FUNGSI TRANSENDEN

FUNGSI ALJABAR

1. Fungsi Aljabar ( Algebra functions )

Fungsi rasionil

Fungsi irrasional

2. Fungsi Transenden ( Transcendent functions )

Fungsi exponensial

Fungsi trigonometri

Fungsi Logaritma

Fungsi Hiperbol

Fungsi aljabar

Definisi suatu fungsi y=f ( x ) disebut fungsi aljabar, jika y=f ( x ) memenuhi

persamaan

P0 ( x ) yn+P1 ( x ) yn−1+P2 ( x ) yn−2+. .. .. . ..+Pn−1 ( x ) y+Pn (x )=0

dimana P0 ( x ) , P1 (x ) . .. .. .. Pn ( x ) adalah polinomial dalam n

Definisi suatu fungsi aljabar y=f ( x ) dikatakan fungsi rasionil bila y=f ( x ) dapat

dinyatakan sebagai berikut :

f ( x )= P ( x )Q ( x ) ,

dimana P ( x ) dan Q ( x ) merupakan fungsi Polinomial

Fungsi aljabar yang tidak dapat dinyatakan sebagai f ( x )= P ( x )

Q ( x ) disebut Irrasionil

Contoh : f ( x )=x2+ x−2 rasionil

f ( x )=2 x+1x rasionil

f ( x )=x+√1−x2irrasionil

Macam- macam

1

bilangan bulat positif

bilangan bulat negatif

Bilangan rasional bilangan nol

Pecahan

ab , dengan a dan b

bulat

Bilangan Riil

Bilangan irrasional √2=1 , 4142 .. . .. .. .

π=3 , 14159

Soal. Tunjukkan bahwa y=√ x+1

x+1 untuk x≠−1 adalah suatu fungsi aljabar

Jawab : y=√ x+1

x+1

y ( x+1 )=√ x+1 { y ( x+1 ) }2=(√x+1 )2

y2 ( x+1 )2=x+1

y2 ( x2+2 x+1 )=x+1

( x2+2 x+1 ) y2−x−1=0

polinomial

( Bilangan dengan desimal yang tak ada hentinya)

2

y

t

ty 1

R

x1

1

2

2x

y

t

ty 1

R

x1

1

2

2x

FUNGSI TRANSENDEN

Definisi : Fungsi y=f ( x ) disebut fungsi transenden bila y=f ( x ) , bukan fungsi

aljabar

FUNGSI LOGARITMA ASLI

( logaritma Naperian = ℓn, logaritma dengan bilangan pokok e,

sedangkan dengan bilangan pokok 10 disebut logaritma brigg =

log )

Hubungan antara ℓn dan log ?

ℓna =

e log a=10 log a10 log e

= 10 , 4343

10 log a=2 ,3026 10 log a

Jelas bahwa ℓn 1 = 0 dan ℓn 10 = 2,3026

Definisi : Fungsi logaritma asli, ditulis sebagai ℓn , didefinisikan dengan

ℓnx=∫

1

x1tdt

, x>0

daerah definisinya adalah himpunan bilangan riil positip.

Gambar diatas menunjukkan arti geometri dari ℓnx , diagram ini mengukur luas

dibawah kurva y=1t , antara 1 dan x Jika x>1

dan nilai negatip dari luas ini jika 0<x<1 , serta ℓn1 = 0

3

Turunan Logaritma ASLID x ℓnx =

1x , x>0

Dengan menggunakan aturan rantai, andaikan u=f ( x )>0 , maka apabila f dapat

didiferensialkan, kita peroleh D x ℓnu=1u

D x u

Contoh 1. Tentukan D x ℓn√ x

Jawab :

andaikan u=√x=x12

, maka D x ℓn√ x=

1

x1

2

¿ 12 x−

1

2

=1

2x

Contoh 2. Tentukan D x ℓn( x2−x−2 )

Jawab :

Ada artinya, asal x2−x−2>0 , oleh karena x

2−x−2=( x−2 ) ( x+1 )

Yang positip apabila x<−1 atau x>2 , sehingga daerah definisi fungsi ℓn( x2−x−2 )

adalah (−∞ ,−1 )∪(2 ,∞ ) pada daerah ini berlakulah :

D x ℓn( x2−x−2 )= 1

x2−x−2D x ( x2−x−2 )

D x ℓn( x2−x−2 )= 2 x−1

x2−x−2

Contoh 3. Perlihatkan bahwa D x ℓn|x|=1

x , x≠0

Jawab : Ada 2 (dua) kasus, apabila x>0 , |x|=x dan D x ℓn|x|=D x ℓnx=1

x ,

apabila

x<0 , |x|=−x , sehingga D x ℓn|x|= D x ℓn(−x )=1

xD x (− x )

=(− 1

x ) (−1 )=1x

Pada tiap bentuk turunan itu ada rumus pengintegralan menurut contoh 3 kita

peroleh :

∫ 1x

dx= ℓn|x|+c , x≠0

4

Kalau x diganti dengan variabel u, kita peroleh

∫ 1u

du= ℓn|u|+c , u≠0

Ini melengkapkan rumus pengintegralan

∫ur du=

1(r+1 )

ur +1+c , r≠−1

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA

Soal 1. Tentukan ∫ 5

(2 x+7 )dx

Jawab : andaikan , ∴du=2 dx

∫ 5(2 x+7 )

dx=52∫

1(2 x+7 )

¿2dx

∫ 5(2 x+7 )

dx=52∫

1u

du

∫ 5(2 x+7 )

dx=52 ℓn|u|+c

∫ 5(2 x+7 )

dx=52 ℓn|2 x+7|+c

Soal 2. Hitunglah ∫−1

3x

10−x2dx

Jawab : andaikan, u=10−x2 , ∴du=−2 xdx , maka

∫ x

10−x2dx=− 1

2∫−2x

10−x2dx

∫ x

10−x2dx=− 1

2∫1

udu

∫ x

10−x2dx=− 1

2 ℓn|u|+c

5

∫ x

10−x2dx=− 1

2 ℓn|10−x2|+c

Menurut teorema dasar kalkulus, kita peroleh

∫−1

3x

10−x2dx=[−1

2ln|10−x2|]−1

3

∫−1

3x

10−x2dx=− 1

2ln 1+ 1

2ln 9

∫−1

3x

10−x2dx= 1

2 ℓn 9

SIFAT LOGARITMA ASLI

Apabila a dan b bilangan-bilangan positip dan r sebuah bilangan rasional, maka :

(1) ℓn1=0

(2) ℓnab= ℓna + ℓnb

(3) ℓnab = ℓna - ℓnb

(4) ℓnar = r ℓn a

Bukti (1) ℓn1=∫

1

11t

dt=0

(2) oleh karena untuk x>0

D x ℓnax= 1

axa=1

x dan D x ℓnx=1

x , kita peroleh ℓnax= ℓnx+c , untuk

menghitung c , ambil x=1 , maka ℓna=c , sehingga ℓnax= ℓna + ℓnx , kemudian ambil x=b

(3) dalam (2) ambillah a=1

b , maka ℓn1b + ℓnb = ℓn( 1

b¿ b)= ℓn 1= 0, ∴ ℓn

1b=− ℓn

b , dengan menggunakan (2), kita peroleh : ℓn ab= ℓn(a¿ 1

b )= ℓna + ℓn1b

= ℓna - ℓnb

(4) untuk x>0 berlaku D x ( ℓnxr) =

1

xr¿ r¿ xr−1= r

x dan D x (r ℓnx ) = r ¿ 1

x=rx

Ini berarti menurut teorema yang kita gunakan diatas dalam ( 2 ) bahwa

6

ℓnxr = r ℓn x+c . Misalkan x=1 , maka memberikan c=0 ,

ini berarti bahwa ℓnxr = r ℓn x , hasilnya ekuivalen dengan (4)

PENDIFERENSIALAN LOGARITMA

Menentukan turunan fungsi yang menyangkut hasil bagi, hasil kali dan pemangkatan

dapat disederhanakan dengan menarik logaritma asli fungsi tersebut terlebih dahulu.

Metode ini dinamakan pendiferensialan logaritma.

Contoh 1. Tentukan

dydx untuk y= ℓn

3√ ( x−1 )x2

, x>1

Jawab : Untuk mencari turunan tersebut, kita tulis y sebagai berikut :

y= ℓn( x−1

x2 )13

= 13 ℓn

( x−1

x2 )y=

13 {ℓn( x−1 ) - ℓnx2

}

y= 13 {ℓn( x−1 ) - 2 ℓnx }

Sehingga

dydx

=1

3 ( 1x−1

−2x )= 2−x

3 x2−3 x

Contoh 2. Turunkanlah

y=√1−x2

( x+1 )23

7

x1

1

-1

x

y

x

x

x

x

lnlim

lnlim

0

Jawab : kita ambil terlebih dahulu logaritma asli, kemudian kita turunkan secara implisit

menurut x

ℓny= 12 ℓn(1−x2 )− 2

3 ℓn( x+1 )

1y

dydx

= −2 x

2 (1−x2 )− 2

3 ( x+1 )

1y

dydx

=−( x+2 )3 (1−x2 ) , sehingga

dydx

=− y ( x+2 )3 (1−x2)

=−√1−x2 (x+2 )

3 ( x+1 )2

3 (1−x2 )=

−( x+2 )

3 ( x+1 )23 (1−x2 )

12

GRAFIK LOGARITMA ASLI

Daerah definisi ℓnx adalah himpunan bilangan riil positip, Jadi grafik y= ℓnx terletak

disebelah kanan sumbu y ( yaitu dengan x>0 ) , berlakulah :

D x ℓnx=1

x>0

dan

Dx2 ℓn

x=− 1

x2<0

Turunan pertama menyatakan bahwa grafik kita kontinu dan naik begitu x bertambah

besar ; turunan kedua menyatakan bahwa grafik ℓnx cekung kebawah, yang terakhir ℓn

1=0 , semua ini menyiratkan bahwa grafik y= ℓnx akan terlukis seperti gambar

dibawah ini.

a2−b2=(a+b ) ( a−b )

8

y

x1

1

xy xy exp

x

FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA

Misalkan :

Apabila kita balikan ( invers-kan ) fungsi logaritma asli, akan diperoleh fungsi

eksponen asli.

Definisi :

Invers ℓn disebut fungsi eksponen asli dan ditulis sebagai exp. Yaitu :

x=exp . y⇔ y = ℓnx

Dari definisi ini kita dengan segera memperoleh :

(1) exp (ℓnx ) = x , x>0

(2) ℓn ( expy ) = y untuk semua y

Oleh karena exp dan ℓn adalah fungsi-fungsi invers, grafik y=exp x adalah

grafik y=ln x yang tercerminkan pada garis y=x ( lihat gambar dibawah

)(1) e ln x=x , ……. x>0

(2) ln ( e y )= y , untuk semua y

ex=exp x

9

Definisi :

Bilangan e adalah bilangan riil positip yang bersifat ln e=1

Oleh karena ln e=1 , maka exp1=e

Contoh : Buktikan eaeb=ea+b

Jawab :

ea eb=exp ( ln ea eb)ea eb=exp ( ln ea+ ln eb )eaeb=exp ( a+b )eaeb=ea+b

Turunan ex, oleh karena exp dan ℓn adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan, maka

fungsi exp x=ex, dapat diturunkan.

Andaikan y=ex, maka x=ln y

Ruas kiri dan ruas kanan, kita turunkan menurut x , sehingga kita peroleh

1= 1y

D x y ( aturan rantai )

Sehingga D x y= y=ex

Dengan demikian terbukti bahwa turunan exadalah juga e

x

D x ex=ex

Apabila u=f ( x ) dapat diturunkan, maka menurut aturan rantai :

D x eu=eu D x u

Contoh 1 : Tentukan D x e√x

Jawab :

Andaikan u=√x , maka

10

D x e√x=e√x D x √x=e√x ¿ 12

x− 1

2= e√x

2√x

Contoh 2 : Tentukan D x ex2 ln x

Jawab :

D x ex2 ln x=ex2 ln x Dx ( x2 ln x )

D x ex2 ln x=ex2 ln x (x2¿ 1x +2 x ln x )

D x ex2 ln x=xex2 ln x (1+ ln x2)

Rumus D x ex=ex dapat menghasilkan rumus ∫ ex dx=e x+c , atau apabila

x kita ganti dengan u , kita peroleh :

∫ eu du=eu+c

Contoh 1. Tentukan ∫ e−4 x dx

Jawab :

Andaikan u=−4 x , sehingga du=−4 dx ,

Maka ∫ e−4 x dx=− 14∫ e−4 x (−4 dx )

∫ e−4 x dx=− 14∫ e−4 x (−4 dx )

∫ e−4 x dx=− 14∫ eu du=− 1

4eu+c

− 1

4∫eu du=− 14

eu+c=− 14

e−4 x+c

Contoh 2. Tentukan ∫ x2e− x3

dx

Jawab :

Andaikan u=−x3, sehingga du=−3 x2dx ,

Diferensial parsial

11

Maka ∫ x2e− x3

dx=−13∫e− x3

(−3 x2 dx )

∫ x2e− x3

dx=−13∫eu du=−1

3eu +c=−1

3e−x3

+c

Contoh 3. Hitunglah ∫1

3

xe−3 x2

dx

Jawab :

Andaikan u=−3 x2, sehingga du=−6 xdx ,

Maka∫1

3

xe−3 x2

dx=−16∫e−3 x2

(−6 xdx ) =−16∫eu du

− 1

6∫ eu du=− 16

eu+c=−16

e−3 x 2

+c

Maka menurut teorema dasar kalkulus

∫1

3

xe−3 x2

dx=[−16

e−3 x2]1

3

=−16

(e−27−e−3 )= e−3−e−27

6¿0 ,0082978

Secara umum pembalikan atau peng-invers-an suatu fungsi dapat dilihat pada gambar

dibawah ini :

Perhatikan bahwa daerah asal f−1

adalah R dan daerah hasilnya adalah D dan sebaliknya.

D D

R R

x

y

f f−1

y=f ( x )=2 x

x=f−1 ( y )=12

y

y=2 xx=1

2y

y

x

ff−1

y=f ( x )=x3−1

x=f−1 ( y )=3√ y+1

12

Apabila f memiliki invers f−1

, maka f−1

juga memiliki invers, yaitu f . Jadi dapat

dikatakan bahwa f dan f−1

merupakan pasangan fungsi invers. Dirumuskan sebagai berikut :

f−1 (f ( x ) )=x dan f−1 (f ( y ) )= y

Lambang f−1

bukan berarti

1f

FUNGSI INVERS

Pengertian : Jika pada suatu fungsi f ( x ) semua unsur-unsurnya dibalikkan dan didapat suatu fungsi lagi maka fungsi yang

baru ini disebut fungsi invers dari f ( x ) dan ditulis f ( x )−1.

Pengertian dari fungsi invers ini ialah cerminan darif ( x ) terhadap garis y=x

Contoh 1 : Buktikan bahwa f ( x )=2 x+6 , memiliki invers ; tentukan rumus untuk

f ( y )−1 dan cocokkanlah dengan rumus diatas.

Jawab :

Oleh karenaf naik, maka f ( y )−1, kita mencari x dari f ( x )= y=2 x+6 , yang

mengahsilkanx=

( y−6 )2

=f ( y )−1

, sedangkan f−1 (f ( x ) )=f −1 (2 x+6 )= (2 x+6 )−6

2=x

sedangkan f ( f ( y )−1)=f ( y−6

2 )=2y−6

2+6= y

.

13

y

x

xy

ab,

ba,

4,1

1,4

y

x

1 xfy

xfy

xy,

yx,

GRAFIK y=f ( x )−1 andaikan f memiliki invers, maka x= f ( y )−1⇔ y=f (x )

Jadi y=f ( x ) dan x= f ( y )−1 menentukan pasangan bilangan ( x , y ) yang sama,

sehingga grafik dua hubungan itu identik. Akan tetapi kita biasanya

menggunakan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel tak

bebas.

Timbul pertanyaan, bagaimanakah bentuk grafik y=f ( x )−1 (Perhatikan bahwa

kita telah menukar peranan x dan y ), apabila kita perhatikan, penukaran peranan ini mengakibatkan pencerminan grafik pada garis y=x , ini

berarti bahwa grafik y=f ( x )−1 adalah gambar cermin grafik y=f ( x )

pada garis y=x ( lihat gambar dibawah ini )

Cara yang sama dapat pula digunakan untuk menemukan suatu rumus

untuk f ( x )−1. Untuk hal ini kita tentukan terlebih dahulu f ( y )−1

,

kemudian kita tukar x dan y dalam rumus x= f ( y )−1. Jadi kita dapat

menentukan g= f ( x )−1 dengan langkah-langkah berikut :

Langkah 1 Nyatakanlah x dengan y dari persamaan y=f ( x ) Langkah 2 Nyatakanlah bentuk dalam y yang telah ditentukan itu

sebagai f ( y )−1⇒ x=f ( y )−1

Langkah 3 Gantilah kemudian y dengan x dan x dengan y

dalam bentuk x= f ( y )−1, kita y=f ( x )−1

14

Contoh 2 : Tentukan rumus untuk f ( x )−1 apabila

y=f ( x )= x(1−x )

Jawab : Kita buktikan terlebih dahulu bahwa f memiliki invers. Akan tetapi, apabila dalam langkah pertama kita memperoleh satu nilai x untuk tiap y , maka

f−1 ada. ( Perhatikan bahwa untuk y=g ( x )=x2

, kita peroleh

x=±√ y , yang menyatakan bahwa g−1tidak ada dengan

membatasi daerah asal x , kita dapat memperoleh g−1

)

Untuk contoh 2 , langkah-langkah diatas menghasilkan :

Langkah 1. y= x

1−x⇔ (1−x ) y=x

y−xy=x

x+xy= y

x (1+ y )= y

x= y

1+ y

Langkah 2. f ( y )−1= y

1+ y

Langkah 3. f ( x )−1= x

1+x

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA

( Tentukan fungsi invers dari fungsi yang ditentukan )

Soal 1. y=f ( x )=3 x+4

Jawab y=3 x+4→3 x= y−4

x=13

( y−4 )

x=f ( y )= 13

( y−4 )

Fungsi invers : f( x )−1= 1

3( x−4 )

15

Soal 2. y= f ( x )= x−1

x−2

Jawab y= x−1

x−2→ yx−2 y=x−1

yx−x=2 y−1

x ( y−1 )=2 y−1

x=2 y−1

y−1

Soal 3. y= f ( x )= x

x−1

Jawab y=f ( x )= x

x−1→ yx− y=x

( y−1 ) x= y

x= y

y−1

Soal 4. y=f ( x )=3 x−5

Jawab y=f ( x )=3 x−5→3 x= y+5

x=13

y+ 53

Soal 5. 3 y=2 x+8

Jawab 3 y=2 x+8→2 x=3 y−8

x=32

y−4

TURUNAN FUNGSI INVERS

( f−1) ' ( y )= 1

f (x )' Rumus ini dapat pula ditulis sebagai

dxdy

= 1dydx

Contoh : Andaikan y=f ( x )=x5+2 x+1

Fungsi invers :

f ( x )−1=2 x−1x−1

Fungsi invers :

f ( x )−1= xx−1

Fungsi invers : f ( x )−1= 1

3x+ 5

3

Fungsi invers : f ( x )−1= 3

2x−4

16

Tentukan ( f−1) ' ( 4 )

Jawab : Walaupun kita tidak dapat menentukan rumus untuk f−1

disini, kita lihat

bahwa y=4 sepadan dengan x=1 , oleh karena f ( x )'=5 x4+2 , kita

peroleh ( f−1) ' ( 4 )= 1

f (1 )'= 1

5+2=1

7

Fungsi ax

, xa

dan xx

Andaikan a konstanta dan x variabel. Janganlah

dicampuradukkan fungsi f ( x )=ax, yaitu fungsi eksponen dengan fungsi g ( x )=xa

, suatu fungsi pangkat.

D x(ax )=ax ln a

Dx( xa)=axa−1

, a=bilangan rasionalD x

( xa)=D x(ea ln x )=ea ln x a

x

D x( xa)=xa¿ a

x =axa−1 , a=bilangan tak-rasional

Contoh 1 : y=x x, x>0 , tentukan D x y dengan dua cara

Cara pertama :

y=x x=ex ln x

log e x=ln x

ax

loga x exp x=ex

17

D x y=e x ln x D x ( x ln x )=xx ( x¿ 1x+ ln x)=x x (1+ln x )

Cara kedua : ( Pendiferensialan logaritma )

y=x x ⇔ln y=x ln x1y

Dx y=x¿ 1x + ln x

D x y= y (1+ln x )D x y=x x (1+ ln x )

Contoh 2 : y=( x2+1 )sin x, tentukan

dydx

Gunakan pendiferensialan logaritma

ln y=sin x ln ( x2+1 )1

y

dydx

=(sin x ) 2x

x2+1+(cos x ) ln ( x2+1 )

dydx

=( x2+1 )sin x[ 2 x sin x

x2+1+(cos x ) ln ( x2+1 ) ]

Contoh 3 : y=( x2+1 )π+π sin x , tentukan

dydx

dydx

=π ( x2+1 )π−1 (2 x )+πsin x ln π cos x

FUNGSI TRIGONOMETRI

Enam fungsi dasar trigonometri yaitu :

18

Daerah asal yang dipersempit

y

x2 2

3

1

1

22

3

xy sin

2 2

y

x

2

2

11

xy 1sin

y

x2

1 1

xy 1cos

Daerah asal yang dipersempit

y

x 2

1

12

2

32

xy cos

0

0

1. sinus ( sin ) rt

2. kosinus ( cos ) st

3. tangen ( tan ) rs

4. kotangen (cot ) sr

5. sekan ( sec ) ts

6. kosekan ( csc ) tr

Fungsi INVERS SINUS dan KOSINUS, dalam kasus sinus dan kosinus, kita batasi daerah

asal sedangkan daerah hasilnya kita ambil seluas mungkin, asal fungsi itu memiliki

INVERS.

Lambang sin−1kerapkali ditulis sebagai arc sin dan cos−1

sebagai arc cos

arc sin berarti “ busur yang sinusnya adalah “ atau sudut yang

α(proyektum

r

( proyektor

s( proyeksi

α

19

y

x

1

1

xy tan

23 2

1 21 2

3

Daerah asal yang terbatas

21 2

1

y

x

xy 1tan

11

21

21

Kita definisikan fungsi-fungsi invers sinus dan kosinus sebagai berikut :

Definisi :

Untuk memperoleh invers dari sinus dan kosinus, kita batasi

daerah asal fungsi-fungsi itu pada selang (−π2

, π2 ) dan (0 , π )

x=sin−1 y↔ y=sin x dan −π2≤x≤ π

2

x=cos−1 y ↔ y=cos x dan 0≤x≤π

INVERS TANGEN ( tan−1)

Definisi

Untuk memperoleh invers fungsi tangen, kita batasi daerah asalnya pada selang

(− π2

, π2 ) , sehingga x=tan−1 y ↔ y=tan x dan −

π2<x< π

2

y

x

( x , y )

(1,0 )0arc sin y

20

x

xy 1sec

11

21

y

x1

1

xy sec

23 2

1 21 2

3

Daerah asal yang terbatas

y

0

0

INVERS SEKAN (sec−1 )

Definisi

Untuk memperoleh invers fungsi sekan, kita batasi daerah asal sekan pada

himpunan (0 , π2 )∪( π

2, π ) , sehingga x=sec−1 y ↔ y=sec x dan 0≤x≤π , dengan

x≠ π2

21

EMPAT PEMAKAIAN KESAMAAN

Untuk membuktikan (i), kita gunakan hubungan sin2θ+cos2θ=1 ; khususnya, apabila

0≤θ≤π , maka sin θ=√1−cos2θ

Kita ambil θ=cos−1x dan oleh karena cos ( cos−1 x )=x , kita memperoleh :

sin (cos−1 x )=√1−cos2 ( cos−1 x )

sin (cos−1 x )=√1−x2

i. sin (cos−1 x )=√1−x2

ii. cos ( sin−1 x )=√1−x2

iii. sec (tan−1 x )=√1+ x2

iv. tan ( sec−1 x )=±√ x2−1

cos−1 x√1−x2

x

1

sin−1 x

tan−1 x

sec−1 x

1

1

1

x

x

x

√1−x2

√1+x2

√ x2−1

22

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

tan x=sin xcos x

sec x= 1cos x

csc x= 1sin x

D x sin x=cos x D x cos x=−sin x

D x tan x=sec2 x D x cot x=−csc2 x

D x sec x=sec x tan x D x csc x=−csc xcot x

D x cot x=D x(cos xsin x )=sin x (−sin x )−cos x cos x

sin2 x= 1

sin2 x=−csc2 x

Fungsi-fungsi komposit, aturan diatas dapat kita rangkaikan dengan aturan rantai

untuk memperoleh turunan fungsi u yang lebih rumit misalnya, kalau u=f ( x ) dapat didiferensialkan, maka

D x sin u=cos uDx u

Contoh 1. Tentukan D x sin (3 x2+4 )

Misal u=3 x2+4 , maka Dx sin (3 x2+4 )=Dx sin u

D x sin (3 x2+4 )=cosuD xu

Dx sin (3 x2+4 )=[ cos (3 x2+4 ) ]¿6 x=6 x cos (3 x2+4 )

Contoh 2. Tentukan D x tan2 (9 x )Kita harus menggunakan 2 ( dua ) kali aturan rantai sebagai berikut :D x tan2 (9 x )=2 tan (9 x ) D x tan (9 x )D x tan2 (9 x )=2 tan (9 x )sec2 (9 x ) D x (9 x )

y=uv→ y '=u ' v−uv '

v2

23

D x tan2 (9x )=2 tan (9 x )sec2 (9 x )¿ 9

D x tan2 (9 x )=2 tan (9 x )sec2 (9 x )¿ 9

D x tan2 (9 x )=18 tan (9 x )sec2 (9 x )

Contoh 3. y=sin2 x

(1−cot x ) , tentukan

dydx

Jawab :

dydx

=(1−cot x ) D x

(sin2 x )−sin2 xD x (1−cot x )

(1−cot x )2

dydx

=(1−cot x )¿2 sin xcos x−sin2 x csc2 x

(1−cot x )2

dydx

=2 sin x cos x−2 cos2 x−1(1−cot x )2

INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI

(i) D x sin−1 x= 1

√1−x2 −1<x<1

(ii) D x cos−1 x= −1

√1−x2 −1<x<1

(iii) D x tan−1 x= 1

1+x2

(iv)

D x sec−1x= 1

|x|√ x2−1 |x|>1

(i) Pembuktian D x sin−1 x= 1

√1−x2 −1<x<1

Misal y=sin−1 x , maka x=sin y

1=cos yD x y

1=cos (sin−1 x ) D x(sin−1 x )

1=√1−x2 D x (sin−1 x )

24

D x (sin−1 x )= 1

√1−x2

Hasil (ii), (iii) dan (iv) diatas dapat dibuktikan dengan cara serupa. Untuk (iv) ada

hal yang lain sedikit. Sebagai berikut : Andaikan y=sec−1 x , maka

x=sec y

Ruas kiri dan kanan kita turunkan menurut x , kita peroleh

1=sec y tan yD x y

1=sec(sec−1 x ) tan ( sec−1 x ) D x(sec−1 x )

1=(±x√ x2−1 )D x (sec−1 x )

Untuk langkah terakhir kita gunakan kesaman (iv), kita gunakan tanda positif

untuk x>1 dan tanda negatif untuk x<−1 , sehingga

1=±x √ x2−1 D x ( sec−1 x )

1=|x|√ x2−1 D x (sec−1 x )

Dengan demikian terbuktilah (iv)

Tiap rumus pendiferensialan menghasilkan rumus integral

(v) ∫ 1

√1−x2dx=sin−1 x+c

(vi)

∫ 1

1+x2dx=tan−1 x+c

(vii)

∫ 1

x √x2−1dx=sec−1|x|+c

25

Contoh : Hitunglah

∫0

12

dx

√1−x2

Solusi :

∫0

12

dx

√1−x2=[sin−1]0

12 =sin

−1 12−sin

−10

∫0

12

dx

√1−x2=π

6−0= π

6

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA

Soal 1. Tentukan D x sin−1 (3 x−1 )

Jawab :

D x sin−1 (3 x−1 )= 1

√1−(3 x−1 )2Dx (3 x−1 )

D x sin−1 (3 x−1 )= 3

√−9 x2+6 x

Soal 2. Tentukan D x tan−1 √x+1

Jawab :

D x tan−1 √x+1= 1

1+(√ x+1 )2D x √x+1

D x tan−1 √x+1= 11+2

⋅12

(x+1 )−1

2

26

D x tan−1 √x+1= 12 ( x+2 )√ x+1

BUNGA MAJEMUK, apabila kita menyimpan $ 100 disebuah bank dengan bunga

majemuk 12% maka modal tersebut menjadi $ 100 (1+ 12100 ) pada akhir bulan pertama;

pada akhir bulan kedua modal itu menjadi $ 100 (1+ 12100 )2 dan pada akhir bulan

keduabelas ( atau satu tahun ) ia menjadi $ 100 (1+ 12100 )12

. Secara lebih umum ; apabila

kita menyimpan modal A0 dolar disebuah bank dengan bunga majemuk 100 r sebanyak

n kali tiap tahun, maka modal itu, setelah t tahun, akan menjadi sebanyak A( t ) , dengan

formula :

A( t )=A0 (1+ rn )

nt

Soal 3. Andaikan John menyimpan uang sebanyak $ 500 pada suatu bank dengan bunga

majemuk tiap hari sebesar 13%. Berapakah banyak uang itu pada akhir dua

tahun?

Jawab :

Disini r=0 ,13 dan n=365

Maka A( t )=500(1+ 0 , 13

365 )( 365×2 )

≃¿ ¿$ 648,43

Soal 4. Seorang berdiri diatas sebuah bukit vertikal kira-kira 200 kaki diatas sebuah

danau. Dia melihat sebuah perahu bermotor yang bergerak menjauhi bukit

dengan laju 25 kaki tiap detik. Berapa laju perubahan sudut penglihatan θ

( lihat gambar ), apabila perahu berada pada jarak 150 kaki dari bukit itu ?

Jawab :

θ

200kaki

ddx

( tan−1 x )= 1

1+x2⇔∫ 1

1+x2 dx=tan−1 x+c

27

A 0,1

ttyx sin,cos, t

x

y

122 yxty

tx

sin

cos

FUNGSI HIPERBOL DAN INVERSNYA

Definisi fungsi hiperbol

sinh x= 12

( ex−e−x ) csc hx= 1sinh x

cosh x=12

( ex+e− x ) sec hx= 1cosh x

tanh x=sinh xcosh x

coth x=cosh xsinh x

Kesamaan dasar fungsi hiperbol ( semacam cos2 x+sin2 x=1 dalam trigonometri )

adalah cosh2 x−sinh2 x=1

cosh2 x−sinh2 x=( e2 x+2+e−2 x

4 )−( e2 x−2+e−2 x

4 )=1

Dari gambar tampak bahwa sudut depresi θ memenuhi hubungan

θ=tan−1(200

x ), maka

dθdt

= 1

1+(200x )

2¿(−200

x2 ) dx

dt

dθdt

=( −200

x2+40000 ) dxdt

Apabila kita substitusikan x=150 dan

dxdt

=25, kita peroleh

dθdt

=−0 , 08

bukit

Perah

28

A 0,1

ttyx sinh,cosh,

tx

y

122 yx

122 yx

xy sinh

x

y

1

1x

y

1

1

xy cosh

sinh (−x )=−sinh x , maka sinh fungsi ganjil, sedangkan cosh (−x )=cosh x , maka cosh fungsi genap

Turunan fungsi Hiperbol

29

D x sinh x=cosh x D x cschx=−cschx coth x

D x cosh x=sinh x D x sechx=−sechx tanh x

D x tanh x=sec h2 x D x coth x=−csc h2 x

D x sinh x=D x( ex−e−x

2 )= ex+e−x

2=cosh x

D x cosh x=D x( ex+e− x

2 )= e x−e− x

2=sinh x

Contoh Tentukan D x cosh2 (3 x−1 )

Jawab : Kita gunakan dua kali aturan rantai

D x cosh2 (3 x−1 )=2cosh (3 x−1 ) D x cosh (3 x−1 )

D x cosh2 (3 x−1 )=2cosh (3 x−1 )sinh (3 x−1 ) Dx (3 x−1 )

D x cosh2 (3 x−1 )=6cosh (3 x−1 ) sinh (3 x−1 )

Invers fungsi hiperbola

x=sinh−1 y↔ y=sinh x

x=cosh−1 y ↔ y=cosh x dan x≥0

x=tanh−1 y ↔ y=tanh x

x=sec h−1 y ↔ y=sechx dan x≥0

y=cosh x , untuk x≥0 , ini berarti bahway= e x+e−x

2 , x≥0

dikalikan(¿ ) dengan

2 ex

y ¿2ex=e2 x+1 atau

(ex )2−2 yex+1=0 , x≥0

30

Apabila kita mencari exdari persamaan tersebut, kita peroleh

e x=2 y±√ (2 y )2−4

2= y±√ y2−1

Kita tarik ke-logaritma asli-nya

x=ln ( y±√ y2−1)Syarat agar x≥0 , mengakibatkan bahwa kita harus memilih tanda positif, sehingga

x=cosh−1 y=ln ( y+√ y2−1 )

sinh−1x=ln (x+√ x2+1 )

cosh−1 x=ln ( x+√x2−1 ) , x≥1

tanh−1 x= 1

2ln

1+x1−x , −1<x<1

sec h−1 x=ln(1+√1−x2

2 ) , 0<x≤1

Tiap fungsi diatas dapat didiferensialkan

D x sinh−1 x= 1

√ x2+1

D x cosh−1 x= 1

√x2−1 , x>1

D x tanh−1 x= 1

1−x2 , −1<x<1

D x sech−1x= −1

x √1−x2 , 0<x<1

31

Contoh Buktikan bahwa D x sinh−1 x= 1

√ x2+1

Metode 1. Andaikan y=sinh−1 x , maka

x=sinh y

Ruas kiri dan ruas kanan diturunkan menurut x , maka

1= (cosh y ) D x y

∴D x y=D x (sinh−1 x )= 1cosh y

= 1

√1+sinh2 y= 1

√1+x2

Metode 2. Gunakan bentuk logaritma sinh−1x

D x (sinh−1 x )=Dx ln ( x+√x2+1)

D x (sinh−1 x )= 1

x+√ x2+1D x

(x+√x2+1 )

D x (sinh−1 x )= 1

x+√ x2+1 (1+x

√x2+1 )D x (sinh−1 x )= 1

√ x2+1

32