HUKUM KEPLER

Mata Kuliah AS - 03

Pelatihan Astronomi

Lembang, 6 September 2004

Kepler lahir 27 -12 - 1571 di Weil der Stadt, Wurttemberg

Meninggal 15 - 11 - 1630 di Regensburg. Beberapa hasil karya:Penemuan supernova: 1604

Pembuatan teropong kepler: 1611

Ketiga hukum kepler: 1609, 1619

Pembuatan tabel logaritmik 8 digit u/ tabel astronomi Rudolphine: 1626, lih: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history /Mathema

ticians/Kepler.html

Ketiga hukum Kepler akan diturunkan secara umum melalui hukum gravitasi Newton. Dari penurunan tersebut disadari bahwa ketiga hukum kepler adalah manifestasi pergerakan dua benda di bawah gaya sentral ~ 1/r2, dengan r adalah jarak antara kedua benda yang menghubungkan kedua pusat massa benda yang berupa bola. Anggapan tersebut memenuhi untuk planet-planet di tatasurya.

I. Hukum Gerak Dua Benda (Two Body Problem)

Y

Z

X

(X1,Y1,Z1)

m1

(X2,Y2,Z2)

m2r

Pada benda 1 bekerja gaya tarik gravitasi sebesar

(I.1)

Gaya diurai dalam komponen X, Y, Z

md X

dtG m m

X X

r

md Y

dtG m m

Y Y

r

md Z

dtG m m

Z Z

r

1

21

2 1 21 2

3

1

21

2 1 21 2

3

1

21

2 1 21 2

3

(I.2a)

(I.2b)

(I.2c)

r X X i Y Y j Z Z k ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2

Dengan cara sama pada benda 2 bekerja gaya tarik gravitasi sebesar

md X

dtG m m

X X

r

md Y

dtG m m

Y Y

r

md Z

dtG m m

Z Z

r

2

22

2 1 22 1

3

2

22

2 1 22 1

3

2

22

2 1 22 1

3

(I.3a)

(I.3b)

(I.3c)

Koordinat Cartesian

Enam pers. diferensial gerak (1.2a s/d 1.3c) orde 2, dan bila dapat diselesaikan menghasilkan

koordinat (X1 ,Y1 ,Z1) dan (X2 ,Y2 ,Z2) sebagai fungsi waktu t.

Artinya Letak kedua benda setiap saat dapat diketahui atau ditentukan,

d.l.p. Lintasan atau Orbit kedua benda didapat eksak.

Enam p.d. orde ke-2 itu mempunyai 12 tetapan integrasi. Harga ke-12 tetapan integrasi dapat ditentukan dari keadaan awal kedua benda, y.i. Enam koordinat kedudukan awal (tiga koordinat X,Y,Z untuk masing-masing benda), dan enam komponen kecepatan awal (tiga komponen kecepatan awal vX ,vY ,vZ untuk masing-masing benda)

Tinjau dalam hal benda yang satu dianggap diam dan merupakan pusat koordinat (seperti gerak planet terhadap matahari) – gerak semacam ini disebut gerak benda yang satu relatif terhadap benda yang lain

Maka kita hanya perlu 6 tetapan: tiga koordinat kedudukan awal dan tiga komponen kecepatan awal benda yang bergerak

Tulis X = X2 – X1 ; Y = Y2 – Y1 ; Z = Z2 – Z1

dan M = m1 + m2

Diperoleh dari (I.3a, b, c)

(I.4a,b,c)

(I.5)

(I.6a,b,c)

Jadi benda kedua bergerak seperti di tempat benda pertama, ada massa yang besarnya sama dengan jumlah massa kedua benda

Kalikan (1.6b) dengan X dan (1.6a) dengan Y, perkurangkan dan integrasikan

Kalikan (1.6c) dengan Y dan (1.6b) dengan Z, perkurangkan dan integrasikan

Kalikan (1.6a) dengan Z dan (1.6c) dengan X, perkurangkan dan integrasikan

(I.9a,b,c)

Kalikan (I.9a,b,c) masing-masing dengan Z, X dan Y dan dijumlahkan a1Z + a2X + a3Y = 0 (I.10)

Persamaan bidang datar, orbit benda berada pada bidang datar tetap

Kalikan (1.6a) dengan 2(dX/dt) dan (1.6b) dengan 2(dY/dt) dan (1.6c) dengan 2(dZ/dt) dan ketiganya dijumlahkan

(I.12)

r X Y Z2 2 2 2

Jarak antara kedua benda r dan kecepatan benda v nyatakan dengan

(I.13)

(I.14)

Dari (I.12), (I.13) dan (I.14) diperoleh

(I.15)

Integrasikan persamaan dan hasilnya adalah

dengan h tetapan integrasi (I.16)

Definisikan energi potensial gravitasi benda 2

V = - G m2M / r(I.17)

Definisikan energi kinetik benda 2

T = ½ m2v2 (I.18)

Persamaan (I.16), (I.17), (I.18) menghasilkan

T +V = h’ (I.19)

Artinya, energi total benda tetap selama gerak dalam orbitnyaAkan dicari apa makna matematis dari ketiga Hukum Pergerakan Kepler

Hk. Kepler I Orbit planet berupa elips dengan matahari di tiik fokus elips

Hk. Kepler II Garis hubung matahari planet dalam selang waktu sama menyapu luas daerah yang sama

Hk. Kepler III Kuadrat waktu edar planet mengitari matahari sebanding dengan pangkat tiga setengah sumbu panjang elips

Pilih bidang orbit sebagai bidang (X,Y). Jadi gerak benda hanya ditentukan oleh persamaan yang mengandung variabel X dan Y saja. Jadi hanya persamaan (I.9a) dan (I.16) yang relevan.

dengan h tetapan integrasi (I.16)

Kita beralih ke tata koordinat Cartesian ke tata koordinat Kutub dengan cara

(I.20)(I.21)

X = r cos ; Y = r sin

(I.21) dan (I.20) menjadi

(I.26)(I.24)(I.25)

Dari (I.24) dan (I.25) diperoleh (I.27)

Nyatakan ur c

1

2

(I.28) (I.29)

Pemecahan persamaan differensial (I.28) adalah

dengan tetapan integrasi dan nyatakan (I.30) dalam variabel lama

u H co s( ) (I.30)

ur c

1

2

Diperoleh

rp

e

pc

ehc

1

1

2

2

2

1

2

co s

( )

(I.31)

(I.33)

(I.32)

(I.34)

Persamaan (I.31) adalah persamaan irisan kerucut. Irisan kerucut dapat: lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.

Elips adalah sebuah irisan kerucut jadi membuktikan Hk. Kepler I

p = parameter kerucut, e = eksentrisitas, = anomali benar (lihat gambar)

Dalam hal benda pusat; matahari, perifokus (B) menjadi perhelion dan apofokus (A) menjadi apohelion

Dalam hal bintang ganda, benda pusat adalah bintang, kedua titik menjadi periastron dan apoastron

Setengah jarak AB: setengah sumbu besar dan ditulis a yang harganya p = a(1-e2) (I.35)

Titik perifokus dicapai bila = 00 atau r=a(1-e), sedang apofokus bila = 1800 atau r=a(1+e)

Catat: benda pusat m1 di titik fokus orbit

Sudut kedudukan perifokus terhadap garis acuan tertentu: garis potong bidang orbit dan bidang langit (bidang tegaklurus garis pandang).

Bila h < 0 dan e < 1 , orbit berupa elips,

h = 0 dan e = 1, orbit berupa parabola,

h > 0 dan e > 1, orbit berupa hiperbola.

Dari persamaan (I.19) bahwa harga h ditentukan energi total orbit.

Perhatikan dari persamaan (I.25) dapat ditulis

½ r2d= ½ c dt (I.36)

Ruas kiri adalah luas segitiga yang disapu vektor radius dalam waktu dt. Untuk selang waktu tetap atau sama, ruas kanan akan tetap pula. Ini adalah Hk. Kepler II

Akibat hukum itu. Bila benda berada di dekat perifokus akan bergerak cepat, sedang di sekitar apofokus kecepatannya rendah. Integrasi persamaan (I.36)

luas Elips A = 1/2 c Periode P

A = ab = a2 (1 – e2)1/2

Jadi cP = 2 a2 (1 – e2)1/2 , diperoleh harga c

Dengan (I.32), (I.35) dan (I.39) didapat

a3/P2 = /42 atau (I.26)

a3/P2 = G (m1 + m2) / 42

Dalam hal planet mengitari matahari m1 = M0 massa matahari dan m2 massa planet, karena m2 << M0 maka a3/P2 = GM0 / 42 = Konstan

Ini membuktikansemua planet harga a3/P2 merupakan perbandingan yang tetap. Hk. Kepler III

Dalam hal orbit lingkaran dengan jari-jari a, maka e = 0, maka v = 2a/P

didapat v2= GM0 /a

(I.37)

(I.38)

(I.39)

Latihan: Perlihatkan dengan menuliskan (I.32), (I.33) dan (I.35) diperoleh (I.16);

v G Mr a

2 2 1 ( )

Dari (I.32): pc

2

Dan (I.33): e

hc ( )1

2

2

1

2

Dan (I.35): p = a(1-e2)

Didapat a = -/h, atau h = -/a, maka dari (I.16): v

G M

rh2 2

v G Mr a

2 2 1 ( )

Kecepatan di dalam Orbit Elips

Kepler menemukan orbit planet mengitari matahari. Tetapi tidak bisa menjelaskan mengapa planet-planet bisa tetap di dalam orbit.

Jawab ada dua faktor yang menyebabkan planet-planet tetap di dalam orbit yakni Inersia dan gravitasi

Inersia : kecendrungan obyek tetap bergerak dalam garis lurus atau diam

Gravitasi : berupaya menarik agar obyek jatuh bebas ke benda yang menarik.