bahan_ajar_spl.ppsx

8/16/2019 Bahan_Ajar_SPL.ppsx

1/26

istem Persamaan

Linear


2/26

• Persamaan linear adalah persamaan dimanapeubahnya tidak memuat eksponensial,trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian,pembagian dengan peubah lain atau dirinyasendiri.

• Secara umum persamaan linear untuk n peubah x 1, x 2, …, x n dapat dinyatakan dalam bentuk:

dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta-

konstanta real.

1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + =

Persamaan Linear


3/26

Contoh

Persamaan inear

• x ! 2 y " #$$$

• % x ! y " 1$$$$• 2 x - % y ! # z "

%$

• x 1 ! x 2 ! x % ! x & " $

'ukan Persamaan

inear• 2 2y " %• sin ! 2 cos y " $• %e2 sin (!y) "

1$


4/26

• *impunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x 1, x 2, …,

x n dinamakan sistem persamaan liniear

• Sebuah sistem sembarang yang terdiridari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan

dalam bentuk:11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =+ + + +

istem Persamaan Linear


5/26

• Sistem persamaan linear tersebut dapatditulis dalam bentuk :

• atau

AX = Bdimana: A dinamakan matriks koefsien

X dinamakan matriks peubah

B dinamakan matriks konstanta

11 11 1

11 11 2

1 1

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

÷

÷ ÷ ÷

+ + , +

1

2

m

b

b

b

÷ ÷= ÷ ÷

+

1

2

n

x

x

x

÷

÷ ÷ ÷

+

Contoh


6/26

• Sintem Persamaan inear dapatdituliskan dalam bentuk matriks yangdiperbesar (augmented matrix ) sebagai

berikut:

• ontoh

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =+ + + +

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

+ + + +

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

+ + =− − + =

− + =

1 1 2 8

1 2 3 1

3 7 4 10

− − −

Augmented Matrix


7/26

• Solusi sebuah sitem persamaan linear(SP) adalah himpunan bilangan ealdimana /ika disubstitusikan pada peubah

suatu SP akan memenuhi nilai kebenaranSP tersebut.

• ontoh:

x – 2 y = 7

2 x ! % y " 0

x " # , y " -1 merupakan solusi dariSP tersebut

olusi PL


8/26

• 3emungkinan solusi dari sebuahsistem persamaan linear (SP)adalah:

– SP mempunyai solusi tunggal – SP mempunyai solusi tak

hingga banyak –

SPtidak mempunyai solusi

olusi PL


9/26

4rtinya : SP 2 x y " 2 x y " $

+empunyai solusi tunggal, yaitu " 2, y " 2

y = x

y = 2 x - 2

(2, 2) merupakan titik potong dua garis

tersebut

Tidak titik potong yang lain selain titik

tersebut

(2, 2) x

y

1 2

2

Ilustrasi olusi PL Tunggal


10/26

Perhatikan SPL

x – y = 02 x – 2y = 0

5ika digambar dalam kartesius

6erlihat bah7a dua garis tersebut adalah berimpit 6itik potong kedua garis banyak sekali disepan/ang

garis tersebut 4rtinya:

SP diatas mempunyai solusi tak hingga banyak

x

x – y = 0

2 x – 2 y = 0 y

Ilustrasi olusi PL Tak Hingga

Banyak


11/26

Perhatikan SPL x – y = 02 x – 2y = 2

5ika digambar dalam kartesius

6erlihat bah7a dua garis tersebut adalah se/a/ar 6ak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis

itu 4rtinya: SP diatas 68943 mempunyai solusi

x

y y = x y = x – 1

1

Ilustrasi

PL Tidak Punya olusi


12/26

• liminasi ;auss merupakan prosedursistematik yang digunakan untukmemecahkan sistem persamaan

linear.

• Prosedur ini didasarkan padagagasan untuk mereduksi matriks

yang diperbesar (augmented marrix )men/adi bentuk yang sederhana

Eliminasi Gauss-ordan


13/26

1. 5ika baris tidak terdiriseluruhnya dari nol, makabilangan taknol pertama

dalam baris tersebut adalah1. (kita namakan ini 1utama)

2. 5ika terdapat baris yang

seluruhnya terdiri dari nol,maka kelompokkan barisseperti ini di ba7ah matriks.

Langkah-Langkah

1 1 2 <

2 & % 1

% = # $

− −

1 1 2 <

2 & % 1

$ $ $ $

−


14/26

%. 9alam sembarang dua barisyang berurutan yangseluruhnya tidak terdiri dari

nol, maka 1 utama dalambaris yang lebih rendahterdapat lebih /auh ke kanandari satu utama dalam baris

yang lebih tinggi.&. +asing-masing kolom yang

mengandung satu utamamempunyai nol di ba7ahsatu utamanya.

Langkah-Langkah

1 1 2 <

2 1 % 1

% = # $

− −

1 & % 0

$ 1 = 2

$ $ 1 #


15/26

#. +asing-masing kolom yangmengandung satu utamamempunyai nol di atas satu

utamanya

Langkah-Langkah

• Sembarang matriks yang memiliki si>at 1,2, %, dan & dikatakan berada dalambentuk eselon baris (Eliminasi Gauss).

• 5ika matriks tersebut /uga memiliki si>at #maka dikatakan berada dalam bentukeselon baris tereduksi. (Eliminasi Gaus –

Jordan)

1 $ $ 1

$ 1 $ 2

$ $ 1 %


16/26

• Pecahkanlah sistem persamaanlinear berikut dengan

menggunakan eliminasi ;aus- 5ordan 2 ?

2 % 1

% 0 & 1$

x y z

x y z

x y z

+ + =− − + =

− + =

Contoh


17/26

2 1 3 1

3

2 3 3 2

1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 371

0 1 5 9 0 1 5 9 0 1 0 13 552

0 0 52 104 0 0 1 2 0 0 1 2

b b b bb

b b b b

− + − + − − − − − − + + − −

olusi

5adi solusi dari SP x = 3 y = 1

z = 2

1 2

2

1 3

1 1 2 8 1 1 2 8 1 1 2 8

1 2 3 1 0 1 5 9 0 1 5 93

3 7 4 10 0 10 2 14 0 10 2 14

+ − − − − − − − + − − − − − − −

b bb

b b

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

+ + =− − + =

− + =


18/26

6etentukan solusi dari SP berikut dengan liminasi;auss-5ordan

1. -2 x - % y - & z " 2 2. & x ! = y - % z

" 1 x ! % y " 1 -% x - 0 y ! 2 z

" %

2 x ! # y ! z " -1 x ! 2 y - z " 1

%. % x - # y ! 2 z " 2 &. -% x ! & y -

Latihan oal


19/26

+isalkan SP ditulis dalam bentuk 4@ " ',yaitu :

5ika determinan A tidak sama dengan nol

maka solusi dapat ditentukan satu persatu(peubah ke-i, x i)

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

11

21111

11111

n x

x

x

2

1

=nb

b

b

2

1

Aturan Cramer


20/26

• *itung determinan A (A4A)

• 6entukan Ai matriks A dimana

kolom ke-i diganti oleh +atriks .ontoh :

• *itung A AiA• Solusi SP untuk peubah x i adalah

1 12 1

2 21 2

1

2

n

n

n n nn

b a a

b a a A

b a a

÷ ÷= ÷ ÷

+ + , +

11 1 1

11 2 2

2

1

n

n

n n nn

a b a

a b a A

a b a

÷ ÷= ÷ ÷

+ + , +

det( )

det( )

ii

A x

A=

Langkah-Langkah


21/26

• Pecahkanlah sistem persamaanlinear berikut dengan menggunakanaturan cramer

• Solusi: 'entuk SP men/adi 4@ " '

2 ?

2 % 1

% 0 & 1$

x y z

x y z

x y z

+ + =

− − + =− + =

1 1 2 ?

1 2 % 1

% 0 & 1$

x

y

z

− − = −

Contoh


22/26

• det (4) " A4A(ekspansi ko>aktor bariske-1)

?

1

1$

B

=

1 1 2

1 2 3

3 7 4

= − − −

A

x

X y

z

=

2 3 1 3 1 21 1 2

7 4 3 4 3 7

1( 8 21) 1( 4 9) 2(7 6)

13 13 26 52

− − − −= − +

− −= − + − − − + += + + =

A

olusi


23/26

1

8 1 2

1 2 3

10 7 4

= −

−

A 12 3 1 3 1 2

8 1 27 4 10 4 10 7

8( 8 21) 1(4 30) 2( 7 20) 8(13) 26 26 156

− −= − +

− −

= − + − − + − += + + =

A

2

1 8 2

1 1 3

3 10 4

= −

A2

1 3 1 3 1 11 8 2

10 4 3 4 3 10 1(4 30) 8( 4 9) 2( 10 3)

26) 104 26 52

− −= − +

= − − − − + − −= − + − =

A

32 1 1 1 1 21 1 87 10 3 10 3 7

1( 20 7) 1( 10 3) 8(7 6)

13 13 104 104

− − − −= − +− −

= − + − − − + += − + + =

A

3

1 1 8

1 2 1

3 7 10

= − − −

A


24/26

olusi

= = =

= = =

= = =

1

2

%

det( ) 1#=%

det( ) #2

det( ) #2

1det( ) #2

det( ) 1$&2

det( ) #2

A x

A

A

y A

A z

A

Solusi dari SP

x = 3

y = 1 z = 2

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

+ + =

− − + =− + =


25/26

entuk umum!

• SP homogen merupakan SP yang konsisten,

selalu mempunyai solusi .• Solusi SP homogen dikatakan tunggal /ika solusi

itu adalah• 5ika tidak demikian,

SP homogen mempunyai solusi tak hingga banyak.

(biasanya ditulis dalam bentuk parameter )

PL Homogen

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

$

$

$

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

+ + + =+ + + =

+ + + =

+ + + +


26/26

6etentukan solusi dari SP berikut denganaturan cramerB

1. -2 x - % y - & z " 2 2. & x ! = y - % z

" 1 x ! % y " 1 -% x - 0 y ! 2 z

" %

2 x ! # y ! z " -1 x ! 2 y - z " 1

% %x #y ! 2z " 2 & %x ! &y

Latihan oal

bahan_ajar_spl.ppsx

Documents