1

BAB I PENDAHULUAN

1. LATAR BELAKANG

Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting

dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini

disebabkan karena, matematika merupakan sarana berfikir untuk menumbuh

kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis.

Matematika banyak berhubungan dengan ide-ide abstrak yang diberi

simbol-simbol yang tersusun secara hierarkis dan penalarannya deduktif sehingga

belajar matematika merupakan kegiatan mental yang tinggi dan terkadang

memerlukan waktu yang lama dan butuh kesabaran. Dalam belajar matematika,

mempelajari konsep B yang mendasarkan konsep A, seorang siswa perlu

memahami terlebih dahulu konsep A. tanpa memahami konsep A, tidak mungkin

orang memahami konsep B. ini berarti mempelajari matematika haruslah bertahap

dan berurutan, serta berdasarkan kepada pengalaman belajar yang lalu Sehingga

banyak siswa yang merasa kesulitan bahkan tidak senang belajar matematika.

Karena, kehierarkisan matematika itu, maka belajar matematika yang terputus-

putus akan menggangu terjadinya proses belajar. Ini berarti proses belajar

matematika akan terjadi dengan lancar bila belajar itu dilakukan secara kontinyu.

Namun masih banyak diantara siswa kita mengalami kesulitan dalam

belajar matematika, utamanya materi atau soal yang memerlukan penyelesaian

yang rumit dan panjang, bahkan banyak diantara siswa yang terkadang malas

mengerjakan soal yang demikian. Mereka hanya menunggu jawaban dari teman

atau bahkan dari guru. Sikap masa bodoh untuk tidak peduli pada terhadap

2

kesulitan yang mereka alami sangat fatal pengaruhnya dan akibatnya bisa menjadi

anggapan bahwa matematika adalah momok bagi mereka.

Salah satu materi dalam pelajaran matematika yang terkadang tidak

disenangi oleh siswa adalah persamaan garis lurus, mengkhusus pada penentuan

persamaan garis lurus yang salah satu titik atau gradien diketahui. Dalam materi

ini siswa harus memahami beberapa materi yang ada sebelumya seperti gradien

atau kemiringan garis sehingga menimbulkan kesulitan dari siswa.

Mengingat kesulitan yang dialami siswa tersebut maka dipandang perlu

untuk melakukan perhatian yang lebih baik berbagai pihak untuk meningkatkan

mutu hasil belajar matematika. Utamanya dari kalangan pendidik dalam hal ini

seorang guru, karena gurulah yang banyak atau yang paling dekat dengan siswa.

Usaha-usaha yang dilakukan kearah peningkatan hasil belajar diharapkan akan

selalu ditingkatkan. Jangkauannya diperluas dan mencakup sasaran yang lebih

mendasar seperti peningkatan keterampilan matematis, pengembangan

penyelesaian masalah matematika, perbaikan cara belajar matematika, bamyak

guru mulai menggunakan beberapa pendekatan dalam pemecahan soal

matematika agar siswa merasa senang dan mampu menyelesaikan soal yang

diberikan dan lain-lain.

Oleh karena masalah tersebut kami akan mencoba memaparkan salah satu

cara dalam menyelesaikan persamaan garis lurus yang salah satu titiknya

diketahui yakni dengan menggunakan rumus jitu sehingga siswa tidak lagi merasa

kesulitan dalam menyelesaikan materi persamaan garis lurus. Mereka tidak lagi

menganggap matematika sebagai momok atau pelajaran yang menakutkan. Dan

diharapkan dengan cara ini siswa dapat merasa senang belajar matematika.

3

2. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang diatas maka penulis merumuskan

permasalahan yakni “Bagaimana menentukan persamaan garis lurus yang

salah satu titiknya diketahui dan sejajar atau tegak lurus dengan garis linier

yang yang lain?”

3. BATASAN ISTILAH

a. Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ”sama

dengan”

b. Persamaan garis lurus adalah persamaan yang berbentuk Ax + By = C

c. Dua buah garis sejajar adalah apabila jarak kedua garis itu diukur

disembarang titik diperoleh jarak yang sama.

d. Dua buah Garis tegak lurus adalah apabila perpotongan kedua garis itu

memebentuk sugut siku-siku atau 90 derajat.

e. Gradien adalah kemiringan sebuah garis.

4

BAB II PEMBAHASAN

A. Pengertian Pembalejaran Matematika

Secara umum Gagne Dan Briggs yang dikutip oleh Ismail (1998)

mengatakan bahwa pembelajaran sebagai upaya orang yang tujuannnya adalah

membantu orang belajar.dan secara lebih terinci pembelajaran adalah seperangkat

acara peristiwa eksternal yang dirancang untuk mendukung terjadinya beberapa

proses belajar yang sifatnya internal. Corey yang dikutip oleh ismail (1998)

bahwa pembelajaran adalah suatu proses dimana lingkungan seseorang secara

sengaja dikelola untuk memungkinkan ia turut serta dalam kondisi-kondisi khusus

atau menghasilkan respon terhadap situasi tertentu.

Dalam kamus besar bahasa Indonesia kata pembelajaran adalah kata benda

yang diartikan sebagai “proses, cara, menjadikan orang atau makhluk hidup

belajar” kata ini berasal dari kata kerja belajar yang artinya berusaha untuk

memperoleh kepandaian atau ilmu, berubah tingkah laku atau tanggapan yang

disebabkan oleh pengalaman.

Dari pengertian di atas menunjukkan bahwa pembelajaran berpusat pada

kegiatan siswa belajar dan bukan pada berpusat pada kegiatan guru mengajar.

Oleh karena itu pada hakikatnya pembelajaran matematika adalah proses yang

sengaja dirancang dengan tujuan untuk menciptakan suasana lingkungan

memungkinkan seseorang (sipelajar) melaksanakan kegiatan belajar matematika,

dan proses tersebut berpusat pada guru mengajar matematika. Pembelajaran

matematika harus memberikan peluang kepada siswa untuk berusaha dan mencari

pengalaman tentang matematika.

5

B. Pengertian Persamaan Garis Lurus

Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kami

mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus

selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius. Untuk itu, pelajarilah uraian

berikut. Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan

pasanganberurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut

absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat). Jadi, titik pada

bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y).

Pada Gambar di bawah ini terlihat ada 3 buah titik koordinat pada bidang

koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat,

keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.

A (0,1), B (-2,1), C (2,-2)

A B(-2,1) C (2,-2) Setelah kita memahami bagaimana menggambar itik pada bidang

koordinat kartesius, sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang

yang sama.

6

(2,2) Dari penjelasan diatas dapat dibuat pengertian garis lurus adalah kumpulan

titik-titik yang letaknya sejajar. Terlihat pada 3 titik pada gambar di atas yakni

(0,0), (1,1) dan (2,2)

C. Menggambat Persamaan Garis Lurus Apa yang kita ketahui tentang persamaan garis lurus? Pesamaan garis

lurus adalah suatu persamaan ang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat

kartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar garis lurus

adalah menentukan nilai x dan y secara acak. Hanya dibutuhkan minimal dua titik

untuk menggambar garis lurus. Misalkan kita akan menggambat garis x + y = 4.

Langkah pertama yang kita lakukan adalah menentukan nilai x dan y yang

memenuhi persamaan x + y = 4.n Misalkan

x = 0 maka 0 + y = 4 maka y = 4, sehingga diperoleh titik koordinat (0,4).

x = 3 maka 3 + y = 4 maka y = 1, sehingga diperoleh titik koordinat (3,1).

Kemudian dari dua titik koordinat tersebut dapat digambarkan garis lurus sebagai

berikut :

o (3,1)

7

D. Pengertian Gradien

Pernahkah kita mendaki gunung? Jika ya, kita pasti akan menyusuri lereng

gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah

yang tidak sama, ada yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis

yang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut

gradien. Secara matematika Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan

kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan

komponen x.Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan

garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis

yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan

titik koordinat atau bentuk persamaan garis.

1. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan

melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai

berikut.

Gradien = absis

ordinat

m = xy

maka, y = mx

Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama

dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat,

persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx. Untuk

lebih jelasnya, pelajari lah Contoh berikut.

8

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. y = -2x b. y = 3x c. 4x – 6y = 0 Jawab : a. Persamaan garis y = -2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = -2.

b. Persamaan garis y = 3x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 3.

c. Persamaan garis 4x-6y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx

sehingga -6y = -4x maka y = x64

sehingga diperoleh m = 64

2. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx,

perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan

nilai konstanta di depan variabel x. Untuk lebih jelasnya, mari kitaperhatikan

contoh berikut

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.

a. y = 4x + 6

b. y = –5x – 8

c. 2y = x + 12

Jawab :

a. Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi,nilai m =4.

b.Persamaan garis y = –5x –8sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilaim=–5.

c. Persamaan garis 2y = x + 12 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c

sehingga

2y = x +12

9

y = 212+x

62+=

xy

Jadi nilai m = 1/2

3. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0 Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat

ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke

dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m

di depan variabel x. Perhatikan Contoh berikut :

Tentukanlah gradien dari persamaan garis x + 2y + 6 = 0 Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c

sehingga

x + 2y + 6 = 0

2y = –x –6

26--

=x

y sehingga diperoleh 21

-=m

4. Sifat-sifat gradien

· Jika garis sejajar dengan sumbu-x maka nilai gradiennya adalah nol

· Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka nilai garis tersebut tidak memiliki

gradien.

· Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

· Hasil kali antara dua gradien dari garis yang yang saling tegak lurus adalah

-1.

10

D. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik (x1, y1) dengan Gradien m

Misalkan suatu garis mempunyai gradien m dan melalui sebuah titik (x1, y1).

Bentuk persamaan garis tersebut adalah y = mx + c.

Untuk menentukan persamaan garis tersebut perhatikan langkah – langkah

berikut.

(a) Substitusi titik (x1, y1) ke persamaan y = mx + c.

y = mx + c

y1 = mx1 + c

c = y1 – mx1

(b) Substitusi nilai c ke persamaan y = mx + c.

y = mx + c

y = mx + y1 – mx1

y – y1 = mx – mx1

y – y1 = m(x – x1)

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah

y – y1 = m(x – x1).

E. Menentukan persamaan garis yang melalui dua titik

o y – y1 = m(x – x1). Adalah rumus untuk persamaan garis yang melalui

satu titik koordinat.

o 12

12

xx

yym

--

= adalah rumus gradient dari dua titik koodinat.

o Dari kedua rumus tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.

y – y1 = m(x – x1)

11

)()(

))(())((

))((

)(

12

1

12

1

1212

112

12

1

12

1121

112

121

xxxx

yyyy

xxyyxxyy

yyyy

xxxxyy

yy

xxxx

yyyy

--

=--

----

=--

---

=-

---

=-

Sehingga diperoleh rumus persamaan garis melalui dua titik adalah

)()(

12

1

12

1

xxxx

yyyy

--

=--

F. Menyelesaikan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik Koordinat.

Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,5) dan memiliki

gradien -2

Penyelesaian :

Pada pemaparan di atas kami telah menuliskan rumus persamaan garis melalui

satu titik dan gradient m yakni y – y1 = m(x – x1) sehingga diperoleh

y – 5 = -2 (x - 3)

y – 5 = -2x + 6

y = -2x + 6 + 5

y = -2x + 11 atau 2x + y = 11

G. Menyelesaikan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik

Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,6) dan (4,-2)

Penyelesaian : Cara 1

Pada pemaparan di atas kami telah menuliskan rumus persamaan garis melalui

dua titik yakni )(

)(

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

--

=--

12

sehingga diperoleh

(2,6) maka x1 = 2 dan y1 = 6

(4,-2) maka x1 = 4 dan y1 = -2

Persamaannya adalah

)(

)(

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

--

=--

01440864

846

)2(8)6(22

286

)24()2(

626

=-+=--+

+-=---=-

-=

--

--

=---

xyxy

xy

xy

xy

xy

Cara 2

428

2462

12

12

-=

-=

---

=

--

=xx

yym

Garis melaui (2,6) dengan gradien -4 adalah :

y – y1 = m(x – x1)

y – 6 = -4 (x - 2)

y – 6 = -4x + 8

y + 4x – 6 - 8 = 0

y + 4x – 14 = 0

13

H. Menyelesaikan Persamaan Garis yang melalui satu titik dan sejajar

dengan garis yang lain.

Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan sejajar

terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah ….

Penyelesaian :

3x + 5y = 15

5315

3155

xy

xy

-=

-=

sehingga diperoleh 53-

=m

Garis sejajar maka m1 = m2 = 53-

Persamaan garis yang melalui (2,3) dengan gradien m2 = 53-

adalah

3x – (-5y) = 3x1 – (-5y1)

3x + 5y = 3 . 2 + 5 . 3

3x + 5y = 21

I. Menyelesaikan Persamaan Garis yang sejajar dengan garis lurus yang

lain

Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan tegak

lurus terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah ….

Penyelesaian :

3x + 5y = 15

14

5315

3155

xy

xy

-=

-=

sehingga diperoleh 53-

=m

Garis tegak lurus maka m1 = 2

1m-

= 35

Persamaan garis yang melalui (2,3) dengan gradien m2 = 35

adalah

y – y1 = m(x – x1)

y – 3 = 35 (x - 2)

y – 3 = 3

105 -x

3y + 9 = 5x - 10

3y - 5x + 9 + 10 = 0

3y - 5x + 19 = 0

J. Menyelesaikan Persamaan Garis dengan Menggunakan Rumus Jitu

Langkah Jitu untuk Menentukan Persamaan Garis

· Persamaan garis melalui (x1,y1 ) bergradien ba

m =

ax–by = a . x1–b. y1

· Persamaan garis melalui dua titik yakni (x1,y1) dan (x2,y2)

Kedua titik disusun ke bawah qdc

bap ú

û

ùêë

é

· Persamaan Garis yang melalui satu titik (x1,y1) dan sejajar dengan garis

ax + by = c

15

ax + by = a . x1 + b. y1

· Persamaan Garis yang melalui satu titik (x1,y1) dan tegak lurus dengan

garis ax + by = c

bx - ay = b . x1 + a. y1

K. Menyelesaikan contoh soal dengan Menggunakan Langkah Jitu

Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,5) dan memiliki

gradien -2

Penyelesaian :

a = -2, b= 1, x1= 3 dan x2 = 5

Menggunakan rumus jitu : ax–by = a . x1–b. y1

-2x – y = -2 . 3 – 1. 5

-2x – y = -6 – 5

-2x – y = -11

2x + y = 11

Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,6) dan (4,-2)

Penyelesaian :

a = 2, b = 6, c = 4, d = -2 , p = 4 x 6 = 24, q = 2 x -2 = -4

02882

)4(2482

62

24

=-+--+-=

úû

ùêë

é -

xy

xy

Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan sejajar

terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah ….

Penyelesaian :

Diketahui a = 3, b = 5, c = 15, x1 = 2 dan y1 = 3

16

Menggunakan persamaan jitu : ax + by = a . x1 + b . y1

3x + 5y = 3 . 2 + 5 . 3

3x + 5y = 6 + 15

3x + 5y = 21

Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan tegak

lurus terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah ….

Penyelesaian :

Diketahui a = 3, b = 5, c = 15, x1 = 2 dan y1 = 3

Menggunakan persamaan jitu : bx - ay = b . x1 + a . y1

5x - 3y = 5 . 2 + 3 . 3

5x - 3y = 10 + 9

5x - 3y = 19

17

BAB III PENUTUP

1. Kesimpulan

Rumus Jitu untuk menentukan persamaan garis lurus

· Persamaan garis melalui titik (x1,y1) bergradien m ba

= adalah

ax–by = a . x1–b. y1.

· Persamaan garis melalui titik (a,b) dan (c,d) adalah

qdc

bap ú

û

ùêë

édimana p = a x d dan q = b x c

· Persamaan garis melalui titik (x1,y1) dan sejajar dengan garis ax + by = c.

ax + by = a . x1 + b . y1

· Persamaan garis melalui titik(x1,y1)dan tegak lurus dengan garis ax+by= c.

bx - ay = b . x1 + a . y1

2. Saran

Kami dari penulis selalu menyarankan kepada semua guru agar kiranya selalu

membantu siswa untuk berbuat kreatif dalam meyelesaikan soal-soal yang

ada. Sebaiknya mereka tidak hanya memepelajari rumus atau konsep yang ada

pada buku yang mereka miliki, namun mereka diberi keleluasaan untuk

menciptakan atau membuat ide dalam menemukan cara lain dalam

menyelesaikan tugas yang ia peroleh.

Kami juga akan selalu terbuka kepada seluruh pembaca makalah ini agar

selalu memberikan saran dan masukan demi kesempurnaan makalah ini agar

kelak makalah ini mendekati sebuah kesempurnaan.

18

19

Daftar Pustaka

Anwar. 2008. Konsep Jitu Matematika SMP. Jakarta : Wahyu media

Budi rahayu. 2008. Contextual Teaching and Learning Matematika. Jakarta :

Pusat Perbukuan DEPDIKNAS

Wagiyo. 2008. Pegangan Belajar Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan

DEPDIKNAS

20

21

Tugas Kelompok Mata Kuliah : Problematika Pendidikan Matematika Dosen Pengajar : DRS. Ahmad Thalib, M.Si.

RUMUS JITU MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS

DISUSUN OLEH : EDIAMAN AR

WAHIDA JAMALUDDIN

PROGRAM PASCASARJANA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2008

22