Download - Unit 6
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 1
Objektif Am
Mempelajari dan memahami konsep lebihan dan Teorem Castigliano
II di dalam menentukan daya-daya dalam anggota struktur kerangka tak
boleh tentu statik.
Objektif Khusus
Di akhir unit ini pelajar sepatutnya dapat mengira:
darjah lelebihan dalaman dan luaran.
magnitud dan jenis daya-daya dalam anggota struktur tak boleh
tentu statik dengan lebihan dalaman.
magnitud dan jenis daya-daya dalam anggota struktur tak boleh
tentu statik dengan lebihan luaran.
UNIT
6
ANALISA STRUKTUR KERANGKA
TAK BOLEH TENTU STATIK (2–D)
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 2
Pengenalan
Struktur kerangka tak boleh tentu statik juga dikenali sebagai
struktur hiperstatik atau struktur lelebih.
Sesuatu struktur dikelaskan sebagai tak boleh tentu statik jika
mempunyai bilangan anggota yang berlebihan dan/atau disokong dengan
daya tindak balas yang melebihi daripada yang diperlukan untuk
keseimbangan. Anggota atau sokogan yang berlebihan ini dikenali
sebagai lelebih.
Jesteru, penggunaan persamaan statik sahaja tidak memadai untuk
memberikan penyelesaian. Kita perlu menentu dan membezakan jenis
lebihan struktur berkenaan terlebih dahulu sebelum membuat analisa.
Secara amnya, konsep lebihan di dalam struktur kerangka tak
boleh tentu statik terbahagi kepada tiga (3) iaitu:-
i. Lebihan dalaman
ii. Lebihan luaran dan
iii. Gabungan lebihan dalaman dan luaran.
Namun di dalam unit ini, analisis kita meliputi penentuan jenis dan
magnitud daya dalam anggota struktur kerangka tak boleh tentu statik
yang mempunyai lebihan dalaman dan luaran sebanyak satu darjah
ketidakbolehtuan statik (D) sahaja.
Selamat mengikuti unit ini dengan jayanya.....
INPUT 6.1
KONSEP LELEBIH
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 3
Jenis-jenis Struktur Lelebih
Di bawah topik ini kita akan lihat perbezaan diantara struktur tak boleh
tentu statik yang mempunyai lebihan dalaman, lebihan luaran dan
gabungan antara keduanya.
a. Lebihan Luaran
Lebihan luaran terjadi apabila jumlah daya tindakbalas melebihi
tiga tetapi anggotanya genap dengan (2j-3). Apabila tindakbalas dipilih
sebagai lelebih, sokongan pada arah tindakbalas dibuang dan digantikan
dengan daya tindakan yang tidak diketahui (i.e. R). Syarat keserasian
adalah pesongan pada arah daya tindakan mestilah sifar.
b. Lebihan dalaman
Lebihan ini terjadi apabila kekuda mempunyai tig adaya
tindakbalas tetapi anggotanya melebihi (2j-3). Apabila daya dalam
anggota diambil sebagai lelebih, anggota tersebut akan dibuang dan
digantikan dengan sepasang daya (i.e. R) yang menarik pada sendi
tersebut. Syarat keserasian adalah penambahan jarak diantara sendi
berkenaan bersamaan dengan pemanjangan anggota itu sendiri.
c. Lebihan dalaman dan luaran
Struktur yang memepunyai lebihan seperti ini mempunyai lebih
daripada tiga tindakbalas dan (2j-3) anggota. Di dalam kes ini, adalah
lebih mudah untuk memilih daya tindakbalas dan anggota dalaman yang
berlebihan sebagai lelebih.
Kaedah Menentukan Darjah Lelebih
Dengan merujuk kepada Rajah 6.1 di bawah, kita akan kelaskan
kerangka sama ada mempunyai lebihan dalaman, luaran dan/atau
gabungan antara keduanya.
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 4
Keadaan asal : Bilangan tindakbalas, r = 4
Bilangan anggota, b = 7
Bilangan sendi, n = 5
Keadaan stabil : Bilangan tindak balas = 3
Darjah lelebihan luaran = 4 - 3 = 1
b = 2n - 3
7 = 2(5) - 3 = 7 (sempurna)
Struktur mempunyai 1 darjah lelebihan luaran.
Keadaan asal : Bilangan tindakbalas, r = 4
Bilangan anggota, b = 13
Bilangan sendi, n = 8
Keadaan stabil : Bilangan tindak balas = 3
Darjah lelebihan luaran = 4 - 3 = 1
b = 2n - 3
13 = 2(8) - 3 = 13 (sempurna)
Struktur mempunyai 1 darjah lelebihan luaran.
P1 P2
(a)
Rajah 6.1
(a) Lebihan luaran 1
darjah
(b) Lebihan luaran 1
darjah
(b)
P1
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 5
Keadaan asal : Bilangan tindakbalas, r = 3
Bilangan anggota, b = 14
Bilangan sendi, n = 8
Keadaan stabil : Bilangan tindak balas = 3
lelebihan luaran = 3 - 3 = 0 (sempurna)
b = 2n - 3
14 2(8) - 3 = 13
Struktur mempunyai 1 darjah lelebihan dalaman.
Keadaan asal : Bilangan tindakbalas, r = 3
Bilangan anggota, b = 15
Bilangan sendi, n = 8
Keadaan stabil : Bilangan tindak balas = 3
lelebihan luaran = 3 - 3 = 0 (sempurna)
b = 2n - 3
15 2(8) - 3 = 13
Struktur mempunyai 2 darjah lelebihan dalaman.
(c)
P1 P2
P1
(d)
P3
P2
Rajah 6.1
(c) Lebihan dalaman 1
darjah
(d) Lebihan dalaman 2
darjah
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 6
Keadaan asal : Bilangan tindakbalas, r = 4
Bilangan anggota, b = 14
Bilangan sendi, n = 8
Keadaan stabil : Bilangan tindak balas = 3
lelebihan luaran = 4 - 3 = 1
b = 2n - 3
14 2(8) - 3 = 13
Struktur mempunyai 1 darjah lelebihan dalaman dan 1 darjah lebihan
luaran.
(e)
P2 P1
Rajah 6.2
(e) Lebihan dalaman 1
darjah dan Lebihan
luaran 1 darjah
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 7
Uji tahap kefahaman anda dengan mencuba aktiviti di bawah berdasarkan
kepada arahan yang diberikan. Untuk semakan, sila rujuk helaian
berikutnya.
Arahan: Untuk struktur kekuda di bawah, nayatakan sama ada struktur
tersebut mempunyai lelebih dalaman, luaran atau gabungan antara
keduanya.
AKTIVITI
6.1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 8
Sila semak jawapan anda
a). Struktur mempunyai 1 darjah lelebih dalaman.
b). Struktur mempunyai 2 darjah lelebih dalaman dan 1 darjah lelebih
luaran.
c). Struktur mempunyai 1 darjah lelebih dalaman.
d). Struktur mempunyai 1 darjah lelebih luaran.
e). Struktur mempunyai 1 darjah lelebih luaran.
MAKLUMBALAS
AKTIVITI 6.1
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 9
Teorem Castigliano Kedua
Teorem ini berkaitan dengan hubungan diantara tenaga terikan dengan
tindakan daya pada struktur tak boleh tentu statik. Menurut teorem ini :
Teorem ini boleh ditunjukkan seperti berikut:
R
U........................ Persamaan 6.1
di mana = tenaga terikan bagi seluruh kerangka
= kurang padan awal anggota lelebih
R = daya di dalam anggota lelebih
Daya Dalam Anggota Kekuda
Untuk menentukan daya dalam anggota, langkah-langkah berikut boleh
dijadikan sebagai panduan:
Langkah 1
- Jadikan struktur kerangka sebagai bolehtentu statik dengan membuang
lelebihan anggota atau daya tindakbalasdan digantikan dengan daya R
untuk mengekalkan keseimbangan.
Langkah 2
- Tentukan daya-daya dalam semua anggota (kecuali anggota atau daya
tindakbalas lelebih) disebabkan oleh beban kenaan; Pi
Langkah 3
- Tentukan daya-daya dalam anggota disebabkan oleh beban unit 1kN
yang dikenakan pada anggota lelebih atau daya tindakbalas lelebih; ui.
INPUT 6.2
Kerbezaan separa bagi jumlah tenaga
terikan pada struktur lelebih merujuk
kepada beban pada anggota lelebih
adalah sama dengan kurang padan
anggota tesebut.
*Nota:
Kaedah yang digunakan untuk langkah 2 dan 3
adalah kaedah sendi /
sambungan yang telah dipelajari di unit 2. Sila
rujuk unit 2 jika hadapi
sebarang kesulitan.
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 10
Langkah 4
- Menentukan nilai R
Langkah 5
- Menentukan daya-daya dalam semua anggota kekuda, Fi.
Menentukan daya-daya dalam anggota kekuda (F):-
Struktur kerangka dengan lelebihan dalaman
Kekuda disebelah adalah kekuda
tak boleh tentu statik dengan 1
darjah lebihan dalaman.
P C
A B
D
Jadikan kekuda tentuan statik
dengan membuang satu anggota
(katakan anggota AC) dan untuk
mengekalkan keseimbangan, daya
R dikenakan pada A dan C untuk
menarik kedua-duanya.
P C
A B
D
R
R
P C
A B
D
R
R
P C
A B
D
B A
C D P
R
R
P uR F + =
+ R x =
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 11
Di mana:-
P = daya dalam anggota akibat beban kenaan (kecuali anggota AC)
u = daya dalam anggota akibat beban unit yang dikenakan pada
anggota AC.
Menentukan R
- Anjakan relatif C kepada A ialah ; ∆ = ∑(uFL/AE) ...... (untuk semua
anggota kecuali anggota AC)
- Perubahan panjang AC adalah R(L/AE)AC.
- Pergerakan relatif C kepada A mestilah mempunyai nilai yang sama
tetapi berbeza arah dengan perubahan panjang AC. Oleh itu;
∑(uFL/AE) = -R(L/AE)AC
∑(P+uR)(uL/AE) = -R(L/AE)AC
∑(uPL/AE) + ∑(u2RL/AE) = -R(u
2L/AE)AC .... (u untuk AC adalah 1)
∑(uPL/AE) + ∑(u2RL/AE) = 0 .... (untuk semua anggota)
.... (P untuk AC = 0)
∑(uPL/AE) + R∑(u2L/AE) = 0 ..... Persamaan 6.2a
R = - ..... Persamaan 6.2b
Sekiranya AE adalah malar untuk setiap anggota kekuda, maka Persamaan
6.2b boleh dipermudahkan seperti berikut:-
R = - ...... Persamaan 6.2c
1
5
1
5
5 5
1 1
6 6
1 1
6 6
1 1
∑(uPL/AE)
∑(u2L/AE)
∑(uPL)
∑(u2L)
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 12
Contoh 6.1
Tentukan daya-daya di dalam anggota untuk kerangka yang di tunjukkan
dalam Rajah 6.2(a) akibat beban yang dikenakan. Diberi luas setiap
anggota 20 sm2 dan nilai Modulus Young, E =207 kN/mm
2.
Penyelesaian
Langkah 1
Struktur mempunyai 1 darjah lelebihan dalaman.
Jadikan struktur boleh tentu statik dengan membuang satu anggota;
katakan anggota AC.
Langkah 2
Menentukan daya-daya dalam anggota akibat beban 40kN di sendi D
(kerangka tanpa anggota AC) dengan menggunakan kaedah sendi.
A B
40kN CD
12m
16m
(b)
Rajah 6.2
(a) Kekuda tak boleh
tentu statik dengan
1 darjah lebihan
dalaman.
(b) Daya dalam anggota
akibat beban kenaan
(a)
Nota:- Daya dalam anggota
AC adalah sifar
kerana anggota AC
diambil sebagai
lelebih
B A
40 D
C
-50 0
0
40
+30
+40
30 30
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 13
Langkah 3
Menentukan daya-daya dalam anggota akibat unit beban 1kN yang
dikenakan di sendi A dan C dengan menggunakan kaedah sendi. (Anggap
unit beban 1kN adalah tegangan).
Langkah 4
Menentukan nilai R. Oleh kerana AE adalah malar, maka Persamaan 6.2c
lebih sesuai digunakan.
Untuk memenuhi persaan di atas, adalah lebih mudah sekiranya kita
membina jadual yang mengandungi maklumat yang diperlukan seperti di
bawah.
B A
D -0.8 C
1
-0.6 +1 -0.6
1
-0.8
(c)
Nota:- Tiada daya luaran
yang bertindak pada
struktur, maka daya tindakbalas di
sokongan A dan B
adalah sifar.
Rajah 6.2
(c) Daya dalam
anggota akibat
unit beban 1kN
∑(uPL)
∑(u2L)
R = -
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 14
Anggota L Pi ui uPL u2L
F = P +
uR
AB 16 +40 -0.8 -512 +10.24 +20
AC 25 0 +1 0 +25 +25
AD 12 +30 -0.6 -216 +4.32 +15
BC 12 0 -0.6 0 +4.32 -15
BD 25 -50 +1 -1250 +25 -25
CD 16 0 -0.8 0 +10.24 -20
Jumlah -1978 79.12
Daripada persamaan 6.2c;
=
= 25 kN.
Langkah 5
Menentukan daya dalam semua anggota kekuda; F = P + uR
FAB = 40 + (-0.8)R = 40 + (-0.8)(25) = +20 kN (tegangan)
FAC = 0 + (1)R = 1(25) = +25 kN (tegangan)
FAD = 30 + (-0.6)R = 30 – (0.6)(25) = +15 kN (tegangan)
FBC = 0 + (-0.6)R = -0.6(25) = -15 kN (mampatan)
FBD = -50 + (1)R = -50 + 1(25) = -25 kN (mampatan)
FCD = 0 + (-0.8)R = -0.8(25) = -20 kN (mampatan)
Daya akhir anggota kekuda
∑(uPL)
∑(u2L)
R = - -(-1978)
(79.12)
D -20 C
-25
+30 -15
40 B
+20
30kN
30kN
A
40
+25
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 15
Contoh 6.2
Tentukan daya-daya di dalam anggota untuk kerangka yang ditunjukkan
dalam Rajah 6.3(a) akibat bebanan yang dikenakan. Nilai dalam kurungan
adalah luas setiap anggota dalam unit m2. Ambil nilai Modulus Young,
E =200 GPa.
Penyelesaian
Langkah 1
Struktur mempunyai 1 darjah lelebihan dalaman.
Jadikan struktur bolehtentu statik dengan membuang satu anggota;
katakan anggota BF.
Langkah 2
Menentukan daya-daya dalam anggota akibat beban 240kN di sendi E dan
120kN di sendi F (kerangka tanpa anggota BF) dengan menggunakan
kaedah sendi.
240kN
A
B CD
FE
15m
20m 20m 20m
(10) (10) (10)
(10)
(8)
(20)
(8)
(20)
(15) (15)
120kN
(a)
Rajah 6.3:
(a) Kekuda tak boleh
tentu statik dengan 1
darjah lebihan dalaman.
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 16
Langkah 3
Menentukan daya-daya dalam anggota akibat beban unit 1kN yang
dikenakan disendi B dan F dengan menggunakan kaedah sendi. (Anggap
beban unit 1kN adalah tegangan).
Langkah 4
Menentukan nilai R. Oleh kerana hanya E adalah malar, maka Persamaan
6.2b lebih sesuai digunakan.
Untuk memenuhi persaan di atas, adalah lebih mudah sekiranya kita
membina jadual yang mengandungi maklumat yang diperlukan seperti di
bawah.
A
B CD
FE
120
240
14020
240
+213.33
+33.33
-186.67
+20
+213.33 +213.33
-33.33
0-233.33
(b)
Rajah 6.3:
(b) Daya dalam anggota
akibat beban kenaan
(c) Daya dalam anggota
akibat beban unit 1kN
Nota:- Daya dalam
anggota BF adalah
sifar kerana anggota BF
diambil sebagai
lelebih
E -0.8 F
1
0 +1 0
-0.6 -0.6 1
-0.8
C A D
B 0 0
Nota:-
Tiada daya luaran
yang bertindak pada struktur, maka daya
tindakbalas di
sokongan A dan B
adalah sifar.
(c)
∑(uPL/AE)
∑(u2L/AE)
R = -
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 17
Anggota L(m) A(m2) Pi ui uPL/A u
2L/A F=P+uR
AB 20 10 +213.33 0 0 0 +213.33
AE 25 20 +33.33 0 0 0 +33.33
BC 20 10 +213.33 -0.8 -341.33 +1.28 +201.02
BE 15 15 0 -0.6 0 +0.36 -9.23
BF 25 8 0 +1 0 +3.13 +15.39
CD 20 10 +213.33 0 0 0 +213.33
CE 25 8 -33.33 +1 -104.16 +3.13 -17.94
CF 15 15 +20 -0.6 -12 +0.36 +10.77
DF 25 20 -233.33 0 0 0 -233.33
EF 20 10 -186.67 -0.8 +298.67 +1.28 -198.98
Jumlah, -146.82 +9.54
Daripada Persamaan 6.2b:
= 15.39 kN.
Tanda positif menunjukkan arah andaian beban unit 1kN adalah
benar dan ini bermakna anggota BF adalah anggota tegangan.
Daya akhir anggota kekuda; F = P + uR
FAB = 213.33 kN (tegangan)
FAE = 33.33 kN (tegangan)
FBC = 213.33 - 0.8(15.39) = +201.02 kN (tegangan)
FBE = 0 - 0.6R = - 0.6(15.39) = -9.23 kN (mampatan)
FBF = 0 + 1(R) = +15.39 kN (tegangan)
FCD = +213.33 kN (tegangan)
FCE = -33.33+R = -33.33 + 15.39 = -17.94 kN (mampatan)
FCF = 20 - 0.6R = 20-0.6(15.39) = +10.77 kN (tegangan)
∑(uPL/AE)
∑(u2L/AE)
R = - ( -146.82 )
( 9.54 ) = -
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 18
FDF = -233.33 kN (mampatan)
FEF = -186.67 - 0.8R = -186.67 - 0.8(15.39) = -198.98 kN (mampatan)
Sekarang, cuma anda dapatkan daya-daya dalam anggota untuk kedua-
dua contoh di atas dengan mengambil anggota BD (contoh 6.1) dan
anggota CE (contoh 6.2) sebagai lelebih. Jadikan langkah-langkah yang
telah dipelajari sebagai panduan. Selamat mencuba.
-9.23
+15.
39
20
240A
+213.33 B +201.02
+33.33
240
-17.94
E -198.98
+10.77
140
+213.33CD
F
-233.33
120
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 19
B
Uji tahap kefahaman anda dengan mencuba aktiviti di bawah berdasarkan
kepada arahan yang diberikan. Untuk semakan, rujuk pada helaian
berikutnya.
Arahan : Untuk kekuda di bawah, hitungkan daya dalam anggota akibat
beban yang dikenakan. Nilai A adalah malar melainkan dinyatakan dalam
kurungan di mana luas adalah dalam sm2.
AKTIVITI
6.2
E F
A D
6.4m
C B
48kN 36kN
3 @ 4.8m = 14.4m
S1
S2 50kN
100kN
(15)
(12) (8.5) (8.5) 75kN 12m
12m 9m
D
A (12)
C 10.5 ( )
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 20
A B C
75kN
D E
1m
1m 1m
F
D E
A C
20kN
15kN
B
2@4m=8m
3m
3m
S5
S4
S3
2@1m=2m
1m
1m
40kN
40kN F
D E
A C
B
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 21
S1 R = 19.93 kN
FAE = -50 kN (mampatan)
FBF = +19.93 kN (tegangan)
FCE = +24.93 kN (tegangan)
FDF = +55 kN (mampatan)
Anggota BF sebagai lelebih.
S2 R = 97.60 kN
FAD = +97.60 kN (tegangan)
FBC = -107.76 kN (mampatan)
FBD = +32.26 kN (tegangan)
FCD = -105.05 kN (mampatan)
Anggota AD sebagai lelebih.
S3 R = 53 kN
FAD = -752 kN (mampatan)
FBE = +53 kN (tegangan)
FCD = -53.07 kN (mampatan)
FDE = -37.48 kN (mampatan)
Anggota BE sebagai lelebih.
S4 R = -12.16 kN
FAE = +2.43 kN (tegangan)
FBD = -12.16 kN (mampatan)
FCE = +33.34 kN (tegangan)
FDF = -18.75 kN (mampatan)
FEF = +11.25 kN (tegangan)
Anggota BD sebagai lelebih.
S5 R = -5.35 kN
FAD = -602 kN (mampatan)
FBE = +22.93 kN (tegangan)
FCD = -5.35 kN (mampatan)
FDF = -402 kN (mampatan)
Anggota BF sebagai lelebih
MAKLUMBALAS
AKTIVITI 6.2
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 22
Daya Dalam Anggota Kekuda
Untuk menentukan daya-daya dalam anggota struktur yang mempunyai
lelebihan luaran, kita masih lagi berpandukan kepada langkah-langkah
yang telah dipelajari dalam unit 6.2. Cumanya, di dalam unit ini, lelebihan
adalah daya tindakbalas. Oleh itu, contoh-contoh yang akan disediakan
menjuruskan kepada topik ini. Cuma fahamkan dengan teliti....
Contoh 6.3
Tentukan daya-daya di dalam anggota untuk kerangka yang ditunjukkan di
dalam Rajah 6.4a. Diberi nilai AE adalah tetap untuk setiap anggota.
Penyelesaian
Langkah 1
Struktur mempunyai 1 darjah lelebihan dalaman.
Jadikan struktur boleh tentu statik dengan membuang satu penyokong;
katakan penyokong di B (VB).
INPUT 6.3
Struktur kerangka dengan lelebihan luaran
30kN
A C
B
(a)
D
9m
12m 12m
Rajah 6.4
(a) Kekuda tak boleh
tentu statik dengan
1 darjah lebihan
luaran.
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 23
Langkah 2
Menentukan daya-daya dalam anggota akibat beban 30kN di sendi D
dengan menggunakan kaedah sendi.
Langkah 3
Menentukan daya-daya dalam anggota akibat beban unit 1kN yang
dikenakan di penyokong B dengan menggunakan kaedah sendi. (Anggap
beban unit 1kN bertindak ke bawah).
Langkah 4
Menentukan nilai R. Oleh kerana hanya AE adalah malar, maka
Persamaan 6.2b lebih sesuai digunakan.
D
+18.75 -18.75
30 C
11.25 11.25
+15 +15
30
0
A
(b)
B
Rajah 6.4
(b) Daya dalam
anggota akibat
beban kenaan
(c) Daya dalam
anggota akibat
beban unit 1kN
D
-0.84 -0.84
+1
A C
+0.67 B +0.67
0.5 1 0.5
( c )
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 24
Untuk memenuhi persaan di atas, adalah lebih mudah sekiranya kita
membina jadual yang mengandungi maklumat yang diperlukan seperti di
bawah.
Anggota L (m) Pi ui uPL u2L F = P + uR
AB 12 +15 +0.67 120.6 5.39 +11.05
AD 15 +18.75 -0.84 -236.25 10.58 +23.70
BC 12 +15 +0.67 120.6 5.39 +11.05
BD 9 0 +1 0 9 -5.89
CD 15 -18.75 -0.84 +236.25 10.58 -13.80
Jumlah, 241.20 40.94
Daripada Persamaan 6.2c:
=
= -5.89kN.
Nilai negatif menunjukkan arah andaian beban unit 1kN adalah
salah dan ini bermakna
arah daya tindakbalas adalah ke bawah.
Daya akhir anggota kekuda, F = P + uR
FAB = 15 + 0.67R = 15 - 0.67(5.89) = +11.05 kN (tegangan)
FAD = 18.75 - 0.84R = 18.75 + 0.84(5.89) = +23.70 kN (tegangan)
FBC = 15 + 0.67R = 15 – 0.67(5.89) = +11.05 kN (tegangan)
FBD = 0 + 1R = -5.89 kN (mampatan)
∑(uPL)
∑(u2L)
R = -
∑(uPL)
∑(u2L)
R = - -(241.20)
(40.94)
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 25
FCD = -18.75 – 0.84R = -18.75 + 0.84(5.89) = -13.80 kN (mampatan)
Daya tindakbalas pada penyokong
Penyokong di A
HA = 30kN ()
VA = -11.25 + 0.5R = -11.25 –5.89 = -14.20 kN ()
Penyokong di C
VC = 11.25 + 0.5R = 11.25 – 0.5(5.89) = 8.31 kN ()
Penyokong di B
VB = 0 – 1R = 5.89 kN ()
Magnitud dan arah daya dalam anggota kekuda dan daya tindakbalas
pada penyokong
30kN
+23.70 -5.89 -13.80
30 C
B
14.20
5.89 8.31
D
A +11.05 +11.05
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 26
Contoh 6.4
Tentukan daya-daya di dalam anggota untuk kerangka yang ditunjukkan
dalam rajah 6.5a. Diberi nombor dalam kurungan adalah luas anggota
dalam x10-3
m2 dan nilai Modulus Young, E adalah malar.
Penyelesaian
Langkah 1
Struktur mempunyai 1 darjah lelebihan luaran.
Jadikan struktur boleh tentu statik dengan melepaskan salah satu
penyokong; katakan lepaskan D dan letakkan di atas rola.
Langkah 2
Menentukan daya-daya dalam anggota akibat beban kenaan dengan
menggunakan kaedah sendi.
B C
(5) (5) (5)
60kN
A D
(a)
(3)
(3) 120kN
Rajah 6.5 (a) Kekuda tak boleh
tentu statik dengan
1 darjah lelebihan
luaran.
(b) Daya dalam
anggota akibat
beban kenaan.
+37.5
B +45 C
+137.5 -137.5
120 D
110 170
(b)
60
120
-75
A
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 27
Langkah 3
Menentukan daya-daya dalam anggota akibat beban unit 1kN yang
dikenakan di penyokong D dengan menggunakan kaedah sendi. (Anggap
beban unit 1kN bertindak ke kanan).
Langkah 4
Menentukan nilai R dengan menggunakan Persamaan 6.2b:-
Seterusnya, kita membina jadual yang mengandungi maklumat-maklumat
yang diperlukan untuk memenuhi persamaan di atas.
Anggota L (m) A
(x10-3
m2
Pi ui uPL/A
(x105)
u2L/A
(x104)
F = P + uR
AB 25 5 +137.5 0 0 0 +137.5
AD 30 3 +37.5 +1 3.75 1 0
BC 30 3 +45 0 0 0 +45
BD 25 5 -137.5 0 0 0 -137.5
CD 25 5 -75 0 0 0 -75
Jumlah, 3.75 1
B 0 C
0 0 0
0 0
(c)
1 1 +1
A
D
Rajah 6.5 (c) Daya dalam
anggota akibat
beban unit 1kN
-∑(uPL/AE)
∑(u2L/AE)
R =
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 28
Daripada Persamaan 6.2b:
= R =-37.5kN.
Daya akhir dalam anggota kekuda, F = P + uR
FAB = 137.5 + (0)R = +137.5 kN (tegangan)
FAD = 37.5 + 1R = 37.5 – 37.5 = 0
FBC = 45 + (0)R = +45 kN (tegangan)
FBD = -137.5 + (0)R = -137.5 kN (mampatan)
FCD = -75 + (0)R = -75 kN (mampatan)
Daya tindakbalas pada penyokong
Penyokong A
HA = -120 –1R = -120 + 37.5 = -82.5kN ()
VA= -110 + (0)R = -110kN ()
Penyokong di D
HD = 0 + 1R = -37.5kN ()
VD = 170 + (0)R = 170kN ()
Magnitud dan arah daya dalam anggota kekuda dan daya tindakbalas
pada penyokong
-∑(uPL/AE)
∑(u2L/AE)
R = -(3.75x10
5)
(1x104)
B +45 C
+137.5 -137.5
-75
82.5 37.5
A 0 B
110 170
120
60
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 29
Uji tahap kefahaman anda dengan mencuba aktiviti di bawah berdasarkan
epada arahan yang diberikan. Untuk semakan, rujuk pada helaian
berikutnya.
Arahan : Untuk kekuda di bawah, hitungkan daya dalam anggota akibat
beban yang dikenakan. Nilai A adalah malar melainkan dinyatakan dalam
kurungan di mana luas adalah dalam 10-3
m2.
AKTIVITI
6.3
C
( 5 )
B ( 8 ) ( 5 ) ( 6 )
A D ( 6 )
100kN 8m
20m
20m 20m
35kN 25kN
A B C
4.5m
9m
E
6m 6m D
S1
S2
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 30
B C D E F
A K
20kN 50kN
20kN
G H J
30kN
4 @ 12m = 48m
16m
B (2.7) C (2.7) D (2.7) E
(0.9)
(0.9) (3.6) (1.8) (3.6)
(0.9) (1.8) (0.9)
A (2.25) G (2.25) H (2.25) J (2.25) F
8m
4 @ 6m = 24m
150kN 200kN 150kN
S5
S4
S3
F G H
A E
100kN 30kN
4 @ 18m= 72m
D C
B
24m
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 31
S1 R = 100 kN
FAE = +1002 kN (tegangan)
FAD = 0
FBC = +107.70 kN (tegangan)
FBD = -60 kN (mampatan)
FCD = -170.05 kN (mampatan)
Penyokong D sebagai lelebih (Sendi D diletakkan di atas rola)
Daya Tindakbalas:
HA = 100kN (), VA = 100kN () ; HD = 100kN () , VD = 200kN ()
S2 R = -42.50 kN
FAB = +33.33 kN (tegangan)
FAD = 0
FAE = +29.18 kN (tegangan)
FBC = +33.33 kN (tegangan)
FBE = -35 kN (mampatan)
FCE = -41.66 kN (mampatan)
FDE = -70.84 kN (mampatan)
Penyokong D sebagai lelebih (Sendi D diletakkan di atas rola)
Daya Tindakbalas
HA = 56.67kN (), VA = 17.5kN () ; HD = 56.67kN (),
VD = 42.50kN ()
S3 R = -49.17 kN
FAB = -18.75 kN (mampatan) FAG = +20 kN (tegangan)
FBC = -14.06 kN (mampatan) FBG = +23.43 kN (tegangan)
FCD = -14.06 kN (mampatan) FDE = -4.06 kN (mampatan)
FCG = FEJ = FJK = 0 FDG = +39.07 kN (tegangan)
FDH = -49.17 kN (mampatan) FDJ = +22.39 kN (tegangan)
FEF = -4.06 kN (mampatan) FFJ = +40.11 kN (tegangan)
FFK = -32.09 kN (mampatan) FGH = +10.62 kN (tegangan)
FHJ = +10.62 kN (tegangan)
Penyokong H sebagai lelebih
Daya Tindakbalas:
HA = 20kN (), VA =18.75kN () ; VH = 49.17kN () ; VK = 32.09kN ()
MAKLUMBALAS
AKTIVITI 6.3
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 32
S4 R = -75.52 kN
FAB = +34.31 kN (tegangan) FAF = -57.18 kN (mampatan)
FBC = +34.31 kN (tegangan) FBF = +100 kN (tegangan)
FCD = +8.06 kN (tegangan) FCF = -67.83 kN (mampatan)
FCG = 0 FCH = -24.07 kN (mampatan)
FDE = +8.06 kN (tegangan) FDH = +30 kN (tegangan)
FFG = +6.38 kN (tegangan) FGH = +6.38 kN (tegangan)
FHE = -13.43 kN (mampatan)
Penyokong C diambil sebagai lelebih
Daya Tindakbalas:
HA = 0, VA = 45.74kN () ; VC = 73.52kN () ; VE = 10.74kN ()
S5 R = +173.87 kN
FAB = +326.13 kN (tegangan) FAC = -407.66kN (mampatan)
FAG = +16.21kN (tegangan) FBC = +228.39kN (tegangan)
FCD = -148.31kN (mampatan) FCG = +150kN (tegangan)
FCH = +220.16kN (tegangan) FDE = -148.31kN (mampatan)
FDH = 0 FEF = -217.34kN (mampatan)
FEI = +150kN (tegangan) FEH = +29.84kN (tegangan)
FGH = +16.21kN (tegangan) FHI = +130.40kN (tegangan)
FIF = +130.40kN (tegangan)
Penyokong F diambil sebagai lelebih
Daya Tindakbalas:
HA = 228.39kN () ; HB = 228.39kN () ; VB = 326.13 kN () ;
VF = 173.87 kN ()
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 33
Uji tahap kefahaman anda dengan menyelesaikan masalah di bawah.
Selamat mencuba dan semoga berjaya!
Arahan : Untuk kekuda di bawah, kirakan
a). Darjah lelebih dan tentukan sama ada struktur mempunyai lebihan
dalaman atau luaran atau kedua-duanya sekali.
b). Magnitud dan jenis daya-daya dalam anggota akibat beban yang
dikenakan. Luas keratan anggota, A, adalah malar melainkan dinyatakan.
Manakala E adalah tetap.
PENILAIAN
KENDIRI
3m
10kN
5m
25kN D
5m
E F
C
A B
2m
7m
S1
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 34
100kN
D
1.5m
(6)
(4)
(6) (15)
A (10) (10) C
2.25m 2m 2m
(10)
50kN
100kN
B
1.5m
S2
Nilai dalam kurungan adalah luas dalam sm2
S3
50kN
( 2 ) ( 1 ) ( 2 )
( 2 ) 150kN ( 2 )
C
D
B A ( 1 )
6m 6m
3m
3m
Nilai dalam kurungan adalah luas dalam 10-3
m2.
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 35
S4
Nilai dalam kurungan adalah luas dalam sm2.
100kN 80kN
C (20) D
(10) (25)
(25) 4m
(25) (25) 4m
4m
A (10)
(10)
F (20)
C
B
A D
120kN
2 @ 20m= 40m
30m
S5
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 36
Adakah anda telah mencuba soalan-soalan di atas. Jika “YA” , sila semak
dengan jawapan-jawapan di bawah.
S1 (a). Struktur dengan lebihan 1 darjah dalaman.
(b). R = 17.62 kN
FAB = +17.29kN (tegangan) FAC = +21.33kN (tegangan)
FAD = +17.62kN (tegangan) FBC = -16.97kN (mampatan)
FBD = -21.65kN (mampatan) FCD = -15.85kN (mampatan)
FCE = 0 FCF = +12.81kN (tegangan)
FDF = -10.20kN (mampatan) FEF = -10kN (mampatan)
Anggota AD diambil sebagai lelebih.
S2. (a). Struktur dengan lebihan 1 darjah luaran
(b). R = -115.88 kN
FAB = +48.38kN (tegangan) FAD = +2.70kN (tegangan)
FBC = +115.05kN (tegangan) FBD = -65.88kN (mampatan)
FBE = -83.34kN (mampatan) FCE = -143.81kN (mampatan)
FDE = -60.47kN (mampatan)
Penyokong di B diambil sebagai lelebih.
Daya Tindakbalas:
HA = 50kN () , VA = 2.16kN (); VB = 115.88kN ();
VC = 86.28kN ()
S3. a). Struktur dengan lebihan 1 darjah dalaman
b). R = 113 kN
FAB = +113kN (tegangan) FAC = -52.33kN (mampatan)
FAD = -29.07kN (mampatan) FBC = -123.04kN (mampatan)
FBD = -29.07kN (mampatan) FCD = +124kN (tegangan)
Anggota AB diambil sebagai lelebih
MAKLUMBALAS
PENILAIAN KENDIRI
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 37
S4 a). Struktur dengan lebihan 1 darjah dalaman
b). R = -13.66 kN
FAB = -90.34kN (mampatan) FAE = -13.66kN (mampatan)
FAF = -9.66kN (tegangan) FBC = -100kN (mampatan)
FBE = +9.66kN (tegangan) FBF = -13.66kN (mampatan)
FCD = 0 = FCE
FDE = -80kN (mampatan) FEF = -70.34kN (mampatan)
Anggota BF diambil sebagai lelebih
S5. a). Struktur dengan lebihan 1 darjah luaran.
b). R = +32.89 kN
FAB = -58.89kN (mampatan) FAE = +80kN (tegangan)
FBC = +41.11kN (tegangan) FBD = -100kN (mampatan)
FBE = +120kN (tegangan) FCD = -24.67kN (mampatan)
FDE = +80kN (tegangan)
Penyokong di C diambil sebagai lelebih.
Daya Tindakbalas:
HA = 32.89kN (), VA = 35.33kN (); VD = 84.67kN ();
HC = 32.89kN ()
UNIT 6 / KERANGKA TAK BOLEH TENTU STATIK C5303 / 6 / 38