Download - PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG
PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG
Smno.statistika.agroekotek.fpub.2013
MK. STATISTIKA
Diunduh dari: http://ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=543:distribusi-peluang-teoritis&catid=38:distribusi-normal&Itemid=70 …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANGDistibusi peluang teoritis atau Peluang teoritis adalah suatu
daftar yang disusun berdasarkan Peluang dari peristiwa- peristiwa bersangkutan.
Macam- macam Distribusi Peluang Teoritis
a. Peubah Acak Diskrit1. Distribusi Binominal2. Distribusi Multinominal3. Distribusi Poisson4. Distribusi Hipergeometris
b. Peubah Acak Kontinyu5. Distribusi Normal6. Distribusi Student7. Distribusi Chi Square8. Distribusi Fischer
Diunduh dari: http://ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=543:distribusi-peluang-teoritis&catid=38:distribusi-normal&Itemid=70 …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANGMacam- macam Distribusi Peluang Teoritis
C. Diskrit Binominal: Ciri- ciri umum:1. Setiap peristiwa tunggal mempunyai dua hasil kejadian2. Peristiwa independent3. Banyaknya percobaan tertentu (n)
Ciri – ciri praktis4. n biasanya ≤ 305. p tidak mendekati 0 (nol)
D. Diskrit Multinominal: Ciri- cirri:
6. Peristiwa bersifat independent (“bebas”)7. Setiap percobaan tunggalnya menghasilkan lebih dari
dua outcomes yang semuanya disebut “sukses”8. Banyaknya percoban tertentu (n)
Diunduh dari: http://ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=543:distribusi-peluang-teoritis&catid=38:distribusi-normal&Itemid=70 …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANGMacam- macam Distribusi Peluang Teoritis
E. Diskrit Poisson: Ciri- ciri:1. n sangat besar2. p sangat kecil mendekati nol3. dapat dipecahkan atau diselesaikan
dengan rumus distribusi binominal bila n.p dan n.q mempunyai nilai ≤ 5
F. Diskrit Hipergeometris: Ciri- ciri4. Peristiwa dependent5. Tiap percobaan tunggal menghasilkan 2
outcomes atau lebih6. Banyaknya percobaan tertentu
Diunduh dari: http: …… 20/9/2012
PELUANG
Diunduh dari: http: …… 20/9/2012
PELUANG
Peubah Acak Kontinyu Distribusi Peluang Uniform Distribusi Peluang Eksponensial Distribusi Peluang Normal Distribusi Porbabilitas Gamma Distribusi Peluang Weibull
DISTRIBUSI PELUANG KONTINYU
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
6.56.05.55.04.54.03.53.02.52.01.51.0
0.15
0.10
0.05
0.00
Minutes
P( x)
Minutes to Complete Task: By Half-Minutes
0.0. 0 1 2 3 4 5 6 7Minutes
P(x)
Minutes to Complete Task: Fourths of a Minute
Minutes
P( x)
Minutes to Complete Task: Eighths of a Minute
0 1 2 3 4 5 6 7
Interval waktu dapat dibagi menjadi:
Interval 0.5 menit Interval 0.25 menit Interval 0.125 menit
Interval kecil tak terbatasJika sebuah peubah acak diskrit
dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan
Peluangnya ditentukan oleh sebuah rentang nilai dan nilai peluangnya adalah luas area di bawah kurva
dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan
dengan P(2<X<3).
Jika sebuah peubah acak diskrit dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan
Peluangnya ditentukan oleh sebuah rentang nilai dan nilai peluangnya adalah luas area di bawah kurva
dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan
dengan P(2<X<3).
76543210
Minutes
f(z)
Peubah Diskrit Menjadi Peubah Kontinyu
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Peubah Acak Kontinyu
Peubah Acak Kontinyu adalah sebuah peubah acak yang dapat berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati.
Peluang dari peubah acak kontinyu X ditentukan oleh sebuah fungsi kerapatan (densitas), dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa sifat berikut:
f(x) > 0 untuk setiap nilai x. Peluang bahwa X berada di antara dua nilai
a dan b adalah sama dengan luas area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b.
Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Fungsi Kerapatan dan Kumulatif
F(x)
f(x)x
x0
0
ba
F(b)
F(a)
1
ba
}
P(a < X < b) = Area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan
b = F(b) - F(a)
P(a £ X £ b)=F(b) - F(a)
Fungsi kumulatif
Fungsi Kerapatan
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Densitas uniform [0,5] : 1/5 for 0 < X < 5 f(x)= 0 lainnya E(X) = 2.5
{
6543210-1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0.
x
f(x)
Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1.00
Luas area di bawah f(x) Interval 1 sampai 3 =
P(1<X<3) = 2.(1/5) = 2/5
Distribusi Uniform
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU
Definisi:Jika peubah acak X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan
kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa peubah acak (kontinyu) x mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas Peluang:
1/( - ), untuk <x<f(x)=
0 untuk x lainnya.
Ekspektasi dan variansi: E(X)=(+)/2 dan V(X)= ( - )2/12
{
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU
Contoh:
Dalam program komputer simulai terdapat subrutin pembangkit bilangan random uniform dalam interval [0,10]. Sebuah proses simulasi akan akan berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah bilangan random [3/2 , 7/2]. Jika dilakukan replikasi pembangkitan bilangan random, berapa kemungkinan proses tersebut akan berhenti (terminate)?
Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan fungsi f(x)=1/10 untuk [1,10], dengan demikian Peluang bahwa proses simulasi akan berhenti adalah P(3/2<x<7/2)=0,2.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU
Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson (dari proses
poisson) jika persoalan didekati dari variabel interval antar kedatangan.
D a r i u r a i a n t e n t a n g d i s t r i b u s i p o i s s o n d i p e r o l e hk e m u n g k i n a n t i d a k a d a k e d a t a n g a n s e b a g a i tep )0( .K e m u n g k i n a n i n i d a p a t d i i n t e r p r e t a s i k a n s e b a g a ik e m u n g k i n a n b a h w a t i d a k a d a k e j a d i a n k e d a t a n g a n p a d ar e n t a n g w a k t u s a m p a i t e r j a d i n y a k e d a t a n g a n p e r t a m a l e b i hb e s a r d a r i t a t a u 0 ,)()0( tetTPp t .
U n t u k v a r i a b e l r a n d o m w a k t u k e d a t a n g a n T , m a k a d a p a td i p e r o l e h b e s a r n y a k e m u n g k i n a n m e l a l u i
0 ,1)()( tetTPtF t . D e n g a n d e m i k i a n d i p e r o l e h.0 ,)(')( tetFtf t
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Definisi: Sebuah variabel random (kontinyu) X menyatakan interval waktu antar kedatangan dimana kejadian kedatangan tersebut mengikuti proses Poisson, dikatakan mengikuti distribusi eksponensial dengan fungsi distribusi:
lainnya. x 0
0 )(
xexf x
Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagai berikut :
0
x- e)( dxxXE /1 dan 20
2 /1 )(
dxexXV x 2/1
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman untuk melindungi peralatan dari kegagalan. Berdasarkan data dan pengamatan yang panjang, komponen pengaman tersebut memiliki daya tahan yang dinyatakan oleh peubah acak satuan waktu (minggu) T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter =1/5. Saat ini perusahaan memiliki 5 set peralatan terpisah (independent) dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman yang diasumsikan identik. Dari perhitungan pesanan masuk yang harus dipenuhi, perusahaan menginginkan peralatan tersebut tidak mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang direncanakan akan dipenuhi dalam 8 minggu.
Jika diinginkan paling sedikit dua peralatan dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan tersebut, berapa besar kemungkinan tersebut terjadi?
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Dalam kasus tersebut, perusahaan harus dapat memperkirakanketersediaan (availability) bahwa sebuah peralatan masih dapatbekerja selama paling sedikit 8 minggu. Kemungkinan bahwasuatu komponen pengaman masih akan berfungsi setelah 8
minggu adalah
8
5/
5
1)8( dteTP t = e-8/5~ 0,2.
Selanjutnya, misalkan X sebagai variabel random yangmenyatakan banyaknya komponen pengaman yang masihberfungsi setelah 8 minggu dengan kemungkinan p=0.2, denganmenggunakan fungsi distribusi kemungkinan binomial, dapatdiperoleh kemungkinan paling sedikit dua peralatan dapatberoperasi sebagai berikut
5
2
)2.0,5;()2(x
xbXP =1-
1
0
)2.0,5;(x
xb = 0,68.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Untuk p0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial menjadi …
n = 6 n = 14n = 10
6543210
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x)
Binomial Distribution: n=6, p=.5
109876543210
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x)
Binomial Distribution: n=10, p=.5
14131211109876543210
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x)
Binomial Distribution: n=14, p=.5
50-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
Normal Distribution: = 0, = 1
Distribusi yang berbentuk kurva seperti
lonceng (bell)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
Distribusi PELUANG peubah acak kontinyu dalam statistika adalah Distribusi Normal, peubah acak berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar di sekitar titik pemusatan tersebut secara simetris.
DiSTRIBUSI Normal juga dikenal sebagai Distribusi Gauss, sebagai orang pertama yang mempublikasikannya pada tahun 1809 dan selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah Dalil Peluang untuk setiap peubah acak kontinyu.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
Fungsi kerapatan Peluang normal:
50-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
Normal Distribution: = 0, = 1
xxfx
e2
1)(
221 /-
Definisi Sebuah variabel random (kontinyu) x ( x ) dikatakan mengikuti distribusi normal dengan parameter lokasi pemusatan dan parameter penyebaran (variansi) 02 jika mengikuti fungsi distribusi kemungkinan berikut :
xxf
x e
2
1)(
221 /-
dimana ...14159,3 dan e = 2,71828…(bilangan natural).
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
Kurva normal membentuk:
Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga setengah (.50 or 50%) bagian akan berada di salah satu sisi dari rata-rata.
Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan variansi, , dan dintayakan dengan: [X~N()].
Setiap kurva bersifat asymptotik. Luas area di bawah kurva fungsi densitas Peluang
normal dalam rantang k dari adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun besarnya nilai rata-rata dan variansi.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
Distribusi ini digunakan sangat luas dan seringkalidinotasikan dengan 2
~ , NX . Jika dan diketahui maka lokasi dan bentuk kurva
normal dapat diketahui. Nilai parameter (parameter lokasi) yang semakin
besar akan menggeser kurva ke kanan, dan nilaiparameter (parameter bentuk) yang semakinmembesar akan menyebabkan kurva normal semakinlandai (memperbesar jarak dari pemusatan ke posisititik-titik belok kurva).
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
B e b e ra p a s ifa t p e n tin g fu n g s i d e n sita s p ro b a b ilita s n o rm a l:
i. L u as d aerah d i b aw ah ku rva
1 )( dxxf .
D en g an m e laku kan tran sfo rm as i lin ie r /)( xy , akand ip e ro leh fu n g s i d is tr ib u s i kem u n g k in an n o rm a l s tan d ar
221
2
1)(
yeyf
. K em u d ian d efi n is ikan b en tu k satu an b e riku t
dyeIy
221
2
1
,
d an p ertim b an g kan seb u ah b en tu k sa tu an d a ri va riab e l ran d o mZ yan g ju g a m en g iku ti fu n g s i d is tr ib u s i ke m u n g k in a n n o rm a l s ta n d a r
dzeIz
221
2
1
.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI PELUANG NORMAL
Distribusi Peluang Normal (7)
Selan ju tnya defin isikan perkalian kedua ben tuk satuantersebu t sebagai beriku t
dzdyedzedyeIzyzy
2
1=
2
1
2
1 )(222
212
212
21
.
G unakan transfo rm asi beriku t cosdan ,sin rzry , m akadapat d ipero leh
.1 2
1
0
2
00
22
212
21
drerdrderIrr
K arena 12 I , m aka 12
1 221
dyeI
y
.
ii. U ntuk setiap n ila i variabe l random X , n ila i 0)( xf .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (8)
iii. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal bersifatassymptotic pada kedua sisinya (tail), atau 0)(lim
x
xf dan
0)(limx
xf .
iv. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal simetris di kiridan kanan lokasi pemusatan , atau xfxf .
v. Nilai maksimum (modus) dari kurva fungsi distribusikemungkinan normal )(xf berada pada lokasi pemusatan
x .vi. Titik belok (point of onflections) dari kurva fungsi distribusikemungkinan normal )(xf berada pada titik-titik x .Kurva memiliki bentuk cekung dari bawah untuk
-<x<+, dan cekung dari atas untuk harga x lainnya.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (9)
Kedua parameter fungsi normal dan 2 adalah rata-rata (ekspektasi )( XE ) dan variansi ( 2)( XV )distribusi probabilitas normal.Bukti :
e
2
1)(
-
/- 221
dxxXEx
.
Gunakan transformasi /)( xz , dan diperoleh :
.)0()1(
e2
e2
1
e2
)()(
-
-
-
-
-
-
2212
21
221
dzz
dz
dzz
XE
zz
z
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (10)
Selanjutnya hitung variansi sebagai berikut:
.10
2
1
2
2
2
)(
])[()(
22
2
22
)(2
2
2112
11
211
211
dzeez
dzez
dxex
XEXV
zz
z
X
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (11)
B e s a r n y a n i l a i p r o b a b i l i t a s v a r i a b e l r a n d o m n o r m a ld i t e n t u k a n d e n g a n f o r m u l a s i b e r i k u t :
dxexXPxFux 2
21 )(
2
1)()(
.
N i l a i p r o b a b i l i t a s t e r s e b u t t i d a k d a p a t d i h i t u n g s e c a r aa n a l i t i s m a t e m a t i s m e l a l u i p e r s a m a a n i n t e g r a l d i a t a s , u n t u ki t u d i g u n a k a n t a b e l d i s t r i b u s i n o r m a l y a n g d i p e r o l e h m e l a l u ip e n d e k a t a n n u m e r i k .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal (12)
B e b e r a p a p e n d e k a t a n n u m e r i k y a n g d a p a t d i g u n a k a n u n t u km e n e n t u k a n b e s a r n y a n i l a i p r o b a b i l i t a s a d a l a h :i . P e n d e k a t a n H o y t ( 1 9 6 8 ) m e n g g u n a k a n f u n g s i
31untuk )3(
1untuk )3(2
161
281
xx
xx
p e n d e k a t a n i n i m e m b e r i k a n k e s a l a h a n k u r a n g d a r i 0 . 0 1 .i i . P e n d e k a t a n P o l y a ( 1 9 4 5 ) m e n g g u n a k a n f u n g s i
2/1221 )}/2exp(1{1)( xxF .
P e n d e k a t a n i n i m e m b e r i k a n k e s a l a h a n m a k s i m u ms e b e s a r 0 . 0 0 3 p a d a x = 1 . 6 .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Normal
i i i . P e n d e k a t a n B u r r ( 1 9 6 7 ) m e n g g u n a k a n f u n g s i
kcxxG
)(11)( d i m a n a = 0 . 6 4 4 6 9 3 , = 0 . 1 6 1 9 8 4 , c = 4 . 8 7 4 , d a n k = -6 . 1 5 8 . P e n d e k a t a n y a n g l e b i h b a i k d e n g a n f u n g s i G ( x )a d a l a h )](1)([)( 2
1 xGxGxH . D e n g a n p e n d e k a t a n i n im e m b e r i k a n k e s a l a h a n m a k s i m u m a d a l a h 0 . 0 0 0 4 6 p a d ax = 0 . 6 d a n x = - 0 . 6 .
P e n d e k a t a n l a i n n y a d a p a t d i l i h a t p a d a :J o h n s o n , N . L . & K o t z , S . , ( 1 9 7 0 ) , C o n t i n u o u s U n i v a r i a t eD i s t r i b u t i o n , J W S .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai rata-rata dan variansi yang berbeda
50-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
z
f(z)
Normal Distribution: =0, =1
454035
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
w
f(w)
Normal Distribution: =40, =1
6050403020100
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
Normal Distribution: =30, =5
65554535
0.2
0.1
0.0
y
f(y)
Normal Distribution: =50, =3
50
Perhatikan bahwa:
P(39 W 41)P(25 X 35)P(47 Y 53)P(-1 Z 1)
Nilai Peluang dari setiap interval adalah luas area di bawah kurva fungsi densitas Peluang normal.
Distribusi Peluang Normal (14)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
• Peluang bahwa peubah acak normal berada dalam rentang satu deviasi Baku dari rata-rata adalah 0.6826, atau sekitar 0.68.
• Peluang bahwa peubah acak normal berada dalam rentang dua deviasi Baku dari rata-rata adalah 0.9544, atau sekitar 0.95.
• Peluang bahwa peubah acak normal berada dalam rentang tiga deviasi Baku dari rata-rata adalah 0.9974.
Distribusi Peluang Normal (15)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Peubah acak normal Baku, Z, adalah peubah acak normal dengan rata-rata = 0 dan deviasi Baku = 1: Z~N(0,12).
543210-1-2-3-4-5
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
0 .0
f(z )
Distribusi Normal Baku
=0
=1{
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f( z)
Sta dard Normal Distribution
1.56{
z .00 .01 .02 .03 .04 .05.06 .07 .08 .09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.01600.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.05570.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.09480.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.13310.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17000.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.20540.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.23890.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.27040.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.29950.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.32640.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.35080.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.37290.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.39250.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.40990.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.42510.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.43191.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.43820.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.44950.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45451.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.45910.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.46331.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.46710.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.47061.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.47380.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.47672.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.47930.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.48172.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.48380.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.48572.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.48750.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.48902.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.49040.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.49162.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.49270.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.49450.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.49590.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.49690.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.49742.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.49770.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.49812.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.49840.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.49863.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.49880.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
Peluang Normal Baku
Lihat pada baris 1.5 dan kolom .06 untuk
menemukanP(0<z<1.56) =
0.4406
P(0 < Z < 1.56)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
Untuk P(Z<-2.47):Lihat tabel untuk 2.47
P(0 < Z < 2.47) = .4934
P(Z < -2.47) = .5 - P(0 < Z < 2.47) = .5 - .4934 = 0.0066
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
Nilai tabel area 2.47P(0 < Z < 2.47) = 0.4934
Area di sebelah kiri -2.47P(Z < -2.47) = .5 - 0.4932 = 0.0068
P(Z < -2.47)
z ... .06.07
.08.
. . .
. . .
..
. . .
2.3 ... 0.4909 0.4911 0.4913
2.4 ... 0.4931 0.4932 0.4934
2.5 ... 0.4948 0.4949 0.4951
.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
z .00 ... . . . . . .0.9 0.3159 ...1.0 0.3413 ...1.1 0.3643 ... . . . . . .1.9 0.4713 ...2.0 0.4772 ...2.1 0.4821 ... . . . . . .
Temukan P(1 < Z < 2):1. Temukan nilai tabel 2.00
F(2) = P(Z < 2.00) = .5 + .4772 =.9772
2. Temukan nilai tabel 1.00F(1) = P(Z < 1.00) = .5 + .3413 = .8413
3. P(1 < Z < 2.00) = P(Z < 2.00) - P(Z < 1.00) = .9772 - .8413 = .1359
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
Luas area diantara 1 dan 2P(1 < Z < 2) = .4772 - .8413 =
0.1359
P(1< Z < 2)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
Temukan z sehingga P(0 < Z < z) = .40:
Temukan nilai Peluangsedekat mungkin dengan .40 dari tabel kemungkinan normal Baku.
Tentukan nilai z pada baris dan kolom yang sesuai. P(0<z<1.28) 0.40
Karena P(Z < 0) = .50
P(Z <1.28) .90543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
Area = .40 (.3997)
Z = 1.28
Luas area di kiri 0 = .50P(z 0) = .50
P(0 < Z < z) = 0.40
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .090.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
DISTRIBUSI NORMAL BAKU
z .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2.4 ... 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 ... 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 ... 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .
Untuk memperoleh Peluang 0.99 di tengah distribusi, akan ada (1/2)(1-.99) = (1/2)(.01) = .005 di ekor (tail) distribusi, dan (1/2)(.99) = .495 setengah dari interval .99, atau :
P(0<Z<z.005) = .495
Dari tabel Peluang normal Baku:
2,57 < z.005 < 2,58 z.005 2,575
P(-.2575 < Z < 2,575) = .99
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
-z.005 z.005
Area di ekor kanan = .005Area di ekor kiri = .005
Area di kanan = .495
Area di kiri = .495
2.575-2.575
Area di tengah = .99
Distribusi Normal Baku P(-z.005< Z < z.005) = 0.99
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk peubah acak normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal Baku. Contoh: P(40 X P(-1 Z untuk = 50 m dan s= 10.
Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk peubah acak normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal Baku. Contoh: P(40 X P(-1 Z untuk = 50 m dan s= 10.
1009080706050403020100
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
Xf(x
)
Normal Distribution: =50, =10
=10{
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
1.0 {
Transformasi pada
(2) Pembagian dengan x)
Transformasi X menjadi Z:Transformasi X menjadi Z:Z
X x
x
Transformasi sebaliknya Z menjadi X:
Transformasi sebaliknya Z menjadi X:
X x Z x
(1) Pengurangan: (X - x)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
Contoh: X~N(160,302)
P X
PX
P Z
P Z
( )
.. . .
100 180100 180
100 160
30
180 160
30
2 66670 4772 0 2475 0 7247
ContohX~N(127,222)
P X
PX
P Z
P Z
( )
.. . .
150150
150 127
22
1 0450 5 0 3520 0 8520
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
Transformasi X menjadi Z:Z
X x
x
Transformasi kebalikan Z menjadi X:
Xx
Zx
Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a dan b:P X a P Z
a
P X b P Zb
P a X b Pa
Zb
( )
( )
( )
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
z .07 .08 .09 . . . . . . . . . . . . . . .1.1 . . . 0.3790 0.3810 0.38301.2 . . . 0.3980 0.3997 0.40151.3 . . . 0.4147 0.4162 0.4177 . . . . . . . . . . . . . . .
Untuk menemukan nilai Peluang dengan interval tertentu untuk sembarang peubah acak normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi Baku dari rata-ratanya.
Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi Baku di atas rata-rata X: 70=+2. P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal Baku.
Untuk menemukan nilai Peluang dengan interval tertentu untuk sembarang peubah acak normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi Baku dari rata-ratanya.
Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi Baku di atas rata-rata X: 70=+2. P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal Baku.
P X Px
P Z P Z( ) ( )
70
70 70 50
102
Contoh: X~N(124,122) P(X > x) = 0.10 dan P(Z > 1.28) 0.10x = + z = 124 + (1.28)(12) = 139.36
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
z .02 .03 .04 . . . . . . . . . . . . . . .2.2 . . . 0.4868 0.4871 0.48752.3 . . . 0.4898 0.4901 0.49042.4 . . . 0.4922 0.4925 0.4927 . . . . . . . . . . . . . . .
z .05 .06 .07 . . . . . . . . . . . . . . .1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.46931.9 . . . 0.4744 0.4750 0.47562.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . . . . . .
Contoh: X~N(5.7,0.52)P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01x = + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865
Contoh: X~N(5.7,0.52)P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01x = + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865
Contoh: X~N(2450,4002)P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)0.95x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234)P(1666 < X < 3234) = 0.95
Contoh: X~N(2450,4002)P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)0.95x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234)P(1666 < X < 3234) = 0.95
8.27.26.25.24.23.2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
8.27.26.25.24.23.2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
f(x)
Normal Distribution: = 5.7 = 0.5
543210-1-2-3-4-5
z Z.01 = 2.33
Area = 0.49
Area = 0.01
4000300020001000
0.0015
0.0010
0.0005
0.0000
X
f(x)
Normal Distribution: = 2450 = 400
4000300020001000
0.0015
0.0010
0.0005
0.0000
543210-1-2-3-4-5
Z
.4750.4750
.0250.0250
-1.96 1.96
X.01 = +z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
4000300020001000
0.0012
0.0010
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0000
X
f(x)
Normal Distribution: = 2450, = 400
.
.
.
.
.
.
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
S tandard Normal Distribution
1. Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal Baku.
1. Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal Baku.2. Arsir daerah Peluang yang diteliti.
2. Arsir daerah Peluang yang diteliti.
3. Dari tabel distribusi normal Baku, temukan nilai z.
3. Dari tabel distribusi normal Baku, temukan nilai z.4.Transformasikan nilai z menjadi x (nilai peubah acak asal).
4.Transformasikan nilai z menjadi x (nilai peubah acak asal).
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Transformasi Peubah Acak Normal
4. Transformasi nilai z ke nilai x
x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ± 784 =(1666,3234)
Transformasi Peubah Acak Normal
z .05 .06 .07 . . . . . . . . . . . . . . .1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.46931.9 . . . 0.4744 0.4750 0.47562.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . . . . . .
3. Temukan nilai z dari tabel normal Baku z=-1,96 dan z=1.96
1. Distribusi Normal dan Normal Baku.
2. Arsir daerah 0.95 (masing-masing 0.475 di kiri dan kanan.
400300200100
0.0012
0.0010
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0000
X
f( x
Nor al Distribution: = 2450, = 40
.
.
.
.
.
.
.4750.4750
.9500
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
S tandard Normal Distribution
.4750.4750
.9500
Normal Distribution: = 2450, = 400
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
1050
0.3
0.2
0.1
0.0
X
f(x)
Normal Distribution: = 3.5, = 1.323
76543210
0.3
0.2
0.1
0.0
X
P(x)
Binomial Distribution: n = 7, p = 0.50
Distribusi normal dengan = 3.5 dan = 1.323 mendekati distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50.
Distribusi normal dengan = 3.5 dan = 1.323 mendekati distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50.
P(x<4.5) = 0.7749
MTB > cdf 4.5;SUBC> normal 3.5 1.323.Cumulative Distribution FunctionNormal with mean = 3.50000 and Bakud deviation = 1.32300
x P( X <= x) 4.5000 0.7751
MTB > cdf 4.5;SUBC> normal 3.5 1.323.Cumulative Distribution FunctionNormal with mean = 3.50000 and Bakud deviation = 1.32300
x P( X <= x) 4.5000 0.7751
MTB > cdf 4;SUBC> binomial 7,.5.Cumulative Distribution FunctionBinomial with n = 7 and p = 0.500000
x P( X <= x) 4.00 0.7734
MTB > cdf 4;SUBC> binomial 7,.5.Cumulative Distribution FunctionBinomial with n = 7 and p = 0.500000
x P( X <= x) 4.00 0.7734
P( x 4) = 0.7734
=0.0017
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL
1050
0.3
0.2
0.1
0.0
X
f(x)
Normal Distribution: = 5.5, = 1.6583
11109876543210
0.2
0.1
0.0
X
P(x)
Binomial Distribution: n = 11, p = 0.50
Distribusi normal dengan = 5.5 dan = 1.6583 pendekatan yang lebih baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50.
Distribusi normal dengan = 5.5 dan = 1.6583 pendekatan yang lebih baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50.
P(x<4.5) = 0.2732P(x4) = 0.2744
MTB > cdf 4.5;SUBC> normal 5.5 1.6583.Cumulative Distribution FunctionNormal with mean = 5.50000 and Bakud deviation = 1.65830
x P( X <= x) 4.5000 0.2732
MTB > cdf 4.5;SUBC> normal 5.5 1.6583.Cumulative Distribution FunctionNormal with mean = 5.50000 and Bakud deviation = 1.65830
x P( X <= x) 4.5000 0.2732
MTB > cdf 4;SUBC> binomial 11,.5.Cumulative Distribution FunctionBinomial with n = 11 and p = 0.500000
x P( X <= x) 4.00 0.2744
MTB > cdf 4;SUBC> binomial 11,.5.Cumulative Distribution FunctionBinomial with n = 11 and p = 0.500000
x P( X <= x) 4.00 0.2744=0.0012
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL
Pendekatan untuk Binomial (3)
D e fi n i s i :B i la X v a r ia b e l r a n d o m b in o m ia l d e n g a n r a t a - r a t a = n pd a n v a r ia n s i 2 = n p q , m a k a b e n t u k p e n d e k a t a n a d a la h
d is t r ib u s i ,npq
npXZ
b i la n a d a la h d is t r ib u s i n o r m a l
b a k u N ( 0 , 1 ) .
D a r i p e r h i t u n g a n , d is t r ib u s i n o r m a l m e m b e r ik a n p e n d e k a t a nn i la i p r o b a b i l i t a s y a n g b a ik t e r h a d a p d is t r ib u s i b in o m ia l b i l an b e s a r d a n p m e n d e k a t i 0 . 5 , b a h k a n b i la n m e n g e c i l t a p i pt id a k t e r la lu j a u h d a r i 0 . 5 m a s ih d ip e r o le h p e n d e k a t a n y a n gc u k u p b a ik .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
P a X b Pa np
np pZ
b npnp p
( ) ( ) ( )
1 1
for large (n 50) and not too close to 0 or 1.00n p
P a X b Pa np
np pZ
b npnp p
( ) .( )
.( )
0 51
0 51
for moderately large (20 n < 50).n
Atau:
Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson.Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson.
Pendekatan untuk Binomial (4)
Untuk n besar (n>50) dan p tidak mendekati 0 atau 1.00
Untuk n sedang (20<n<50)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Pendekatan untuk Binomial (5)
S u a t u p r o s e s m e n g h a s i l k a n s e j u m l a h p r o d u k ( d e n g a n k e m u n g k i n a nd p r o d u k c a c a t 1 0 % ) . B i l a 1 0 0 p r o d u k d i a m b i l s e c a r a a c a k , b e r a p a k a hk e m u n g k i n a n b a h w a t e r d a p a t l e b i h d a r i 1 3 p r o d u k c a c a t ?
D a l a m k a s u s i n i , b a n y a k n y a c a c a t b e r d i s t r i b u s i b i n o m i a l d e n g a np a r a m e t e r n = 1 0 0 d a n p = 0 , 1 . K a r e n a u k u r a n s a m p e l b e s a r d i l a k u k a np e n d e k a t a n d e n g a n f u n g s i k e m u n g k i n a n n o r m a l d i m a n a p a r a m e t e r n y aa d a l a h 10)1,0)(100( np , d a n 0,3)9,0)(1,0)(100( npq .
K a r e n a i n g i n d i a m a t i k e m u n g k i n a n b a h w a t e r d a p a t l e b i h d a r i 1 3 p r o d u kc a c a t , m a k a d i c a r i p r o b a b i l i t a s x > 1 3 . U n t u k k a s u s d i s k r i t , d i g u n a k a nb a t a s x = 1 3 . 5 , d a n h a r g a z y a n g s e s u a i a d a l a h 167,13/)105.13( z .D a r i t a b e l d i p e r o l e h k e m u n g k i n a n z > 1 . 1 6 7 a d a l a h 0 . 1 2 1 6 .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan memberikan nilai Peluang kumulatif dari peubah acak normal Baku. Perintah NORMDIST(number, mean, Bakud deviation) akan memberikan nilai Peluang dari peubah acak normal secara umum.
Perhitungan dengan Excel (1)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Contoh:NORMSDIST(1.0) = 0.8413.NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938. Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number, mean, Bakud deviation).NORMSINV(0.975) = 1.96.NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6.
Contoh:NORMSDIST(1.0) = 0.8413.NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938. Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number, mean, Bakud deviation).NORMSINV(0.975) = 1.96.NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6.
Perhitungan dengan Excel (2)
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Normal Multivariat (1)
Distribusi dalam analisis multivariat umumnya adalahdistribusi multivariat normal sebagai perluasan daridistribusi normal univariat.Terdapat dua landasan pokok untuk hal tersebut, yaitu :i. Kasus pengukuran multivariat seringkali adalah bentuk
penjumlahan dari beberapa pengaruh random yangindependen. Dengan teorema central limit, beberapavariabel tadi membentuk distribusi normal multivariat.
ii. Teori statistika yang berlandaskan pada distribusi normalterbukti telah menunjukkan keberhasilan dalammelakukan kajian secara terstruktur dan sistematis.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Normal Multivariat (2)
N i l a i e k s p e k t a s i d a r i s e b u a h v e k t o r v a r i a b e l r a n d o mX = ( X 1 , … , X m ) ’ a d a l a h ')(),...,()( 1 mXEXEXE .
J i k a X m e m p u n y a i r a t a - r a t a m a t r i k s v a r i a n s i -k o v a r i a n s i X d i d e fi n i s i k a n s e b a g a i m a t r i k s ( m x m ) b e r i k u t
)')(()( XXEXCov .
E l e m e n k e - i d a n k e - j d a r i m a t r i k s v a r i a n s i - k o v a r i a n s ia d a l a h )])([( jjiiij XXE , s e d a n g k a n e l e m e n k e - i
d i k e n a l s e b a g a i v a r i a n s i ])[( 2iiii XE .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Normal Multivariat (3)
Agar variansi variabel random Xi ada, maka matriks definit nonnegatif. Karena similaritas kovariansi, makamatriks adalah matriks simetris, sehingga ' . Sebuah matriks simetris (mxm) A disebut definit non-negatif jika 0' A untuk semua mR dan pasti positif
jika 0' A untuk semua 0, mR . mR adalah ruangEuklidean berdimensi m dengan komponen real.
)()'(
2
1exp)(det)2()( 12/12/ xxxf m
x
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Gamma (1)
D i s t r i b u s i g a m m a d i k e n a l d a r i f u n g s i g a m m a y a n g b a n y a k d i g u n a k a nd a l a m b i d a n g m a t e m a t i k a . F u n g s i g a m m a d i d e fi n i s i k a n o l e h
0
1)( dxex x u n t u k 0 .
J i l a d i l a k u k a n i n t e g r a s i p a r s i a l a t a s 1 xu d a n d v = e - x d x , m a k a a k a n
d i p e r o l e h
0
21 )1(0
)( dxxexe xx =
0
2)1( dxxe x ,
s e h i n g g a d i h a s i l k a n p e n g u l a n g a n f u n g s i g a m m a )1()1()( ,)2()2)(1()( , d a n s e t e r u s n y a j i k a = n , d i m a n a n b i l a n g a n
b u l a t p o s i t i f , m a k a )1()...2)(1()( nnn . K a r e n a m e n u r u t d e fi n i s i
f u n g s i g a m m a
0
1)1( dxe x , m a k a )!1()( nn .
S a t u s i f a t p e n t i n g f u n g s i g a m m a , a d a l a h )2/1( .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Gamma (2)
D e fi n i s iS e b u a h v a r i a b e l r a n d o m k o n t i n y u X b e r d i s t r i b u s i g a m m ad e n g a n p a r a m e t e r b i l a 0 d a n 0 , b i l a m e n g i k u t if u n g s i
/1
)(
1)( xexxf
x > 0
= 0 , u n t u k x l a i n n y a .
P a r a m e t e r p e m u s a t a n d a n p e n y e b a r a n a d a l a h s e b a g a ib e r i k u t :
)( XE d a n 22)( XV .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Gamma (3)
Hal ini dapat dibuktikan dengan mengevaluasi momen ke-r disekitar titik asal distribusi gamma adalah
0
/1'
)(
1)( dxexXE rr
r
.
Jika dimisalkan y=x/, maka
0
/1'
)(dyeyr
r
r
)(
)(
rr
.
Dengan demikian
)(
)1('1 , dan
222
2'2
2
)(
)2(
= 2Distribusi gamma yang khusus (spesifik) untuk =v/2, =2,dan v bilangan bulat positif disebut distribusi khi-kuadrat (chi-square) dengan degree of freedom v.
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Gamma (4)
Proposisi:J ika niX i ,...,2,1, adalah variabel random gamma independen
dengan parameter ),( i , maka
n
i iX1 juga gamma dengan
parameter ,1
n
i i .(parameter /1adalah )Proposisi:J ika niX i ,...,2,1, adalah variabel random independen
eksponensial independen dan identik dengan rata-rata ,
maka
n
i iX1 adalah variabel random gamma dengan
parameter ),( n .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Weibull (1)
D i s t r i b u s i W e i b u l l ( W a l o d d i W e i b u l l , S w e d i s h , 1 9 3 9 ) b a n y a k d i g u n a k a nd a l a m a n a l i s i s k e a n d a l a n y a n g b e r k i a t a n d e n g a n u m u r ( r e n t a n gw a k t u ) , c o n t o h n y a r a n t a n g w a k t u d i m a n a s e b u a h p e r a l a t a n m u n g k i na k a n r u s a k ( t i d a k b e r f u n g s i ) .D e fi n i s iV a r i a b e l r a n d o m k o n t i n y u T b e r d i s t r i b u s i W e i b u l l , d e n g a n d u ap a r a m e t e r 0 d a n 0 , j i k a f u n g s i p a d a t n y a m e n g i k u t i
atettf 1)( u n t u k t > 0 , d a n f ( t ) = 0 , u n t u k t l a i n n y a
P a r a m e t e r p e m u s a t a n d a n p e n y e b a r a n a d a l a h s e b a g a i b e r i k u t :
1
1)( /1TE d a n
2
/22 11
21)(
TV
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Weibull (2)
D e n g a n m e n g g u n a k a n a n a l o g i , f u n g s i d i s t r i b u s i k e m u n g k i n a nW e i b u l l d a p a t m e n c a k u p t i g a p a r a m e t e r W ( , , ) d a n f u n g s ik e a n d a l a n n y a d i d e fi n i s i k a n o l e h
, t,exp),,;(1
tttf d a n
t
tR exp),,;( .
M e a n t i m e t o f a i l u r e ( M T T F ) d a n v a r i a n s i n y a a d a l a h
1
),,;( TE d a n
12
),,;( 22TVar .
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Distribusi Peluang Weibull (3)
Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures.
Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures.
kerusakan karena terjadi wear-out causes dan chance causes
lajukerusakan
Kerusakan karena terjadinya earlycauses dan chance causes
hanya terjadichance failure
t
Diunduh dari: http: dhimaskasep.files.wordpress.com/.../ti2131-05-distribusi-kontinyu.pp... …… 27/9/2012
Diunduh dari: http: …… 20/9/2012
PELUANG
Diunduh dari: http: …… 20/9/2012
PELUANG