bab3 dasar matematik

BAB 3 Dasar-Dasar Matematika http://staff.ums.ac.id/effendy Marwan Effendy 21

BAB III

DASAR-DASAR MATEMATIKA

Dasar-dasar untuk keperluan analisis dan perancangan sistem pengendalian

adalah Teorema Transpormasi Laplace, Transpormasi Z, Transpormasi Fourier, dan

matrik. Dalam bab ini akan dipaparkan tranformasi Laplace, alih bentuk Laplace dan

bagaimana menentukan determinan suatu matrik.

3.1. Transformasi Laplace

Transformasi Laplace sangat besar peranannya dalam analisis sistem

pengendalian kontinyu, terutama yang berkaitan dengan analisis respon transien,

analisis respon frekuensi, analisis kestabilan Routh-Hurwitz, dan sebagainya.

Transformasi Laplace mentransformasikan persamaan matematika dalam

domain waktu(t) menjadi domain Laplace(s). Untuk merubah dari domain waktu ke

domain s dipergunakan formulasi:

~

0

st- dtf(t).eF(s)f(t)L , t 0 ................................ ............................. [3.1]

dengan

f(t) : persamaan domain waktu untuk t < 0 maka f(t) = 0

s : variabel kompleks

L : simbol operasional Laplace

F(s) : persamaan domain s

Contoh 3.1 Fungsi tangga (step). Ubahlah sinyal step f(t)=1 menjadi bentuk laplac e

~

0

st- dtf(t).eF(s)f(t)L

~

0

st- dt1.eF(s)f(t)L

s

1e

s

1-F(s)f(t)

~

0

st- L

http://staff.ums.ac.id/effendy


Terlihat proses pengubahan bentuk fungsi waktu menjadi fungsi laplace cukup

rumit, maka untuk memudahkannya saat ini sudah tersedia tabel tranformasi laplace

yang mampu dipergunakan langsung. Bentuk perubahan bisa dilihat pada tabel 3.1.

Tabel 3.1 Tabel Transformasi Laplace

3.2. Teorema Transformasi Laplace (Alih bentuk Laplace)

1. Superposisi (Penjumlahan dan pengurangan)

Apabila dua persamaan matematika doma in waktu f1(t) dan f2(t) yang

mempunyai bentuk laplace f 1(s) dan f2(s) dijumlahkan atau dikurangkan, akan

didapatkan:

(s)F(s)F(t)f(t)f 2121 L ................................ ................................ .. [3.2]



2. Linearitas (perkalian dengan konstanta k)

Jika k adalah konstanta yang dikalikan denga n persamaan f(t), maka bentuk

laplacenya akan didapatkan:

F(s)..f(t) kk L ................................ ................................ .................... [3.3]

3. Turunan (derivatif)

Bentuk transformasi laplace jika fungsi f(t) diturunkan terhadap t adalah:

)f(0-sF(s)t

f(t)

d

dL ................................ ................................ .......... [3.4]

dimana: f(0+) adalah nilai awal f(t)pada 0 dari arah positif pada sumbu t

Sedangkan turunan ke-n dasi fungsi f(t) adalah:

)f(0-)sf(0-.....-)f(0s-)f(0s-)f(0s-F(s)st

f(t) 3-n2-n1-nnn

n

d

dL ..... [3.5]

4. Integrasi

Jika fungsi f(t) diintegralkan terhadap t, maka bentuk laplacenya adal ah:

0f(t)dt

s

1F(s)f(t)dt

tsL ................................ .............................. [3.6]

dimana 0

f(t)dtt

integral f(t) terhadap t pada t=0 +

5. Pergeseran (shifting)

Jika fungsi f(t) digeser (ditunda= delayed) dengan waktu tunda T, maka fungsi

tersebut menjadi f(t-T), bentuk laplacenya adalah:

.F(s)eT-tT).u-f(t -sTL , T≥0 ................................ .......................... [3.7]

dimana: u(t-T) sinyal unit step ----u(t-T)=1

6. Teorema Nilai Awal

Jika transformasi laplace daei f(t) adalah F(s) dan sF(s)lim0s

ada nilainya, maka

nilai awal dari fungsi waktu diberikan oleh:

sF(s)limf(t)lim~s0t

................................ ................................ ................... [3.8]

7. Teorema Nilai Akhir

Jika transformasi laplace dari f(t) adalah F(s) dan f(t)lim~t

ada nilainya, maka

nilai awal dari fungsi waktu diberikan oleh:

sF(s)limf(t)lim0s~t

................................ ................................ ................... [3.9]



8. Perkalian f(t) dengan e -at

Jika fungsi e-at maka bentuk tranformasi laplacenya adalah:

s)F(f(t).e t- L ................................ ................................ ............ [3.10]

dimana: α=absisca convergence

9. Perubahan Skala Waktu

Jika fungsi f(t) skala waktunya berubah, misalnya dengan skala A, maka akan

menjadi f(t/A), bentuk laplacenya adalah :

AF(As))A

tf(

L ................................ ................................ .............. [3.11]

10. Perkalian kompleks (Integral Konvolusi)

Apabila dua fungsi f1(t-σ) dan f2(σ) dapat dikalikan, kemudian diintegralkan

dari σ =0 sampai σ =t, didapat:

(t)f*(t)fd)).f(-(tf 211 L ................................ ........................... [3.12]

Bentuk persamaan disebelah kanan tanda sama dengan disebut dengan integral

konvolusi. (t)f*(t)f(t)f*(t)f 1221

bentuk integral dari integral konvolusi ini adalah:

(s)F.(s)F(t)f*(t)f 2121 L ................................ ................................ ... [3.13]

3.3. Transformasi Laplace Balik

Terkadang diperlukan suatu transformasi dari domain S ke domain waktu.

Proses matematik dalam mengubah eksp resi variabel kompleks menjadi ekspresi waktu

disebut transformasi balik. Untuk transformasi ini digunakan hubungan:

jc

j-c

stdsF(s).ej2

1f(t)F(s)1-L , t0................................ .................. [3.14]

dimana

c = absis konvergensi

jω=nilai imajiner pada sumbu jω

Transformasi dari fungsi F(s) ke domain waktu dengan menggunakan

persamaan 3-16 ini akan banyak mengalami kesulitan, oleh karena itu biasanya

digunakan tabel transformasi laplace.



Suatu fungsi F(s) dalam sistem pengendalian biasanya dapat dituliskan dalam

bentuk:

m321

m321

ps........pspsps

zs......zszszsK

sA

sBF(s)

, n ≥ m ....................... [3.15]

dimana: z1, z2, z3,…..…zm disebut zero

p1, p2, p3,…….pn disebut pole (akar-akar karakteristik)

zero maupun pole dapat berupa bilangan real maupun imajiner atau merupakan akar

kompleks.

Apabila persamaan 3.15 ditransformasikan ke domain waktu, maka dapat

dilakukan dengan cara sebagai berikut:

3.3.1. Uraian pecahan parsial j ika F(s) melibatkan pole berbeda

Apabila semua pole pada persamaan 3.15 tersebut di atas berbeda nilainya,

artinya p1≠ p2≠ p3≠ ….≠ pn, maka persamaan tersebut dapat dirubah menjadi:

n3

3

2

2

1

1

ps......

pspspssAsB

F(s)

naaaa...................... [3.16]

dimana nilai a1, a2, a3,…, an adalah residue F(s) ke-1, 2, 3…..n pada s= -p1, s= -p2,

s=-p3, …, s=-pn dan nilai-nilai residue tersebut dapat dicari dari hubungan:

1-ps

11 pssAsB

a

2-ps

22 pssAsB

a

-p3s

33 pssAsB

a

:

:

:

n-ps

nn pssAsB

a

Dan domain waktu dari persamaan 3-19 adalah:

t-pn

t-p3

t-p2

t-p1

n321 .ea.......ea.ea.eaf(t)F(s) -1L ...................... [3.17]



Contoh 3.2 Carilah tranformasi laplace balik dari

1s2s

3sF(s)

Persamaan F(s) bisa diurai menjadi pecahan parsial

1s2s1s2s

3sF(s) 21

aa

dimana nilai a1 dan a2 ditentukan dengan

12s1s2s

3sa

-2s

1

21s1s2s

3sa

-1s

2

Jadi tranformasi laplace balik

t-2t- e2e1s

22s

1-F(s)f(t)

1-1-1- LLL

3.3.2. Uraian pecahan parsial jika F(s) melibatkan pole yang bernilai sama

Jika pada persamaan 3.15 ada r buah pole yang bernilai sama, misalnya p 1= p2=

p3= ….= pr, sedangkan pole sisanya semuanya berbeda, artinya pr≠ pr+1≠ pr+2≠ ….≠ pn

dan r < n maka persamaan 3.15 dapat diubah menjadi:

n2r

2

1r

1

1

1

1

2

1

1

1 ps......

pspsps......

pspspssAsB

F(s)

nrrrr

rr

rr

r aaabbbb . [3.18]

dimana:

1-ps

1r pssAsB

b

r

1-ps

11-r pssAsB

b

r

ds

d

1-ps

12

2

2-r pssAsB

2!1

b

r

ds

d

:

:

1-ps

1j-r pssAsB

j!1

b

r

j

j

ds

d



dan bentuk domain waktu dari persamaan 3.18 adalah:

tp-

ntpr-

2tpr-

1p-

122r1r n211 .ea.......ea.eaebtb......t

!2b

t!1

bF(s)

rr

trr

rr1-L . [3.19]

Contoh 3.3 Carilah tranformasi laplace balik dari

32

1s

32sF(s)

s


11

22

33

3

2

1s

b

1s

b

1s

b

1s

32sF(s)

s

dimana nilai b3, b2 dan b1 ditentukan dengan

232s1s

1s

32sb 1

2

1

3

3

2

3

s

s

ss

02232s

ds

d1s

1s

32s

ds

db 11

2

1

3

3

2

2

ss

s

sss

12

2

132s

ds

d

!2

11s

1s

32s

ds

d

!1-3

1b

1

22

2

1

3

3

2

2

2

1

ss

ss


t-23

e1t1s

1

1s

2F(s)f(t)

1-1-1- LLL

3.3.3. Uraian pecahan parsial jika F(s) melibatkan pole kompleks konyugasi

Misalnya p1 dan p2 pada persamaan 3.15 merupakan akar kompleks konyugas i,

sedangkan p3, p4, …, pn merupakan pole ynag berbeda semuanya maka persamaan 3.15

dapat dibentuk menjadi:

n3

3

21

21

ps......

pspspss

sAsB

F(s)

naa

.......................... [3.20]

Untuk mencari α1 dan α2 dilakukan dengan cara sebagai berikut:

11

21n

213

321

21

21

-ps

21 pspsps

..pspsps

pspspsps

spsps

sA

sB

ps

n



Dari persamaan tersebut akan dihasilkan:

21

-ps

21 spspssAsB

1

................................ ...................... [3.21]

nilai α1 dan α2 dapat dicari dari persamaan 3.21 dengan memasukkan nilai s= -p1 dan

menyamakan suku yang mengandung nilai imajiner dan yang real. Bentuk domain

waktu dari persamaan 3.20 selanjutnya dicari dari tabel transformasi laplace.

Contoh 3.4..Carilah tranformasi laplace balik dari

1ss

1sF(s)

2


1ss1ss

1sF(s)

22

dimana nilai s ditentukan dengan

866,05,0s866,05,0s1ss 2 jj

866,05,0s j

dimana nilai α dan β ditentukan dengan

866,05,0s866,05,0s

ss

1sj

j

866,05,0866,05,0

866,05,0j

j

j

866,05,075,0866,025,0866,05,0 jjj

5,05,05,0

866,0866,0866,0

jadi

0dan1

1ss1ss

01F(s)

22

ss


tts

866,0cose866,0sine578,01s

s-F(s)f(t) 0,5t-0,5t-

2

1-1- LL



3.4. Matrik

Matrik didefinisikan suatu susunan segiempat yang berupa elemen bilangan

nyata, kompleks, fungsi atau operator. Matrik a berikut memiliki m baris dan n kolom.

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

................................ ........................ [3.22]

3.4.1. Transpose Matrik

Jika matrik A m x n ditukar menjadi matrik n x m maka disebut tranpose A.

Tranpose matrik A dinyatakan dengan A’.

A’ =

mnnn

m

m

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

................................ ................................ . [3.23]

Matrik A dan A’ mempunyai determinan yang sama. Berikut ini akan dibahas proses

penentuan determinan untuk matrik orde 2 x 2 hingga 4 x 4.

3.4.2. Determinan matrik ordo 2 x 2

122122112221

121122 .. aaaa

aa

aax ................................ .................. [3.24]


3231

2221

1211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

33

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

x .......................... [3.25]

33211232231131221332211332231233221133 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaax atau

2221

121133

33

2321

131132

23

2322

131231

1333 111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaax

12212211331321231132122223123133 ...... aaaaaaaaaaaaaaax




44434241

34333231

24232221

14131211

44

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

x ................................ .......................... [3.26]

333231

232221

131211

4444

343231

242221

141211

4334

343331

242321

141311

4224

343332

242322

141312

4114

44 1111

aaa

aaa

aaa

a

aaa

aaa

aaa

a

aaa

aaa

aaa

a

aaa

aaa

aaa

ax

Untuk meneruskan langkah selanjutnya lihat penyelesaian ordo 3 x 3

Dalam kaitannya dengan teknik kendali, matrik banyak di terapkan untuk

menganalisis sistem kestabilan. Teori yang bersentuhan dengan matrik adalah metode

Routh-Hurwitz.

3.5. Soal-soal latihan

1. Ubahlah sinyal step f(t) = 2 menjadi bentuk laplace!

2. Ubahlah sinyal step f(t) = t2 menjadi bentuk laplace!

3. Tentukan laplace dari persamaan tL !

4. Tentukan laplace dari persamaan e -atL !

5. Ubahlah sinyal step f(t)= 2e -3t menjadi bentuk laplace!

6. Carilah tranformasi laplace balik dari 5s4s

3sF(s)

!

7. Carilah tranformasi laplace balik dari 3

2

2s

32sF(s)

s

!

8. Carilah tranformasi laplace balik dari

2s3s

1sF(s)

2

!

9. Carilah tranformasi laplace balik dari 5s4s

2sF(s)

!

10. Carilah tranformasi laplace balik dari 3

2

2s

34sF(s)

s

!

11. Carilah tranformasi laplace balik dari

2s3s

3sF(s)

2

!



12. Selesaikan matrik43

21!

13. Selesaikan matrik

963

852

741

!


1234

2123

3212

4321

!


21000

32100

03210

00321

00032

!

DAFTAR PUSTAKA

Distefano, J.J., Stubberud, A.R., and Williams, I.J., 1992, Teori dan Soal-soal SistemPengendalian dan Umpan Balik (Terjemahan Herman Widodo Soemitro) SeriScaum, Edisi SI, Erlangga, Jakarta.

Ogata, Katsuhiko., 1997, Teknik Kontrol Otomatik , Edisi 2 Jilid 1/2, Erlangga Jakarta

Pakpahan, Sahat, 1986, Kontrol Otomatik Teori dan Penerapan , Penerbit Erlangga,Jakarta.


bab3 dasar matematik

Documents