BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks dan Operasi Matriks 2.1.1 DefinisiMatriksadalahsuatukumpulanangka-angkaseringdisebutjugaelemen-elemenyangdisusunberdasarkanbarisdankolomsehinggaberbentukempat persegipanjangdimanapanjangdanlebarnyaditentukanolehbanyaknyakolom dan baris yang dibatasi dengan tanda kurung. A = |||||.|

\|nm m m mnna a a aa a a aa a a a 3 2 11 23 22 211 13 12 11

Atau disingkat dengan : ( aij j = 1, 2, , n ) , i = 1, 2, .. , m Matriksdiatasdisebutmatriksberukuranmxnterdiridarimbarisdannkolom. Setiapaijdisebutelemen(unsur)darimatriksitusedangkanindeksidanj berturut-turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen aij terdapat pada baris ke-idankolomke-j.Matriksbujursangkaradalahmatriksdimanabanyaknyabaris sama dengan banyaknya kolom (m=n). 2.1.2 Teorema Matriks 1.JikaA=( )ija danB=( )ijb keduanyaadalahmatriksberukuranmxn, maka A+B =( )ij ijb a +2.JikaA=( )ija matriksberukuranmxndankadalahskalar,makak.A= ( )aijkUniversitas Sumatera Utara3.JikaA=( )ija matriksberukuranmxpdanB=( )ijb matriksberukuran pxnmakaperkalianmatriksAxBberlakuapabilasejumlahkolom matriks A sama dengan jumlah matriks B. AB = ((

=PKkj ik b a1. 4. JikaA=( )ija danB=( )ijb keduanyaadalahmatriksberukuranmxn makaA= B jika aij = bijA untuk semua i,j B jika aij bijA > B jika a untuk semua i,j ij > bij untuk semua i,j Demikian halnya untuk A B dan A < B 5.Matriks bujur sangkar (square) adalah matriks dimana jumlah banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m=n). A = |||||.|

\|mn m m mnna a a aa a a aa a a a 3 2 12 23 22 211 13 12 11 6.MatriksIdentitas(In )adalahmatriksbujursangkaryangmempunyai angkasatudisepanjangdiagonalutama(diagonaldarikiriatasmenuju kanan bawah) elemen yang lainnya adalah nol. In |||||.|

\|1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1= Universitas Sumatera Utara7.Matrikstransposadalahjikabarisdankolomdarisuatumatriksmxn dipertukarkan(barispertamadengankolompertamadanseterusnya), maka diperoleh suatu matriks nxm yang disebut transpos. Atau disingkat dengan At atu AIA = .Contoh : makaa aa aa a|||.|

\|32 3122 2112 11

At |||.|

\|32 22 1231 21 11a a aa a a= 8.MatriksKuadratadalahmatriksyangmemilikibarisdankolomyang sama banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen-elemen a11, a22,.., ann) ( ,1j i aniij==disebutelemendiagonalutama.Jumlahelemen-elemendiagonal utamasuatumatrikskuadratAdisebuttraceAditulistr(A).tr(A)= Amxn =(((((((

mn n nnna a aa a aa a a2 12 22 211 12 11 tr (A) = a11+ a22 ++ a nn 2.2 Operasi Matriks 2.2.1 Perkalian Skalar Definisi : Jika A = [aij] adalah matriks mxn dan r adalah suatu skalar, maka hasil kali A dari r adalah B = [bij] matrik mxn dengan bij = raij Contoh :(1 i m, 1 j n). A =maka r diberikan dengan 43 97 2=((

Universitas Sumatera Utara4A = ((

=((

12 3628 83 97 24 2.2.2 Perkalian Matriks Definisi : Jika A = [aij] adalah matriks mxp dan B = [bij C] adalah matriks pxnmaka hasil kali dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan AB adalah C matriks mxn. Secara matematik dapat ditulis sebagai berikut : ij = aijbij + ai2b2j + ..+ aipbpj ( ) n j m i b apkkj ik =1 , 11= 2.2.3 Penjumlahan Matriks Definisi : JikaA=[aij]adalahmatriksmxpdanB=[bij]adalahmatrikspxnmaka penjumlahan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan C = [Cij] dimana Cij = aij + bij (i = 1,2,.,m ; j = 1,2,.,n) 2.2.4 Pengurangan Matriks Definisi : JikaJikaA=[aij]adalahmatriksmxpdanB=[bij]adalahmatrikspxn makapengurangandarimatriksAdanmatriksByangditulisdenganC=[Cij] dimana Cij = aij - bij (i = 1,2,.,m ; j = 1,2, ,n) 2.2.5Invers Matriks Definisi : Misalkan A matriks nxn disebut nonsingular jika terdapat matriks B makaAB = BA = IMatriksBdisebutinversdariA.JikatidakterdapatmatriksBmakamatriksA disebut singular. n Universitas Sumatera UtaraContoh : Invers dari matriks : A2x2adalah((

1 34 2= B= (((

102103104101 Karena : BA=I =((

=((

(((

1 00 11 34 2102103104101 AB= ((

1 34 2(((

102103104101I =((

=1 00 1 2.2.6 Determinan Matriks Definisi : MisalkanA=[aijdet(A)=[A] ]adalahmatriksnxn.FungsideterminandariAditulis dengan det (A) atau [A]. Secara matematikanya ditulis dengan : ( ) { }= n himpunanS merupakan j j j dengan a a an njn j IjI,.., 2 , 1 .... ....2 1 2 2 2.2.7 Teorema : JikaA=[aijContoh : A]adalahmatriksnxnyangmengandungsebarisbilangannol, maka [A] = 0 3x300 0 04 1 23 2 1= ((((

A = 2.3 Teori Permainan (Game Theory) 2.3.1 DefinisiTeoripermainanadalahpendekatanmatematisuntukmerumuskan situasipersaingandankonflikantaraberbagaikepentingan.Teoriini Universitas Sumatera Utaradikembangkanuntukmenganalisaprosespengambilankeputusandarisituasi-situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan. Kepentingan-kepentinganyangbersaingdalampermainandisebutparapemain (players).Model-modelteoripermainandapatdiklasifikasikandengansejumlah cara,sepertijumlahpemain,keuntungandankerugiandanjumlahstrategiyang digunakandalampermainan.Sebagaicontoh,bilajumlahpemainadalahdua, permainandisebutsebagaipermainandua-permain.Begitujuga,bilajumlah pemain adalah N permainan disebut N-pemain. Dalam studi formal tentang konflik dan kooperasi konsep teori permainan dapat diterapkan ketika setiap kegiatan dari objek pelaku adalah saling bergantung satudenganyanglainnya.Objekpelakuinidapatberupaindividu,group, perusahaan,ataukombinasinya.Konsepteoripermainanmenyediakansebuah bahasauntukmemformulasi,menstruktur,menganalisadanmengertiskenario strategi. Idedasardariteoripermainanadalahtingkahlakustrategisdaripemainatau pengambilkeputusan(playerordecisionmaker).Setiappemaindianggap mempunyaisuatuserirencanaataumodeltingkahlakudarimanadiabisa memilih,kalaukitamemilikisuatuhimpunanstrategi.Perludiperhatikandisini bahwateoripermainanmenekankantidakhanyamenekankanstrategiatau gerakan-gerakanyangdiambil bagi pengambil keputusan (pemain) yang tunggal, akan tetapi tindakan yang dilakukan dalam situasi dimana pemain lainnya sebagai lawannyajugaberbuatsesuatuuntukmelakukangerakan-gerakansesuaidengan strategiyangdipilihnya.Lebihlanjuttindakanseorangpemainakan mempengaruhi gerakan pemain lawannya secara langsung. Dengan perkataan lain, setiap pemain berada dalam lingkukan yang dinamis bukan statis. Kegunaandariteoripermainanadalahmetodologiyangdisediakannya untukmenstrukturdanmenganalisamasalahpemilihanstrategi.Untuk menggunakanteoripermainan, maka langkah pertama adalahmenentukan secara eksplisitpemain,strategiyangada,danjugamenentukanpreferensisertareaksi dari setiap pemain. Universitas Sumatera UtaraTujuandariteoripermainanadalahmenentukansuatustrategiyang memenuhikriteriaNashequilibriumsehinggasetiappemaiandalamsuatu permainan tidak dapat mengambil keuntungan dengan cara mengubah strateginya secara sepihak. 2.4 Unsur unsur Dasar Teori Permainan Berikutiniakandiuraikanbeberapaunsuratauelemendasaryangpenting dalampenyelesaiandarisetiapkasusdenganteoripermainandenganmengambil permainan dua pemain jumlah nol. Tabel 2.1 Permainan Dua Pemain Jumlah Nol Pemain APemain B B B1B2 3 A 6 192 A 8 254 Dari tabel diatas dapat diuraikan unsur-unsur dasar teori permainan :1.Angka-angkadalammatrikspayoff,ataubiasadisebutmatrikspermainan, menunjukkanhasil-hasildaristrategi-strategipermainanyangberbeda-beda. Hasil-hasil ini dinyatakan dalam suatu bentuk ukutan efektivitas, seperti uang, persentase marketshare. Dalam permainan dua-pemain jumlah nol, bilangan-bilanganpositifmenunjukkankeuntunganbagipemainbaris(maximizing player),danmerupakankerugianbagipemainkolom(maximizingplayer). Sebagaicontoh,bilapemainAmempergunakanstrategiA1danpemainB memilihstrategiB22.Suatustrategipermainanadalahrangkaiankegiatanataurencanayang menyeluruhdariseorangpemain,sebagaireaksiatasaksiyangmungkin dilakukan oleh pemain lain yang menjadi pesaingnya. Dalam hal ini dianggap bahwasuatustrategitidakdapatdirusakolehparapesaingataufaktorlain. ,makahasilnyaAmemperolehkeuntungan9danB kerugian 9. Anggapannya bahwa matriks payoff diketahui oleh kedua pemain. Universitas Sumatera UtaraDalam tabel 2.1 pemain A mempunyai 2 strategi yaitu A1 dan A2 dan pemain B mempunyai 3 strategi yaitu (B1, B2, B33.Aturan-aturanpermainanmenggambarkankerangkadenganmanapara pemain memilih strategi mereka. Sebagi contoh, dipakai anggapan bahwa para pemainharusmemilihstrategi-strategimerekasecarasimultandanbahwa permainan adalah berulang. ). 4.Nilaipermainanadalahhasilyangdiperkirakanpermainanataupayoffrata-ratadarisepanjangrangkaianpermainan,dimanakeduapemainmengikuti ataumempergunakanstrategimerekayangpalingbaikatauoptimal.Suatu permainan dikatakan adil (fair) apabila nilainya nol, dimana tak ada pemain yangmemperolehkeuntungan atau kemenangan. Permainan dikatakan tidak adil (unfair) apabila nilainya bukan nol. 5.Suatustrategidikatakandominanbilasetiappayoffdalamstrategiadalah superiorterhadapsetiappayoffyangberhubungandalamsuatustrategi alternatif.Sebagaicontoh,untukpemainB,keduastrategiB1danB2 didominasiolehstrategiB3.Olehkarenaituuntukmaksudpemecahan permainan ini, kolom-kolom B1 dan B2 dapat dihilangkan dari matrik payoff. Kemudian permainan dipecahkan dengan pemain B memilih B3 dan pemain A memilihA26.Suatustrategioptimaladalahrangkaiankegiatan,ataurencanayang menyeluruh,yangmenyebabkanseorangpemaindalamposisiyangpaling menguntungkantanpamemperhatikankegiatan-kegiatanparapesaingnya. Pengertianposisimenguntungkanadalahbahwaadanyadevisi (penyimpangan) dari strategi optimal, atau rencana optimal, akan menurunkan payoff. .Nilaipermainanadalah4.Aturandominaninidapatdigunakan untuk mengurangi ukuran matriks payoff dan upaya perhitungan. 7.Tujuandarimodelpermainanadalahmengindentifikasikanstratagiatau rencanaoptimaluntuksetiappemain.Daricontohdiatas,strategioptimal untuk A adalah A2, B3 adalah strategi optimal untuk B. 2.4.1Jenis Situasi Permainan Kategori situasi permainan dibagi 2 yaitu : Universitas Sumatera Utara1)Situasi permainan jumlah dua pemain (two person game) 2)Situasi permainan jumlah lebih dari n- pemain (n-person game) Klasifikasi pemain dibagi 2 yaitu: 1)Zero sum game (Permainan jumlah nol) adalahPermainan jumlah nol adalah jika jumlah kerugian dan keuntungan kedua pemain sama dengan nol. Artinya hasil dari maksimin dan minimaks selalu sama. Seperti tabel dibawah ini: Tabel 2.2 Permainan Jumlah Nol Zero sum game 1Player II AB Player Ia84 b42 2)Non- zero sum game (Permainan jumlah tidak nol adalah) : Disiniditemukandalamkehidupanriil.Dalampermainaninihasildari keuntungandankerugiantidaksamadengannol.Daniniseringdiselesaikan dengan metode strategi campuran. Seperti gambar dibawah ini : Tabel 2.3 Permainan Jumlah Tidak Nol Non Zero sum gamePlayer II B B1 B23 Player I A 2 1 57 A -1 2 24 A 6 319 Universitas Sumatera Utara2.4.2Strategi2.4.2.1Definisirencanatindakanyangdiikutiolehseorangpemain.Setiap pemain memiliki dua atau lebih strategi, hanya satu yang dipilih untuk dimainkan. Ada dua jenis strategi dalam permainan yaitu : a.Strategimurni(PureStrategy)adalahdisinipemainmempergunakan strategitunggal.Dalampermainanstrategimurni,pemainbaris mengidentifikasikan strategi optimalnya melalui aplikasi kriteria maksimin (maximin).Sedangkanpemainkolom(minimizingplayer)menggunakan kriteriaminimaks(minimax)untukmengidentifikasikanstrategi optimalnya. Dalam hal ini nilai yang dicapai harus merupakan maksimum danminimaksbaridanminimumdarimaksiminkolomsekaligus.Pada kasus tersebut suatu titik keseimbanngan telah dicapai, dan titik ini sering dikenal sebagai titik pelana (saddle point). Bilanilaimaksimintidaksamadengannilaiminimaks,titikpelanatidak dapatdicapai,sehinggapermainantidakdapatdipecahkandengan mempergunakanstrategimurni.Permainantanpatitikpelanadapat dipecahkan dengan menggunakan strategi campuran (mixed strategy). Contoh : Kasus teori permainan dalam strategi murni MisalkandalamsuatuperusahaanAdanBakanmelihatseberapabesar keuntunganyangdiperolehdalamproyekyangakanditelitiolehkedua perusahaan tersebut. Maka dapat digambarkan dalam suatu tabel matriks. DalamsuatuperusahaaninidianggapAmempunyai2strategidanB mempunyai tiga strategi. Maka akan disusun seperti tabel dibawah ini : Universitas Sumatera UtaraTabel2.4Permainan dengan kriteria maksimin dan minimaks AB B1B2Min baris 3 A 1 1921 A 8 2544 Mak kolom 894 DaritabeldiatasAmempunyai2strategi/pilihanyangtersediadanB mempunyai 3 strategi/pilihan yang tersedia. Sekarang A dapat memilih strategi A1 dan A2 . Hasilnya dari pemilihan tersebut adalah sebagai berikut : Strategi Perolehanpilihan B Perolehanminimum tergangtung pilihan B Pemain A memilih A (1, 9, 2) 1Min (1, 9, 2) = 1 A (8, 5, 4) 2Min (8, 5, 4) = 4 Tujuan A : Memaksimumkan perolehan minimum sehingga : { }{ } 4 , 1 =ipi = 1, 2 dan : { } { } 4 4 , 1 . max . max = = =iip V MakapemainAmemilihstrategiA2 sebagaistrategioptimaldantidakmau mundur dari situ. Selanjutnya bagi pemain B terdapat alternatif sebagai berikut:Strategi Derita tergantung Pilihan A Deritamaxtidak tergantung pilihan A Pemain B memilih B1(1, 8)Max (1,8) = 8 B2(9, 5)Max (9,5) = 9 B3(2,4)Max (2,4) = 4 B maksimin minimaks Universitas Sumatera Utara Tujuan B : Meminimumkan derita maksimum, sehingga : { } { } 4 , 9 , 8 =jp j=1, 2, 3 dan :V ={ } { } 4 4 , 9 , 8 min .min= =jiPDisinipemain B memilih strategi B34 = = V V sebagai strategi optimal. Dengan demikian pemainAdanBmasing-masingtelahmemainkanstrategibersih(purestrategi). Dan didapat titik equilibrium/titik pelana dengandan harga ini terdapat pada kotak H (A2, B3) dari tabel diatas. Jadi strategi optimal untuk perusahaan A adalah A2 dan strategi optimal untuk perusahaan B adalahb.Mixedstrategy(StrategiCampuran)adalahmemainkanlebihdarisatu pilihan(alternatif)dantidakmenggunakanurutantertentutetapidalam bentuk acak. Dalam suatu permainan tidak memiliki strategi deterministik yangmenghasilkansolusioptimalbagisetiappemaindalampermainan tersebut.Olehkarenanya,kitamembutuhkansuatuteorilainyangdapat membantukitamengambilkeputusandalamsituasipemilihanstrategi, apabilastrategideterministiktidakdapatmenghasilkansolusiyang optimal. Contoh : Kasus teori permainan dalam strategi campuran Perusahaan Coloroid Camera (yang akan kita anggap sebagai Perusahaan I) akan memperkenalkankamerabarukedalaminiproduknyadanberharapakan memperolehpeningkatanpangsapasarsebesarmungkin.Dilainpihak, perusahaanComcoCamera(yangakananggapsebagaiPerusahaanII)ingin meminimasipeningkatanpangsapasarColoroid.ColoroiddanCamco mendominasipasarkamera,danpeningkatanpangsapasaruntukcoloroidakan Universitas Sumatera UtaramenghasilkanpenurunanpangsapasaryangsamauntukCamco.Strategi-strategi untuksetiapperusahaandidasarkanpadakampanyepromosimereka, pembungkusan,danperbedaanaksesoriantarproduk.Tabelhasilprtukaran,yang mencakupstrategidanhasiluntuksetiapperusahaan(I=ColoroiddanII= Camco),ditunjukkandalamTabelcontoh:2.Nilai-nilaidalamTabelcontoh3.2 adalah persentase peningkatan atau penurunan pangsa pasar untuk Perusahaan I. Tabel contoh : Tabel 2.5 Untuk Perusahaan Kamera Strategi Perusahaan Kamera I Strategi Perusahaan Kamera II ABC 1 2 3 9 11 4 7 8 1 2 4 7 Langkahpertamaadalahmemeriksatabeluntukmencaristrategidominan. Darimelakukanhaltersebut,kitamenemukanbahwastrategi2mendominasi strategi1,danstrategiBmendominasistrategiA.Jadi,strategi1danAdapat dihilangkan dari tabel hasil pertukaran, seperti ditunjukkan dalam tabel diatas maka : Tabel 2.6 Hasil Pertukaran dengan Menghilangkan Strategi 1 dan A Srategi Perusahaan I Strategi Perusahaan II BC 2 3 8 1 4 7 MakaperusahaanImenerapkanKriteriaMaksiminsepertiditunjukkandalam tabel 2.7 Universitas Sumatera UtaraTabel 2.7 Tabel Hasil Pertukaran dengan Kriteria MaximinSrategi Perusahaan I Strategi Perusahaan II BC 2 3 8 1 4 7 MakaKriteriaminimaxditerapkanuntukperusahaanIIdalamtabel3.4nilai maksimumuntukstrategiBadalah8%,nilaimaksimumuntukstrategiCadalah 7%.Darikeduanilaimaksimumini,7%merupakanminimum,Jadistrategi optimal untuk Perusahaan II adalah C. Tabel 2.8Hasil Pertukaran dengan Kriteria Minimaks Srategi Perusahaan I Strategi Perusahaan II BC 2 3 8 1 4 7 Tabeldiatasmerupakanhasilgabungandaripenerapankriteriamaksimin dan minimaks dari kedua perusahaan tersebut. Tabel 2.9 Gabungan Strategi Perusahaan I dan II Srategi Perusahaan I Strategi Perusahaan II BC 2 3 8 1 4 7 Dari tabel 2.9 dapat kita lihat strategi strategi yang akan dipilih oleh kedua perusahaan tidak menghasilkan titik keseimbangan. Oleh karena itu, ini bukanlah permainanstrategimurni.Padakenyataannya,kondisikeseimbanganinitidak akanterjadipadastrategimanapundarikeduaperusahaanini.PerusahaanI memaksimumkanpersentasepeningkatanpangsapasarnyadenganmemilih Maksimin dari nilai minimumMinimum dari nilai maksimum Universitas Sumatera Utarastrategi2.PerusahaanIImemilihstrategiCuntukmeminimumkanpangsapasar perusahaanI.walaupundemikianperusahaanImelihatbahwaperusahaanII menggunakanstrategiC,iaakanberpindahkestrategi3untukmeningkatkan pangsa pasarnay menjadi 7%. Pergerakan ini tidak akan terjadi tanpa terlihat oleh perusahaanIIyangkemudianakanberpindahkestrategiBuntukmengurangi pangsapasarperusahaanImenjadi1%.TindakanolehperusahaanBuntuk mengurangipangsapasarperusahaanIsegeraberpindahkestrategi2untuk memaksimumkanpeningkatanpangsapasarnyamenjadi8%.Berdasarkan tindakanperusahaanI,perusahaanIIakanberpindahkestrategiCuntuk meminimumkanpeningkatanpangsapasarperusahaanIke4%.Sekarangkita akanmelihatbahwakeduaperusahaankembaliketempatsemula.Seperti dilihatkan pada tabel dibawah ini : Tabel 2. 10 Hasil dengan Putaran Tertutup Srategi Perusahaan I Strategi Perusahaan II BC 2 3 8 1 4 7 Permainanstrategicampuranbagikeduaperusahaankameradiatasdapat dilakukandenganmenggunakanstrategicampuran.Salahsatumetodelainyang dapatdigunakanyaitudenganmetodeekpektasikeuntungandankerugian. Perusahaan I secara sistematis mengasumsikan bahwa perusahaan II akan memilih strategi B. Berdasarkan keadaan ini ada probabilitas sebesar p untuk perusahaan I akanmemilihstrategi2danprobabilitassebesar(1-p)bahwaperusahaanIakan memilih strategi 3. jadi, jika perusahaan II memilih B, ekspektasi keuntungan bagi perusahaan I adalah : 8p + 1(1 p) = 1 + 7p Kemudianperusahaan I mengasumsikan bahwa perusahaan II akan memilih strategiC.berdasarkanstrategiCadaprobabilitassebesarpbahwaperusahaanI Universitas Sumatera Utaraakanmemilihstrategi2.Jadi,ekspektasikeuntungandariperusahaanI berdasarkan strategi C adalah4p + 7(1-p) = 7 3p Kitatelahtahusebelumnya bahwa metode ini didasarkan pada ide bahwa perusahaanIakanmengembangkanrencanayangmenghasilkanPerusahaanII. JadijikaPerusahaanImerasaapapunpilihanPerusahaanII,ekspektasi keuntungan dan setiap strategi tersebut: 1 + 7p = 7 3p 10p = 6 p = 6/10 = 0.6 Ingatbahwapadalahprobabilitasmemakaistrategi2,ataupersentase waktupenggunaanstrategi2.Jadi,rencanaPerusahaanIadalahmenggunakan strategi2selama60% dariseluruhwaktuyangadadanmenggunakanstrategi3 selama40%dariseluruhwaktuyangada.Ekspektasikeuntungan(peningkatan pangsapasaruntukPerusahaanI)dapatdihitungmenggunakanhasilpertukaran strategi B atau C, karena keuntungan yang diperoleh sama. Dengan menggunakan pertukaranstrategi B, E (Perusahaan I)= 0,60(8) + 0,40(1) = 5,2 % peningkatan pangsa pasar Untuk memeriksa hasil ini,kita akan menghitung ekspektasi keuntunganjika strategi C digunakan oleh Perusahaan II EG (Perusahaan II) = 0,60(4) + 0,40(7) = 5,2 % peningkatan pangsa pasar SekarangkiraharusmengulangiprosesinibagiPerusahaanIIuntuk mengembangkanstrategicampuranyangmerupakanekspektasikeuntunganbagi PerusahaanIsekarangmerupakanekspektasikerugianbagiperusahaanII. PertamakitaasumsikanbahwaPerusahaanIakanmemilihstrategi2.Jadi perusahaanIIakanmenggunakanstrategiBselamappersendanseluruhwaktu Universitas Sumatera UtarayangadadanCselama(1p)danwaktuyangada.Ekspektasikerugianbagi Perusahaan II atas strategi 2 adalah : 8p+4(1-p)=4+4p KemudiankitahitungekspektasikerugianuntukPerusahaanII berdasarkan anggarai bahwa Perusahaan I memilih strategi 3: 1p + 7(1-p) = 7-6p Dengan menyamakan kedua ekspektasi kerugian untuk strategi 2 dan 3 akan didapatkan nilai untuk p dan (1-p)4+ 4p= 7 6p 10p= 3 p= 3/10= 0,30 dan 1p + 7 = 0,70 Karena p adalah probabilitas menggunakan strategi B, perusahaan II akan menggunakan strategi B selama 30 % dari seluruh waktu yang ada, dan demikian strategi C akan digunakan selama 70% dari waktu yang ada. Ekspektasi kerugian aktual berdasrkan strategi 2 dapat dihitung sebagai berikut : E (Perusahaan II)= 0,30 + 0,70 (4) = 5,2 % kehilangan pangsa pasar Strategi campuran utnuk setiap perusahaan didapatkan sebagai berikut Perusahaan IPerusahaan II Strategi 2: 60 % waktu yang adaStrategi B: 30 % waktu yang ada Strategi 3: 40 % waktu yang adaStrategi C: 70 % waktu yang ada Ekspektasi keuntungan untuk Perusahaan I adalah peningkatan pangsa pasar Universitas Sumatera Utarasebesar5,2%danekspektasikerugianuntukPerusahaanIjugapangsapasar sebesar5,2%.Jadi,strategicampuranuntukmasing-masingperusahaan menghasikantitikkeseimbangandimana5,2%ekspektasikeuntunganuntuk PerusahaanIpadasaatyangsamamerupakan5,2ekpektasikerugianuntuk Perusahaan II. Maka masing-masing perusahaan telah memperbaiki posisinya terhadap hasil yang dicapai dengan menggunakan strategi maximin dan minimax. Dimana Hasil pertukaranuntukPerusahaanIhanyaberupapeningkatanpasarsebesar4% sementara strategi campuran menghasilkan ekspektasi keuntungan sebesar 5,2 %. HasildaristrategiminimaxdariperusahaanIadalahkerugiansebesar7%, namunstrategicampuranmenunjukkankerugian5,2%.Jadi,masing-masing perusahaanmenempatkandirinyapadasituasiyanglebihbaikdengan menggunakan pendekatan strategi campuran. Pendekataninimengasumsikanbahwapermainanbersifatpengulangandan akan dimainkan selama periode waktu tertentu sehingga strategi dapat digunakan selama persentase waktu tertentu dari periode tersebut. Untuk contoh diatas dapat secaralogisdiasumsikanbahwapemasarankamerabaruolehPerusahaanIakan membutuhkanwaktuyanglama.Jadisetiapperusahaandapatmenggunakan strategi campuran yang dimiliki. Secara matematis, defenisi mixed-strategy adalah sebagai berikut: Suatumixed-strategyuntukP1adalahsuatuvectorX=(x1,x2,.,xn) dimanaentri-entrinyaadalahbilanganriilpositifsehinggax1+x2+.+xm=1, dengan pengertian bahwa P1akan memainkan strategi si dengan peluang xi , 1I m. Olehkarenadefenisistrategidalamkonsepmixed-strategytelahberubah menjadistokastik,makaperolehandarisetiappemainjugaharusdiubah.Jika dalampermainanyangbersifatdeterministikperolehanuntuksetiappemain ditentukan oleh nilai dalam tabel perolehan, maka dalam permainan yang bersifat stokastik dalam mixed-strategy perolehan untuk setiap pemain adalah berupa nilai ekspektasibagipemaintersebut.Nilaiekspektasididefenisikansebagaihasil penjumlahanantaranilaikeluaranyangmungkindenganprobabilitasdarinilai Universitas Sumatera Utarayangmungkinterjadi.Sebuahpermainandengantabelperolehandalammatriks A= (aij), jika P1 menggunakan strategi X= (x1,x2,.,xn) dan PMenggunakanstrategiY=(y2 1,y2,..,yn)makapeluangmunculnyaaijadalah xiyj.Olehkarennyauntukpermainaniniadalahhasilpenjumlahandariperkalian xiaijyj

atau dapat dinotasikan sebagai berikut: j iji jiy a x

AtaudengankatalaindiatasadalahidentikdenganXAYt dimanaX adalah strategi yang mungkin bagi pemain-I dan Y adalah stratagi yang mungkin bagipemain-IIdanAadalahtabelperolehanuntukpermainantersebut. Pemecahan masalah dalam permainan strategi campuran dapat dilakukan dengan : (1) metode analitis, (2) metode aljabar matriks. Metode campuran dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu : 1. Metode analitisBentuk umum: ((

d cb aPp) 1 ( dimana : p = proporsi waktu pemain A untuk menggunakan strategi 1 1-p = proporsi waktu pemain A untuk menggunakan strategi 2 q = proporsi waktu pemainB untuk menggunakan strategi 1 1-q = proporsi waktu pemain B untuk menggunakan strategi 2 2. Metode Aljabar Matriks ((

d cb a= | |ijP q1-q Universitas Sumatera Utaradimana PijStrategi optimal perusahaan A = menunjukkan jumlah payoff dala baris ke i dan kolom ke j. Dan dapat dicari dengan rumus sebagai berikut : | | | || | | |((

111 11 1adjadjPP Strategi optimal perusahaan B = | | | || | | |((

111 11 1adjcofPP Nilai permainan=((

A optimalStragegi| |ijP((

B optimalStragegi =| || | | |((

111 1adjijPP dimana : Padj P = adjoint matrikscof = kofaktor matriks | |ijP = matriks permainan | |ijP= determinan matriks permainan 2.5 Nash Equilibrium2.5.1 Definisi : Keseimbangan adalah Suatu strategi si dikatakan strategi dominan bagi Pi jikau(si ) u(sj),denganu(si)danu(sj)adalahperolehandaristrategisidansj dimana ij untuk semua s S. Dalamsetiappermainan,setiappemaianakanselalumenggunakan dominan karena sifat rasional yang diasumsikan pada setiap pemain. Tetapi dalam beberapapermainan,tidakterdapatstrategidominansehinggapemainharus mencaristrategilainuntukmemaksimumkanperolehannya.Dengan Universitas Sumatera Utaramenggunakanmixed-strategyseorangpemaindapatmenentukanstrategiyang akan digunakannya dengan cara memilih strategi yang akan digunakannya dengan suatudistribusipeluangsehinggastrategiyangakandigunakanbukanbersifat deterministiktetapibersifatstokastik.Denganmenggunakanmixed-strategy komposisistrategiyangakandigunakanolehpemainadalahberupahimpunan pasanganberurutdistribusi-distribusipeluangyangakandigunakanolehsetiap pemain. Defenisi lain tentang keseimbangan Nash adalah kondisi dimana strategi-strategi yang digunakan oleh setiap pemain adalah strategi yang optimal baginya jika diberikan strategi pemain lainnya dalam permainan tersebut dimana setiap pemain tidak dapat meningkatkan hasil perolehannya dengan menggantikan strateginya. ArtikeseimbanganNashmenurutJohnNashadalahjikaadaserangkaian strategi untuk sebuah permainan dimana tidak ada pemain yang bisa beruntung denganmengubahstrateginyasedangkanpemainlainmempertahankan strateginya tidak berubah, maka serangkaian strategi tersebut dan perimbangan (payoff) yang koresponden membentuk keseimbangan Nash. 2.6MemilihStrategiDalampermainanduapemainberjumlahnolinitujuannyaadalah menemukan jawab yang kokoh bagi kedua pemain. Memilih strategi sama artinyadenganmenemukanjawabpermainan.Jawabyangdimaksudhanyaadabilatiap pemainberusahamemperkecilderitaataumemperbesarperolehan,dengankata lain tiap pemain berusaha meraih strategi optimal bagi dirinya sehingga tidak ada lagidariantarapemainyangdapatmeningkatkanposisimasing-masingdengan memilihstrategilain.Hasilyangdiharapkanbilakeduapemaintelah menggunakan strategi optimalnya disebut harga permainan. Salah satu langkah darisatupermainanadalahpemilihansatustrategiolehtiappemain.Usaha menemukanstrategioptimaldanhargapermainandisebutmenyelesaikan Universitas Sumatera Utarapermainandanlangkahberikutnyatidakbolehlagidilanjutkandanpermainan telah selesai. 2.6.1 Kriteria Maksimin dan Minimaks Tujuan utama menyelesaikan suatu permainan adalah menentukan strategi optimal.Strategioptimaldapatditentukandenganmenggunakanteoriyang disebutteoriminimaksyangpadaprinsipnyamengatakanbahwatiappemain secara sepihak mencari tingkat keamanan yang maksimum bagi diri sendiri. Dalammemilihstrategioptimal,beberapaasumsiditetapkanterlebihdahulu yaitu: 1)Bahwa kedua pemain memiliki kepintaran yang sama 2)Tiap pemain sudah mengetahui strategi yang lain3)Tiap pemain mengetahui jumlah perolehan sendiri dan derita pemain lain 4)Tiap pemain harus menentukan strategi (pilihan). Berdasarkanasumsidiatas,tiappemainmengetahuibahwapemainyang laincukuprasionalsertamempunyaitujuanyangsamayaitumemaksimumkan perolehansendiri.PemainImemeriksatiapbarisdarimatriksperolehandan memilihhargamaksimumdari hargaminimum. Caramenentukan pilihan seperti iniadalahcarayangkonservatifdanbiasadisebutsebagaicaramemilihyang terbaikdariantarayangterburuk.Carainijugadisebutkriteriamaksimumdari minimum disingkat dengan kriteria maksimin. Sebaliknya,pemainIImenyelesaikanpermainanuntukmenentukan strategioptimaldenganmenggunakanteoriyangndinamakanteoriminimaks. Teoriinimenetapkanbahwapemainsecarasepihakmencaritingkatkeamanan yangmaksimumbagidirinyasendiri,yaitudenganmemilihderitaterkecildari antarasejumlahderitamaksimum.Carainiialahmemilihkriteriaminimumdari maksimum atau disingkat dengan minimaks. Universitas Sumatera Utara2.7 Peranan Dominasi Pemain B xyz Keuntungan minimum 8(4)7,5 73,53 Kerugian 8(4)7,5 maksimumminimax Lihatkembalicontohyangdiatas,terlihatbahwastrategi1menghasilkan keuntunganmaksimumbagiA,tanpamemperhatikanstrategimanayangdipilih B.Sehinggastrategi1dikatakanmendominasistrategi2.untukkasusdimana suatustrategisecarasempurnadidominasiolehstrategilain,strategiyang didominasidapatdibuangdarimatrikspay-offkarenapemaintidakpernah memilihnya. UntukpemainB,strategixdidominasiolehstrategiykarenakerugian strategixselalulebihbesardaripadakerugianstrategiytanpamemperhatikan strategiyangdipilihA.strategixjugadidominasiolehstrategiz.Karenaitu, strategi x dapat dibuang. PemainAhanyadapatmemilihstrategi1,yanngberartiBakanmemilih strategiyuntukmeminimumkankerugianmenjadi4daripada7,5.Ingatbahwa solusinyatetapsama.Jadi,jikasetiappemainmemilikisebuahstrategidominan, games akan mencapai keseimbangan ataumemiliki saddle point. 1 2 (4)maximin 3 Pemain A Universitas Sumatera Utara