MATEMATIKA EKONOMIPertemuan 5

Penggunaan Fungsi Non-Linear dalam Ekonomi

Wahyono

UT Korea Spring 2014

Fungsi Permintaan dan Penawaran• Kurva permintaan dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk

parabola atau hiperbola.• Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk

parabola.

Fungsi Permintaan

Kurva permintaan dapat merupakan bagian dari parabola yang sumbunya dapat sejajar dengan sumbu vertikal maupun horizontal dan kurvanya bisa terbuka ke atas, bawah, kiri, maupun kanan.

Fungsi Permintaan• Kurva a, parabola terbuka ke bawah p < 0, titik vertex

(h,k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P sehingga h ≤ 0 dan k > 0

• Kurva b, parabola terbuka ke atas p > 0, titik vertex (h,k) terletak di kuadran keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q sehingga h > 0 dan k ≤ 0

Fungsi Permintaan• Kurva c dan d adalah parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q dan bentuk umumnya adalah:

(P – k)2 = 4p(Q – h)• Kurva c, parabola terbuka ke kiri p < 0, titik vertex terletak di kuadran keempat sehingga h > 0 dan k < 0

• Kurva d, parabola terbuka ke kanan p > 0, titik vertex terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P, sehingga h ≤ 0 dan k > 0

Contoh SoalGambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh

persamaan:P = 1 Q2 – 4Q + 20

5Q2 – 20Q + 100 = 5P(Q – 10)2 = 4.5(P – 0)

4

Jadi, p = 5/4, h = 10, dan k= 0. Perpotongan dengan sumbu P terjadi bila Q = 0 P = 20Perpotongan dengan sumbu Q terjadi bila P = 0 Q = 10

Fungsi PermintaanKurva permintaan dapat merupakan bagian dari hiperbola

yang asimtotnya sejajar dengan sumbu horisontal dan sumbu vertikal.

Dalam hiperbola yang bentuk umumnya

(x – h)2 − (y – k)2 = 1 a2 b2

atau(y – k)2 − (x – h)2 = 1 b2 a2

Apabila a = b, maka asimtot berpotongan tegak lurus, sehingga (x – h)(y – k) = c

Contoh Soal

Gambarkankurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan

QP + 2P = 20

Persamaan ini dapat dirubah menjadi

(Q + 2)(P – 0) = 20

Sehingga (h,k) = (-2,0)

Dengan asimtot sumbu Q dan garis Q = -2.

Fungsi Penawaran• Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh parabola dan

parabola tersebut sumbunya dapat sejajar dengan sumbu horisontal atau sumbu vertikal.

Contoh SoalGambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan

P = Q2 + 2Q + 14

P = Q2 + 2Q + 1

44P = Q2 + 2Q + 14(P – 0) = (Q + 1)2

Titik vertex (-1,0)

Titik KeseimbanganKurva permintaan dan penawaran bersama-sama akan

membentuk harga dan jumlah keseimbangan.

Menghitung titik potong kurva permintaan dan penawaran dapat dilakukan dengan mudah jika kemudian hanya timbul persamaan derajat dua. Persamaan ini timbul karena:

• Salah satu merupakan fungsi linear dan yang lain adalah fungsi derajat dua

• Harga (P) merupakan fungsi derajat dua dari jumlah yang berbentuk parabola atau hiperbola, baik untuk fungsi penawaran maupun untuk fungsi permintaan

• Jumlah barang baik yang diminta maupun yang ditawarkan merupakan fungsi derajat dari harga

Contoh SoalHitunglah jumlah dan harga keseimbangan dari kurva

penawaran dan permintaan berikut:Qs = P2 + P – 2 Qd = -2P + 16Keseimbangan dapat terjadi jika Qs = QdQs = QdP2 + P – 2 = -2P + 16P2 + 3P – 18 = 0(P – 3)(P + 6) = 0P = 3 atau P = -6 (karena negatif maka tidak dipakai)Jadi harga keseimbangan = P = 3Jumlah keseimbangan Q = 10

Kurva Indifference

Kurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu.

Sifat-sifat kurva indifference:- Merupakan kurva yang menurun- Cembung terhadap titik origin- Tidak saling berpotongan- Semakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh semakin tinggi

Kurva Indifference• Sumbu horisontal digunakan untuk

menunjukkan jumlah barang x yang dikonsumsi dan sumbu vertikal untuk jumlah barang y.

• Kurva indifference merupakan kurva yang menurun karena untuk menambah jumlah barang x yang di konsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap barang y agar kepuasan yang diperoleh tetap sama.

• Fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference adalah lingkaran, hiperbola, dan parabola.

Kurva Indifference• Pada kurva indifference yang ditunjukkan dengan

lingkaran, persamaannya:(x – a)2 + (y – a)2 = a2

• Dalam kurva indifference hanya seperempat lingkaran yang digunakan yaitu bagian yang menyinggung sumbu x dan sumbu y, sehingga persamaanya menjadi:

x + y - √2xy = a

Contoh SoalBila kurva indifference seorang konsumen dapat ditunjukkan oleh

persamaan x + y - √(2xy) = a dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur, maka berapakah jumlah barang y yang harus dikonsumsi pada saat ia mengkonsumsi barang x sebanyak 3 unit dan agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan?

X = 3, a = 15Jadi 3 + y - √(2.3.y) = 15

y – 12 = √(6y) y2 – 24y – 144 = 6y

y2 – 30y – 144 = 0 (y – 24)(y – 6) = 0

Jadi y1 = 6 dan y2 = 24

Kurva Indifference• Untuk kurva indifference yang memakai bentuk hiperbola,

persamaannya adalah:

(x + h)(y + k) = a

Dengan asimtot x = -h, dan y = -k

Titik potong dengan sumbu x = a/k – h

Titik potong dengan sumbu y = a/h - k

Contoh SoalSeorang konsumen dalam mengkonsumsi barang x dan y

kepuasannya ditunjukkan oleh persamaan xy + y + 6x = a – 6Tentukan titik pusat hiperbola dan berapakah jumlah maksimum

barang x yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?

a = 30xy + y + 6x + 6 = 30y(x + 1) + 6(x + 1) = 30(x + 1)(y + 6) = 30Titik pusat = (-1,-6)Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila tidak

ada barang y yang dikonsumsi (y = 0)(x +1)6 = 30x + 1 = 5x = 4

Kurva Indifference• Untuk kurva indifference yang memakai bentuk parabola,

ditunjukkan dengan:

(x – h)2 = 4p(y – k)

Dengan titik puncak (h,k)

• Nilai p di sini diabaikan.

Contoh SoalKurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan x - √(y + 1)

= a. Bila tingkat kepuasannya dapat diukur, berapakah jumlah maksimum barang x dan barang y yang dapat dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap sebesar 4 satuan.

a = 4x - √(y + 1) = 4x – 4 = √(y + 1)(x – 4)2 = y + 1Puncak parabola (-4,1)Jumlah maksimum barang y yang dapat dikonsumsi terjadi bila x = 0 y = 15Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila y = 0 (x – 4)2

= 1 x1 = 5 dan x2 = 3

Karena x = 5 terletak di bagian yang menaik dari parabola, maka titik tersebut tidak memenuhi dan tidak dipakai. Sehingga jumlah maksimum barang x yang dikonsumsi adalah 3 unit.

Garis Anggaran• Apabila dengan uang sebanyak M digunakan untuk membeli barang x dan y, maka kombinasi jumlah barang x dan y yang dapat dibeli ditunjukkan oleh garis lurus yang menghubungkan titik M/Px dan M/Py.

• Garis ini disebut garis anggaran atau budget line.• Tingkat kepuasan yang maksimum dicapai bila konsumen membelanjakan uangnya sebanyak M untuk membeli y1 barang y dan x1 barang x, yaitu pada posisi persinggungan antara garis anggaran dengan kurva indifference.

Contoh SoalHimpunan kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan

xy = a. Bila persamaan garis anggaran yang dihadapi oleh konsumen adalah 2x + 5y = 100, maka tentukan kombinasi jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi olehnya:

Persamaan indifference: xy = aPersamaan garis anggaran: 2x + 5y = 100 y = 20 – 2/5 xxy = ax(20 – 2/5 x) = a2/5 x2 – 20x + a = 0x2 – 50x +5/2 a = 0Untuk mempunyai akar kembar yaitu titik singgung garis anggaran dan kurva

indifference maka dapat memakai rumus B2 – 4AC = 0Dimana A = 1, B = 50, C = 5/2 a. sehingga a = 250Jadi x2 – 50x +5/2.250 = 0 x = 25Untuk x – 25, maka y = 10Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi adalah 25 unit dan barang y sebanyak

10 unit.

Tugas 21. Buat sketsa grafik: 24x2 – 10xy – 4y2 = 0

2. Tentukan vertex dari persamaan berikut:

a. (x – 3)2 = -8(y + 4)

b. 9(x – 4)2 – 4(y + 8)2 = 36

3. Diketahui pasangan persamaan:

a. Q = 16 − 2P

b. 4Q = 4P+P2

Tentukan dari pesamaan a dan b yang mana fungsi permintaan dan yang mana fungsi penawaran dan jumlah keseimbangan.

4. Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan 5x2 + 6y2 − xy = a dan garis anggarannya x + 2y = 24.