Root Finding (2)

TKM 314 – METODA NUMERIK

TEKNIK MESIN - UNDIP

Akar Polinom (Birge-Vieta Method)

mm xaxaxaxaaxf 3

32

210)(

Pandang polinomial berderajad m

Akan dicari akar polinom di sekitar xn. Pers. diubah menjadi:

012

321 )()( bxbxbxbbxxxf mmn

dengan

0,,2,1;1

mmjbxab

ab

jnjj

mm

0)()( bxGxxxf n dgn12

321)( mm xbxbxbbxG

)()()( xGxGxxxf n )()( nn xGxf

0)( bxf n

(a)

122

432 ))(()( cxcxcxccxxxG mmn

1,,2,1;1

mmjcxbc

bc

jnjj

mm

1)()( cxGxf nn

Dengan cara yang sama

Sehingga

dengan

Akar polinom di sekitar xn dinyatakan dengan:

1

01 c

bxx nn

(b)

(c)

Prosedur metode Birge-Vieta:

1. Ambil n = 0 2. Tentukan xn dan koefisien-koefisisn bm dan cm

[(a)&(b)]3. Hitung xn+1 dengan persamaan (c)4. Jika xn+1 xn maka xn merupakan akar yang dimaksud

dan perhitungan selesai. Jika tidak, susun xn = xn+1 dan lanjutkan ke langkah 2

Contoh:

Akan dihitung akar polinom berikut di sekitar x = 1.3: 1)( 3 xxxf

j aj bj cj

3 1 1 1

2 0 1.3 2.6

1 -1 0.69 4.07

0 -1 -0.103

325.107.4

103.03.1

1

001 c

bxx

3.10 x

j aj bj cj

3 1 1 1

2 0 1.325 2.265

1 -1 0.755625 4.267

0 -1 0.0012033247181.1

267.4

001203.03.1

1

012 c

bxx

j aj bj cj

3 1 1 1

2 0 1.324718 2.649436

1 -1 0.154878 4.26434

0 -1 0.0000004

3247179.1264634.4

0000004.03247181.1

1

023 c

bxx

2324718.1154878.0)( xxxG Dan

Akar-akar Berulang

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

x

y

y2 y3

)1)(1)(3(2 xxxy

)1)(1)(1)(3(3 xxxxy

Pada umumnya fungsi dengan sejumlah ganjil akar berulang kurvanya akan memotong sumbu x. Sedangkan untuk fungsi dengan sejumlah genap akar berulang kurvanya hanya menyentuh sumbu x.

Metoda Newton-Raphson perlu dimodifikasi

)(

)()(

xf

xfxu

Difinisikan

)(

)(1

n

nnn xu

xuxx

Metoda Newton-Raphson yang dimodifikasi

)()()(

)()(21

nnn

nnnn

xfxfxf

xfxfxx

atau