Download - Transformasi-z Dan Invers Serta Aplikasinya
TUGAS MATEMATIKA TEKNIK 2
TRANSFORMASI Z
NAMA : SYUKRIL HAKIMIS
JURUSAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS ANDALASPADANG2014
Transformasi-z dan Inversserta aplikasinya2
Kegunaan Transformasi -z
Mengurangi perhitungan dalam operasi konvolusi dua sinyal
Solusi persamaan beda dapat ditemukan dengan perhitungan aljabar yang lebih mudah
Fungsi transfer pada sistem LTI
DEFINISI
Transformasi-z, F(z), dari fungsi waktu diskrit f(n) adalah:Z[ f (n)] =dengan z adalah variabel kompleks
F ( z) =
k =
f (k ) z k
(1)Hubungan pada Pers. (1) Transformasi-z bilateral. Pers. (1) dapat ditulis:F ( z) =
0k =
f (k ) z k
+ k =0
f (k ) z k
Jika f(n)=0 untuk n 0k > 0
Tentukan juga transformasi-Z dari sinyal berikut:a) x(n)=u(n), sinyal step unitb) x(n)=anu(n), sinyal eksponensial untuk n >= 0 c) x(n)=n, sinyal rampd) x(n)=e-2ne) x(n)=n e-2nf) x(n)=e2ncos(3n)
F(n)F(z)ROC
(n)1All z
(n - k ), k > 0z-kz 0
u(n) z z 1z > 1
nz(z 1 )2z > 1
n 2z ( z + 1)(z 1 )3z > 1
a n z z az > a
na n az (z a )2z > a
Tabel Transformasi-z
8
1. Linearitas2. Time Shifting (pergesearan waktu)3. ConvolusiSifat-SifatTrasformasi-z
4. Teorema nilai awal9
Sifat-SifatTransformasi-z
1. Linieritas
jika
x 1 (n)
X1
(z)2
dan
maka
a 1 x 1 (n)
x 2 (n)+ a 2 x 2 (n)
X (z) a X (z)1 1
+ a 2 X 2 (z),
a i konstanROC-nya adalah irisan dari x1(n) dan x2(n)
Contoh:Tentukan transformasi-z dan ROC-nya
x(n)
= (3(2
n )
4(3
n )) u(n)
2. Time Shifting/Pergeseran waktu
jika
maka
ROC sama
x(n) X(z)x(n k) z k X(z)
Contoh:Tentukan transformasi-z dari x(n-2) dan x(n+2) dan ROC-nya dari contoh sebelumnya
x 1 (n)
= {1,
2, 5,
7, 0, 1}1
X1 (z) = 1 + 2z
+ 5z 2
+ 7z 3
+ z 5
x 2 (n)
= x(n
- 2)
= {1, 2, 5, 7,
0, 1}
X 2 (z) = ....
3. Convolusi
jika
x 1 (n)
X1
(z)2
dan
maka
x 2 (n)
X (z)Zx 1 (n) * x 2 (n)
X 1 (z).X
2 (z)
ROC-nya adalah irisan dari x1(n) dan x2(n)
Contoh:Tentukan transformasi-z dari konvolusi pada contoh sebelumnya(pembahsan konvolusi)
Bentuk umum pers. Beda pada LTI
Aplikasi Transformasi-z pada sistem LTI
a 0 y(n) + a 1 y(n - 1) + L + a N y(n - N)
= b 0 x(n) + b 1 x(n - 1) + L + b M x(n - M)
Dengan menerapkan transf.z dan sifat time shifting, dengan:M
maka
x(n)
X(z)
dan
x(n)
Y(z)
a 0 Y(z) + a1
z -1 Y(z) + L + a
z -N Y(z)
= b 0
X(z) + b 1
z -1 X(z) + L + b
z -M X(z)
(a 0
+ a 1
z -1
+ L + a
z - N )Y(z)
= (b 0
+ b 1
z -1
+ L + b M
z - M )X(z)
Y(z)N
(b + b z -1 + L + b z - M )=X(z)N
0
(a 0
1+ a 1
z -1
M+ L + a N
)z - N )
Fungsi transfer, H(z)
Tentukan fungsi transfer sistem LTI yang dinyatakan dalam pers. Beda berikutContoh
y(n) 0.9 y(n - 1)
= 0.1x(n),
dengan x(n ) =
u(n)
y(n) 3y(n - 1) - 4y(n - 2) =
x(n) + 2x(n
- 1),
dengan x(n ) =
4 n u(n)
Invers transformasi-z didefinisikan sebagai:Invers Transformasi-z
1x(n) =
2j
x(z)z n 1 dzc
dengan integralnya adalah integral kontur melalui lintasan tertutup c yang terdapat pada titik awal dan terletak dalam daerah konvergensi X(z)
Karena perhitungan integral kontur sulit dan kompleks, maka untuk mencari invers dari transformasi-z dapat dengan melihat tabel, atau digunakanmetode lain:
MetodeEkspansi pecahan parsial
MetodePembagian panjangPenyelesaian Persamaan Beda dengan Transformasi Z
Langkah-langkah:
H(z) =
Y(z)
X(z)
Y(z) = f(z)
Y(z) = A1 + A2 +L+ An
z-1
y(n) =
x(n)
Y(z)
= H(z)X(z)
z zLakukan ekspansiPecahan parsial
z a1
z a2
z an
inverskan
Tentukan invers transformasi-z dari contoh sebelumnya
Pratikum
Transformasi-z dan Invers serta aplikasinya17
Transformasi-zMatlab menyediakan function untuk mendapatkan transformasi-z dari suatu fungsi diskrit, yaitu menggunakan ztrans.
F = 1/4*z/(1/4*z-1)
Untuk menyederhanakan ekspresi matematika diatas, gunakan function simplify
simplify(F)
Maka akan muncul keluaran sebagai berikut:
z/(z-4)
Perhatikan bahwa hasilnya sama persis waktu diperkuliahan.
Invers Transformasi-z
Invers transformasi-z dapat dicari menggunakan metode eksapansi pecahan parsial dan metode pembagian panjang.Matlab memiliki fungsi untuk mencari invers transformasi-z menggunakan ekspansi pecahanparsial, yaitu: [R, P, K)=residue(B,A), dimana A dan B adalah konstanta dari fungsi z. Misal dapatkan invers transformasi-z dari fungsi berikut:
F(z) = 2zz2+3z+2
Solusi:
F(z) = 2z-11+3z 1+2z 2
Maka A=[13 2) dan B=[O2) Coding selengkapnya:A=[132);
B=[O2);
[R, P)=residue(B,A)
Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut:
R=-2
2p=-2-1
F(z) diekspansikan ke dalam jumlahan dalam bentuk r/(l-pz"l) dimana r adalah residu dan p adalah pole. Sehingga akan kita dapatkan:
-2 2F(z) = 1 + -11+2z- l+z
-2z 2z-+-z+2 z -I
Oleh karenanya, invernya adalah:
f(k)=-2(-2)" + 2(1)"
Sumber: http://lecturer.eepis-its.edu/~ira/materi/pengolahan%20sinyal%20digital/Transformasi-z%20dan%20Invers%20serta%20aplikasinya.pdf