 bila N1 = 15 dan N2 = 25? Untuk
keperluan tersebut harus diperiksa derajat kebebasan pembilang 15 di bagian atas
dan derajat kebebasan penyebut 25 di bagian bawah. Selanjutnya ditemukan
koefisien sebesar 2,09.
Distribusi F adalah prosedur statistika untuk mengkaji (mendeterminasi)
apakah rata-rata hitung (mean) dari 3 (tiga) populasi atau lebih, sama atau tidak.
Distribusi F digunakan untuk menguji rata-rata atau nilai tengah dari tiga atau
lebih populasi secara sekaligus, apakah rata-rata atau nilai tengah tersebut sama
atau tidak sama. Kurva distribusi F tidak hanya tergantung pada kedua parameter
v1 dan v2, tetapi juga pada urutan keduanya ditulis. Begitu kedua bilangan itu
ditentukan, maka kurvanya menjadi tertentu. Gambar 2.9 adalah kurva khas
distribusi F.
Gambar 2.9 Kurva Distribusi F
Distribusi F akan dipakai untuk memeriksa kesamaan rata-rata dari
beberapa group sampel yang diambil secara independen. Ada dua faktor yang
akan menentukan apakah perbedaan rata-rata sampel memang nyata atau tidak,
yaitu: (1) variasi di dalam sampel (within); dan (2) variasi antar sampel (between).
lxxiv
LATIHAN SOAL
1. Sebuah perusahaan real estate menawarkan kepada calon pembeli 3 tipe
rumah, 3 macam sistem pemanasan, dan 2 bentuk garasi. Berapa rancangan
rumah yang tersedia bagi calon pembeli?
2. Sebuah kotak berisikan 5 kelereng berwarna merah dan 4 kelereng berwarna
putih. Dua kelereng diambil secara berurutan tanpa pengembalian dan
ternyata kelereng kedua berwarna putih. Berapakah peluang bahwa kelereng
yang pertama juga berwarna putih?
3. Statistik menunjukkan bahwa 47.773 dari 100.000 orang yang berusia 20
tahun, diantaranya hidup hingga usia 70. Berapakah peluang seseorang yang
berusia 20 akan hidup hingga usia 70? Berapa pula peluang bahwa dia akan
meninggal sebelum usia 70?
4. Peluang suami dan istri akan hidup 20 tahun lagi dari sekarang masing-
masing adalah 0,8 dan 0,9. Hitunglah peluang dalam 20 tahun:
a. Keduanya masih hidup
b. Keduanya meninggal
c. Paling sedikit satu di antaranya masih hidup
5. Lakukanlah undian dengan dua buah dadu. Berapakah peluang yang akan
didapatkan:
a. 12 buah d. Paling banyak 4 buah
b. 7 buah e. Paling sedikit 7 buah
c. 6 buang f. Tidak kurang dari 5 buang
6. Lakukanlah undian dengan 4 buah mata uang logam lima ratus rupiah.
Berapakah peluang yang akan didapat:
a. 4 muka G di sebelah atas
b. 2 muka M di sebelah atas
7. A dan B main catur 20 kali dan ternyata A menang 12 kali, B menang 6 kali,
dan 2 permainan lagi remis. Data empirik ini digunakan untuk menentukan
peluang permainan berikutnya antara A dan B. Misalnya selanjutnya A dan B
akan bermain sebanyak 3 kali, tentukan peluangnya bahwa:
a. A akan memenangkan ketiga permainan (hasil tiap permainan bersifat
independen)
lxxv
b. Satu permainan berakhir remis
c. Paling sedikit A menang satu kali
8. Carilah distribusi peluang untuk mendapatkan muka G bila digunakan lima
buah mata uang logam lima ratus rupiah secara bersama-sama!
9. Hitunglah peluang memeroleh 16 kali muka G, bila dilakukan 40 kali
lemparan.
10. Hitunglah peluang seseorang akan mendapatkan reaksi buruk setelah minum
satu obat penenang besarnya = 0,0005 dari 8000 orang yang minum obat
penenang tersebut. Tentukanlah peluang yang mendapatkan rekasi buruk:
a. Tidak ada
b. Paling sedikit 5 orang
c. Lebih dari 2 orang
11. Hitunglah luas antara:
a. Antara z = 0 sampai dengan z = 1,96
b. Antara z = 0 sampai dengan z = –1,96
c. Antara z = –0,6 sampai dengan z = 2,55
d. Antara z = –1,5 sampai dengan z = 1,82
e. Atara z = –1,4 sampai dengan z = –2,65
lxxvi
DAFTAR RUJUKAN
Aiken, L. R. 1997. Psychological Testing and Assesment. Boston: Allyn & Bacon.
Amaluddin. 2010. Kebijakan Moneter, Investasi Swasta, dan Tingkat Output di
Indonesia: Suatu Aplikasi Granger Causality Test, Periode 1999-2009.
Cita Ekonomika, Jurnal Ekonomi Fakultas Ekonomi Universitas Pattimura,
IV(2): 91-111.
Ardhana, W. 1982. Beberapa Metode Statistik untuk Penelitian Pendidikan.
Surabaya: Usaha Nasional.
Aslamiah. 2014. Interaksi Kepimpinan dan Persekitaran Pembelajaran dengan
Kepuasan dan Komitmen Guru di Banjarmasin Kalimantan. Disertasi
tidak diterbitkan. Sintok, Kedah: Universiti Utara Malaysia.
Bentler, P. M. 1988. Causal Modeling via Structural Equation Systems. Dalam
Nesselroade, J. R., dan Cattell, R. B. (Eds.), Handbook of Multivariate
Experimental Psychology (hlm. 317-335). New York: Plenum.
Bryman, A., dan Cramer, D. 2005. Quantitative Data Analysis with SPSS 12 and
13 A Guide for Social Scientists. London: Routledge Taylor & Francis
Group.
Byrne, B. M. 1998. Structural Equation Modeling with LISREL, PRELIS, and
SIMPLIS: Basic Concepts, Applications, and Programming. New Jersey:
Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
Byrne, B. M. 2000. Structural Equation Modeling With AMOS: Basic Concepts,
Applications, and Programming Multivariate Applications Book Series.
New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
Clark-Carter, D. 2004. Quantitative Psychological Research: A Student’s
Handbook. New York: Psychology Press.
Cramer, D., dan Howitt, D. 2004. The SAGE Dictionary of Statistics: A Practical
Resource for Students in the Social Sciences. London: SAGE Publications.
Deptan. 2007. Analisis Jalur (Online). (http://www.deptan.go.id, diakses 4 Januari
2009).
Diekhoff, G. 1992. Statistics for the Social and Behavioral Sciences: Univariate,
Bivariate, Multivariate. Dubuque: Wm. C. Brown Publishers.
Dunson, D. B., Palomo, J., dan Bollen, K. 2005. Bayesian Structural Equation
Modeling. New York: Statistical and Applied Mathematical Sciences
Institute.
lxxvii
Everit, B. S., dan Dunn, G. 1991. Applied Multivariate Data Analysis. New York:
Halsted Press.
Fruchter, B. 1994. Introduction to Factor Analysis. New York: Nostrand
Company, Ltd.
Garson, D. A. 2003. Structural Equation Modeling: Quantitative Research in
Public Administration. New York: Prentice-Hall, Inc.
Grace, J. B. 2006. Structural Equation Modeling and Natural Systems.
Cambridge: Cambridge University Press.
Gunawan, I. 2013. Statistika untuk Kependidikan Sekolah Dasar. Yogyakarta:
Penerbit Ombak.
Hadi, S. 1998. Statistik: Jilid 2. Yogyakarta: Andi Offset.
Hair, J. F., Anderson, R. E., Babin, B. J., dan Black, W. C. 2010. Multivariate
Data Analysis: A Global Perspective. New Jersey: Pearson Education.
Hatani, L. 2008. Statistika Ekonomi Lanjutan. Kendari: Jurusan Manajemen
Fakultas Ekonomi Universitas Haluoleo.
Huberty, C. J., Jordan, E. M., dan Brandt, W. C. 2005. Cluster Analysis in Higher
Education Research. Dalam Smart, J. C. (Eds.), Higher Education:
Handbook of Theory and Research (Volome 20, hlm. 437-457). Great
Britain: Springer.
Johnson, N., dan Wichern, D. 1998. Applied Multivariate Statistical Analysis.
Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc.
Joreskog, K. G., dan Sorbom, D. 1989. Lisrel 7 User’s Reference Guide.
Mooresville: Scientific Software, Inc.
Kaplan, D. 2000. Structural Equation Modeling: Foundations and Extensions
Advanced Quantitative Techniques in the Social Sciences. London: Sage
Publications, Inc.
Karim, dan Hadi, S. 2007. Analisis Regresi Berganda dan Analisis Faktor.
Banjarmasin: Program Studi Magister Manajemen Pendidikan Program
Pascasarjana Universitas Lambung Mangkurat.
Kaufma, L., dan Peter, J. R. 1990. Findings Group in Data: An Introduction to
Cluster Analysis. New York: Jhon Willey and Sons, Inc.
Kerlinger, F. N. 1986. Foundations of Behavioral Research. New York: Holt,
Rinehart and Winston Inc.
lxxviii
Klecka, W. R. 1980. Discriminant Analysis. Beverly Hills, CA and London: Sage
Publications.
Lee, S. Y. 2007. Structural Equation Modeling: A Bayesian Approach. West
Sussex: John Wiley & Sons Ltd.
Maholtra, N. K. 1996. Marketing Research: An Applied Orientation. New Jersey:
Prentice Hall, Inc.
Maruyama, G. M. 1998. Basic of Structural Equation Modeling. New York: Sage
Publications.
Mason, E., dan Bramble, W. J. 1978. Understanding and Conducting Research:
Applications in Education and the Behavioral Sciences. New York:
McGraw-Hill Book Co.
Mills, F. C. 1959. Introduction to Statistics. New York: Henry Holt and Company.
Moehnilabib, M. 1985. Variabel dan Hipotesis. Kumpulan Makalah disajikan
dalam Penataran Tenaga Peneliti Angkatan VI tanggal 1 November 1984
s.d. 26 Januari 1985 di IKIP Malang. Malang: Pusat Penelitian IKIP
Malang.
Munir, A. R. 2010. Aplikasi Analisis Faktor untuk Persamaan Simultan dengan
SPSS Versi 12. Makassar: Jurusan Manajemen Fakultas Ekonomi
Universitas Hasanuddin.
Norusis, M. J. 1993. Advanced Statistics SPSS/PC+ for the IBM PC/XT/AT.
Michigan, Chicago Illinois: Michigan Avenue.
Panter, A. T., Swygert, K. A., Danistrom, W. G., Tanaka. 1997. Factor Analytic
Approaches to Personality Item-Level Data. Journal of Personality
Assesment, 68(3): 561-589.
Park, H. M. 2003. Structural Equation Model (SEM) using LISREL. New York:
Joint Public Policy.
Piaw, C. Y. 2014. Statistik Penyelidikan Lanjutan: Ujian Regresi, Analisis Faktor,
dan Analisis SEM. New York: McGraw-Hill.
Primadini, I. 2012. Pengaruh Gaya Kepemimpinan Perempuan dan Tingkat
Kepuasan Komunikasi terhadap Tingkat Kinerja Karyawan (Studi pada
Staf Administrasi Fakultas Ilmu Keperawatan Universitas Indonesia).
Tesis tidak diterbitkan. Jakarta: Program Pascasarjana Universitas
Indonesia.
Raykov, T., dan Marcoulides, G. A. 2006. A First Course in Structural Equation
Modeling. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
lxxix
Rutherford, R. D. 1993. Statistical Model for Causal Analysis. New York: John
Wiley & Sons, Inc.
Riduwan. 2004. Dasar-dasar Statistika. Bandung: Alfabeta.
Riduwan. 2006. Metode dan Teknik Menyusun Tesis. Bandung: Alfabeta.
Riduwan, dan Kuncoro, E. A. 2007. Cara Menggunakan dan Memaknai Analisis
Jalur (Path Analysis). Bandung: Alfabeta.
Salkind, N. J. 2007. Encyclopedia of Measurement and Statistics. Thousand Oaks,
California: Sage Publications, Inc.
Salladien. 1997. Metodologi Penelitian Pendidikan. Malang: IKIP Malang.
Santoso, S. 2000. Buku Latihan SPSS Statistik Parametrik. Jakarta: Gramedia.
Santoso, S. 2006. Menggunakan SPSS untuk Statistik Nonparametrik. Jakarta: PT
Elex Media Komputindo.
Setyadin, B. 2005a. Desain dan Metode Penelitian Kuantitatif. Modul IV
disajikan dalam Penataran Tenaga Fungsional Akademik Politeknik
Kotabaru, Lembaga Penelitian Universitas Negeri Malang, Kotabaru
Kalimantan Selatan, 15 s.d. 22 Februari.
Setyadin, B. 2005b. Kajian Empirik-Teoritik dan Hipotesis. Modul III disajikan
dalam Penataran Tenaga Fungsional Akademik Politeknik Kotabaru,
Lembaga Penelitian Universitas Negeri Malang, Kotabaru Kalimantan
Selatan, 15 s.d. 22 Februari.
Setyadin, B. ([email protected]). 30 Mei 2007. Analisis Jalur. e-mail kepada
Imam Gunawan ([email protected]).
Sharma, S. 1996. Applied Multivariate Techniques. New York: John Wiley &
Sons, Inc.
Soedibjo, B. S. 2010. Statistika. Bandung: Jurusan Manajemen Informatika
Universitas Komputer Indonesia.
Statsoft. 2010. How To Group Objects Into Similar Categories, Cluster Analysis,
(Online). (http://www.statsoft.com/Textbook/Cluster-Analysis, diakses 26
April 2011).
Sudarmanto, R. G. 2005. Analisis Regresi Linear Ganda dengan SPSS.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
lxxx
Sudijono, A. 2006. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta: RajaGrafindo
Persada.
Sudjana, N. 2002. Metoda Statistik. Bandung: Tarsito.
Sugiyono. 2004. Metode Penelitian Administrasi. Bandung: CV Alfabeta.
Sugiyono. 2007. Statistika untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.
Sungkowo, B. T. 2003. Statistik Dasar. Malang: Jurusan Fisika FMIPA
Universitas Negeri Malang.
Supangat, A. 2007. Statistika dalam Kajian Deskriptif, Inferensial, dan
Nonparametrik. Jakarta: Penerbit Kencana Pernada Media Group.
Surakhmad, W. 1985. Pengantar Penelitian Ilmiah: Dasar, Metoda, Teknik.
Bandung: Tarsito.
Suryabrata, S. 1982. Metodologi Penelitian Analisis Kuantitatif. Yogyakarta:
Lembaga Pendidikan Doktor Universitas Gadjah Mada.
Sutanto, H. T. 2009. Cluster Analysis. Prosiding Seminar Nasional Matematika
dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA
Universitas Negeri Yogyakarta, hlm. 681-689, 5 Desember.
Tuckman, B. W. 1972. Conducting Educational Research. New York: Harcourt
Brace Jovanovich, Inc.
Usman, H., dan Akbar, P. S. 2009. Pengantar Statistika. Jakarta: Bumi Aksara.
Wavemetrics. 2014. Scheffe’s Test Demo, (Online).
(http://www.wavemetrics.com/products/igorpro/dataanalysis/statistics/tests
/statistics_pxp26.htm, diakses 23 Januari 2014).
Webley, P. 1997. PSY6003 Advanced Statistics: Multivariate Analysis II Manifest
Variables Analysis (Online). (www.people.exeter.ac.uk/SEGLlea/
multvar2/pathanal.html, diakses 7 Januari 2004).
Widyantini, T. 2004. Statistika. Modul disajikan dalam Diklat Instruktur /
Pengembang Matematika Sekolah Dasar Jenjang Lanjut, Pusat
Pengembangan Penataran Guru (PPPG) Matematika, Direktorat Jenderal
Pendidikan Dasar dan Menengah, Yogyakarta, 6 s.d. 19 Agustus.
Winarsunu, T. 2002. Statistik dalam Penelitian Psikologi dan Pendidikan.
Malang: Universitas Muhammadiyah Malang.
lxxxi
Wiyono, B. B. 2004. Metode Penelitian Kuantitatif. Malang: Program SP4
Jurusan Administrasi Pendidikan Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas
Negeri Malang.
Yuan, K., dan Bentler, P. M. 2009. A Unified Approach to Multigroup Structural
Equation Modeling with Nonstandard Samples. Dalam Marcoulides, G.
A., dan Schumacker, R. E., (Eds.)., New Developments and Techniques in
Structural Equation Modeling. New Jersey: Lawrence Erlbaum
Associates, Publishers.
lxxxii
DAFTAR RIWAYAT PENULIS
Prof. Dr. Sutarto Hadi, M.Si., M.Sc adalah Guru Besar Prodi
Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Lambung Mangkurat. Lulus Sarjana Pendidikan
Matematika Universitas Lambung Mangkurat tahun 1990,
Magister Matematika Universitas Gadjah Mada tahun 1996,
Magister Educational and Training Systems Design Universiteit
Twente tahun 1999, dan Doktor Curriculum/Mathematics
Education Universiteit Twente tahun 2002.
Beberapa matakuliah yang pernah diampu adalah: Statistik Inferensial,
Statistik Industri dan Bisnis, Metodologi Penelitian, dan Filsafat Ilmu. Beberapa
artikel yang pernah dipublikasikan adalah: Reforming Mathematics Learning in
Indonesian Classroom through RME, The International Journal on Mathematics
Education; The Impact of Workshop to Teachers’ Competencies in Innovation
Implementation, Proceeding 24th International Congress on School Effectiveness
and Improvement (ICSEI-2011), Limassol-Cyprus; Developing the Nation
Character through Realistic Mathematics Education, International Seminar and
The Fourth National Conference on Mathematics Education, Universitas Negeri
Yogyakarta; dan Mathematics Education Reform Movement in Indonesia, ICME-
12 Seoul, South Korea.
Beberapa penelitian yang pernah dilakukan adalah: Kemampuan Guru
dalam Menerapkan PMRI di Sekolah Dasar, Penelitian Stranas Direktorat
Jenderal Pendidikan Tinggi; Penyusunan Analisis Indikator Kota Pendidikan Kota
Banjarbaru, Lemlit Universitas Lambung Mangkurat dan Bappeda Kota
Banjarbaru; Survei Opini Publik tentang Pelaksanaan Ujian Nasional di Kota
Banjarmasin, Dewan Riset Daerah Provinsi Kalimantan Selatan; dan
Pengembangan Materi Pembelajaran Matematika Berbasis Konteks Lahan Basah
untuk Mendukung Penerapan Kurikulum 2013, Lemlit Universitas Lambung
Mangkurat. Beberapa buku yang pernah ditulis adalah: Pendidikan Matematika
Realistik dan Implementasinya, Tulip Banjarmasin (2005); Preparing Teachers for
RME Implementation, Lambert Academic Publishing (2010); dan Pendidikan
Matematika Realistik: Teori, Pengembangan, dan Implementasinya, Rajawali Pers
Jakarta (2017).
lxxxiii
Imam Gunawan, S.Pd., M.Pd adalah Dosen Jurusan Administrasi
Pendidikan Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas Negeri Malang.
Lulus Sarjana Jurusan Administrasi Pendidikan Universitas
Negeri Malang tahun 2007 dan Magister Manajemen Pendidikan
Universitas Lambung Mangkurat tahun 2010. Pengalaman
mengajar dimulai pada salah satu perguruan tinggi swasta di Kota
Madiun selama 3 tahun.
Matakuliah yang pernah diampu ialah Manajemen Sumber Daya Manusia;
Manajemen Sarana dan Prasarana; Manajemen Hubungan Masyarakat;
Manajemen Kelas; Kepemimpinan Pendidikan; Pengantar Pendidikan; Statistika;
dan Evaluasi Program Pendidikan. Beberapa artikel yang pernah dipublikasikan
ialah: Harapan untuk Rektor Baru Unlam, Banjarmasin Pos; Pengaruh Supervisi
Pengajaran dan Kemampuan Guru Mengelola Kelas terhadap Motivasi Belajar
Siswa, Ilmu Pendidikan Jurnal Kajian Teori dan Praktik Kependidikan;
Mengembangkan Alternatif-alternatif Pendekatan dalam Pelaksanaan Supervisi
Pengajaran, Manajemen Pendidikan; Educational Management of Natural Disaster
Response at Lapindo Mudsidoarjo East Java, Journal of Basic and Applied
Scientific Research; dan Instructional Management in Indonesia: A Case Study,
Journal of Arts, Science and Commerce.
Buku yang pernah ditulis adalah Statistika untuk Kependidikan Sekolah
Dasar, Penerbit Ombak Yogyakarta (2013); Metode Penelitian Kualitatif Teori
dan Praktik, Penerbit PT Bumi Aksara Jakarta (2013); Manajemen Hubungan
Sekolah dan Masyarakat (penulis kedua), Penerbit UM Press (2015); Manajemen
Kelas, Penerbit UM Press (2016); dan Manajemen Pendidikan: Suatu Pengantar
Praktik, Penerbit Alfabeta Bandung (2017). Kegiatan pengabdian kepada
masyarakat yang pernah dilaksanakan adalah Pengawas Pelaksanaan Ujian
Nasional di MA Ma’arif Mojopurno Tahun Pelajaran 2012/2013 Kabubaten
Magetan; Pendampingan Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berbasis
Kurikulum 2013 di MIS Kecamatan Lowokwaru Kota Malang; dan
Pendampingan Penerapan Strategi Pembelajaran Inovatif dalam Implementasi
Kurikulum 2013 di MIS Lowokwaru Kota Malang.
lxxxiv
Juhriyansyah Dalle, S.Pd., S.Si., M.Kom., Ph.D adalah Dosen
Jurusan Teknologi Informasi Fakultas Teknik Universitas
Lambung Mangkurat. Lulus Sarjana Pendidikan Matematika
Universitas Lambung Mangkurat tahun 2000, Magister Ilmu
Komputer Universitas Gadjah Mada tahun 2003, Sarjana
Matematika Universitas Terbuka tahun 2004, dan Doktor
Falsafah Teknologi Informasi Universiti Utara Malaysia tahun
2010.
Mata kuliah yang pernah diampu ialah Statistika Deskriptif, Statistika
Inferensial, Statistika, Interakasi Manusia dan Komputer, Riset Operasional, Need
Assesmen, Kalukulus, dan Aljabar Linear.
Beberapa artikel yang pernah dipublikasikan adalah: Making Learning
Ubiquitous with Mobile Translator using Optical Character Recognition (OCR),
Advanced Computer Science and Information System (ICACSIS); Konstruk
Penilaian Dalaman dan Luaran Sistem Informasi, Jurnal Sistem Teknik Industri;
Usability Considerations make Digital Interactive Book Potential for Inculcating
Interpersonal Skills, Jurnal Teknologi; The Relationship between PU and PEOU
Towards the Behavior Intention to use New Student Placement (NSP) System of
Senior High School in Banjarmasin, South Kalimantan, Indonesia, International
Journal of Science and Advanced Technology; Quantitative Instrument for
Measuring the Acceptability of Iris Biometric Authentication Approach in Public
Places, International Journal of Science and Advanced Technology; dan
Predictive Control Model of HIV/AIDS Spread with Emphasis in Nigeria,
International Journal of Science and Advanced Technology. Buku yang pernah
ditulis adalah: Aplikasi Pendidikan Karakter dan Pembelajaran yang
mencerdaskan Berbasis Hati Nurani, Ar-Ruzz Media (2014).
lxxxv
SINOPSIS
STATISTIKA INFERENSIAL: TEORI DAN PRAKTIK
Dewasa ini topik tentang analisis data menjadi kajian yang mendasar dan
krusial di segala bidang, baik bidang administrasi, manajemen, pendidikan, sosial,
dan eksak. Data akan bermakna, manakala analisis yang dilakukan juga akurat dan
jitu. Data yang diperoleh akan dijadikan acuan untuk mengestimasi masa depan,
baik peluang, tantangan, atau hambatan. Sebab pada dasarnya sebuah fenomena
berkaitan antara satu dengan yang lain. Sehingga diperlukan sebuah alat yang
digunakan agar tujuan tersebut tercapai. Statistika inferensial merupakan alat yang
digunakan dengan tujuan menginterpretasikan atau menafsirkan (inference) data.
Statistika inferensial digunakan untuk menarik kesimpulan dari beberapa orang,
kejadian, dan waktu untuk keseluruhan (generalisasi). Statistika inferensial
melibatkan banyak perhitungan matematis yang sangat kompleks, namun seiring
dengan kemajuan teknologi informasi telah memungkinkan pengolahan dan
analisis data pada sebuah model statistika dilakukan dengan mudah dan cepat.
Buku ini membahas tentang teori peluang, distribusi probabilitas,
pengujian asumsi klasik, dan pengujian hipotesis (asosiatif, komparatif, dan
sebab-akibat). Pengujian hipotesis dengan uji t, uji F, scheffe’s test, analisis
korelasi, analisis regresi, analisis kovarian, analisis jalur (path analysis), analisis
faktor, cluster analysis, dan structural equation modelling dibahas dalam buku
ini. Pada akhir setiap bab, disajikan soal-soal yang dapat dijadikan pembaca untuk
meningkatkan pemahaman dalam menerapkan sebuah formula perhitungan
statistika untuk menarik simpulan.
Berdasarkan tingkat kebutuhan praktis, buku ini tepat untuk digunakan
sebagai buku panduan perihal cara melakukan analisis data statistik selangkah
demi selangkah. Buku ini sangat dianjurkan sebagai buku acuan bagi para
mahasiswa, dosen, peneliti, praktisi, pembuat kebijakan, dan/atau mereka yang
berkecimpung atau bekerja dalam pengolahan data dan analisis data dengan alat
statistika.