bab3-regresi dan korelasi berganda

5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 1/14

REGRESI DAN KORELASI

BERGANDA

3.1. PENDAHULUAN

Metode ini merupakan perluasan dari metode regresi sederhana. Tujuan dari mempelajari

regresi dan korelasi berganda (Multiple Regression and Correlation) adalah untuk mencari

hubungan antara variabel dependen Y dengan dua atau lebih variabel independen (Xl; X2

;

... ; X,).

3.2. PERSAMAAN GARIS LINEAR REGRESI

Untuk garis linear terhadap rata-rata Y terhadap Xl; X; ...;XII dari populasi dijabarkan

dalam persamaan garis linear regresi berganda :

dan penduga garis regresi rata-rata Y terhadap beberapa X variabel bebas, dapat diduga

dengan garis regresi sampel seperti dalam persamaan sebagai berikut :

60



3.3. COEFFIC IENTS E ST IMATE

Untuk mencari nilai-nilai a, b., dan b, dalam linear regresi berganda untuk dua variabel

independen X I dan X2

, dapat kita gunakan kuadrat minimum (by least squares). Karena

persamaan garis regresi berganda seperti di atas, tidaklah sesederhana itu. Setiap observasi

dari beberapa variabel selalu mengandung random error atau selisih antara nilai observasi

dengan nilai penduganya. Atau dengan kata lain, dengan model kuadrat minimum, kitaduga

nilai a, b., dan b, dengan meminimumkan nilai :

n n /I

SSE = Ie 2 = I(Y - YY~I

1=1 1=1

Lalu kita substitusikan nilai ~ ke dalam persamaan di atas, menjadi :

nSSE = I( - a - b X - b X ) 2

1= 1 I 1 11 1 21

Pada keadaan ekstrim - dimana kondisi minimum adalah salah satu keadaannya -

turunan pertama dari SSE berturut-turut terhadap a, b., dan b, bemilai nol. sehingga diperoleh

tiga persamaan berikut:

~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~nIY = nai=1 1

n

+ b I X Ii=1 1

n+ bI X

2i=1 I

n n n

IX I Y = a I X I + b l IX \i=l 1 1 i=l 1 i=l 1

Dari tiga persamaan di atas, bisa kita mencari nilai b, dan br

Untuk nilai a bisa dicari dengan rumus :

a=y-bx-bx

61



Tabel 3.1. Data dari IRS Auditing Records selama 10 bulan terakhir

Contoh 3.1. :

Internal Revenue Service meneoba menduga pajak aktual yang tertunda setiap bulan dari

divisi auditingnya. Diduga dua faktor yang mempengaruhi adalah jumlah jam kerja pegawai

dan jumlah jam kerja mesin (komputer). Untuk menganalisis seberapa besar kedua faktor

tersebut mempengaruhi besamya pajak aktual yang tertunda (yang tidak dibayar) setiap bulan.

dieatat pajak setiap variabel selama 10 bulan. Hasilnya terlampir pada Tabel 3.1.

X l X2

Y(Rp. 10(0)

Bulan Jam kerja Pegawai Komputer Pajak Aktual(jam) yang tidak dibayar

Januari 45 16 29Februari 42 14 24

Maret 44 15 27

April 45 13 25

Mei 43 13 26

Juni 46 14 28

Juli 44 16 30

Agustus 45 16 28

September 44 15 28

Oktober 43 15 27

Penyelesaian :

1) Kita susun Tabel 3.1. berdasarkan kuadrat minimum dengan n = 10 seperti pada

Tabe13.2.

62



Tabel 32. Hasil kesesuaian kuadrat minimum dengan n = 10

Y Xl X2 XlV X

2Y X

1Y2

Xl y2 y21 1

(1) (2) (3) (2)x(1) (3)x(l) (2)x(3) (2)2 (3)2 (1)2

29 45 16 1.305 464 720 2.025 256 841

24 42 14 1.008 336 588 1.764 196 576

27 44 15 1.188 405 660 1.936 225 729

25 45 13 1.125 325 585 2.025 169 625

26 43 13 1.118 338 559 1.849 169 676

28 46 14 1.288 392 644 2.116 196 784

30 44 16 1.320 480 704 1.936 256 900

28 45 16 1.260 448 720 2.025 256 784

28 44 15 1.232 420 660 1.936 225 784

27 43 15 1.161 405 645 1.849 225 729

272 441 147 12.005 4.013 6.485 19.461 2.173 7.483

-X = 27,2

-

XI = 44,1-X , = 14,7

1) Dalam 3 persamaan norm al :272 = 10 a + 441 b, + 147 b,

12.005 = 441 a + 19.461 b. + 6.485 b2

4.013 = 147 a + 6.485 b, + 2.173 b,

.................(1)

.................(2)

................. (3)

2) Menghilangkan nilai a dengan menjumlahkan persamaan (1) dengan

(2). Persamaan (1) x -441 dan persamaan (2) x 10 :

(1) x (-441) : -119.952 = -4410 a - 194.481 b, - 64.827 b,

(2) x ( 10 ) 120.050 = 4410 a + 194.610 bl + 64.850 b2

(4) 98 = 129 bl+ 23 bz

3) Persamaan (1) kalikan dengan -147 dan persamaan (3) dengan 10. Jum1ahkan persamaan

(1) dan (3) :

(1) x (-147)

(3) x ( 10 )

: -39.984 = -1470 a - 64.827 b. - 21.609 b,

40.130 = 1470 a + 64.850 b, + 21.730 b,

(5) 146 =

63



4) Kalikan persamaan (4) dengan -23 dan (5) dengan 129. Jumlahkan

(4) dan (5) untuk menduga nilai b :

(4) x (-23) - 2.254 = - 2.967 b,

(5) X (129) 18.834 = 2.967 b. +

(6) 16.580 = 15.080 bl

Maka, b, = 1,099

5) Cari nilai penduga b, dari persamaan (4) :

(4) : 98 = 129 b. + 23 bI

98 = 129 b, + (23) (1,099)

98 = 129 b, + 25,277

Maka, b2

= 0,564

7) Cari nilai a dari persamaan :- - -

a = Y - b.X. - blX

2

= 27,2 - (0,564) (44.1) - (1,099) (14,7)

= 27,2 - (24,8724) - (16,1553)

= -13,8277 -13,828

Maka, persamaan garis regresi berganda :A

Y = a + b. XI+ b, X

2

= -13.828 + 0,564 X, + 1.099h

8) Jika Xl = 43 (4300 jam pegawai)

Jika X2= 16 (1600) jam dari waktu komputerA

Maka : Y = -13.828 + 0,564 XI + 1,099 X c

= -13,828 + (0,564)(43) + (1,099) (16)

13.828 + 24,252 + 17584

•p "")~ atau Rp. 28.008

Tiga persamaan linear tersebut sebelup1llyadapat pula disederhanakan. Jika deviasi antara

'1dan Xi dinyatakan sebagai Xl = Xl - Xl atau deviasi antara Y dan Y dinyatakan sebagai

y = Y - y, maka ketiga persamaan linear r!a!'~t rji<'"rjprh'lnakanmenjadi :

64



L X2 = L X2

- n X, , i

L y2 = L y2_ n Y

L yx, = L YXj

- n xSL XjX2 = L XjX2 - n XjX2

I 0 = 0

II L yXj = b. L X\ + b2 L Xj X2

III L yX2 = b, L XjX] + b L X22

dimana :

Maka, berdasarkan contoh 3.1. bisa dicari nilai koefisien korelasi dengan cara lain :

L x \ = L X2j - n x, = 19.461 - (0)(44.1)2 = 12,9

L x C2 = L X\· - n X 2 = 2.173 - (0)04,7)2 = 12.1

L y2 = L Y' - n Y = 7.483 - (10)(27,2)2 = 84,6

L yXj = L YXj - n xS = 12.005 - (10)(44.1)(27,2) = 9,8

L XjX2 = L XjX2 - n X)(2 = 6.485 - (10)(44,1)(14,7) = 2,3

L yX2 = L YX2

- n xS = 4.013 - (10)(14,7)(27,2) = 14,6

Sete1ah itu dimasukkan ke dalam dua persamaan yang telah disederhanakan.

L yXj = b. L x \ + b. L Xj x 2 (1)

L yX2 = b. L XjX2 + b L X22 (2)

Maka:

9,8 = 12,9 b, + 2,3 b2

14.6 = 2,3 b, + 12,1 b,

(1)

(2)

(1) Persmaan pertama kita kalikan dengan 2,3 dan persamaan ketlua kita kalikan dengan

12,9 untuk menghilangkan faktor b.

22,54=

29,67 b. + 5,29 b2

188,34 = 29,67 b, + 156,09 b.

--------------------(-)

165,8 = -150,8 b,

maka nilai b, = 1,099

65



, _

b=L yX2 . L X\ - L yXI . L XIXz

L Xlt . L X l 2 - ( L XtX/

(2) Dengan begitu kita bisa mencari nilai b, dengan mensubstitusikan nilai b, ke dalam salah

satu persamaan di atas.

22,5 = 29,67 b , + 5,29 (1,099)

22,5 = 29,67 b , + 5,81371

maka :bi = 0,564

Atau bisa dicari nilai koefisien regresi dengan rumus sebagai berikut :

L yXI . L x\ - L Y X z . L xhb = --~----=------~

3.4. STANDART DEVIASI GARIS REGRESI BERGANDA

Seperti halnya pada regresi sederhana, kalau sampel memiliki jumlah n yang cukup besar,

pengukuran dispersi titik-titik koordinat dari garis regresi berganda dapat dicari dari :

SSE

n-k-l

dimana : - k = banyaknya parameter dalam model (variabel bebas)

Ingat bahwa untuk model linear sederhana (yang mengandung satu parameter bebas (b),

standard erromya adalah SSE dibagi dengan (n - 1 - 1). Dalam kasus umum S 2 sama dengan

SSE dibagi dengan n, yaitu banyaknya titik data, dikurangi satu derajat kebebasan untuk

setiap parameter yang muncul dalam model

Rumus Menghitung SSE

SSETotal= SS - SSRdimana:n

SSR = l ( y - y)2 = jumlah kuadrat akibat regresi1=1

n [L y FSS = ~ (y _ y)2 = L y 2 _ 1

Total 1=1 1 n

66



n-k-1

Standart deviasi regresi berganda :

Contoh 3.2. :

Untuk data pacta Tabel 3.1. hitung dan taksirlah standard error populasinya.

Penyelesaian :

Dalam contoh 3.1. telah kita peroleh nilai Syx.

=9,8; LY X

2 =14,6 y2

=84,6 ; b,

=0,564

; b, = 1,099 ; n = 10 ; dan m = jurnlah parameter (b} dan b) = 3. Maka bisa kita langsung

menghitung varians sesuai dengan rumus :

S 2 =Lyl - (b}L yx

l) + (b

2L yXz )

n-k-l

84.6 - i(0.564)(9,8) + 0,099)04,6);'

10

84,6 - (5,4978 + 16,0454)

7

S 2 - _

S 2 = 9.0081

Maka, standard error untuk regresi berganda adalah :

s=W

~ = V 9,0081 = 3,001

3.5. K OEFISIEN KORELASI BERGANDA LINEAR

Seperti halnya pada regresi sederhana, koefisien korelasi digunakan untuk melihat tinggi

rendahnya derajat hubungan antara dua atau lebih variabel. Koefisien korelasi dapat dicari

dari koefisien determinasi yang merupakan variasi yang dapat dijelaskan oleh garis regresi

berganda linear. yaitu :

67



J.l = S S R / S S T o ta l

(blI Y X1) + (b, I Y X z )

J.l =I 2

Dari sini bisa kita hitung nilai koefisien korelasi berganda linear sebagai berikut :

Rumus Koefisien Korelasi :

r = ~ S S R / S S T o t . l l

atau:r = ~ (biI yxl) + (b2I Y X z )

Ii

Contoh 3.3. :

Kita lihat kembali kelanjutan dari contoh 3.1. dan 3.2. Carilah koefisien korelasi berganda

lineamya!

Penyelesaian :

(biI yx) + (b2 I y x z >

Iyl

r =5,4978 + 16,0454

84,6= 0,2546

Maka:

r = Pi,2546 = 0,5046

3.5. PENDUGA PARAMETER KOEFISIEN REGRESI BERGANDA

Pendugaan parameter koefisien regresi berganda BI dan B2 membutuhkan hasil ukuran

kesalahan duga standard bagi penduga bldan b

z. Kesalahan duga standard demikian dapat

diartikan sebagai :

s1. s I = ~===;;:=-r:=:==;r====-

b ~I x21 ~(l - r\ (X2)

s2. s 0 = ~::::::r---;:;:=i==:::::;:=;::::::::C=c

1 Y ' ~ ~(1 - r2x J (X2) )

68



'XC' XC~ 1 ~ 1

dimana:

"Xj(X1) = koefisien korelasi antara X, dan X2

IXI ~)2

=

masing-masing dengan derajat bebas (n - k - 1). Maka, interval keyakinan bagi pendugaan

parameter B , di atas dapat diberikan sebagai :

Contoh 3.4.:

Dugalah parameter B. dan Bc dalam contoh data Tabel 3.2. dengan interval keyakinan

0.95. .

Dati hasil pernitungan contoh-contoh yang lalu, kita peroleh :

n = 10 Ixll = 12.9 Ix\ = 12.1

IXI x2 = 2.3 r = 0.5046 s = 3.001

Penyelesaian :

Terlebih dahulu kita cari koefisien korelasi antara XI dan xl"

I(xi x)"

(2.3)2 5.29= - - - - = - - - - = 0,0334

(21.9)(12,1) 156.09

Kemudian kita carl masing-masing kesalahan untuk penduga b. dan b,

S

3.001

Shl = ------;==--;::=====-i 1 2 9 \j(l-0.00112)

0.836

dan:

69



3,001Sb2 = -;::=::=---;::::==== = 0.863

~ '\j(l - 0,00112)

Interval keyakinan bagi penduga BI adalah :

b. - t (et/2Jl-k-I)' Sbi < BI < b, + t(et/2Jl-k-l) . Sbi

0,564 - (2,365)(0,836) < B, < 0,564 + (2,365)(0,836)

- 141314 < B, < 2,54114

Interval keyakinan bagi penduga B 2 adalah :

b, - t(et/1Jl-k-l) ,Sbl < B2 < b, + t(et/2Jl-k-I)' Sb2

1,099 - (2,365)(0,863) < Be < 1,099 + (2,365)(0,863)

- 0,9419 < BI < 3,1399

3.6. PENGUJIAN PARAMETER KOEFISIEN REGRESI

BERGANDA

Umumnya, untuk menguji koefisien regresi berganda populasi digunakan dengan statistik

uji t :

t=----

b-BI I

dengan deraiat bebas sebesar n - k - 1 .

Contoh 3.5. :

Cobalah uji secara 2 arab parameter B) dan B 2 dengan menggunakan taraf nyata sebesar

a = 0,05 dari hasil data Tabel 3.2. Proses pengujian parameter B) dan B2 dapat dilakukan

dengan bertahap ataupun langsung.

Penyelesaian :Pertama kita tentukan dulu bentuk uji hipotesisnya :

1. Ho: BI = 0 HI : B) t: . 0

dan

H : B, = 0_ H : B, t:.0I "

2. (J. = 0,05

70



0,564

3.b, - B,

Statistik uji t = dengan derajat bebas = 10-3 = 7

~I

danb, - B,

t = - - dengan dejarat bebas = 10-3 = 7

Sh Z

Daerah kritis ialah :

t > t\O.025:7)

atau

> 2,365 dan t < -2,365

4. Maka untuk uji B"tn = - - - = 0,6746~ "lu mg

0,836

1,099

5. Maka untuk uji B" t = - - - = 1.2735• _ rutting

0,803

Karena 0,6746 dan 1,2735 < 2,365, maka kita harusmenerima hipotesis nol Ho : Bl = °maupun H : B, = 0. Hal tersebut berarti bahwa tidak ada hubungan berganda linear antara_

variabel x, dan X l"

Demikianlah pembahasan mengenai regresi berganda linear dengan 2 variabel bebas.

Untuk lebih dari 2 variabel bebas, perhitungannya lebih kompleks, sehingga lebih dianjurkan

untuk menggunakan paket-paket program statistik

71



LATIHAN SOAL

1. Apa yang dimaksud dengan regresi ?

2. Apa yang saudara ketahui tentang korelasi ?3. Apakah perbedaan antara regresi sederhana dan regresi berganda?

4. Perhatikan data di bawah ini :

y X l X2

25 3.5 5.0

30 6.7 4.2

11 1.5 8.5

22 0,3 1,4

27 4.6 3.6

19 2.0 1.3

a. Carilah persamaan garis regresi

b. Dugalah nilai Y bila X, = 3.0 dan nilai X l = 2,7

4. Direktur pemasaran minuman dingin SHYCOLA ingin mengetahui apakah ada hubungan

antara VOLUME PENJUALAN per tahun (Y) dalam jutaan ribu rupiah, dengan dua

variabel bebas, yaitu HARGA PENY ALUR (Xl) dalam ratusan rupiah, dan

PENDAPATAN PER KAPITA (~) dalam ribuan rupiah. Perkiraan direktur tersebut

adalah Xl mempunyai hubungan negatif dengan Y sedangkan X l mempunyai hubungan

yang positif dengan Y. Dari 20 wilayah pemasaran diperoleh data statistik sebagai

berikut :

Iy = 721 Ix, = 1356

Iyl = 948.95 IX\ = 3643.2

IXl = 64,15 Ix, X2

= -136,67

I,X2] = 15.4976374 Ix, Y = -86,307498

Ix, Y = 1710.2

a. Berdasarkan data statistik di atas, ujilah perkiraan direktur di atas (lakukan t-test)

pada level of significance 1%. Tentukan persamaan regresinya. Kemudian interpretasi

saudara terhadap koefisien regresi tersebut.

b. Tentukan berapa besar variasi Y yang dapat diterangkan oleh persamaan regresi.

Tentukan dan interpretasikan koefisien detenninasi.

c. Dengan menggunakan garis regresi yang telah saudara peroleh, tentukan prediksirata-

rata Y pada saat X, = 3.6 (Rp 3(0) dan X, = 100 (Rp 100.000).

72



b . d. -1

MULTIPLE CHOICE

1. Variabel Y akan bebas bila Xl dan Xc bemilai masing-masing adalah :

a. 0 c . 0: 1

2. Bila ada 20 elemen dalam sampel dan 4 variabel bebas digunakan dalam regresi berganda,

sebaiknya digunakan derajat bebas untuk mencari nilai t table :

a. 16 c . 15

b. 17 d. tidak ada yang benar

3. Untuk menguji bahwa Y benar-benar tergantung pada hasil Xl' maka uji hipotesis yang

paling tepat digunakan :

a. B2 = 0

b. B,=-1

C. B2 = 1

d. tidak ada yang benar

4.A

Pada persamaan Y = 5,6 + 2,8 Xl - 3,9 x, + 5,6 X3, kalau Xl' x, dan X3 adalah nol,

maka penduga nilai Y adalah :

a. 10.1 c . - 5,6

b. 5,6 d. - 10,1

5. Penduga standard error mempunyai derajat bebas n - k - 1.

Disini k menunjukkan :

a. jumlah elemen dalam sampel

b. jumlah variabel independen

c. Titik tengah dari variabel dependen

d. tidak ada satupun yang benar

A

6. Persamaan garis regresi berganda Y = a + b , XI + b, X2digunakan untuk menduga Y

= A + BI XI + Bc X2

' interval keyakinan untuk B adalah :

a. BI - tsbl : B , + tsbl

b. BI - t,. : BI + t,e

c. bl - tSbl : b, + t"bl

d. b , - t,e : b. + t,e

7. Dari suatu data diperoleh nilai-nilai sebagai berikut :

Y = 10 XI = 23 X, = 12,6 b, = 0.4 b, = -1.5

Maka persamaan garis regresi berganda yang dapat dibentuk :A A

a. Y = 10 * 0,4 Xl + 1.5 Xc c . Y = 10 + 0,4 XI - 1.5 X2

b. Y = 19,7+ 04 XI + 1.5 X2

b. Y = 19,7+ 04 Xl - 1.5 X2

73

bab3-regresi dan korelasi berganda

Documents