Download - Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot · PDF fileA. Integral Parsial Aturan = − , pengintegralan parsial integral taktentu ... Penyelesaian Penjabaran pecahan parsialnya

Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 1

KALKULUS

MATERI UAS TPB IPB

Pokok Bahasan:

BAB I INTEGRAL

BAB II FUNGSI TRANSENDEN

BAB III TEKNIK PENGINTEGRALAN

BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

BAB I INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu

Aturan

1. 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶, dengan a adalah konstanta

2. 𝑥𝑟 𝑑𝑥 =𝑥𝑟+1

𝑟+1+ 𝐶, dengan 𝑟 ≠ −1

3. [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

4. sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

5. cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

6. sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶

7. csc2 𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶

Contoh 1.1:

3𝑥5 −1

2𝑥4 + 7𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑑𝑥 = 3

𝑥6

6 −

1

2 𝑥5

5 + 7

𝑥3

3 +

𝑥2

2− 3𝑥 + 𝐶

=𝑥6

2−

𝑥5

10+

7

3𝑥3 +

𝑥2

2− 3𝑥 + 𝐶

Latihan 1.1

1. 𝑥3

− 5𝑥2 𝑑𝑥



2. 4𝑦 + 5𝑦 − 2 𝑑𝑦

3. 2 𝑡+3𝑡2

𝑡𝑑𝑡

4. 𝑢2 − sec2𝑢 𝑑𝑢

Latihan 1.2

Gunakan metode substitusi untuk menyelesaikan soal-soal berikut.

1. sin 𝑥

𝑥𝑑𝑥 , misalkan u= 𝑥

2. 𝑧 sec2(3𝑧2 − 1) 𝑑𝑥 , misalkan u=3𝑧2 − 1

3. 𝑟2 − 2𝑟 + 13

𝑑𝑟

4. cos 3𝜃

sin 2 3𝜃𝑑𝜃

5. sin(

1𝛾) cos(

1𝛾)

𝛾2𝑑𝛾

B. Integral Tentu

Aturan

1. Jika f kontinu pada [a,b], maka f terintegralkan pada [a,b]

2. 𝑓(𝑥)𝑎

𝑎𝑑𝑥 = 0

3. 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥 = − 𝑓(𝑥)

𝑎

𝑏𝑑𝑥

4. 𝑘𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎𝑑𝑥, dengan k adalah konstanta

5. [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ]𝑏

𝑎𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥)

𝑏

𝑎𝑑𝑥

6. 𝑓 𝑥 𝑏

𝑎𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝑐

𝑎𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑐𝑑𝑥, dengan a < c < b

7. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑓 𝑥 𝑏

𝑎𝑑𝑥 ≥ 0

8. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑓 𝑥 𝑏

𝑎𝑑𝑥 ≥ 𝑔 𝑥

𝑏

𝑎𝑑𝑥

9. Jika 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 𝑏

𝑎𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

10. 𝑓(𝑥)𝑎

−𝑎𝑑𝑥 = 2 𝑓(𝑥)

𝑎

0𝑑𝑥, untuk f fungsi genap [𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)]

11. 𝑓(𝑥)𝑎

−𝑎𝑑𝑥 = 0, untuk f fungsi ganjil [𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)]

12. 𝑓(𝑥)𝑏+𝑝

𝑎+𝑝𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎𝑑𝑥, jika f periodik dengan periode p



Latihan 1.3

1. (3𝑥 + 1)33

0

𝑑𝑥

2. 𝑥 + 2

(𝑥2 + 4𝑥 + 1)2

1

0

𝑑𝑥

3. sin 𝜃

cos3 𝜃

𝜋/6

0

𝑑𝜃

4. 1 +1

𝑦

2

1

𝑦2

2

1

𝑑𝑦

5. sin 𝜃 + cos 𝜃 𝑑𝜃𝜋

−𝜋

6. 𝑥3

(1 + 𝑥2)4𝑑𝑥

1

−1

7. Hitung tiap integral berikut.

a) 𝑥 − 1 4

0𝑑𝑥

b) 𝑥 4

0𝑑𝑥

c) (𝑥 − 𝑥 )4

0𝑑𝑥

Petunjuk: pertama sketsa grafiknya

8. Andaikan 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥), 𝑓(𝑥) ≤ 0, 𝑔 −𝑥 = −𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥)2

0𝑑𝑥 = −4 dan

𝑔(𝑥)2

0𝑑𝑥 = 5. Hitung tiap integral berikut.

a) 𝑓(𝑥)2

−2𝑑𝑥

b) 𝑓(𝑥) 2

−2𝑑𝑥

c) 𝑔(𝑥)2

−2𝑑𝑥

d) [𝑓 𝑥 − 𝑓 −𝑥 ]2

−2𝑑𝑥

e) [2𝑔 𝑥 + 3𝑓 𝑥 ]2

0𝑑𝑥

f) 𝑔(𝑥)0

−2𝑑𝑥

9. Jika f kontinu dan 𝑓 𝑥 𝑑𝑥4

0= 10, carilah 𝑓 2𝑥 𝑑𝑥

2

0.

10. Jika f kontinu dan 𝑓 𝑥 𝑑𝑥9

0= 4, carilah 𝑥𝑓 𝑥2 𝑑𝑥

3

0.



Aturan (Lanjutan)

13. (Pendiferensialan suatu Integral Tentu / TDK 1). Andaikan f kontinu pada selang

tertutup [a,b] dan andaikan x sebuah (peubah) titik dalam [a,b], maka

𝐷𝑥 𝑓(𝑡)𝑥

𝑎

𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)

Latihan 1.4

Untuk soal no.1 s/d 4, carilah G’(x)

1. 𝐺 𝑥 = (2𝑡 + 1)𝑥

−6𝑑𝑡

2. 𝐺 𝑥 = 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢𝜋/4

𝑥, −𝜋/2 < 𝑥 < 𝜋/2

3. 𝐺 𝑥 = 2 + sin 𝑣𝑥2+1

1𝑑𝑣

4. 𝐺 𝑥 = 1 + 𝑡4𝑥3

𝑥𝑑𝑡

5. Carilah 𝑑2

𝑑𝑥2 1 + 𝑧4𝑑𝑧sin 𝑦

1 𝑑𝑦

𝑥

0

C. Penggunaan Integral (Luas Daerah Bidang Rata dan Nilai Rata-rata fungsi )

1. Luas Daerah Bidang Rata

(i) Daerah di atas sumbu x

𝐴 = 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥

, missal u=

(ii) Daerah di kanan sumbu y

Jika 𝑔(𝑦) berada di kanan sumbu y untuk selang [a,b], maka luas antara 𝑔(𝑦) dan

sumbu y

𝐴 = 𝑔(𝑦)𝑏

𝑎

𝑑𝑦

(iii) Daerah antara dua kurva

𝐴 = [𝑓(𝑥)𝑏

𝑎− 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥

y = f(x)

y = f(x)

y = g(x)

y

x b a

a b x

y



𝐴 = [𝑓(𝑦)𝑑

𝑐− 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦

Latihan 1.5

1. Carilah luas daerah yang di batasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2

2. Dengan menggunakan integral, tentukan luas segitiga yang titik-titik sudutya

adalah (-1, 4), (2, -2), dan (5, 1)

3. Carilah bilangan a sedemikian sehingga garis 𝑦 = 𝑎 membagi daerah yang

dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 dan 𝑦 = 4 menjadi 2 daerah dengan luas sama.

2. Nilai Rata-rata fungsi

(i) Nilai rata-rata f pada interval [a,b] diberika oleh,

𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 =1

𝑏 − 𝑎 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

(ii) Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral.

Jika f kontinu pada, maka terdapat suatu bilangan c antara a dan b sedemikian

sehingga

𝑓 𝑡 𝑏

𝑎

𝑑𝑡 = 𝑓 𝑐 (𝑏 − 𝑎)

Latihan 1.6

1. Tentukan nilai rata-rata fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2, pada selang [0,2]

2. Cari c dari Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral untuk 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 pada [-4,-1]



D. Jumlah Riemann (definisi integral tentu)

Pandang sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. untuk menghitung

integralnya, dapat dihampiri dengan memilah luasan di bawah kurva menjadi poligon-

poligon. Terdapat tiga cara untuk menghitung luasan tersebut.

(i) Menggunakan titik ujung kanan pada tiap poligon

𝐴 = lim𝑛→∞

𝑓(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

∆𝑥, dengan ∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛 dan 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥

(ii) Menggunakan titik ujung kiri pada tiap poligon


𝑓(𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

∆𝑥

(iii) Menggunakan titik tengah pada tiap poligon


𝑓(𝑥𝑖∗)

𝑛

𝑖=1

∆𝑥, dengan 𝑥𝑖∗ =

𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖

2



Beberapa jumlah khusus:

𝑐

𝑛

𝑖=1

= 𝑛𝑐

𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)

2

𝑖2

𝑛

𝑖=1

=𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)

6

𝑖3

𝑛

𝑖=1

= 𝑛(𝑛 + 1)

2

2

𝑖4

𝑛

𝑖=1

=𝑛 𝑛 + 1 (6𝑛3 + 9𝑛2 + 𝑛 − 1)

30

Latihan 1.7

1. Gunakan definisi integral tentu untuk menghitung nilai integral berikut.

𝑎) (𝑥2 − 𝑥)2

0

𝑑𝑥

𝑏) (2𝑥2 + 1)2

−1

𝑑𝑥

2. Hitung tiap limit berikut dengan mengenalinya sebagai integral tentu.

𝑎) lim𝑛→∞

4𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

∙4

𝑛

𝑏) lim𝑛→∞

1 +2𝑖

𝑛

2𝑛

𝑖=1

2

𝑛



BAB II FUNGSI TRANSENDEN

A. Logaritma Natural danEksponen

Aturan

1) ln 𝑥 = 1

𝑡

𝑥

1

𝑑𝑡, 𝑥 > 0

2) 𝑑

𝑑𝑥 ln 𝑥 =

1

𝑥 , atau

𝑑

𝑑𝑥 ln 𝑓(𝑥) =

𝑓′ (𝑥)

𝑓(𝑥)

3) sifat logaritma:

a) ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝑦

b) ln𝑥

𝑦= ln 𝑥 − ln 𝑦

c) ln 𝑥𝑟 = 𝑟 ln 𝑥

4) ln e = 1, dengan e adalah bilangan riil positif

5) 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥, 𝑥 > 0

6) 𝑑

𝑑𝑥 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 , atau

𝑑

𝑑𝑥 𝑒𝑓(𝑥) = 𝑒𝑓(𝑥) ∙ 𝑓′ (𝑥)

7) fungsi eksponen umum

𝑎) 𝑎𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑎

𝑏) 𝑑

𝑑𝑥 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎

𝑐) 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =𝑎𝑥

ln 𝑥+ 𝐶

Latihan 2.1

1. Hitunglah:

a) 𝐷𝑥 ln(𝑥3 − 2𝑥)

b) 𝐷𝑥 ln sin 𝑥

c) 𝐷𝑥𝑦 untuk 𝑦 = 𝑥𝑥2,dan 𝑒𝑥𝑦 + 𝑦 = 2

2. Hitunglah :

𝑎) 1

3𝑥𝑑𝑥

𝑏) 1

7𝑥 − 2𝑑𝑥



𝑐) 𝑡3

𝑡4 − 1𝑑𝑡

𝑑) 1

𝑦(1 − 𝑦)𝑑𝑦

B. Invers Trigonometri

Aturan

1. 𝐷𝑥 sin−1 𝑥 =1

1 − 𝑥2, atau

1

1 − 𝑥2𝑑𝑥 = sin−1 𝑥 + 𝐶

2. 𝐷𝑥 cos−1 𝑥 = −1

1 − 𝑥2, atau

1

1 − 𝑥2𝑑𝑥 = − cos−1 𝑥 + 𝐶

3. 𝐷𝑥 tan−1 𝑥 =1

1 + 𝑥2, atau

1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 = tan−1 𝑥 + 𝐶

Latihan 2.2

1. Carilah dy/dx untuk soal-soal berikut.

a) 𝑦 = sin−1(𝑥2)

b) 𝑦 =1

2tan−1(𝑒𝑥)

2. Hitung integral berikut.

𝑎) sin 𝑥

1 + cos2 𝑥

𝜋/2

0

𝑑𝑥

𝑏) 1

1 + 4𝑥2𝑑𝑥

𝑐) 𝑒𝑥

1 + 𝑒2𝑥𝑑𝑥



BAB III TEKNIK PENGINTEGRALAN

A. Integral Parsial

Aturan

𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢, pengintegralan parsial integral taktentu

𝑢𝑏

𝑎

𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 𝑎𝑏 − 𝑣

𝑏

𝑎

𝑑𝑢, pengintegralan parsial integral tentu

Contoh 3.1:

Tentukan 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥.

Penyelesaian Missal 𝑢 = 𝑥 dan 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥. Jadi 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 dan 𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥,

sehingga

𝑥 𝑢

cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣

= 𝑥 𝑢

sin 𝑥 𝑣

− sin 𝑥 𝑣

𝑑𝑥 𝑑𝑢

= 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶

Latihan 3.1

1. 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥

2. 𝑥 𝑒2𝑥𝑑𝑥

3. sin−1 𝑥 𝑑𝑥

B. Substitusi Trigonometri

Bentuk Substitusi Kesamaan

𝑎2 − 𝑥2 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 , − 𝜋

2≤ 𝜃 ≤

𝜋

2 1 − sin2 𝜃 = cos2 𝜃

𝑎2 + 𝑥2 𝑥 = 𝑎 tan 𝜃 , − 𝜋

2< 𝜃 <

𝜋

2 1 + tan2 𝜃 = sec2 𝜃

𝑥2 − 𝑎2 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2

atau 𝜋 ≤ 𝜃 ≤3𝜋

2

sec2 𝜃 − 1 = tan2 𝜃

Latihan 3.2

Dengan menggunakan substitusi trigonometri, selesaikan integral berikut.

1. 1

𝑥2 𝑥2 − 9𝑑𝑥



2. 𝑥3 9 − 𝑥2𝑑𝑥

3. 𝑥3

𝑥2 + 9𝑑𝑥

C. Pengintegralan Fungsi Rasional

(i) Jika 𝑓 𝑥 = 𝑝(𝑥)/𝑞(𝑥) dan derajat 𝑝(𝑥) ≥ derajat 𝑞(𝑥), maka bagilah terlebih

dahulu 𝑝(𝑥) dengan 𝑞(𝑥), sehingga

𝑓 𝑥 =𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)= 𝑠 𝑥 +

𝑟(𝑥)

𝑞(𝑥)

dengan p, q, s dan r adalah polinom.

Contoh 3.2:

𝑥3 + 𝑥

𝑥 − 1𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 2 +

2

𝑥 − 1 𝑑𝑥

=𝑥3

3+

𝑥2

2+ 2𝑥 + 2 ln 𝑥 − 1 + 𝐶

(ii) Jika 𝑞(𝑥) hasil kali faktor linier yang berdeda tanpa ada faktor yang berulang

𝑞 𝑥 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 𝑎2𝑥 + 𝑏2 ⋯ (𝑎𝑘𝑥 + 𝑏𝑘 )

maka

𝑟(𝑥)

𝑞(𝑥)=

𝐴1

𝑎1𝑥 + 𝑏1+

𝐴2

𝑎2𝑥 + 𝑏2+ ⋯ +

𝐴𝑘

𝑎𝑘𝑥 + 𝑏𝑘

Contoh 3.3:

Carilah 5𝑥 + 3

𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥𝑑𝑥

Penyelesaian Uraikan penyebut 𝑥 𝑥 + 1 (𝑥 − 3), sehingga

5𝑥 + 3

𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥=

𝐴

𝑥+

𝐵

𝑥 + 1+

𝐶

𝑥 − 3

Kita berusaha menemukan A, B, C. kita hilangkan pecahan

5𝑥 + 3 = 𝐴 𝑥 + 1 𝑥 − 3 + 𝐵 𝑥 𝑥 + 1 + 𝐶 𝑥 (𝑥 + 1)

Substitusi nilai x = 0, x = -1, x = 3, kita peroleh

3 = 𝐴 −3 , − 2 = 𝐵 4 , 18 = 𝐶(12)

atau A = -1, B = -1/2, C = 3/2, sehingga



5𝑥 + 3

𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥𝑑𝑥 = −

1

𝑥𝑑𝑥 −

1

2

1

𝑥 + 1𝑑𝑥 +

3

2

1

𝑥 − 3𝑑𝑥

= − ln 𝑥 −1

2ln 𝑥 + 1 +

3

2ln 𝑥 − 3 + 𝐶

(iii) Penyebut 𝑞(𝑥) adalah hasil kali faktor linier, beberapa diantaranya berulang

Untuk tiap faktor 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑘 dalam penyebut, penjabarannya adalah

𝐴1

𝑎𝑥 + 𝑏+

𝐴2

𝑎𝑥 + 𝑏 2+

𝐴3

𝑎𝑥 + 𝑏 3+ ⋯ +

𝐴𝑘

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑘

Contoh 3.4 :

Hitunglah 𝑥

𝑥 − 3 2𝑑𝑥

Penyelesaian Penjabaran pecahan parsialnya

𝑥

𝑥 − 3 2=

𝐴

𝑥 − 3+

𝐵

𝑥 − 3 2

Setelah penyebut-penyebut dihilangkan

𝑥 = 𝐴 𝑥 − 3 + 𝐵

Jika kitta substitusi dengan nilai x = 3 dan nilai x lain sebarangg, misal x = 0, kita

peroleh B = 3 dan A = 1 sehingga

𝑥

𝑥 − 3 2𝑑𝑥 =

1

𝑥 − 3𝑑𝑥 + 3

1

𝑥 − 3 2𝑑𝑥

= ln 𝑥 − 3 −3

𝑥+3+ 𝐶

Contoh 3.5:

Hitunglah integral berikut.

3𝑥2 − 8𝑥 + 13

𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2𝑑𝑥

Penyelesaian Kita jabarkan

3𝑥2 − 8𝑥 + 13

𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2=

𝐴

𝑥 + 3+

𝐵

𝑥 − 1+

𝐶

𝑥 − 1 2

Setelah pecahan-pecahan dihilangkan

3𝑥2 − 8𝑥 + 13 = 𝐴 𝑥 − 1 2 + 𝐵 𝑥 + 3 𝑥 − 1 + 𝐶(𝑥 + 3)

Dengan substitusi x = 1, x = 3, dan x = 0 kita peroleh C = 2, A = 4 dan B = -1,

sehingga

3𝑥2 − 8𝑥 + 13

𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2𝑑𝑥 = 4

𝑑𝑥

𝑥 + 3−

𝑑𝑥

𝑥 − 1+ 2

𝑑𝑥

𝑥 − 1 2



= 4 ln 𝑥 + 3 − ln 𝑥 − 1 −2

𝑥−1+ 𝐾

(iv) Jika 𝑞(𝑥) mengandung faktor kuadratik yang tak dapat diuraikan, tak ada yang

berulang

Misalkan salah satu fakto 𝑞(𝑥) adalah 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0,

maka akan terdapat suku

𝐴𝑥 + 𝐵

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Contoh 3.6:

Hitunglah 2𝑥2 − 𝑥 + 4

𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥

Penyelesaian Karena 𝑥3 + 4𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 4) tidak dapat difaktorkan lebih jauh,

kita tuliskan,

2𝑥2 − 𝑥 + 4

𝑥3 + 4𝑥=

𝐴

𝑥+

𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 4

Setelah pecahan-pecahan dihilangkan

2𝑥2 − 𝑥 + 4 = 𝐴 𝑥2 + 4 + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥

= (𝐴 + 𝐵)𝑥2 + 𝐶𝑥

dengan menyamakan koefisien

A + B = 2, C = -1, 4A = 4 atau A = 1, B = 1, dan C = -1

Sehingga

2𝑥2 − 𝑥 + 4

𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥 =

1

𝑥𝑑𝑥 +

𝑥 − 1

𝑥2 + 4𝑑𝑥

= ln 𝑥 +1

2ln(𝑥2 + 4) −

1

2tan−1(

𝑥

2) + 𝐾

Latihan 3.3

1. 𝑥2

𝑥 + 1𝑑𝑥

2. 𝑦

𝑦 + 1𝑑𝑦

3. 𝑥2 + 1

𝑥2 − 1𝑑𝑥

4. 𝑥2 − 2𝑥 − 1

(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)𝑑𝑥



SOAL LATIHAN

(BAB I, BAB II, DAN BAB III)

1. Gunakan definisi integral tentu untuk menghitung integral berikut.

a) 2𝑥 + 3 4

0𝑑𝑥

b) 𝑥2 − 1 2

−1𝑑𝑥

c) 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥2

−1

2. Hitunglah

𝑎) lim𝑛→∞

1

𝑛

1

𝑛

9

+ 2

𝑛

9

+ 3

𝑛

9

+ ⋯ + 𝑛

𝑛

9

𝑏) lim𝑛→∞

𝜋

𝑛 sin

𝜋𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑐) lim𝑛→∞

1 +2𝑖

𝑛+

2𝑖

𝑛

2

2

𝑛

𝑛

𝑖=1

3. Hitunglah integral berikut jika ada.

𝑎) 𝑦2 +1

𝑦3 𝑑𝑥

−2

−4

𝑏) 𝑥

𝑥2 − 1 2𝑑𝑥

2

0

𝑐) 𝑦2 + 1 10(2𝑦)𝑑𝑦1

0

𝑑) cos(1/𝑥)

𝑥2𝑑𝑥

𝑒) sin 𝑥 cos(cos 𝑥) 𝑑𝑥

𝑓) cos(1/𝑥)

𝑥2𝑑𝑥

𝑔) 𝑥 𝑥2 + 𝑎2𝑎

−𝑎

𝑑𝑥

𝑕) 𝑥5 + sin 𝑥 𝜋

−𝜋

𝑑𝑥

𝑖) 𝑥2 − 6𝑥 + 8 8

0

𝑑𝑥



𝑗) 𝑥 2

0

𝑑𝑥

4. Jika f kontinu pada [0, 1], buktikan

𝑓(𝑥)1

0

𝑑𝑥 = 𝑓(1 − 𝑥)1

0

𝑑𝑥

5. Jika f terdiferensialkan sedemikian sehingga

𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥

0

= 𝑥 sin 𝑥 + 𝑓(𝑡)

1 + 𝑡2𝑑𝑡

𝑥

0

untuk semua x, carilah rumus eksplisit untuk f(x)

6. Jika 𝑓 𝑥 = 1

1+𝑡2𝑑𝑡

𝑔(𝑥)

0 dengan 𝑔 𝑥 = 1 + sin 𝑡2 𝑑𝑡

cos 𝑥

0, carilah 𝑓′(𝜋/2).

7. Jika 𝑓 𝑦 = 𝑦2𝑦

0sin 𝑡2 𝑑𝑡, carilah 𝑑𝑓(𝑦)/𝑑𝑦.

8. Jika 𝑦 = cos 𝜃

𝜃𝑑𝜃

𝑥

𝑥, carilah dy/dθ.

9. Sebuah daerah R dibatasi oleh garis 𝑦 = 3𝑥 dan parabola 𝑦 = 𝑥2. Tentukan luas daerah R

dengan cara:

a) Memakai x sebagai peubah pengintegralan

b) Memakai y sebagai peubah pengintegralan

10. Jika f kontinu dan 𝑓(𝑥)3

1𝑑𝑥 = 8, perlihatkan bahwa f akan bernilai 4 paling sedikit satu

kali pada interval [1, 3] tersebut.

11. Tentukan bilangan b sedemikian sehingga nilai rata-rata 𝑓 𝑥 = 2 + 6𝑥 − 3𝑥2 pada

interval [0, b] sama dengan 3.

12. Di kota tertentu suhu (dalam oF), t dalam setelah pukul 9.00 dihampiri oleh fungsi

𝑇 𝑡 = 50 + 14 sin𝜋𝑡

12

Tentukan suhu rata-rata selama periode mulai dari pukul 9.00 sampai 21.00.

13. Suhu batang logam sepanjang 5 m pada jarak x m dari salah satu sisi batang adalah 4x

(oC). Berapa rata-rata suhu batang tersebut.

14. Kerapatan linier batang sepanjang 8 m adalah 12/ 𝑥 + 1 kg/m, dengan x diukur dalam

meter dari salah satu ujung batang. Tentukan rata-rata kerapatan batang tersebut.

15. Jika 𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑏 adalah nilai rata-rata f pada selang [a, b] dan a < c < b, tunjukkan

bahwa

𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑏 =𝑐 − 𝑎

𝑏 − 𝑎𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑐 +

𝑏 − 𝑐

𝑏 − 𝑎𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑐, 𝑏



16. Jika sebuah benda jatuh bebas mulai bergerak dari keadaan diam, maka simpangannya

dapat dinyatakan sbagai 𝑠 =1

2𝑔𝑡2. Misalkan kecepatan setelah waktu T adalah vT.

Tunjukkan bahwa jika menghitung rata-rata kecepatan terhadap t akan kita peroleh

𝑣𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 =1

2𝑣𝑇 , akan tetapi jika menghitung rata-rata kecepatan terhadap s maka akan

diperoleh 𝑣𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 =2

3𝑣𝑇.

17. Carilah dy/dx dari fungsi berikut.

𝑎) 𝑦 =𝑒3𝑥

1 + 𝑒𝑥

𝑏) 𝑦 = cos(𝑒𝜋𝑥 )

𝑐) 𝑦 = cos(ln 𝑥)

𝑑) 𝑦 = log3(𝑥2 − 4)

𝑒) 𝑦 = 10tan 𝑥

𝑓) 𝑦 = 23𝑥2

𝑔) 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥

𝑕) 𝑦 = arccos 𝑏 + 𝑎 cos 𝑥

𝑎 + 𝑏 cos 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 𝑎 > 𝑏 > 0

𝑖) 𝑦 = 𝑥2 − 4

2𝑥 + 5

18. Hitung integral berikut.

𝑎) 𝑥5 + 5𝑥 +log10 𝑥

𝑥+ 𝑥2𝑥2

𝑑𝑥

𝑏) 𝑑𝑥

𝑥[4 + ln 𝑥 2]

𝑐) tan 𝑥 ln(cos 𝑥) 𝑑𝑥

𝑑) 𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 1 ln(𝑒𝑥 + 1)𝑑𝑥

𝑒) 𝑥5𝑥𝑑𝑥

𝑓) cos 𝑥 ln(sin 𝑥) 𝑑𝑥

𝑔) 𝑥 tan−1 𝑥 𝑑𝑥

𝑕) sin 𝑥 𝑑𝑥



𝑖) 𝑥5 𝑒𝑥2𝑑𝑥

19. Hitung integral berikut dengan substitusi trigonometri.

𝑎) 𝑑𝑢

𝑢 5 − 𝑢2

𝑏) 𝑦2𝑑𝑦

(𝑎2 − 𝑦2)3

𝑐) 𝑑𝑢

9𝑢2 + 6𝑢 − 8

𝑑) 𝑢2𝑑𝑢

4𝑢 − 𝑢2

20. Hitung integral berikut dengan metode fraksi parsial.

𝑎) 𝑥3 − 4𝑥 − 10

𝑥2 − 𝑥 − 6𝑑𝑥

1

0

𝑏) 1

𝑥 + 5 2(𝑥 − 1)𝑑𝑥

𝑐) 𝑥2 + 3

𝑥3 + 2𝑥𝑑𝑥

2

1

𝑑) 𝑥2 − 2𝑥 − 1

𝑥 − 1 2(𝑥2 + 1)𝑑𝑥

𝑒) 2𝑥3 + 5𝑥

𝑥4 + 5𝑥2 + 4𝑑𝑥

𝑓) 𝑥 − 3

𝑥2 + 2𝑥 + 4 2𝑑𝑥

𝑔) 1

𝑥 𝑥 + 1𝑑𝑥

𝑕) 𝑒2𝑥

𝑒2𝑥 + 3𝑒𝑥 + 2𝑑𝑥

21. Buktikan integral berikut.

𝑎) 𝑓 𝑦 𝑑𝑦𝑏

0

= 𝑓 𝑏 − 𝑦 𝑑𝑦𝑏

0

𝑏) sin𝑛 𝑦

sin𝑛 𝑦 + cos𝑛 𝑦

𝜋/2

0

𝑑𝑦 =𝜋

4, untuk setiap bilangan positif 𝑛



BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Pada bab ini hanya akan dibahas persamaan diferensial terpisahkan orde satu. Orde suatu

persamaan diferensial adalah turunan tertinggi dalam persamaan.

A. Persamaan Diferensial Terpisahkan

Bentuk umum 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔 𝑥 𝑓 𝑦 atau

1

𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 atau 𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Contoh 4.1:

Carilah penyelesaian dari PD berikut.

𝑎) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 − 6𝑥 + 5

𝑏) 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1 + 𝑦3

𝑥𝑦2(1 + 𝑥2)= 0

𝑐) 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑥𝑦 = 𝑥

𝑑) 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2 1 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0

Penyelesaian

𝑎) 𝑑𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 + 5 𝑑𝑥 → sudah terpisahkan

𝑑𝑦 = (3𝑥2 − 6𝑥 + 5) 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 5 + 𝐶

𝑏) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1 + 𝑦3

𝑥𝑦2(1 + 𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1 + 𝑦3

𝑦2

1

𝑥(1 + 𝑥2)

𝑦2

1 + 𝑦3𝑑𝑦 = −

1

𝑥(1 + 𝑥2)𝑑𝑥 → sudah terpisahkan

𝑦2

1 + 𝑦3𝑑𝑦 = −

1

𝑥(1 + 𝑥2)𝑑𝑥

1

3

1

1 + 𝑦3𝑑(1 + 𝑦3) = −

1

𝑥+

𝑥

1 + 𝑥2 𝑑𝑥

1

3ln 1 + 𝑦3 = − ln 𝑥 +

1

2ln(1 + 𝑥2) + 𝑐

2 ln 1 + 𝑦3 + 6 ln 𝑥 − 3 ln(1 + 𝑥2) = 6𝑐



ln 1 + 𝑦3 2𝑥6

(1 + 𝑥2)3= 6𝑐

1 + 𝑦3 2𝑥6

(1 + 𝑥2)3= 𝑒6𝑐

1 + 𝑦3 2𝑥6

(1 + 𝑥2)3= 𝐶

𝑐) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑦 + 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥(𝑦 + 1)

𝑑𝑦

𝑦 + 1= 𝑥𝑑𝑥 → sudah terpisahkan

𝑑𝑦

𝑦 + 1= 𝑥𝑑𝑥

ln 𝑦 + 1 =1

2𝑥2 + 𝐶

𝑑) 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2 1 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2 1 − 𝑦 𝑑𝑦

1 − 𝑥

−𝑥2𝑑𝑥 =

1 − 𝑦

𝑦𝑑𝑦

−1

𝑥2+

1

𝑥 𝑑𝑥 =

1

𝑦− 1 𝑑𝑦

1

𝑥+ ln 𝑥 + 𝑐 = ln 𝑦 − 𝑦

1

𝑥+ 𝑦 + 𝑐 = ln 𝑦 − ln 𝑥

1

𝑥+ 𝑦 + 𝑐 = ln

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥 = 𝐶𝑒

1𝑥𝑦𝑦

Latihan 4.1

1. Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut.

𝑎) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1 + 𝑦

2 + 𝑥

𝑏) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦2 + 𝑥𝑦2

𝑥2𝑦 − 𝑥2



𝑐) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

− sin 𝑥 cos 𝑦

tan 𝑦 cos 𝑥

𝑑) 𝑑𝑢

𝑑𝑡= 2 + 2𝑢 + 𝑡 + 𝑡𝑢

𝑒) 𝑑𝑧

𝑑𝑡+ 𝑒𝑡+𝑧 = 0

2. Carilah solusi khusus dari persamaan diferensial berikut.

𝑎) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦2 + 1, 𝑦 1 = 0

𝑏) 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑃𝑡, 𝑃 1 = 2

𝑐) 𝑦 ′ tan 𝑥 = 𝑎 + 𝑦, 𝑦 𝜋/3 = 𝑎, 0 < 𝑥 < 𝜋/2

B. Penerapan Persamaan Diferensial

Pada bab ini akan dibahas tiga permasalahan yang menggunakan pemecahan persamaan

diferensial, yaitu: Hukum Pendinginan Newton, peluruhan radioaktif, dan dinamika

populasi.

1. Hukum Pendinginan Newton

Dari pengamatan eksperimen diketahui laju perubahan suhu permukaan suatu objek

sebanding dengan suhu relatifnya (perbedaan antara suhu objek dan suhu lingkungan

sekitarnya). Hal ini dikenal sebagai hukum Pendinginan Newton. Jika 𝜃(𝑡) adalah

suhu objek pada waktu t, maka kita mempunyai

𝑑𝜃

𝑑𝑡= −𝑘(𝜃 − 𝑆)

dimana S adalah suhu lingkungan sekitar. Persamaan di atas adalah persamaan

diferensial orde satu. Jika pada kondisi awal 𝜃 0 = 𝜃0, maka solusi diberikan oleh

𝜃 𝑡 = 𝑆 + (𝜃0 − 𝑆)𝑒−𝑘𝑡

Oleh karena itu, kita dapat mencari k jika diketahui dua keadaan. Misalkan pada saat

t1 suhu benda θ(t1) dan pada saat t2 suhu benda θ(t2), sehingga

𝜃 𝑡1 − 𝑆

𝜃 𝑡2 − 𝑆= 𝑒−𝑘(𝑡1−𝑡2)



yang berarti

𝑘 𝑡1 − 𝑡2 = − ln 𝜃 𝑡1 − 𝑆

𝜃 𝑡2 − 𝑆 , dengan 𝜃(𝑡) > 𝑆

Persamaan ini memungkinkan untuk menemukan k jika interval waktu 𝑡1 − 𝑡2

diketahui.

Contoh 4.2:

Waktu Kematian Misalkan mayat ditemukan di sebuah kamar motel di tengah

malam dan suhunya adalah 800𝐹. Suhu ruangan dijaga konstan pada 600𝐹. Dua jam

kemudian suhu mayat itu turun ke 750𝐹. Carilah waktu kematiannya.

Penyelesaian :

Pertama kita menggunakan suhu pengamatan mayat itu untuk menemukan konstanta

k. kita punya

𝑘 = −1

2ln

75 − 60

80 − 60 = 0,1438

Untuk menemukan waktu kematian kita perlu ingat bahwa suhu mayat pada saat tepat

sebelum meninggal adalah 98,60𝐹 (dengan asumsi bahwa orang yang meninggal itu

tidak sakit! [98,60F = 37

0C]). Lalu kita punya

𝑡𝑑 = −1

𝑘ln

98,6 − 60

80 − 60 = −4,57 Jam

yang berarti bahwa kematian terjadi sekitar pukul 07:26 malam [asumsikan tengah

malam pukul 00:00 (untuk mempermudah perhitungan, gunakan 24:00)]

2. Peluruhan Radioaktif

Banyak bahan radioaktif meluruh sebanding dengan jumlah radioaktif. Sebagai

contoh, jika X adalah bahan radioaktif dan N(t) adalah jumlah yang tersisa pada waktu

t, maka laju perubahan N(t) terhadap waktu t diberikan oleh

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜆𝑁

dimana λ adalah konstanta positif (λ > 0).



Jika 𝑁 0 = 𝑁0 adalah kuantitas awal bahan X, maka kita mempunyai

𝑁 𝑡 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡

Jelas, untuk menentukan N(t), kita perlu menemukan konstanta λ. Hal ini dapat

dilakukan dengan menggunakan apa yang disebut waktu paruh 𝑇12 dari bahan X.

Waktu paruh adalah rentang waktu yang diperlukan untuk meluruhkan setengah dari

materi. Jadi, kita mempunyai 𝑁 𝑇12 = 1

2𝑁0 dan dari perhitungan diperoleh 𝜆𝑇1

2=

ln 2. Oleh karena itu, jika kita tahu 𝑇12, kita bisa mendapatkan λ dan sebaliknya.

Banyak pada buku kimia yang menjelaskan waktu paruh dari beberapa bahan

radioaktif. Sebagai contoh, waktu paruh Karbon-14 adalah 5568 ± 30 tahun. Oleh

karena itu, konstanta λ yang terkait dengan Karbon-14 adalah 1,244 𝑥 10−4. Sebagai

catatan, Carbon-14 adalah alat penting dalam penelitian arkeologi yang dikenal

sebagai radiokarbon.

Contoh 4.3:

Sebuah isotop radioaktif memiliki waktu paruh 16 hari. Anda ingin memiliki 30 g

setelah 30 hari. Berapa banyak radioisotop mula-mula?

Penyelesaian:

Ketika waktu paruh diberikan dalam satuan hari, kita akan mengukur waktu dalam

hari. Misal N(t) adalah jumlah radioaktif pada waktu t dan jumlah radioaktif mula-

mula adalah 𝑁0. Maka kita punya

𝑁 𝑡 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡

dimana λ adalah konstanta. Kita menggunakan waktu paruh 𝑇12 untuk menentukan λ.

Kita memiliki

𝜆 =1

𝑇12

ln 2 =1

16ln 2

Oleh karena itu,

𝑁 30 = 30 = 𝑁0𝑒−𝜆(30)

Kita peroleh

𝑁0 = 30𝑒𝜆(30) = 30𝑒3016

ln 2 = 110,04 g



3. Dinamika Populasi

Berikut adalah beberapa pertanyaan alam yang terkait dengan masalah populasi:

• Bagaimana populasi penduduk suatu negara tertentu dalam sepuluh tahun?

• Bagaimana kita melindungi sumber daya dari kepunahan?

Untuk menggambarkan penggunaan persamaan diferensial sehubungan dengan

masalah ini kita mempertimbangkan model matematika termudah yang ditawarkan

untuk mengatur dinamika populasi dari suatu spesies tertentu. Hal ini biasa disebut

model eksponensial, yaitu tingkat perubahan penduduk sebanding dengan populasi

yang ada. Dengan kata lain, jika P(t) adalah tingkat populasi, kita tuliskan

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃

dimana k adalah konstanta. Hal ini cukup mudah untuk melihat bahwa jika k > 0,

maka terdapat pertumbuhan, dan sebaliknya jika k < 0. Ini adalah persamaan linier

yang mempunyai pemecahan

𝑃 𝑡 = 𝑃0𝑒−𝑘𝑡

dimana 𝑃0 adalah populasi awal, misalkan 𝑃 0 = 𝑃0. Oleh karena itu, kita simpulkan

sebagai berikut:

• jika k > 0, maka populasi bertambah dan terus berkembang hingga tak terbatas, yaitu

lim𝑡→∞

𝑃(𝑡) = +∞

• jika k < 0, maka penduduk akan menyusut dan cenderung 0. Dengan kata lain kita

sedang menghadapi kepunahan.

Jelas, kasus pertama, k > 0, tidak memadai. Alasan utama untuk ini ada hubungannya

dengan keterbatasan lingkungan. Pertumbuhan penduduk dibatasi oleh beberapa

faktor. Ketika suatu populasi jauh dari batas, pertumbuhan itu dapat tumbuh dengan

pesat. Namun, ketika mendekati batas-batasnya, ukuran populasi dapat berfluktuasi,

bahkan berantakan. Model lain adalah diusulkan untuk memperbaiki cacat dalam

model eksponensial. Hal ini disebut model logistik (disebut juga model Verhulst-

Pearl). Persamaan diferensial untuk model ini adalah

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃 1 −

𝑃

𝑀



di mana M adalah ukuran pembatas populasi (juga disebut daya dukung). Jelas, bila P

lebih kecil dibandingkan dengan M. Solusi konstan diperoleh jika P = 0 dan P = M.

Solusi dapat diperoleh dengan memisahkan variabel

𝑑𝑃

𝑃 1 −𝑃𝑀

= 𝑘𝑑𝑡

dan integralkan

𝑑𝑃

𝑃 1 −𝑃𝑀

= 𝑘𝑑𝑡

teknik fraksi parsial memberikan

𝑑𝑃

𝑃 1 −𝑃𝑀

= 1

𝑃+

1/𝑀

1 − 𝑃 𝑀 𝑑𝑃

yang memberikan

ln |𝑃| − ln 1 −𝑃

𝑀 = 𝑘𝑡 + 𝐶

dengan manipulasi aljabar diperoleh

𝑃

1 − 𝑃 𝑀 = 𝐶𝑒𝑘𝑡 , karena 𝑃 > 0 dan 𝑃/𝑀 < 1

di mana C adalah konstanta. Penyelesaian untuk P, kita dapatkan

𝑃 =𝑀𝐶𝑒𝑘𝑡

𝑀 + 𝐶𝑒𝑘𝑡

Jika kita mempertimbangkan kondisi awal 𝑃 0 = 𝑃0 (dengan asumsi bahwa

𝑃0 tidak sama dengan baik 0 atau M), kita dapatkan

𝐶 =𝑃0𝑀

𝑀 − 𝑃0

yang, setelah diganti ke ekspresi untuk P(t) dan disederhanakan, kita peroleh

𝑃(𝑡) =𝑀𝑃0

𝑃0 + (𝑀 − 𝑃0)𝑒−𝑘𝑡

Sangat mudah untuk melihat bahwa

lim𝑡→∞

𝑃(𝑡) = 𝑀



Namun, hal ini masih belum memuaskan karena model ini tidak memberitahu kita

ketika suatu populasi menghadapi kepunahan. Bahkan dimulai dengan populasi kecil

akan selalu cenderung daya dukung M.

Latihan 4.2

1. Suatu populasi dimodelkan dengan persamaan diferensial

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 1,2𝑃 1 −

𝑃

4200

a) Untuk nilai P berapakah populasi bertambah?

b) Untuk nilai P berapakah populasi berkurang?

c) Bagaimana solusi kesetimbangannya?

2. Suatu larutan glukosa disalurkan ke dalam aliran darah dengan laju konstan r.

pada saat glukosa ditambahkan, glukosa tersebut diubah menjadi zat lain dan

dibuang dari aliran darah dengan laju sebanding dengan konsentrasinya pada saat

itu. Jadi, model untuk konsentrasi larutan glukosa C = C(t) dalam aliran darah

adalah

𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝑟 − 𝑘𝐶

dengan k konstanta positif. Misalkan konsentrasi pada saat t = 0 adalah C0.

Tentukan konsentrasi pada waktu t dengan menyelesaikan persamaan diferensial

di atas.

3. Hukum Pendinginan Newton menyatakan bahwa laju pendinginan suatu benda

sebanding dengan selisih suhu benda dan suhu sekitarnya. Misalkan seekor ayam

panggang dikeluarkan dari oven ketika suhunya telah mencapai 185 oF dan

ditempatkan di atas meja dalam ruang bersuhu 75 oF. Jika u(t) adalah suhu ayam

setelah t menit, maka Hukum Pendinginan Newton mengimplikasikan

𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝑘(𝑢 − 75)

a) Carilah penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut.

b) Jika suhu ayam adalah 150 oF setelah setengah jam, berapakah suhunya

setelah 45 menit?

c) Kapan ayam akan mendingin hingga 100 oF?



4. Percobaan kimia menunjukaan bahwa jika reaksi kimia

N2O5 → 2NO2 +1

2O2

berlangsung pada 45 oC, laju reaksi dinitrogen pentoksida sebanding dengan

konsentrasinya sebagai berikut:

−𝑑[N2O5]

𝑑𝑡= 0,0005[N2O5]

a) Tentukan rumus untuk konsentrasi [N2O5] setelah t detik jika konsentrasi

awalnya adalah C.

b) Berapa lama reaksi akan berlangsung untuk mereduksi konsentrasi N2O5

hingga menjadi 90% dari nilai awalnya?

5. Laju perubahan tekanan atmosfer P terhadap ketinggian h sebanding dengan P,

selama suhunya konstan. Pada suhu 15 oC tekanannya adalah 101,3 kPa pada

permukaan laut dan 87,14 kPa pada h = 1000 m.

a) Berapa tekanan pada ketinggian 3000 m?

b) Berapa tekanan di puncak gunung McKinley, pada ketinggian 6187 m?

6. Setelah 3 hari suatu sampel radon-222 meluruh hingga 58% dari massa awalnya.

a) Berapa waktu-paruh radon-222 ?

b) Berapa lama diperlukan oleh sampel tersebut untuk meluruh hingga 10% dan

massa awalnya?

7. Ilmuan dapat menentukan umur benda kuno dengan metode yang disebut penentu

waktu radiokarbon. Penghantaman atmosfer bagian atas oleh sinar kosmik

mengubah nitrogen menjadi isotop radioaktif karbon, 14

C, dengan waktu-paruh

sekitar 5730 tahun. Sayuran menyerap karbon dioksida melalui atmosfer dan

hewan mengasimilasi 14

C melalui rantai makanan. Ketika tanaman atau hewan

mati, ia berhenti mengganti karbonnya dan banyaknya 14

C mulai menurun melalui

peluruhan radioaktif. Jadi, tingkat keradioaktifan pun akan meluruh secara

eksponensial. Suatu tragmen naskah kuno ditemukan mempunyai sekitar 74% dari

keradioaktifan 14

C yang dimiliki tanaman di bumi saat ini. Perkirakan umur

naskah tersebut.



8. Tinjau populasi P = P(t) dengan laju kelahiran dan kematian relatif berturut-turut

α dan β, dan laju emigrasi konstan sebesar m, dengan α, β, dan m konstanta positif.

Asumsikan bahwa α > β. Maka laju perubahan populasi pada saat t dimodelkan

oleh persamaan diferensial

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃 − 𝑚 di mana 𝑘 = 𝛼 − 𝛽

a) Tentukan solusi dari persamaan ini yang memenuhi syarat awal P(0) = P0.

b) Apa syarat untuk m yang akan menyebabkan: (i) populasi konstan? (ii)

penurunan populasi?

c) Pada tahun 1847, populasi Irlandia adalah sekitar 8 juta dan selisih antara laju

kelahiran dan kematian relatif adalah 1,6% dari populasi. Karena kelaparan

kentang pada tahun 1840-an dan 1850-an, sekitar 210.000 penduduk per tahun

beremigrasi dari Irlandia. Apakah populasi bertambah atau berkurang pada

saat itu?

Download - Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot · PDF fileA. Integral Parsial Aturan = − , pengintegralan parsial integral taktentu ... Penyelesaian Penjabaran pecahan parsialnya

Top Related